Tecniche per la ricerca delle primitive delle funzioni continue

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1 Capitolo 4 Tcnich pr la ricrca dll primitiv dll funzioni continu Nl paragrafo.7 abbiamo dato la dfinizion di primitiva di una funzion f avnt pr dominio un intrvallo I; abbiamo visto ch s F 0 è una primitiva di f allora è tal ogni altra funzion F dl tipo: F = F 0 + c, c R d abbiamo chiamato intgral indfinito dlla f, l insim dll su primitiv. Abbiamo dnotato con il simbolo f() d la sua gnrica primitiva F, cioè F 0 + c d abbiamo infin chiamato oprazion d intgrazion indfinita oppur calcolo dll intgral indfinito, l oprazion ch si sgu su di una data funzion f, dotata di primitiv, pr ottnr il suo intgral indfinito. Nl paragrafo 2. abbiamo dimostrato ch ogni funzion continua: f : y = f(), [a, b] (4.) 67

2 68 Capitolo 4. Tcnich pr la ricrca di primitiv è dotata di (infinit) primitiv ch qust ultim si possono ottnr tutt sommando una costant arbitraria c ad una sua funzion intgral. S com funzion intgral scgliamo qulla rlativa al punto 0 = a, si ha quindi: F : y = F () = a f(t) dt + c, [a, b]. (2.30) Nlla (2.30) la lgg d associazion dlla gnrica primitiva è rapprsntata da un intgral dfinito più una costant c pr cui pr conoscr una primitiva di f occorr conoscr il valor dll intgral dfinito stso ad un qualsiasi intrvallo [a, ] contnuto in [a, b] o coincidnt con sso. La lgg d associazion dlla gnrica primitiva, sprssa com nlla (2.30), non è di alcuna utilità pratica s vogliamo calcolar l intgral dfinito b a f() d srvndoci dl torma fondamntal dl calcolo intgral (torma 2.20). Si ha infatti: da cui: b a F (a) = F (b) = a a b a f(t) dt + c = 0 + c = c f(t) dt + c ( b f() d = F (b) F (a) = a ) b f(t) dt + c c = f(t) dt a quindi? Siamo al punto di partnza! Si pon allora il problma di rapprsntar la lgg d associazion dll primitiv dlla (4.) pr mzzo di una formula in cui non compaia l intgral dfinito: a f(t) dt con [a, b].

3 4. La famiglia F E 69 In qusto capitolo vogliamo illustrar alcun tcnich, utili allo scopo, comunmnt conosciut com mtodi d intgrazion indfinita. Cominciamo innanzitutto con il prcisar la famiglia di funzioni continu, avnti pr dominio un intrvallo, pr l quali vogliamo risolvr il problma posto. 4. La famiglia F E Ni libri dlla prsnt collana abbiamo incontrato vari funzioni rali di una variabil ral d abbiamo chiamato alcun di ss: funzioni lmntari. Tali funzioni sono continu d il loro dominio è o tutto R oppur un intrvallo I. A partir poi dall funzioni lmntari o rstrizioni di ss, mdiant l oprazioni di addizion, sottrazion, moltiplicazion, division, strazion di radic composizion, abbiamo costruito altr funzioni ch a loro volta possono ssr sottopost all oprazioni anzidtt pr costruir altr funzioni ancora. Dnotiamo con F E la famiglia costituita: dall funzioni lmntari dall funzioni costruit a partir da qull lmntari pr mzzo dll oprazioni sopra lncat. L funzioni dlla famiglia F E, indipndntmnt dal fatto ch siano funzioni lmntari o costruit a partir da ss, si chiamano funzioni sprimibili in trmini di funzioni lmntari. Ess hanno l sgunti carattristich:. il loro dominio A è: o tutto R o un intrvallo I Vdr il libro Limiti continuità, paragrafo 2.9.

