METODO DEGLI ELEMENTI FINITI

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1 Dal libro di tsto Zinkiwicz Taylor, Capitolo 14 pag. 398 Il mtodo dgli lmnti finiti fornisc una soluzion approssimata dl problma lastico; tal approssimazion driva non dall avr discrtizzato il dominio in lmnti finiti ma dall avr ipotizzato l andamnto dgli spostamnti all intrno dgli lmnti attravrso l utilizzo di una funzion di spostamnti. L rror commsso nlla valutazion dgli spostamnti potrbb ssr valutato com: u uˆ u (4.1a) Mntr l rror commsso nlla valutazion dll tnsioni com: ˆ (4.1b) L ntità dll rror diminuisc al diminuir dlla dimnsion h dgli lmnti dlla discrtizzazion o all aumntar dl grado p dl polinomio ch dfinisc la funzion di spostamnto.

2 4.1 Norm dll rror vlocità di convrgnza La dfinizion dll'rror local scondo l quazion (4.1) gnralmnt non è comodo talvolta anch fuorviant. Pr smpio, nl punto di applicazion di un carico gli rrori rlativi a spostamnti tnsioni saranno localmnt infiniti mntr la soluzion global può anch ssr accttabil. Situazioni simili sussistranno vicino angoli rintranti dov, com è noto, sistono singolarità nll tnsioni in analisi lastich. Pr qusto motivo sono spsso introdott vari norm ch rapprsntano alcun quantità scalari intgrali pr misurar l'rror Pr problmi di lasticità la norma dll nrgia è idnticamnt dfinita fornisc, dall intgrazion pr parti: (4.4) 2 T L E L d Qui è dato dall quazion 4.1a l oprator S dfinisc l dformazioni com: u Lu ˆ ˆ u Lu D è la matric di lasticità con la qual si ottngono i valori dll tnsioni : E ˆ E ˆ (4.5) (4.6)

3 La norma dll nrgia dll quazion 4.4 può ssr scritta altrnativamnt com: T T 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ E d d E d In cui risulta vidnt la rlazion con l nrgia di dformazion. (4.7) Possono ssr facilmnt concpit altr norm scalari com, ad smpio, la norma L 2 dll rror rifrito allo spostamnto o alla tnsion ch può ssr scritta com: T ˆ ˆ u u u u u d L2 u L 2 T ˆ ˆ 12 d 12 (4.8) (4.9) Tali norm ci prmttono di focalizzar l attnzion sull particolari quantità di nostro intrss infatti è possibil calcolar il valor quadratico mdio dl loro rror. Pr smpio l rror RMS nlla tnsion, Δσ, è pr il dominio Ω: 2 2 L 12 (4.10)

4 Ognuna dll prcdnti norm può ssr valutata nll intro dominio o in sottodomini o anch in singoli lmnti. Notiamo ch: m 2 2 i1 dov i si rifrisc al singolo lmnto Ω i la cui union dà Ω. Si nota inoltr ch la norma dll nrgia sprssa in trmini di tnsioni, la norma L 2 rifrita alla tnsion l rror RMS dll tnsioni hanno una struttura molto simil ch sono approssimat in modo simil. Sappiamo ch utilizzando funzioni di grado p nlla formulazion dllo spostamnto si ottngono rrori nll tnsioni il cui ordin è O(h) p. Qusto ordin di rror dovrbb ssr applicato all rror dlla norma dll nrgia. Mntr gli argomnti sposti sono corrtti pr problmi in cui non siano prsnti singolarità, è intrssant vdr com la rgola prcdnt vin violata quando sistono singolarità. Nll figur vdiamo du problmi simili di analisi dll tnsioni, nl primo di quali è prsnt una fort singolarità. In ntramb l figur vdiamo la variazion dll rror rlativo dlla norma dll nrgia (prcntual): u i 100% (4.11) (4.12)

5 0,3 Fig. 4.2a Dominio a forma di L con singolarità in cui è prsnt una msh inizial (0) poi una suddivision uniform (i). Fig. 4.2b Diagramma in cui si riporta l rror% (η) risptto ai gradi di librtà (NDF) pr funzioni di spostamnto di divrso grado.

6 Fig. 4.3a Dominio a forma di L snza singolarità in cui è prsnt una msh inizial (0) una suddivision uniform (i). 0,3 Fig. 4.3b Diagramma in cui si riporta l rror% (η) risptto ai gradi di librtà (NDF) pr funzioni di spostamnto di divrso grado

7 Notiamo du fatti intrssanti: 1. L vlocità di convrgnza h pr vari ordini dl polinomio dlla funzion di forma sono quasi uguali nll smpio con singolarità (Fig. 4.2) sono bn al di sotto dll ordin torico prdtto O(h) p o O(NDF) -p/2, ssndo NDF (numro di gradi di librtà) approssimativamnt invrsamnt proporzional ad h Nl caso mostrato in figura 4.3, dov la singolarità è vitata arrotondando l angolo, la vlocità di convrgnza migliora pr gli lmnti di ordin suprior anch s di nuovo l vlocità torich non sono raggiunt. La causa di qusto comportamnto è chiaramnt la singolarità in gnral si può dimostrar ch la vlocità di convrgnza pr problmi con singolarità è: O( NDF ) [min(, p)] 2 Dov λ è un numro associato con l intnsità dlla singolarità. Pr problmi lastici λ và da 0,5 pr cricch quasi chius fino a 0,71 pr un angolo a 90. La vlocità di convrgnza illustrata nlla figura 4.2 si avvicina al valor controllato dalla singolarità pr tutti i valori di p usati ngli lmnti.

8 N di lmnti nl nodo n Comp. i-sima, calcolata dall lmnto STIMA A POSTERIORI DELL ERRORE SULLE TENSIONI Esistono tcnich di varia natura ch tntano di stimar a postriori l rror associato con i risultati di un dato modllo. Ess non consntono ovviamnt una valutazion satta dll rror ma si propongono di fornirn una maggiorazion di rapprsntarn la distribuzion nl modllo, in modo da guidar il suo vntual affinamnto. Di sguito si riporta la tcnica di stima utilizzata da ANSYS ch si basa sulla proposta di Zinchivich. Ogni lmnto ch convrg in un nodo fornisc una divrsa stima dlla tnsion; si assum quindi gnralmnt il sgunt valor pr la i-sima componnt di tnsion nl nodo: comp. i-sima stimata nl nodo n n i 1 N n, i

9 Assumndo ch tal valor mdio sia accurato, si può porr: ( ˆ ) ( ) n, n, n n, n i i i i i Error sulla i-sima Componnt dll lmnto nl nodo n Valor satto (non noto) Valor mdiato (noto) n n ( ˆ ) In raltà sarbb più intrssant conoscr ma, nll impossibilità di ottnr ffttivamnt tal valor, risulta comunqu util disporr di un paramtro ch dia una stima dl grado di accuratzza dll analisi i i

10 Stima dll rror fornita dal programma Ansys Error Approximation Tchniqu for Displacmnt-Basd Problms Documntazion di ANSYS Thory Rfrnc