Tecniche per la ricerca delle primitive delle funzioni continue
|
|
- Susanna Zani
- 8 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Capitolo 4 Tcnich pr la ricrca dll primitiv dll funzioni continu Nl paragrafo.7 abbiamo dato la dfinizion di primitiva di una funzion f avnt pr dominio un intrvallo I; abbiamo visto ch s F 0 è una primitiva di f allora è tal ogni altra funzion F dl tipo: F = F 0 + c, c R d abbiamo chiamato intgral indfinito dlla f, l insim dll su primitiv. Abbiamo dnotato con il simbolo f() d la sua gnrica primitiva F, cioè F 0 + c d abbiamo infin chiamato oprazion d intgrazion indfinita oppur calcolo dll intgral indfinito, l oprazion ch si sgu su di una data funzion f, dotata di primitiv, pr ottnr il suo intgral indfinito. Nl paragrafo 2. abbiamo dimostrato ch ogni funzion continua: f : y = f(), [a, b] (4.) 67
2 68 Capitolo 4. Tcnich pr la ricrca di primitiv è dotata di (infinit) primitiv ch qust ultim si possono ottnr tutt sommando una costant arbitraria c ad una sua funzion intgral. S com funzion intgral scgliamo qulla rlativa al punto 0 = a, si ha quindi: F : y = F () = a f(t) dt + c, [a, b]. (2.30) Nlla (2.30) la lgg d associazion dlla gnrica primitiva è rapprsntata da un intgral dfinito più una costant c pr cui pr conoscr una primitiva di f occorr conoscr il valor dll intgral dfinito stso ad un qualsiasi intrvallo [a, ] contnuto in [a, b] o coincidnt con sso. La lgg d associazion dlla gnrica primitiva, sprssa com nlla (2.30), non è di alcuna utilità pratica s vogliamo calcolar l intgral dfinito b a f() d srvndoci dl torma fondamntal dl calcolo intgral (torma 2.20). Si ha infatti: da cui: b a F (a) = F (b) = a a b a f(t) dt + c = 0 + c = c f(t) dt + c ( b f() d = F (b) F (a) = a ) b f(t) dt + c c = f(t) dt a quindi? Siamo al punto di partnza! Si pon allora il problma di rapprsntar la lgg d associazion dll primitiv dlla (4.) pr mzzo di una formula in cui non compaia l intgral dfinito: a f(t) dt con [a, b].
3 4. La famiglia F E 69 In qusto capitolo vogliamo illustrar alcun tcnich, utili allo scopo, comunmnt conosciut com mtodi d intgrazion indfinita. Cominciamo innanzitutto con il prcisar la famiglia di funzioni continu, avnti pr dominio un intrvallo, pr l quali vogliamo risolvr il problma posto. 4. La famiglia F E Ni libri dlla prsnt collana abbiamo incontrato vari funzioni rali di una variabil ral d abbiamo chiamato alcun di ss: funzioni lmntari. Tali funzioni sono continu d il loro dominio è o tutto R oppur un intrvallo I. A partir poi dall funzioni lmntari o rstrizioni di ss, mdiant l oprazioni di addizion, sottrazion, moltiplicazion, division, strazion di radic composizion, abbiamo costruito altr funzioni ch a loro volta possono ssr sottopost all oprazioni anzidtt pr costruir altr funzioni ancora. Dnotiamo con F E la famiglia costituita: dall funzioni lmntari dall funzioni costruit a partir da qull lmntari pr mzzo dll oprazioni sopra lncat. L funzioni dlla famiglia F E, indipndntmnt dal fatto ch siano funzioni lmntari o costruit a partir da ss, si chiamano funzioni sprimibili in trmini di funzioni lmntari. Ess hanno l sgunti carattristich:. il loro dominio A è: o tutto R o un intrvallo I Vdr il libro Limiti continuità, paragrafo 2.9.
4 70 Capitolo 4. Tcnich pr la ricrca di primitiv o un union di intrvalli tra loro disgiunti 2. sono continu prtanto l rstrizioni di ss avnti pr dominio un intrvallo I contnuto o coincidnt con A sono dotat di primitiv. 3. qull di ss ch sono drivabili hanno la funzion drivata appartnnt alla famiglia F E quindi l oprazion di drivazion trasforma funzioni drivabili di F E in funzioni di F E. Ci chidiamo ora: Pr l primitiv di una qualunqu funzion f di F E avnt pr dominio un intrvallo I, accad qualcosa di analogo a ciò ch accad pr la sua funzion drivata f, nl caso ch qust ultima sista? In altr parol: l primitiv di una qualunqu funzion f di F E avnt pr dominio un intrvallo I, appartngono anch ss a F E? Poiché si dimostra ch l funzioni, l cui lggi d associazion sono rapprsntat dall formul : y = 2 y = y = sin y = sin( 2 ) d i cui domini sono intrvalli I R, pur appartnndo a F E non hanno l primitiv in F E, concludiamo ch la risposta è in gnral ngativa. Diciamo anch ch non sist un critrio ch prmtta di dcidr quali funzioni di F E hanno l primitiv in F E. La mancanza di un critrio ci rnd incrti in tal ricrca prché ci poniamo a ricrcar nlla famiglia F E l primitiv di una funzion f (dlla famiglia) snza sapr a-priori s sistano oppur no in ssa. S tali primitiv sistono in F E, si dic ch la funzion f (di F E ) è lmntarmnt intgrabil.
5 4.2 Tabll di intgrali fondamntali gnrali 7 La rlazion ch c è tra l oprazion di drivazion qulla di intgrazion indfinita consnt tuttavia di trovar subito du sottofamigli di F E costituit da funzioni lmntarmnt intgrabili. Vdiamo quali! 4.2 Funzioni lmntarmnt intgrabili, tablla dgli intgrali fondamntali tablla gnralizzata Data una funzion drivabil f avnt pr dominio un intrvallo I, sappiamo ch ssa è primitiva dlla sua funzion drivata f. Poiché tutt l primitiv di f si possono ottnr da f sommandol una costant arbitraria c, possiamo sprimr la gnrica di ss f () d scrivndo f () d = f() + c (4.2) La (4.2) consnt di concludr ch sicuramnt sono lmntarmnt intgrabili l funzioni drivat dll funzioni (drivabili) di F E avnti pr dominio un intrvallo I. Tnndo conto dlla (4.2) possiamo costruir a partir dalla tablla dll drivat fondamntali qust altra tablla ch prnd il nom di tablla dgli intgrali fondamntali.