4 70 Capitolo 4. Tcnich pr la ricrca di primitiv o un union di intrvalli tra loro disgiunti 2. sono continu prtanto l rstrizioni di ss avnti pr dominio un intrvallo I contnuto o coincidnt con A sono dotat di primitiv. 3. qull di ss ch sono drivabili hanno la funzion drivata appartnnt alla famiglia F E quindi l oprazion di drivazion trasforma funzioni drivabili di F E in funzioni di F E. Ci chidiamo ora: Pr l primitiv di una qualunqu funzion f di F E avnt pr dominio un intrvallo I, accad qualcosa di analogo a ciò ch accad pr la sua funzion drivata f, nl caso ch qust ultima sista? In altr parol: l primitiv di una qualunqu funzion f di F E avnt pr dominio un intrvallo I, appartngono anch ss a F E? Poiché si dimostra ch l funzioni, l cui lggi d associazion sono rapprsntat dall formul : y = 2 y = y = sin y = sin( 2 ) d i cui domini sono intrvalli I R, pur appartnndo a F E non hanno l primitiv in F E, concludiamo ch la risposta è in gnral ngativa. Diciamo anch ch non sist un critrio ch prmtta di dcidr quali funzioni di F E hanno l primitiv in F E. La mancanza di un critrio ci rnd incrti in tal ricrca prché ci poniamo a ricrcar nlla famiglia F E l primitiv di una funzion f (dlla famiglia) snza sapr a-priori s sistano oppur no in ssa. S tali primitiv sistono in F E, si dic ch la funzion f (di F E ) è lmntarmnt intgrabil.

5 4.2 Tabll di intgrali fondamntali gnrali 7 La rlazion ch c è tra l oprazion di drivazion qulla di intgrazion indfinita consnt tuttavia di trovar subito du sottofamigli di F E costituit da funzioni lmntarmnt intgrabili. Vdiamo quali! 4.2 Funzioni lmntarmnt intgrabili, tablla dgli intgrali fondamntali tablla gnralizzata Data una funzion drivabil f avnt pr dominio un intrvallo I, sappiamo ch ssa è primitiva dlla sua funzion drivata f. Poiché tutt l primitiv di f si possono ottnr da f sommandol una costant arbitraria c, possiamo sprimr la gnrica di ss f () d scrivndo f () d = f() + c (4.2) La (4.2) consnt di concludr ch sicuramnt sono lmntarmnt intgrabili l funzioni drivat dll funzioni (drivabili) di F E avnti pr dominio un intrvallo I. Tnndo conto dlla (4.2) possiamo costruir a partir dalla tablla dll drivat fondamntali qust altra tablla ch prnd il nom di tablla dgli intgrali fondamntali.

6 72 Capitolo 4. Tcnich pr la ricrca di primitiv Tablla dgli intgrali fondamntali α d = α+ + c con α α + d = ln + c d = + c sin d = cos + c cos d = sin + c d = tan + c cos 2 sin 2 d = cotan + c d = arcsin + c 2 d = arctan + c + 2 sinh d = cosh + c cosh d = sinh + c cosh 2 d = tanh + c sinh 2 d = cotanh + c Vdiamo com si lgg tal tablla! In ciascuna dll uguaglianz ch la costituiscono compaiono du formul :

7 4.2 Tabll di intgrali fondamntali gnrali 73 l una a sinistra dl sgno = tra il simbolo d, l altra a dstra. La formula di sinistra rapprsnta la lgg d associazion dlla funzion intgranda mntr qulla di dstra, la lgg d associazion dlla gnrica primitiva di ssa. Poiché abbiamo dfinito l primitiv solo pr funzioni avnti pr dominio un intrvallo I, s la formula di sinistra dfinisc una funzion avnt pr dominio un insim A ch non è un intrvallo, è chiaro ch tal funzion non può ssr riguardata com funzion intgranda. Sarà invc funzion intgranda ogni rstrizion di ssa avnt pr dominio un intrvallo I. Chiariamo quanto abbiamo dtto con du smpi. Esmpio 4. Nll uguaglianza d = arcsin + c 2 la formula 2 rapprsnta la lgg d associazion f di una funzion avnt pr dominio A = (, ): f : y = f() = 2, A = (, ). (4.3) Poiché il dominio A è un intrvallo, tal funzion può ssr riguardata com una funzion intgranda la cui gnrica funzion primitiva è: F : y = F () = arcsin + c, A = (, ). (4.4) Ogni rstrizion dlla (4.3) avnt pr dominio un intrvallo I A è anch ssa una funzion intgranda la rstrizion dlla (4.4) avnt pr dominio lo stsso intrvallo I n è la gnrica primitiva. Esmpio 4.2 Nll uguaglianza d = log + c

8 74 Capitolo 4. Tcnich pr la ricrca di primitiv la formula rapprsnta la lgg d associazion f di una funzion avnt pr dominio A = (, 0) (0, + ): f : y = f() =, A = (, 0) (0, + ) (4.5) Poiché il dominio A non è un intrvallo, tal funzion non può ssr riguardata com una funzion intgranda. È invc da riguardar com funzion intgranda ogni rstrizion dlla (4.5) avnt pr dominio un intrvallo I: f : y = f() =, I A (4.6) F : y = F () = log + c, I A n è la gnrica primitiva. In particolar s fissiamo I = (0, 000), la funzion intgranda (4.6) divin: f : y = f() =, I = (0, 000) F : y = F () = log + c, I = (0, 000) è la gnrica primitiva di ssa. S fissiamo invc I = ( 300, 50), la funzion intgranda (4.6) divin: f : y = f() =, I = ( 300, 50) F : y = F () = log + c, I = ( 300, 50) n è la gnrica primitiva. L considrazioni svolt gli smpi saminati ci prmttono di concludr:

