INTEGRALI DOPPI Esercizi svolti

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1 INTEGRLI OPPI Esrcizi svolti. Calcolar i sgunti intgrali doppi: a b c d f g h i j k y d dy, {, y :, y }; d dy, {, y :, y }; + y + y d dy, {, y :, y }; y d dy, {, y :, y }; y d dy, {, y :, y + }; + y d dy, {, y : y }; sin y y d dy, {, y : π, y π}; + y d dy, {, y :, min{, } y ma{, }}; sin y d dy, {, y :, y }; sin y d dy, {, y : π, y }; d dy, {, y : y + / +, y, y + }.. Sia la rgion di piano racchiusa nl triangolo di vrtici,,,, dotata di dnsità unitaria. Calcolar il momnto di inrzia di risptto al vrtic.. Sia B la rgion di piano racchiusa nl triangolo di vrtici B,, B, B, dotata di dnsità unitaria. Calcolar il momnto di inrzia di B risptto al vrtic B.. Calcolar il baricntro dll rgioni di piano dotat di dnsità unitaria a {, y : y }; b B {, y : + y, y }. 5. Calcolar i sgunti intgrali doppi: a y d dy, {, y : + y, y }; b + y d dy, {, y : + y, y }; c d dy, {, y : + y, y };

2 d y d dy, {, y : + 9y 6, y }. 6. Sia un disco circolar dotato di dnsità unitaria, avnt cntro in C r, raggio r. Vrificar la rlazion I I C + r, dov I I C sono i momnti di inrzia di risptto a O a C è l ara di. 7. Calcolar il momnto di inrzia risptto all origin dgli assi dlla lamina piana di dnsità unitaria C {, y : + y 9, + y }. 8. Calcolar i sgunti intgrali impropri: a b c d + y α d dy, {, y : + y }; y + y d dy, {, y : + y,, y }; + y d dy, {, y : + y,, y }; + y d dy, {, y : + y, y }; + y d dy, {, y : + y, y }.

3 INTEGRLI OPPI Esrcizi svolti - SOLUZIONI. Calcolar i sgunti intgrali doppi: a y d dy, {, y :, y }. b c d È possibil risolvr l intgral indiffrntmnt pr orizzontali o pr vrticali. Intgrando pr vrticali si ottin y d dy y dy d d dy, {, y :, y }. + y y ] d d È possibil risolvr l intgral indiffrntmnt pr orizzontali o pr vrticali. Intgrando pr orizzontali si ottin d dy + y + y + + y + y d dy + y d dy, {, y :, y }. ] + y dy log + y + log + y] ln ] dy. 5. La rgion è sia orizzontalmnt ch vrticalmnt convssa. È quindi possibil risolvr l intgral indiffrntmnt pr orizzontali o pr vrticali. Intgrando pr vrticali si ottin + y d dy y dy d d y d dy, {, y :, y }. ] y + y ] d 5. La rgion è sia orizzontalmnt ch vrticalmnt convssa. È quindi possibil risolvr l intgral indiffrntmnt pr orizzontali o pr vrticali. Intgrando pr orizzontali si ottin y d dy 5 y 6y + y dy y d dy, {, y :, y + }. y d dy ] 5 6 y y + y. y La rgion è sia orizzontalmnt ch vrticalmnt convssa, ma pr la forma splicita di è più convnint intgrar pr vrticali. Si ha quindi y d dy + y dy d d y ] + d ] y ] 5 8. dy

4 f + y d dy, {, y : y }. La rgion è sia orizzontalmnt ch vrticalmnt convssa. È quindi possibil risolvr l intgral indiffrntmnt pr orizzontali o pr vrticali. Intgrando pr orizzontali risulta + y d dy y y + y/ y/ / y/ y/ + 5/ / + y d dy dy y5 5 y + y 6 + y5/ 5 ] y/ / y/ dy 7 / 5/ + y7/ ] 9 5. sin y g d dy, {, y : π, y π}. y Sbbn la rgion sia vrticalmnt orizzontalmnt convssa, non è possibil calcolar splicitamnt l intgral pr vrticali, infatti la funzion sin y/y non è intgrabil lmntarmnt risptto a y. Intgrando pr orizzontali si ottin invc sin y π y sin y π d dy d dy sin y dy cos y] π. y y h + y d dy, {, y :, min{, } y ma{, }}. L insim può ssr visto com l union di du insimi {, y :, y }, {, y :, y } la cui intrszion si riduc ad un punto dll rlativ frontir. Possiamo quindi dcomporr l intgral scondo: + y d dy + y d dy + + y d dy dov ntrambi gli intgrali a scondo mmbro possono ssr risolti intgrando pr vrticali. Si ha + y d dy + y dy d y + y ] d ] d Quindi + y d dy + + d + y dy d ] y d dy y + y ] d i sin y d dy, {, y :, y }. Poichè { sin sin y y s y sin y s y >, si ha sin y d dy sin y d dy + sin y d dy dov {, y :, y }, {, y :, y }