6 72 Capitolo 4. Tcnich pr la ricrca di primitiv Tablla dgli intgrali fondamntali α d = α+ + c con α α + d = ln + c d = + c sin d = cos + c cos d = sin + c d = tan + c cos 2 sin 2 d = cotan + c d = arcsin + c 2 d = arctan + c + 2 sinh d = cosh + c cosh d = sinh + c cosh 2 d = tanh + c sinh 2 d = cotanh + c Vdiamo com si lgg tal tablla! In ciascuna dll uguaglianz ch la costituiscono compaiono du formul :
7 4.2 Tabll di intgrali fondamntali gnrali 73 l una a sinistra dl sgno = tra il simbolo d, l altra a dstra. La formula di sinistra rapprsnta la lgg d associazion dlla funzion intgranda mntr qulla di dstra, la lgg d associazion dlla gnrica primitiva di ssa. Poiché abbiamo dfinito l primitiv solo pr funzioni avnti pr dominio un intrvallo I, s la formula di sinistra dfinisc una funzion avnt pr dominio un insim A ch non è un intrvallo, è chiaro ch tal funzion non può ssr riguardata com funzion intgranda. Sarà invc funzion intgranda ogni rstrizion di ssa avnt pr dominio un intrvallo I. Chiariamo quanto abbiamo dtto con du smpi. Esmpio 4. Nll uguaglianza d = arcsin + c 2 la formula 2 rapprsnta la lgg d associazion f di una funzion avnt pr dominio A = (, ): f : y = f() = 2, A = (, ). (4.3) Poiché il dominio A è un intrvallo, tal funzion può ssr riguardata com una funzion intgranda la cui gnrica funzion primitiva è: F : y = F () = arcsin + c, A = (, ). (4.4) Ogni rstrizion dlla (4.3) avnt pr dominio un intrvallo I A è anch ssa una funzion intgranda la rstrizion dlla (4.4) avnt pr dominio lo stsso intrvallo I n è la gnrica primitiva. Esmpio 4.2 Nll uguaglianza d = log + c
8 74 Capitolo 4. Tcnich pr la ricrca di primitiv la formula rapprsnta la lgg d associazion f di una funzion avnt pr dominio A = (, 0) (0, + ): f : y = f() =, A = (, 0) (0, + ) (4.5) Poiché il dominio A non è un intrvallo, tal funzion non può ssr riguardata com una funzion intgranda. È invc da riguardar com funzion intgranda ogni rstrizion dlla (4.5) avnt pr dominio un intrvallo I: f : y = f() =, I A (4.6) F : y = F () = log + c, I A n è la gnrica primitiva. In particolar s fissiamo I = (0, 000), la funzion intgranda (4.6) divin: f : y = f() =, I = (0, 000) F : y = F () = log + c, I = (0, 000) è la gnrica primitiva di ssa. S fissiamo invc I = ( 300, 50), la funzion intgranda (4.6) divin: f : y = f() =, I = ( 300, 50) F : y = F () = log + c, I = ( 300, 50) n è la gnrica primitiva. L considrazioni svolt gli smpi saminati ci prmttono di concludr:
9 4.2 Tabll di intgrali fondamntali gnrali 75. la formula, ch compar nl primo mmbro di ogni uguaglianza dlla tablla, rapprsnta la lgg d associazion di infinit funzioni intgrand: una pr ogni sclta dll intrvallo I contnuto nl dominio natural dlla funzion dfinita dalla suddtta formula 2. Qulla, ch compar invc nl scondo mmbro, rapprsnta la lgg d associazion dlla gnrica primitiva corrispondnt alla funzion intgranda considrata. 2. l insim dll infinit funzioni intgrand, di cui abbiamo ora parlato, costituiscono la prima sottofamiglia di funzioni lmntarmnt intgrabili di F E. Una sconda sottofamiglia di funzioni lmntarmnt intgrabili di F E si può individuar tnndo prsnt la (4.2) la rgola di drivazion dll funzioni compost: (g f) () = (g[f()]) = g [f()] f () S infatti la funzion f, prima funzion componnt dlla funzion composta g f, ha la drivata f continua, dalla tablla dgli intgrali fondamntali possiamo ddurr qust altra tablla di primitiv, dtta tablla gnralizzata. 2 Data una formula quando si costruisc la funzion la cui lgg d associazion f è da ssa rapprsntata, si chiama dominio natural dlla funzion il più ampio dgli insimi ai cui lmnti, mdiant la formula data, è possibil attribuir l immagin.
10 76 Capitolo 4. Tcnich pr la ricrca di primitiv Tablla gnralizzata [f()] α f () d = [f()]α+ + c con α α + f() f () d = ln f() + c f() f () d = f() + c sin f() f () d = cos f() + c cos f() f () d = sin f() + c cos 2 f() f () d = tan f() + c sin 2 f() f () d = cotan f() + c f () d = arcsin f() + c [f()] 2 + [f()] 2 f () d = arctan f() + c sinh f() f () d = cosh f() + c cosh f() f () d = sinh f() + c cosh 2 f() f () d = tanh f() + c sinh 2 f() f () d = cotanh f() + c Circa la lttura dlla tablla gnralizzata val quanto abbiamo dt-
11 4.2 Tabll di intgrali fondamntali gnrali 77 to a proposito dlla tablla dgli intgrali fondamntali pr cui tutt l considrazioni dl caso l lasciamo allo Studnt. Ciò ch invc vogliamo ossrvar è ch s riguardiamo il prodotto formal f () d com il diffrnzial dlla funzion f rlativo al gnrico punto I scriviamo: df() = f () d, la tablla gnralizzata può ssr riscritta così: Tablla gnralizzata [f()] α df() = [f()]α+ + c con α α + df() = ln f() + c f() f() df() = f() + c sin f()df() = cos f() + c cos f()df() = sin f() + c df() = tan f() + c cos 2 f() sin 2 df() = cotan f() + c f() df() = arcsin f() + c [f()] 2 2 df() + [f()] = arctan f() + c sinh f()df() = cosh f() + c
12 78 Capitolo 4. Tcnich pr la ricrca di primitiv cosh f()df() = sinh f() + c cosh 2 df() f() = tanh f() + c sinh 2 df() f() = cotanh f() + c Confrontando la tablla gnralizzata scritta in qusto modo con la tablla dgli intgrali fondamntali, ci accorgiamo ch il ruolo ch in qusta ultima gioca la variabil, nlla tablla gnralizzata lo gioca f(). Qusta ossrvazion, oltr a giustificar il prché tal tablla sia stata chiamata tablla gnralizzata, ci risultrà comoda nl suo impigo. Ciò prmsso, possiamo intanto trarr la sgunt conclusion: Sicuramnt sono lmntarmnt intgrabili l funzioni dlla famiglia F E ch compaiono com funzioni intgrand nlla tablla dgli intgrali fondamntali oppur nlla tablla gnralizzata. Pr crcar nlla famiglia F E altr funzioni lmntarmnt intgrabili, illustriamo ora alcun tcnich not com: mtodo di intgrazion pr dcomposizion in somma mtodo di intgrazion pr parti mtodo di intgrazion pr sostituzion Tali mtodi sono basati sull proprità dll primitiv consistono nl ricondurr la ricrca in F E dll primitiv di una assgnata funzion di F E alla ricrca (smpr in F E ) dll primitiv di qualch altra funzion di F E sprando ch qust ultima appartnga ad una dll tabll sopra riportat. Vdiamo quali sono tali proprità! 4.3 Proprità dll primitiv Elnchiamo ora l proprità dll primitiv, tralasciandon, pr brvità, l facili dimostrazioni.