9 4.2 Tabll di intgrali fondamntali gnrali 75. la formula, ch compar nl primo mmbro di ogni uguaglianza dlla tablla, rapprsnta la lgg d associazion di infinit funzioni intgrand: una pr ogni sclta dll intrvallo I contnuto nl dominio natural dlla funzion dfinita dalla suddtta formula 2. Qulla, ch compar invc nl scondo mmbro, rapprsnta la lgg d associazion dlla gnrica primitiva corrispondnt alla funzion intgranda considrata. 2. l insim dll infinit funzioni intgrand, di cui abbiamo ora parlato, costituiscono la prima sottofamiglia di funzioni lmntarmnt intgrabili di F E. Una sconda sottofamiglia di funzioni lmntarmnt intgrabili di F E si può individuar tnndo prsnt la (4.2) la rgola di drivazion dll funzioni compost: (g f) () = (g[f()]) = g [f()] f () S infatti la funzion f, prima funzion componnt dlla funzion composta g f, ha la drivata f continua, dalla tablla dgli intgrali fondamntali possiamo ddurr qust altra tablla di primitiv, dtta tablla gnralizzata. 2 Data una formula quando si costruisc la funzion la cui lgg d associazion f è da ssa rapprsntata, si chiama dominio natural dlla funzion il più ampio dgli insimi ai cui lmnti, mdiant la formula data, è possibil attribuir l immagin.

10 76 Capitolo 4. Tcnich pr la ricrca di primitiv Tablla gnralizzata [f()] α f () d = [f()]α+ + c con α α + f() f () d = ln f() + c f() f () d = f() + c sin f() f () d = cos f() + c cos f() f () d = sin f() + c cos 2 f() f () d = tan f() + c sin 2 f() f () d = cotan f() + c f () d = arcsin f() + c [f()] 2 + [f()] 2 f () d = arctan f() + c sinh f() f () d = cosh f() + c cosh f() f () d = sinh f() + c cosh 2 f() f () d = tanh f() + c sinh 2 f() f () d = cotanh f() + c Circa la lttura dlla tablla gnralizzata val quanto abbiamo dt-

11 4.2 Tabll di intgrali fondamntali gnrali 77 to a proposito dlla tablla dgli intgrali fondamntali pr cui tutt l considrazioni dl caso l lasciamo allo Studnt. Ciò ch invc vogliamo ossrvar è ch s riguardiamo il prodotto formal f () d com il diffrnzial dlla funzion f rlativo al gnrico punto I scriviamo: df() = f () d, la tablla gnralizzata può ssr riscritta così: Tablla gnralizzata [f()] α df() = [f()]α+ + c con α α + df() = ln f() + c f() f() df() = f() + c sin f()df() = cos f() + c cos f()df() = sin f() + c df() = tan f() + c cos 2 f() sin 2 df() = cotan f() + c f() df() = arcsin f() + c [f()] 2 2 df() + [f()] = arctan f() + c sinh f()df() = cosh f() + c

12 78 Capitolo 4. Tcnich pr la ricrca di primitiv cosh f()df() = sinh f() + c cosh 2 df() f() = tanh f() + c sinh 2 df() f() = cotanh f() + c Confrontando la tablla gnralizzata scritta in qusto modo con la tablla dgli intgrali fondamntali, ci accorgiamo ch il ruolo ch in qusta ultima gioca la variabil, nlla tablla gnralizzata lo gioca f(). Qusta ossrvazion, oltr a giustificar il prché tal tablla sia stata chiamata tablla gnralizzata, ci risultrà comoda nl suo impigo. Ciò prmsso, possiamo intanto trarr la sgunt conclusion: Sicuramnt sono lmntarmnt intgrabili l funzioni dlla famiglia F E ch compaiono com funzioni intgrand nlla tablla dgli intgrali fondamntali oppur nlla tablla gnralizzata. Pr crcar nlla famiglia F E altr funzioni lmntarmnt intgrabili, illustriamo ora alcun tcnich not com: mtodo di intgrazion pr dcomposizion in somma mtodo di intgrazion pr parti mtodo di intgrazion pr sostituzion Tali mtodi sono basati sull proprità dll primitiv consistono nl ricondurr la ricrca in F E dll primitiv di una assgnata funzion di F E alla ricrca (smpr in F E ) dll primitiv di qualch altra funzion di F E sprando ch qust ultima appartnga ad una dll tabll sopra riportat. Vdiamo quali sono tali proprità! 4.3 Proprità dll primitiv Elnchiamo ora l proprità dll primitiv, tralasciandon, pr brvità, l facili dimostrazioni.