5 Intgrando pr vrticali ottniamo sin y d dy sin y dy d cos d ] sin sin Quindi cos y] d sin y d dy sin y dy d cos y ] d cos d + ] sin sin + y d dy sin + sin sin. j sin y d dy, {, y : π, y }. Poichè si ha dov sin y { sin y s y sin y sin s y > sin, sin y d dy sin y d dy + y sin d dy {, y : π, y sin }, {, y : π, sin y } Intgrando pr vrticali ottniamo Quindi sin y d dy π sin d π π sin sin y dy d cos d π y sin d dy π sin sin + d ] π sin + cos 8 π. y sin dy sin π π ] π sin π d π y cos sin + sin y d dy π + π π. ] sin y sin y d y sin ] sin d d k d dy, {, y : y + / +, y, y + }. L insim può ssr visto com l union di du insimi {, y :, y + / + }, {, y :, + y + / + } avnti in comun solo punti dll rlativ frontir. Possiamo quindi dcomporr l intgral scondo: d dy d dy + d dy dov ntrambi gli intgrali a scondo mmbro possono ssr risolti intgrando pr vrticali.

6 Si ha Quindi d dy d dy +/+ dy d +/+ dy d + d dy +. ] + d d 8 + ]. Sia la rgion di piano racchiusa nl triangolo di vrtici,,,, dotata di dnsità unitaria. Calcolar il momnto di inrzia di risptto al vrtic. Essndo si ha I + y d dy y 8 y + y y + 8 dy {, y : y y, y } y + y d dy + y y + y y + 8 ] y. ] y y dy. Sia B la rgion di piano racchiusa nl triangolo di vrtici B,, B, B, dotata di dnsità unitaria. Calcolar il momnto di inrzia di B risptto al vrtic B. Risulta B {, y :, y }. Poichè la distanza dl gnrico punto, y B dal vrtic B è + y, si ha I B B + y d dy d ]. + y dy d ] y + y d. Calcolar il baricntro dll rgioni di piano dotat di dnsità unitaria a {, y : y }. Siano y l coordinat dl baricntro di. Pr simmtria risulta. Invc y y d dy M dov M è la massa di. Poichè M d dy risulta y /5. y d dy dy d d ydy d d ] ] 5 5 5,

7 b B {, y : + y, y }. Siano B y B l coordinat dl baricntro di B. Pr simmtria risulta B. Invc y B y d dy MB B dov MB è la massa di B. Poichè B y d dy risulta y B /π. MB ydy B d d dy π d ], 5. Calcolar i sgunti intgrali doppi: a y d dy, {, y : + y, y }. L intgral può ssr calcolato utilizzando coordinat polari: { ρ cos θ θ, π. y ρ sin θ Poichè + y ρ, la condizion + y divnta ρ, mntr y divnta sin θ, ossia θ π. L insim di intgrazion nl piano ρ, θ è quindi il rttangolo: {ρ, θ : ρ, θ π}. Essndo ρ lo Jacobiano dlla trasformazion, si ha: π y d dy ρ sin θ dθ dρ ρ θ sin θ ] π dρ π ρ dρ π ρ π ρ ] cos θ π 8. dθ dρ b + y d dy, {, y : + y, y }; L intgral può ssr calcolato utilizzando coordinat polari: { ρ cos θ θ, π. y ρ sin θ c Poichè + y ρ, la condizion + y divnta ρ, mntr y divnta sin θ cos θ, ossia θ π/. L insim di intgrazion nl piano ρ, θ è quindi il rttangolo: {ρ, θ : ρ, θ π/}. Essndo ρ lo Jacobiano dlla trasformazion, si ha: π/ + y d dy ρ dθ dρ π d dy, {, y : + y, y }. L intgral può ssr calcolato utilizzando coordinat polari: ρ dρ π ρ ] π 6.