13 4.3 Proprità dll primitiv 79. S F è una primitiva di f, allora k F è una primitiva di k f, k R; in simboli: (k f)() d = k f() d = k f() d 2. Siano f f 2 du funzioni avnti pr dominio uno stsso intrvallo I dotat di primitiv. S F F 2 sono primitiv di ss allora F +F 2 F F 2 sono rispttivamnt primitiv di f + f 2 f f 2 ; in simboli: (f + f 2 )() d = [f () + f 2 ()] d = f () d + f 2 () d (f f 2 )() d = [f () f 2 ()] d = f () d f 2 () d Dall proprità suddtt sgu ch: s f, f 2,..., f n sono n funzioni dotat di primitiv d avnti pr dominio uno stsso intrvallo I, comunqu si fissino n numri c, c 2,..., c n, la funzion c f +c 2 f c n f n è anch ssa dotata di primitiv risulta: (c f + c 2 f c n f n )() d = = [c f () + c 2 f 2 () c n f n ()] d = = c f () d + c 2 f 2 () d c n f n () d (4.7) La funzion c f + c 2 f c n f n è dtta funzion combinazion linar dll funzioni f, f 2,..., f n. La (4.7) si sprim dicndo ch l oprazion di intgrazion indfinita god dlla proprità di linarità. 3. Siano f f 2 du funzioni avnti pr dominio uno stsso intrvallo I. S f è continua f 2 è drivabil con drivata continua, dtta F una primitiva di f, si ha: f () f 2 () d = F () f 2 () F () f 2() d (4.8)
14 80 Capitolo 4. Tcnich pr la ricrca di primitiv 4. Siano f una funzion continua avnt pr dominio un intrvallo I: f : y = f(), I ϕ una funzion drivabil con drivata continua avnt pr dominio un intrvallo J pr codominio I: ϕ : = ϕ(t), t J. S F è primitiva di f G è primitiva dlla funzion (f ϕ) ϕ, allora F ϕ = G. (4.9) S poi la funzion ϕ è anch invrtibil, dtta ϕ, la sua funzion invrsa allora si ha anch ch: S dnotiamo F ϕ con il simbolo [ ] f() d =ϕ(t) G ϕ con il simbolo [ ] f[ϕ(t)] ϕ (t) dt t=ϕ () F = G ϕ. (4.0) l (4.9) (4.0) divntano rispttivamnt: [ ] f() d = f[ϕ(t)] ϕ (t) dt (4.9 ) =ϕ(t) [ f() d = ] f[ϕ(t)] ϕ (t) dt t=ϕ (), (4.0 ) Prima di sporr i mtodi di intgrazion sopra dtti, prndiamo un po di familiarità con l uso dlla tablla gnralizzata.
15 4.4 Uso dlla tablla gnralizzata Uso dlla tablla gnralizzata Ossrvando la tablla gnralizzata ci rndiamo conto ch affinché ssa ci fornisca l primitiv di una data funzion (continua) f, qust ultima dv vrificar l sgunti condizioni:. dv potr ssr riguardata com prodotto di du funzioni f f 2 : f = f f 2 2. una dll du funzioni, ad smpio f, dv a sua volta ssr funzion composta da du funzioni ϕ ϕ 2 : di cui: f = ϕ 2 ϕ (4.) ϕ 2 dv comparir com funzion intgranda nlla tablla dgli intgrali fondamntali ϕ dv ssr drivabil la sua drivata ϕ dv ssr ugual a f 2 oppur diffrir da f 2 pr una costant moltiplicativa k 0: ϕ = k f 2 (4.2) S sono vrificat tali condizioni, la tablla gnralizzata risolv appunto il problma dlla ricrca dll primitiv dlla funzion f. La (4.2) ci consnt infatti di scrivr sotto il sgno d intgral k ϕ () in luogo di f 2 () quindi, tnuto conto dlla (4.), si ha: f() d = (f f 2 ) () d = f () f 2 () d = ( ) = (ϕ 2 ϕ ) () k ϕ () d = ( ) = ϕ 2 [ϕ ()] k ϕ () d = = pr la proprità. dll primitiv = = k ϕ 2 [ϕ ()] ϕ () d = k ϕ 2 [ϕ ()] dϕ ()
16 82 Capitolo 4. Tcnich pr la ricrca di primitiv prtanto, poiché la funzion ϕ 2 compar com funzion intgranda nlla tablla dgli intgrali fondamntali, siamo nlla tablla gnralizzata sconda vrsion. Sprimntiamo quanto abbiamo dtto su dgli smpi! Esmpio 4.3 Calcolar l intgral indfinito tan + 5 cos 2 d La funzion intgranda è: tan + 5 f : y = f() =, cos 2 I(intrvallo) A = { R : tan + 5 0; cos 0} può ssr riguardata com prodotto dll du funzioni: f : y = f () = tan + 5, I f 2 = y = f 2 () = cos 2, I di cui la f è a sua volta funzion composta dall funzioni: ϕ : u = ϕ () = tan + 5, I ϕ 2 : y = ϕ 2 (u) = u 2, ϕ (I) Poiché la funzion f è continua prché costruita a partir da funzioni continu, è dotata di (infinit) primitiv. Siccom la funzion ϕ 2 compar com funzion intgranda nlla tablla dgli intgrali fondamntali la funzion ϕ è drivabil risulta ϕ () = (tan + 5) = cos 2 = f 2(),
17 4.4 Uso dlla tablla gnralizzata 83 pr la ricrca dll primitiv possiamo utilizzar la tablla gnralizzata quindi si ha: tan + 5 d = (tan + 5) cos 2 2 cos 2 d = = (tan + 5) 2 (tan + 5) d = = (tan + 5) (tan + 5) d(tan + 5) = + + c = 2 = 2 3 (tan + 5) tan c. Esmpio 4.4 Calcolar l intgral indfinito + ln Ragionando com nll smpio prcdnt, si ha: + ln d = ( + ln ) 2 d = ( + ln ) 2 ( + ln ) = ( + ln ) 2 d( + ln ) = d d = = ( + ln ) c = 2 3 ( + ln ) + ln + c. Esmpio 4.5 Calcolar l intgral indfinito 3 2 d. La funzion intgranda è: f : y = f() = 3 2, I(intrvallo) A = (, + ) può ssr riguardata com prodotto dll du funzioni: f : y = f () =, I
18 84 Capitolo 4. Tcnich pr la ricrca di primitiv f 2 : y = f 2 () = 3 2, I di cui f 2 qusta volta, è funzion composta dall funzioni: ϕ : u = ϕ () = 2, I ϕ 2 : y = ϕ 2 (u) = u 3, u ϕ (I) Poiché la funzion f è continua, prché costruita a partir da funzioni continu, è dotata di (infinit) primitiv. Siccom la funzion ϕ 2 compar com funzion intgranda nlla tablla dgli intgrali fondamntali la funzion ϕ è drivabil risulta: ϕ () = ( 2 ) = 2 = 2 f (), sprimndo f pr mzzo di ϕ, cioè scrivndo sotto il sgno d intgral: f () = 2 ( 2 ) si ha: 3 2 d = [ 2 ] ( 2 ) ( 2 ) 3 d = = 2 ( 2 ) 3 ( 2 ) d = = 2 ( 2 ) 3 d( 2 ) = 2 ( 2 ) c = 3 = ( 2 ) c = = 3 8 ( 2 ) c quindi anch in qusto smpio la tablla gnralizzata ha risolto il nostro problma.