13 4.3 Proprità dll primitiv 79. S F è una primitiva di f, allora k F è una primitiva di k f, k R; in simboli: (k f)() d = k f() d = k f() d 2. Siano f f 2 du funzioni avnti pr dominio uno stsso intrvallo I dotat di primitiv. S F F 2 sono primitiv di ss allora F +F 2 F F 2 sono rispttivamnt primitiv di f + f 2 f f 2 ; in simboli: (f + f 2 )() d = [f () + f 2 ()] d = f () d + f 2 () d (f f 2 )() d = [f () f 2 ()] d = f () d f 2 () d Dall proprità suddtt sgu ch: s f, f 2,..., f n sono n funzioni dotat di primitiv d avnti pr dominio uno stsso intrvallo I, comunqu si fissino n numri c, c 2,..., c n, la funzion c f +c 2 f c n f n è anch ssa dotata di primitiv risulta: (c f + c 2 f c n f n )() d = = [c f () + c 2 f 2 () c n f n ()] d = = c f () d + c 2 f 2 () d c n f n () d (4.7) La funzion c f + c 2 f c n f n è dtta funzion combinazion linar dll funzioni f, f 2,..., f n. La (4.7) si sprim dicndo ch l oprazion di intgrazion indfinita god dlla proprità di linarità. 3. Siano f f 2 du funzioni avnti pr dominio uno stsso intrvallo I. S f è continua f 2 è drivabil con drivata continua, dtta F una primitiva di f, si ha: f () f 2 () d = F () f 2 () F () f 2() d (4.8)

14 80 Capitolo 4. Tcnich pr la ricrca di primitiv 4. Siano f una funzion continua avnt pr dominio un intrvallo I: f : y = f(), I ϕ una funzion drivabil con drivata continua avnt pr dominio un intrvallo J pr codominio I: ϕ : = ϕ(t), t J. S F è primitiva di f G è primitiva dlla funzion (f ϕ) ϕ, allora F ϕ = G. (4.9) S poi la funzion ϕ è anch invrtibil, dtta ϕ, la sua funzion invrsa allora si ha anch ch: S dnotiamo F ϕ con il simbolo [ ] f() d =ϕ(t) G ϕ con il simbolo [ ] f[ϕ(t)] ϕ (t) dt t=ϕ () F = G ϕ. (4.0) l (4.9) (4.0) divntano rispttivamnt: [ ] f() d = f[ϕ(t)] ϕ (t) dt (4.9 ) =ϕ(t) [ f() d = ] f[ϕ(t)] ϕ (t) dt t=ϕ (), (4.0 ) Prima di sporr i mtodi di intgrazion sopra dtti, prndiamo un po di familiarità con l uso dlla tablla gnralizzata.

15 4.4 Uso dlla tablla gnralizzata Uso dlla tablla gnralizzata Ossrvando la tablla gnralizzata ci rndiamo conto ch affinché ssa ci fornisca l primitiv di una data funzion (continua) f, qust ultima dv vrificar l sgunti condizioni:. dv potr ssr riguardata com prodotto di du funzioni f f 2 : f = f f 2 2. una dll du funzioni, ad smpio f, dv a sua volta ssr funzion composta da du funzioni ϕ ϕ 2 : di cui: f = ϕ 2 ϕ (4.) ϕ 2 dv comparir com funzion intgranda nlla tablla dgli intgrali fondamntali ϕ dv ssr drivabil la sua drivata ϕ dv ssr ugual a f 2 oppur diffrir da f 2 pr una costant moltiplicativa k 0: ϕ = k f 2 (4.2) S sono vrificat tali condizioni, la tablla gnralizzata risolv appunto il problma dlla ricrca dll primitiv dlla funzion f. La (4.2) ci consnt infatti di scrivr sotto il sgno d intgral k ϕ () in luogo di f 2 () quindi, tnuto conto dlla (4.), si ha: f() d = (f f 2 ) () d = f () f 2 () d = ( ) = (ϕ 2 ϕ ) () k ϕ () d = ( ) = ϕ 2 [ϕ ()] k ϕ () d = = pr la proprità. dll primitiv = = k ϕ 2 [ϕ ()] ϕ () d = k ϕ 2 [ϕ ()] dϕ ()