8 { ρ cos θ y ρ sin θ θ, π. Poichè + y ρ, la condizion + y divnta ρ, mntr y divnta θ π. L insim di intgrazion nl piano ρ, θ è quindi il rttangolo: {ρ, θ : ρ, θ π}. Essndo ρ lo Jacobiano dlla trasformazion, si ha π d dy ρ cos θ dθ dρ ρ θ + sin θ ] π dρ π ρ dρ π ρ π ρ ] + cos θ 5 8 π. dθ dρ d y d dy, {, y : + 9y 6, y }. Pr il calcolo dll intgral è util riscrivr la disquazion ch dfinisc com da cui 6 + 9y 6, + y. risulta quindi ssr mtà di una lliss di smiassi a b. Utilizzando la trasformazion { ρ cos θ θ, π y ρ sin θ l insim di intgrazion nl piano ρ, θ divnta il rttangolo: {ρ, θ : ρ, θ π}. Essndo 6ρ lo Jacobiano dlla trasformazion, si ha π y d dy ρ sin θ dθ dρ ρ cos θ] π dρ ρ dρ 8ρ ] Sia un disco circolar dotato di dnsità unitaria, avnt cntro in C r, raggio r. Vrificar la rlazion I I C + r, dov I I C sono i momnti di inrzia di risptto a O a C è l ara di. Risulta I poichè pr simmtria risulta + y d dy r + r + y d dy r + r r + r + y d dy r + y d dy + r I c + r + r I c + r r d dy r d dy. d dy + r r d dy

9 7. Calcolar il momnto di inrzia risptto all origin dgli assi dlla lamina piana di dnsità unitaria C {, y : + y 9, + y }. Poichè l insim C è invariant risptto alla simmtria pr l origin la funzion f, y + y è pari risptto a tal simmtria risulta I + y d dy + y d dy C C dov C {, y : + y 9, + y, y }. L intgral può ora ssr calcolato utilizzando coordinat polari: { ρ cos θ θ, π. y ρ sin θ L insim di intgrazion nl piano ρ, θ è quindi il sgunt: {ρ, θ : cos θ ρ, θ π/} {ρ, θ : ρ, π/ θ π}. Essndo ρ lo Jacobiano dlla trasformazion, si ha I π/ π/ ρ dρ cos θ 8 cos θ 75 θ sin θ sin θ 8 π dθ + ρ dρ dθ π/ dθ + 8 ] π/ π π/ dθ + 8 π 9π. π/ π/ ρ ] cos θ 75 cos θ cos θ π dθ + π/ ρ ] dθ π dθ 8. Calcolar i sgunti intgrali impropri: a Sia allora + y α d dy, {, y : + y }. Utilizzando coordinat polari si ha R {, y : + y R }, R > + y α d dy lim + y α d dy. R + R + y α d dy R R π π α R α+ s α π log R s α. ρ α+ dθ dρ π R ρ α+ dρ b Prtanto + y α d dy lim R + π α R α+ s α π log R s α. quindi l intgral divrg positivamnt s α, val π/α s α >. y + y d dy, {, y : + y,, y }; Sia R {, y : + y R,, y }, R > allora y y + y d dy lim R + R + y d dy.

10 Utilizzando coordinat polari si ha y R π/ sin θ cos θ R + y d dy ρ cos θ + sin θ dθ dρ π/ sin θ cos θ R cos θ + sin θ dθ ρ dρ π log R log. Prtanto y + y d dy π lim log R log +. R + Quindi l intgral divrg positivamnt. c + y d dy, {, y : + y,, y }. Sia R {, y : + y R,, y }, R > d allora Utilizzando coordinat polari si ha R π/ R + y d dy R ρ dρ ] R ρ R. Prtanto Sia allora + y d dy lim R + R + y d dy. R cos θ dθ dρ ρ + y d dy lim. R + R + y d dy, {, y : + y, y }. ɛ {, y : ɛ + y, y }, ɛ > + y d dy lim ɛ + ɛ + y d dy. Utilizzando coordinat polari si ha π/ + y d dy cos θ dθ dρ ɛ Prtanto Sia ɛ + y d dy + y d dy, {, y : + y, y }. ɛ sin θ] π/ dρ ɛ lim ɛ + ɛ. ɛ {, y : ɛ + y, y }, ɛ > allora + y d dy lim ɛ + ɛ + y d dy. Utilizzando coordinat polari si ha ɛ + y d dy ρ dρ ɛ ɛ ρ cos θ dθ dρ π/ ρ ] ɛ. Prtanto + y d dy lim ɛ + ɛ +. Quindi l intgral divrg positivamnt. ɛ sin θ]π/ ρ dρ dρ ɛ. ρ sin θ] π/ dρ