19 4.4 Uso dlla tablla gnralizzata 85 Esmpio 4.6 Calcolar l intgral indfinito 3 d. La funzion intgranda è: f : y = f() = 3 I(intrvallo) A = { R : 3 0} = (, 3) (3, + ) può ssr riguardata com prodotto dll du funzioni: f : y = f () = 3, I f 2 : y = f 2 () =, I di cui la f è a sua volta funzion composta dall funzioni: ϕ : u = ϕ () = 3, I ϕ 2 : y = ϕ 2 (u) = u, u ϕ (I). Poiché la funzion f è continua prché costruita a partir da funzioni continu, è dotata di (infinit) primitiv. Siccom la funzion ϕ 2 compar com funzion intgranda nlla tablla dgli intgrali fondamntali la funzion ϕ è drivabil risulta: ϕ () = ( 3) = = f 2 () si ha: 3 d = = 3 d = 3 ( 3) d = d( 3) = ln 3 + c. 3
Teoria dell integrazione secondo Riemann per funzioni. reali di una variabile reale.
Capitolo 2 Toria dll intgrazion scondo Rimann pr funzioni rali di una variabil ral Esistono vari tori dll intgrazion; tutt hanno com comun antnato il mtodo di saustion utilizzato dai Grci pr calcolar l
DettagliPROGRAMMA DI RIPASSO ESTIVO
ISTITUTO TECNICO PER IL TURISMO EUROSCUOLA ISTITUTO TECNICO PER GEOMETRI BIANCHI SCUOLE PARITARIE PROGRAMMA DI RIPASSO ESTIVO CLASSI MATERIA PROF. QUARTA TURISMO Matmatica Andra Brnsco Làvor ANNO SCOLASTICO
DettagliESERCIZI PARTE I SOLUZIONI
UNIVR Facoltà di Economia Corso di Matmatica finanziaria 008/09 ESERCIZI PARTE I SOLUZIONI Domini di funzioni di du variabili Esrcizio a f, = log +. L unica condizion di sistnza è data dalla disquazion
Dettagli1 Derivate parziali 1. 2 Regole di derivazione 5. 3 Derivabilità e continuità 7. 4 Differenziabilità 7. 5 Derivate seconde e teorema di Schwarz 8
UNIVR Facoltà di Economia Sd di Vicnza Corso di Matmatica Drivat dll funzioni di più variabili Indic Drivat parziali Rgol di drivazion 5 3 Drivabilità continuità 7 4 Diffrnziabilità 7 5 Drivat scond torma
Dettagli0 < a < 1 a > 1. In entrambi i casi la funzione y = a x si può studiare per punti e constatare che essa presenta i seguenti andamenti y.
INTRODUZIONE Ossrviamo, in primo luogo, ch l funzioni sponnziali sono dlla forma a con a costant positiva divrsa da (il caso a è banal pr cui non sarà oggtto dl nostro studio). Si possono allora vrificar
Dettagli1 Il concetto di funzione 1. 2 Funzione composta 4. 3 Funzione inversa 6. 4 Restrizione e prolungamento di una funzione 8
UNIVR Facoltà di Economia Sd di Vicnza Corso di Matmatica 1 Funzioni Indic 1 Il conctto di funzion 1 Funzion composta 4 3 Funzion invrsa 6 4 Rstrizion prolungamnto di una funzion 8 5 Soluzioni dgli srcizi
DettagliEsercizio 1. Cov(X,Y)=E(X,Y)- E(X)E(Y).
Esrcizi di conomtria: sri 4 Esrcizio Siano, Z variabili casuali distribuit scondo la lgg multinomial di paramtri n, p, p, p p p.. Calcolar la Covarianza tra l variabili d. Soluzion Dat du variabili dinit
DettagliUlteriori esercizi svolti
Ultriori srcizi svolti Effttuar uno studio qualitativo dll sgunti funzioni ) 4 f ( ) ) ( + ) f ( ) + 3) f ( ) con particolar rifrimnto ai sgunti asptti: a) trova il dominio di f b) indica quali sono gli
DettagliEsercizi sullo studio di funzione
Esrcizi sullo studio di funzion Prima part Pr potr dscrivr una curva, data la sua quazion cartsiana splicita f () occorr procdr scondo l ordin sgunt: 1) Dtrminar l insim di sistnza dlla f () ) Dtrminar
DettagliFunzioni lineari e affini. Funzioni lineari e affini /2
Funzioni linari aini In du variabili l unzioni linari sono dl tipo a b l unzioni aini sono dl tipo a b c Il graico di una unzion linar è un piano passant pr l origin il graico di una unzion ain è un piano.
Dettagli11 Funzioni iperboliche
11 Funzioni iprbolich 11.1 L funzioni iprbolich: dfinizioni grafici L funzioni iprbolich sono particolari combinazioni di di. Hanno numros applicazioni nl campo dll inggnria si prsntano in modo dl tutto
DettagliCorso di Laurea in Economia Matematica per le applicazioni economiche e finanziarie. Esercizi 4
Corso di Laura in Economia Matmatica pr l applicazioni conomich finanziari Esrcizi 4 Vrificar s l sgunti funzioni, nll intrvallo chiuso indicato, soddisfano l ipotsi dl torma di Roll, in caso affrmativo,
DettagliEsercitazione di AM120
Univrsità dgli Studi Roma Tr - Corso di Laura in Matmatica Esrcitazion di AM0 A.A. 07 08 - Esrcitator: Luca Battaglia Soluzioni dll srcitazion dl 6 7 Marzo 08 Argomnto: Drivat. Dimostrar, utilizzando la
DettagliESERCIZI SULLA DEMODULAZIONE INCOERENTE
Esrcitazioni dl corso di trasmissioni numrich - Lzion 4 6 Fbbraio 8 ESERCIZI SULLA DEMODULAZIONE INCOERENE I du sgnali passa basso di figura sono utilizzati pr la trasmission di simboli binari quiprobabili
DettagliR k = I k +Q k. Q k = D k-1 - D k
1 AMMORTAMENTO AMMORTAMENTO Dbito inizial D 0 si volv (al tasso fisso t) D k = D k-1 (1+t) R k [D k dbito (rsiduo) al tmpo k, R k pagamnto al tmpo k ] Condizioni [D n =0 : stinzion dl dbito in n priodi
DettagliPRIMI ESERCIZI SULLE FUNZIONI DERIVABILI. (1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni:
PRIMI ESERCIZI SULLE FUNZIONI DERIVABILI VALENTINA CASARINO Esrcizi pr il corso di Analisi Matmatica (Inggnria Gstional, dll Innovazion dl Prodotto, Mccanica Mccatronica, Univrsità dgli studi di Padova)
DettagliStudio di funzione. R.Argiolas
Studio di unzion R.Argiolas Introduzion Prsntiamo lo studio dl graico di alcun unzioni svolt durant l srcitazioni dl corso di analisi matmatica I assgnat nll prov scritt. Ringrazio anticipatamnt tutti
Dettagli= l. x 0. In realtà può aversi una casistica più amplia potendo sia x che f ( x) tendere ad un elemento dell insieme
LIMITI DI FUNZINI. CNCETT DI LIMITE Esula dallo scopo di qusto libro la trattazion dlla toria sui iti. Tuttavia, pnsando di far cosa gradita allo studnt, ch dv possdr qusta nozion com background, ritniamo
DettagliAppunti sulle disequazioni frazionarie
ppunti sull disquazioni frazionari Sono utili l sgunti dfinizioni Una disquazion fratta o frazionaria è una disquazion nlla qual l incognita compar in qualch suo dnominator. Una disquazion razional è una
DettagliLa forma generale di una disequazione di primo grado è la seguente: ax + b > 0 ( o ax + b < 0) con a e b numeri reali. b se a > 0 a.