16 82 Capitolo 4. Tcnich pr la ricrca di primitiv prtanto, poiché la funzion ϕ 2 compar com funzion intgranda nlla tablla dgli intgrali fondamntali, siamo nlla tablla gnralizzata sconda vrsion. Sprimntiamo quanto abbiamo dtto su dgli smpi! Esmpio 4.3 Calcolar l intgral indfinito tan + 5 cos 2 d La funzion intgranda è: tan + 5 f : y = f() =, cos 2 I(intrvallo) A = { R : tan + 5 0; cos 0} può ssr riguardata com prodotto dll du funzioni: f : y = f () = tan + 5, I f 2 = y = f 2 () = cos 2, I di cui la f è a sua volta funzion composta dall funzioni: ϕ : u = ϕ () = tan + 5, I ϕ 2 : y = ϕ 2 (u) = u 2, ϕ (I) Poiché la funzion f è continua prché costruita a partir da funzioni continu, è dotata di (infinit) primitiv. Siccom la funzion ϕ 2 compar com funzion intgranda nlla tablla dgli intgrali fondamntali la funzion ϕ è drivabil risulta ϕ () = (tan + 5) = cos 2 = f 2(),

17 4.4 Uso dlla tablla gnralizzata 83 pr la ricrca dll primitiv possiamo utilizzar la tablla gnralizzata quindi si ha: tan + 5 d = (tan + 5) cos 2 2 cos 2 d = = (tan + 5) 2 (tan + 5) d = = (tan + 5) (tan + 5) d(tan + 5) = + + c = 2 = 2 3 (tan + 5) tan c. Esmpio 4.4 Calcolar l intgral indfinito + ln Ragionando com nll smpio prcdnt, si ha: + ln d = ( + ln ) 2 d = ( + ln ) 2 ( + ln ) = ( + ln ) 2 d( + ln ) = d d = = ( + ln ) c = 2 3 ( + ln ) + ln + c. Esmpio 4.5 Calcolar l intgral indfinito 3 2 d. La funzion intgranda è: f : y = f() = 3 2, I(intrvallo) A = (, + ) può ssr riguardata com prodotto dll du funzioni: f : y = f () =, I

18 84 Capitolo 4. Tcnich pr la ricrca di primitiv f 2 : y = f 2 () = 3 2, I di cui f 2 qusta volta, è funzion composta dall funzioni: ϕ : u = ϕ () = 2, I ϕ 2 : y = ϕ 2 (u) = u 3, u ϕ (I) Poiché la funzion f è continua, prché costruita a partir da funzioni continu, è dotata di (infinit) primitiv. Siccom la funzion ϕ 2 compar com funzion intgranda nlla tablla dgli intgrali fondamntali la funzion ϕ è drivabil risulta: ϕ () = ( 2 ) = 2 = 2 f (), sprimndo f pr mzzo di ϕ, cioè scrivndo sotto il sgno d intgral: f () = 2 ( 2 ) si ha: 3 2 d = [ 2 ] ( 2 ) ( 2 ) 3 d = = 2 ( 2 ) 3 ( 2 ) d = = 2 ( 2 ) 3 d( 2 ) = 2 ( 2 ) c = 3 = ( 2 ) c = = 3 8 ( 2 ) c quindi anch in qusto smpio la tablla gnralizzata ha risolto il nostro problma.

19 4.4 Uso dlla tablla gnralizzata 85 Esmpio 4.6 Calcolar l intgral indfinito 3 d. La funzion intgranda è: f : y = f() = 3 I(intrvallo) A = { R : 3 0} = (, 3) (3, + ) può ssr riguardata com prodotto dll du funzioni: f : y = f () = 3, I f 2 : y = f 2 () =, I di cui la f è a sua volta funzion composta dall funzioni: ϕ : u = ϕ () = 3, I ϕ 2 : y = ϕ 2 (u) = u, u ϕ (I). Poiché la funzion f è continua prché costruita a partir da funzioni continu, è dotata di (infinit) primitiv. Siccom la funzion ϕ 2 compar com funzion intgranda nlla tablla dgli intgrali fondamntali la funzion ϕ è drivabil risulta: ϕ () = ( 3) = = f 2 () si ha: 3 d = = 3 d = 3 ( 3) d = d( 3) = ln 3 + c. 3