Disquazioni di I grado La forma gnral di una disquazion di primo grado è la sgunt: a + b > o a + b < con a b numri rali. La soluzion dlla disquazion si ottin dai sgunti passaggi: a + b > a > b > < b s
DettagliTest di autovalutazione
UNITÀ FUNZINI E LR RAPPRESENTAZINE Tst di autovalutazion 0 0 0 0 0 50 60 70 80 90 00 n Il mio puntggio, in cntsimi, è n Rispondi a ogni qusito sgnando una sola dll 5 altrnativ. n Confronta l tu rispost
DettagliINTEGRALI DOPPI Esercizi svolti
INTEGRLI OPPI Esrcizi svolti. Calcolar i sgunti intgrali doppi: a b c d f g h i j k y d dy, {, y :, y }; d dy, {, y :, y }; + y + y d dy, {, y :, y }; y d dy, {, y :, y }; y d dy, {, y :, y + }; + y d
DettagliFUNZIONI IMPLICITE E MOLTIPLICATORI DI LAGRANGE
FUNZIONI IMPLICITE E MOLTIPLICATORI DI LAGRANGE Indic 1. Funzioni implicit 1. Ottimizzazion vincolata. Esrcizi 4.1. Funzioni implicit 4.. Ottimizzazion vincolata 6 1. Funzioni implicit Ricordiamo ch s
DettagliEQUAZIONI DIFFERENZIALI. Saper integrare equazioni differenziali del primo ordine lineari e a variabili separabili.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI OBIETTIVI MINIMI Sapr riconoscr classificar l quazioni diffrnziali. Sapr intgrar quazioni diffrnziali dl primo ordin linari a variabili sparabili. Sapr intgrar quazioni diffrnziali
DettagliQuesito 8. x + 2x 1 (ln (8 + 2 x ) ln(4 + 2 x )) è uguale a: A 2 B 1 4. Quesito 9.
Qusito 8. orso di ln 8 + ) ln + )) Analisi Matmatica I inggnria, lttr: KAA-MAZ docnt:. allgari Prova simulata n. A.A. 8- Ottobr 8. Introduzion Qui di sguito ho riportato tsti, svolgimnti dlla simulazion
DettagliLezione 5. Analisi a tempo discreto di sistemi ibridi. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 5 1
Lzion 5. nalisi a tmpo discrto di sistmi ibridi F. Prvidi - Controlli utomatici - Lz. 5 Schma dlla lzion. Introduzion 2. nalisi a tmpo discrto di sistmi ibridi 3. utovalori di un sistma a sgnali campionati
DettagliMatematica per l Economia (A-K) e Matematica Generale 10 novembre 2016 (prof. Bisceglia) traccia A
Matmatica pr l Economia (A-K) Matmatica Gnral novmbr (pro. Biscglia) traccia A. Calcolar una primitiva P dlla unzion p scrivr l quazion dlla rtta tangnt a P in calcolar la distanza dlla rtta tangnt dall
Dettaglilim β α e detto infinitesimo una qualsiasi quantita tendente a zero quando una dati due infinitesimi α e β non esiste
Infinitsimi dtto infinitsimo una qualsiasi quantita tndnt a zro quando una opportuna variabil tnd ad assumr un dtrminato valor dati du infinitsimi α β α β non sono paragonabili tra loro s il lim β α non
DettagliTeoria. Tale retta limite non sempre esiste. Si veda il grafico sottostante. Matematica 1
LA ERVATA UNA FUNZONE Toria l problma dlla tangnt Uno di problmi classici c portano al conctto di drivata è qullo dlla dtrminazion dlla rtta tangnt a una curva in un punto. La tangnt ad una circonfrnza
Dettagliz 2 9 = 0 4z 2 12iz 10 i = 0 z = 3i + 4 2e i 9 8 π 2 Im f 1 = ] 2, 1] [4, 7] Im f 2 = [0, 25].
Politcnico di Bari L3 in Inggnria Elttronica Esam di Analisi Matmatica I A.A. 008/009-0 fbbraio 009. Dtrminar i numri complssi z ch soddisfano l quazion ( z 9) (z iz 0 i ) = 0. I numri conplssi ch soddisfano
DettagliTeorema (seconda condizione sufficiente per i campi conservativi piani): Sia F ( x, y)
Campi Vttoriali Form iffrnziali-sconda Part Torma (sconda condizion sufficint pr i campi consrvativi piani): Sia F (, y) un campo vttorial piano dfinito in un aprto A di R, si supponga ultriormnt = y ;
Dettagliy = ln x ln x x x Studiare e disegnare il grafico delle seguenti funzioni Esercizio no.1 Soluzione a pag.2 Esercizio no.2 Soluzione a pag.
Edutcnica.it Studio di funzioni Studiar disgnar il grafico dll sgunti funzioni Esrcizio no. Soluzion a pag. Esrcizio no. Soluzion a pag. atg Esrcizio no. Soluzion a pag. Esrcizio no. Soluzion a pag.9 ln
DettagliAnalisi Matematica I Soluzioni tutorato 8
Corso di laura in Fisica - Anno Accadmico 7/8 Analisi Matmatica I Soluzioni tutorato 8 A cura di David Macra Esrcizio (i) abbiamo ch R( i) I( i), quindi inoltr,dividndo pr il modulo i (R( i)) + (I( i))
DettagliSTABILITÀ DELLE SOLUZIONI DI EQUILIBRIO DI UN EQUAZIONE DIFFERENZIALE
STABILITÀ DELLE SOLUZIONI DI EQUILIBRIO DI UN EQUAZIONE DIFFERENZIALE Ni paragrafi prcdnti abbiamo dtrminato, pr l vari quazioni diffrnziali saminat, l soluzioni di quilibrio dl modllo. In qusto paragrafo,
DettagliCONOSCENZE. 1. La derivata di una funzione y = f (x)
ESAME D STATO ESEMP D QUEST D MATEMATCA PER LA TERZA PROVA CONOSCENZE. La drivata di una funzion y f (), in un punto intrno al suo dominio, : il it, s sist d è finito, dl rapporto incrmntal pr h, f ( h)
DettagliSvolgimento di alcuni esercizi
Svolgimnto di alcuni srcizi Si ha ch dal momnto ch / tnd a pr ch tnd a (la frazion formata da un numro, in qusto caso il numro, fratto una quantità ch tnd a ±, in qusto caso, tnd smpr a ) S facciamo tndr
DettagliNOME:... MATRICOLA:... Corso di Laurea in Fisica, A.A. 2010/2011 Calcolo 1, Esame scritto del
NOME:... MATRICOLA:.... Corso di Laura in Fisica, A.A. 00/0 Calcolo, Esam scritto dl 3.0.0 Data la funzion f(x = x +x, a dtrminar il dominio (massimal di f ; b trovar tutti gli asintoti di f ; c trovar
DettagliDistribuzione gaussiana
Appunti di Misur Elttric Distribuion gaussiana Funion dnsità di probabilità di Gauss... Calcolo dlla distribuion cumulativa pr una variabil di Gauss... Funion dnsità di probabilità congiunta...6 Funion
DettagliEquazioni differenziali ordinarie
4/11/015 Equazioni diffrnziali ordinari Equazioni diffrnziali ordinari Equazioni diffrnziali dl 1 ordin a variabili sparabili, Equazioni diffrnziali linari dl 1 ordin Equazioni diffrnziali dl 1 ordin non
DettagliMatematica per l Economia (A-K) e Matematica Generale 06 febbraio 2019 (prof. Bisceglia) Traccia A
Matmatica pr l Economia (A-K) Matmatica Gnral 6 fbbraio 9 (prof Biscglia) Traccia A Trovar, s possibil un punto di approssimazion con un rror nll intrvallo, Dopo avrn accrtata l sistnza, calcolar il sgunt
DettagliSi chiama equazione differenziale ordinaria di ordine n in un intervallo I qualunque espressione del tipo
EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE Si hiama quazion diffrnzial ordinaria di ordin n in un intrvallo I qualunqu sprssion dl tipo n F,,,,, 0 pr ogni I F è dunqu una funzion di n variabili l sono l drivat
DettagliComplementi sulle applicazioni della trasformata di Fourier alla risoluzione di problemi per equazioni a derivate parziali
Complmnti sull applicazioni dlla trasformata di ourir alla risoluzion di prolmi pr quazioni a drivat parziali Marco Bramanti March, 00 Nll applicazioni all quazioni a drivat parziali, spsso una funzion
DettagliCircolare n. 1 Prot. n. 758 Roma 29/01/2015
Ministro dll Istruzion, dll Univrsità dlla Ricrca Dipartimnto pr il sistma ducativo di istruzion formazion Dirzion Gnral pr gli ordinamnti scolastici la valutazion dl sistma nazional di istruzion Circolar
DettagliMETODO DEGLI ELEMENTI FINITI
Dal libro di tsto Zinkiwicz Taylor, Capitolo 14 pag. 398 Il mtodo dgli lmnti finiti fornisc una soluzion approssimata dl problma lastico; tal approssimazion driva non dall avr discrtizzato il dominio in
Dettaglilim x 3 lim Servendosi della definizione, verifica l esattezza dei limiti seguenti Esercizio no.1 Esercizio no.2 Esercizio no.3 Esercizio no.
Edutcnica.it Dfinizion di it Srvndosi dlla dfinizion, vrifica l sattzza di iti sgunti Esrcizio no. Soluzion a pag. ( ) Esrcizio no. Soluzion a pag. Esrcizio no. Soluzion a pag. ( ) Esrcizio no. Soluzion
DettagliRisoluzione dei problemi
Risoluzion di problmi a) f rapprsnta un fascio di funzioni omografich, al variar dl paramtro a in R, s si vrifica la condizion: a$ (- a) +! 0 " a!! S a!! il grafico rapprsnta iprboli quilatr di asintoti
DettagliMatematica per l Economia (A-K) e Matematica Generale 10 gennaio 2018 (prof. Bisceglia) Traccia F. log 1,1
Matmatica pr l Economia (A-K) Matmatica Gnral gnnaio 8 (pro. Biscglia) Traccia F. Dtrminar, s possibil, un punto di approssimazion con un rror, dll quazion 5, nll intrvallo,.. Calcolar, s possibil, il
DettagliIV-3 Derivate delle funzioni di più variabili
DERIVATE PARZIALI IV-3 Drivat dll funzioni di più variabili Indic Drivat parziali Rgol di drivazion 5 3 Drivabilità continuità 7 4 Diffrnziabilità 7 5 Drivat scond torma di Schwarz 8 6 Soluzioni dgli srcizi
DettagliINGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE ESERCITAZIONI DI ANALISI C SETTIMANA 10 TEOREMA DI RIDUZIONE DEGLI INTEGRALI IN DUE DIMENSIONI
TORMA I RIUZION GLI INTGRALI IN U IMNSIONI S è misurabil f : è limitata continua, valgono l sgunti proprità: s A è un dominio normal risptto all ass, cioè,, con continu A a b pr ogni a, b, allora la funzion
DettagliUnità didattica: Grafici deducibili
Unità didattica: Grafici dducibili Dstinatari: Allivi di una quarta lico scintifico PNI tal ud è insrita nllo studio dll funzioni rali di variabil ral. Programmi ministriali dl PNI: Dal Tma n 3 funzioni
DettagliApplicazioni dell integrazione matematica
Applicazioni dll intgrazion matmatica calcolo dlla biodisponibilità di un farmaco Prof. Carlo Albrini Indic Indic 1 Elnco dll figur 1 1 Prliminari 1 Intrprtazion matmatica dl problma 3 Elnco dll figur
DettagliEQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti. y = xy. y(2) = 1.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti 1. Determinare la soluzione dell equazione differenziale (x 2 + 1)y + y 2 =. y + x tan y = 2. Risolvere il problema di Cauchy y() = 1 2 π. 3. Risolvere il problema
DettagliFunzioni. Parte prima. Daniele Serra
Funzioni Parte prima Daniele Serra Nota: questi appunti non sostituiscono in alcun modo le lezioni del prof. Favilli, né alcun libro di testo. Sono piuttosto da intendersi a integrazione di entrambi. 1
DettagliSUL MODELLO DI BLACK-SHOLES
SUL MODELLO DI BLACK-SHOLES LUCA LUSSARDI 1. La dinamica di Black-Schols Il modllo di Black-Schols pr i mrcati finanziari assum com ipotsi fondamntal ch i przzi di bni finanziari sguano una bn dtrminata
DettagliPRIMA PROVA PARZIALE DI COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA
PRIMA PROVA PARZIALE DI COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA Prof F Frrari Corso di Laura Spcialistica in Inggnria Chimica di procsso Corso di Laura Spcialistica in Inggnria pr l Ambint dll Risors CognomNomMatCdL
DettagliLa Formazione in Bilancio delle Unità Previsionali di Base
La Formazion in Bilancio dll Unità Prvisionali di Bas Con la Lgg 3 april 1997, n. 94 sono stat introdott l Unità Prvisionali di Bas (di sguito anch solo UPB), ch rapprsntano un di aggrgazion di capitoli
DettagliPREMIO EQUO E PREMIO NETTO. Prof. Cerchiara Rocco Roberto. Materiale e Riferimenti
PREMIO EQUO E PREMIO NETTO Prof. Crchiara Rocco Robrto Matrial Rifrimnti. Capitolo dl tsto Tcnica attuarial dll assicurazioni contro i Danni (Daboni 993) pagg. 5-6 6-65. Lucidi distribuiti in aula La toria
DettagliINDICE. Studio di funzione. Scaricabile su: TEORIA. Campo di esistenza. Intersezione con gli assi
P r o f. Gu i d of r a n c h i n i Antprima Antprima Antprima www. l z i o n i. j i md o. c o m Scaricabil su: http://lzioni.jimdo.com/ Studio di funzion INDICE TEORIA Campo di sistnza Intrszion con gli
DettagliUniversità di Pisa - Corso di Laurea in Informatica Analisi Matematica A. Pisa, 12 febbraio 2018
Univrsità di Pisa - Corso di Laura in Informatica Analisi Matmatica A Pisa, fbbraio 08 omanda A C log + 0 + = C omanda La funzion f : 0, + R dfinita da f = + A ha minimo ma non ha massimo è itata ma non
DettagliFunzioni Continue. se (e solo se) 0
: A R R A ' Funzioni Continu La unzion si dic continua in ( ( s ( solo s A N sguono tr proprità ainché ( sia continua in :. Dvono sistr initi il it dstro sinistro di ( in. Tali iti dvono ssr uguali tra
DettagliAnno 3. Funzioni: dominio, codominio e campo di esistenza
Anno 3 Funzioni: dominio, codominio e campo di esistenza 1 Introduzione In questa lezione parleremo delle funzioni. Ne daremo una definizione e impareremo a studiarne il dominio in relazione alle diverse
DettagliY557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO
Y557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO PIANO NAZIONALE DI INFORMATICA CORSO SPERIMENTALE Tma di: MATEMATICA (Sssion suppltiva 00) QUESTIONARIO. Da un urna contnnt 90 pallin numrat s n straggono quattro
Dettagli( ) = 8x 1 + x 2 + 8x 3 con i vincoli x k! 0 ( 1 " k " 3) e
Elmnti di Analisi Matmatica Ricrca Oprativa prova dl 5 gnnaio 06 ) Discutr il sgunt problma di Programmazion Linar: Trovar il massimo di p,, = 8 + + 8 con i vincoli k 0 ( " k " ) " + + 5 # + + = % 7 +
DettagliLe tranformazioni canoniche nella meccanica quantistica. P. Jordan a Gottinga
L tranformazioni canonic nlla mccanica quantistica P. Jordan a Gottinga (ricvuto il 27 april 926) Vin data una dimostrazion d una congttura avanzata da Born, Hisnbrg dall autor, c la trasformazion canonica
DettagliCOMMISSIONE DELLE COMUNITÀ EUROPEE. Progetto di RACCOMANDAZIONE DELLA COMMISSIONE. del (...)
COMMISSIONE DELLE COMUNITÀ EUROPEE Bruxlls, xxx COM (2001) yyy final Progtto di RACCOMANDAZIONE DELLA COMMISSIONE dl (...) modificando la raccomandazion 96/280/CE rlativa alla dfinizion dll piccol mdi
DettagliLemma 2. Se U V é un sottospazio vettoriale di V allora 0 U.
APPUNTI d ESERCIZI PER CASA di GEOMETRIA pr il Corso di Laura in Chimica, Facoltà di Scinz MM.FF.NN., UNICAL (Dott.ssa Galati C.) Rnd, 3 April 2 Sottospazi di uno spazio vttorial, sistmi di gnratori, basi
DettagliIng. Gestionale Ing. Informatica Ing. Meccanica Ing. Tessile. Cognome Nome Matricola
Ing Gstional Ing Informatica Ing Mccanica Ing Tssil Cognom Nom Matricola Univrsità dgli Studi di Brgamo Scondo Compitino di Matmatica II ) Si considri la matric 2 3 3 2 Si calcolino gli autovalori gli
DettagliEQUAZIONI E DISEQUAZIONI TRASCENDENTI EDT
EDT EQUAZIONI E DISEQUAZIONI TRASCENDENTI I critri di quivalnza pr l quazioni sono stati introdotti nll'unità «EQUAZIONI» (paragrafo ). Nlla prsnt unità, con la sigla CFEE indichiamo il critrio fondamntal
DettagliEsercizi riguardanti l integrazione
Esrizi riguardanti l intgrazion. Trovar una primitiva dlla funzion f. Calolar il sgunt intgral indfinito d. Trovar una primitiva dlla funzion f. Tra tutt l primitiv dlla funzion f os sn, dtrminar qulla
DettagliLa condizione richiesta è soddisfatta quando il primo massimo della curva, di ascissa x, si trova sulla
Esam di Stato 8 sssion suppltiva Problma La condizion richista è soddisfatta quando il primo massimo dlla curva, di ascissa, si trova sulla bisttric dl primo quadrant, pr cui (tutt l misur linari sono
DettagliLEZIONE 17. Esercizio Trovare la soluzione delle seguenti equazioni differenziali di Bernoulli, ciascuna con condizione iniziale y(0) = 2.
7 LEZIOE 7 Esrcizio 7 Trovar la soluzion dll sgunti quazioni diffrnziali di Brnoulli, ciascuna con condizion inizial y) = La prima quazion è y x) =yx) y x) Si può dividr pr il trmin di grado più alto in
DettagliLIMITI. 6. Esempi di riepilogo. 7. Limite per eccesso e per difetto 8. Limiti fondamentali. Nota bene 1. Nota bene 2
LIITI Limit inito in un punto Limit ininito in un punto 3 Limit inito all ininito 4 Limit ininito all ininito 5 Limiti da dstra da sinistra Nota bn 6 Esmpi di ripilogo Nota bn 7 Limit pr ccsso pr ditto
Dettaglia ), la (34) diventa: Senza perdita di generalità si può omettere il valore assoluto e quindi la soluzione generale dell equazione omogenea è:
Appunti dlla lzin dl Prf. Stfan D Marchi dl 9/0/6 a cura dl Prf. Frnand D Angl. Equazini diffrnziali linari dl prim rdin. Un quazin diffrnzial linar dl prim rdin si scriv:, () a + b, I I R cn b a, funzini
DettagliIngegneria dei Sistemi Elettrici_3c (ultima modifica 22/03/2010)
Inggnria di Sistmi Elttrici_3c (ultima modifica /03/00) Enrgia Forz lttrostatich P F + + Il lavoro richisto nl vuoto pr portar una carica lntamnt, (prché possano ritnrsi trascurabili sia l nrgia cintica
DettagliTest di Autovalutazione
Univrsità dgli Studi di Padova Facoltà di Inggnria, ara dll Informazion - Brssanon 7 Analisi Matmatica. agosto 7 Tst di Autovalutazion () Si considri la funzion 5 + log x s x, f(x) = + log x s x =. (a)
Dettagli0.1. CIRCONFERENZA 1. La 0.1.1, espressa mediante la formula per la distanza tra due punti, diviene:
0.1. CIRCONFERENZA 1 0.1 Circonfrnza Considriamo una circonfrnza di cntro P 0 (x 0, y 0 ) raggio r, cioè il luogo di punti dl piano P (x, y) pr i quali si vrifica la rlazion: 0.1.1. P 0 P = r. La 0.1.1,
Dettagli1 Serie di Taylor di una funzione
Analisi Matematica 2 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 7 SERIE E POLINOMI DI TAYLOR Serie di Taylor di una funzione. Definizione di serie di Taylor Sia f(x) una funzione definita
Dettaglidel segno, sono punti di sella. Per il teorema di Weierstrass e dallo studio del segno, ovviamente E è un punto di massimo relativo.
Politcnico di Bari Laur in Inggnria dll Automazion, Elttronica Informatica corso B Esam di Analisi matmatica II A.A. 2006/2007-8 sttmbr 2007 - TRACCIA A. Studiar gli vntuali punti critici dlla funzion
Dettaglix 1 x 2 Studiare e disegnare il grafico delle seguenti funzioni Esercizio no.1 Soluzione a pag.2 Esercizio no.2 Soluzione a pag.4
Edutcnica.it Studio di funzioni Studiar disgnar il grafico dll sgunti funzioni Esrcizio no. Soluzion a pag. Esrcizio no. Soluzion a pag. y 5 y Esrcizio no. Soluzion a pag.6 Esrcizio no. Soluzion a pag.8
DettagliMatematica per l Economia (A-K) II Esonero 15 dicembre 2017 (prof. Bisceglia) Traccia A
Matmatica pr l Economia (A-K) II Esonro 5 dicmbr 7 (pro. Biscglia) Traccia A. Data la unzion classiicarli. sn cos, individuar vntuali punti di discontinuità. Dtrminar, s possibil, un punto di approssimazion
DettagliDERIVATE. h Geometricamente è il coefficiente angolare della retta secante congiungente i punti della curva di ascissa x. y = in un punto x.
DERIVATE OBIETTIVI MINIMI: Conoscr la dinizion di drivata d il suo siniicato omtrico Sapr calcolar smplici drivat applicando la dinizion Conoscr l drivat dll unzioni lmntari Conoscr l rol di drivazion
DettagliIstogrammi ad intervalli
Istogrammi ad intrvalli Abbiamo visto com costruir un istogramma pr rapprsntar un insim di misur dlla stssa granda isica. S la snsibilità dllo strumnto di misura è alta, è probabil ch tra gli N valori
DettagliSTUDI DI FUNZIONI. Dunque : y=1 è asintoto orizzontale sia sinistro che destro. x=0 è asintoto verticale ( solo a sinistra di zero )
ESERCITAZIONI 7-8- 9- STUDI DI FUNZIONI A) Esrcizi svolti. Studiar il dominio d il comportamnto agli strmi dl dominio dll sgunti funzioni. Calcolarn splicitamnt vntuali asintoti orizzontali o vrticali.
DettagliPROPORZIONI. Cosa possiamo dire di esse? Che la superficie della figura A sta alla superficie della figura B come 4 sta a 6.
Corso di laura: BIOLOGIA Tutor: Floris Marta PRECORSI DI MATEMATICA PROPORZIONI Ossrvar l sgunti figur: Cosa possiamo dir di ss? Ch la suprfici dlla figura A sta alla suprfici dlla figura B com sta a 6.
DettagliLA NOSTRA AVVENTURA NEL CREARE UN LIBRO
LA NOSTRA AVVENTURA NEL CREARE UN LIBRO Abbiamo iniziato a lggr in class Nonno Tano la casa dll strgh. Lo scopo ra ascoltar comprndr. Sguir la mastra ch dava sprssività alla lttura imparar da lla a lggr.
DettagliANALISI 2 ESERCITAZIONE DEL 06/12/2010 PUNTI CRITICI
ANALISI ESERCITAZIONE DEL 06//00 PUNTI CRITICI Un punto critico è un punto in cui la funzion è diffrnziabil il piano tangnt al grafico è orizzontal Riconosciamo qusti punti prché il gradint è il vttor
DettagliAnalisi Matematica 1 per IM - 23/01/2019. Tema 1
Analisi Matmatica 1 pr IM - 23/01/2019 Cognom Nom:....................................... Matricola:.................. Docnt:.................. Tmpo a disposizion: du or. Il candidato, a mno ch non si
DettagliPROVA SCRITTA DI FONDAMENTI DI AUTOMATICA A.A. 2004/ gennaio 2005 TESTO E SOLUZIONE
PROVA SCRITTA DI FONDAMENTI DI AUTOMATICA A.A. 24/25 2 gnnaio 25 TESTO E SOLUZIONE Esrcizio In rifrimnto allo schma a blocchi in figura. s3 r y 2 s2 s y K Domanda.. Dtrminar una ralizzazion in quazioni
Dettagliu 1 u k che rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri (14.1), ordinati al crescere del loro indice. I numeri u k
Capitolo 4 Serie numeriche 4. Serie convergenti, divergenti, indeterminate Data una successione di numeri reali si chiama serie ad essa relativa il simbolo u +... + u +... u, u 2,..., u,..., (4.) oppure
DettagliLe soluzioni della prova scritta di Matematica del 6 Febbraio 2015
L soluzioni dlla prova scritta di Matmatica dl Fbbraio 5. Sia data la funzion a. Trova il dominio di f f b. Scrivi, splicitamnt pr stso non sono sufficinti disgnini, quali sono gli intrvalli in cui f è
DettagliLa popolazione in età da 0 a 2 anni residente nel comune di Bologna
Sttor Programmazion, Controlli La popolazion in tà da 0 a 2 anni rsidnt nl comun di Bologna Maggio 2007 La prsnt nota è stata ralizzata da un gruppo di dirignti funzionari dl Sttor Programmazion, Controlli
DettagliMETODI MATEMATICI PER LA FISICA
METODI MATEMATICI PER LA FISICA PROVA SCRITTA - 9 APRILE 6 Si risolvano cortsmnt i sgunti problmi PRIMO PROBLEMA (PUNTEGGIO: 6/3) Si calcoli l intgral in valor principal P = Pr Q sn( z) + z dz dov Q è
DettagliPROPORZIONI. Cosa possiamo dire di esse? Che la superficie della figura A sta alla superficie della figura B come 4 sta a 6.
Corso di laura: BIOLOGIA Tutor: Floris Marta PRECORSI DI MATEMATICA PROPORZIONI Ossrvar l sgunti figur: Cosa possiamo dir di ss? Ch la suprfici dlla figura A sta alla suprfici dlla figura B com sta a 6.
DettagliFUNZIONI. Dominio: il dominio di una funzione è l insieme delle x in cui una funzione è definita.
FUNZIONI Dominio: il dominio di una funzion è l insim dll in cui una funzion è dfinita. Funzioni Fratt: una funzion si dic fratta quando compar la al dnominator Pr calcolar il dominio di una funzion fratta
DettagliCalore Specifico
6.08 - Calor Spcifico 6.08.a) Lgg Fondamntal dlla Trmologia Un modo pr far aumntar la Tmpratura di un Corpo è qullo di cdr ad sso dl Calor, pr smpio mttndolo in Contatto Trmico con un Corpo a Tmpratura
DettagliANALISI MATEMATICA I CALCOLO DIFFERENZIALE / ESERCIZI PROPOSTI
ANALISI MATEMATICA I CALCOLO DIFFERENZIALE / ESERCIZI PROPOSTI L astrisco contrassgna gli srcizi più difficili.. Calcolar la drivata dll sgunti funzioni (drivabili in tutti i punti dl loro dominio): a)
DettagliLe soluzioni della prova scritta di Matematica del 9 Giugno 2015
L soluzioni dlla prova scritta di Matmatica dl 9 Giugno. Sia data la unzion a. Trova il dominio di b. Scrivi, splicitamnt pr stso non sono suicinti disgnini, quali sono gli intrvalli in cui è positiva
DettagliForza d interesse e scindibilità. Benedetto Matarazzo
orza d intrss scindibilità Bndtto Matarazzo Corso di Matmatica inanziaria Rgimi finanziari Oprazioni finanziari Intrss Sconto Equivalnz finanziari Rgim dll intrss smplic Rgim dll intrss composto Rgim dll
Dettagli