La condizione richiesta è soddisfatta quando il primo massimo della curva, di ascissa x, si trova sulla

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1 Esam di Stato 8 sssion suppltiva Problma La condizion richista è soddisfatta quando il primo massimo dlla curva, di ascissa, si trova sulla bisttric dl primo quadrant, pr cui (tutt l misur linari sono sprss in dm, l ar in dm ): sn Ciascuna foglia prsnta una simmtria assial risptto alla bisttric dl primo quadrant; l ara total dll quattro fogli è prtanto: 4 sn 8 cos 4 S d 4,7 dm La curva dv giacr al di sotto dlla bisttric dl primo quadrant, prtanto la smitangnt dstra ad ssa condotta nll origin dv avr pndnza non ngativa non suprior a ; si ha quindi dy d Pr = la curva risulta tangnt alla bisttric dl primo quadrant, consguntmnt, alla sua simmtrica risptto a tal rtta. L ara richista è data da: S sn d cos 4 dm Lo spcchio ha raggio r, pr cui la sua ara val 9 S S 4 Il valor massimo si ottin in corrispondnza di, ovvro pr una cornic rttangolar, snza dcorazion; il valor minimo è da intndrsi nll condizioni gomtrich richist al punto. 4 Pr l ara comprsa tra spcchio cornic è S 4,5 dm M. Vincoli Esam di Stato 8 sssion suppltiva

2 Du mani di vrnic corrispondono alla suprfici da ricoprir pari a circa 4 dm ; una bomboltta da 5 ml (/8 l) consnt di ricoprir la suprfici di 6 dm 75 dm, pr cui è sufficint una sola 8 bomboltta. La suprfici comprsa tra spcchio cornic, pr un gnrico ; è data da S 4 la cui drivata è: S ' 4,89 valor ch massimizza la suprfici richista. M. Vincoli Esam di Stato 8 sssion suppltiva

3 Problma Ossrviamo prliminarmnt ch f : R R è una funzion strttamnt crscnt, quindi invrtibil. Esprimndola nlla forma f y ln d splicitando la variabil si ottin y La funzion invrsa si si ottin scambiando l du variabili y, prtanto f g Pr la proprità involutoria dll invrsion sgu immdiatamnt, snza ncssità di vrifica dirtta, ch g f f L du funzioni assgnat possono sprimrsi nlla forma: a pr R b prtanto coincidono solo pr. pr R Essndo f ' ; il punto di tangnza ha coordinat S ; ln., l ascissa dl punto di tangnza di s si dtrmina imponndo f La rtta s ha prtanto quazion: s : y ln Si può notar ch, pr la simmtria dll curv f g ', ovvro, anch l rtt s t sono simmtrich risptto alla rtta r, bisttric dl primo trzo quadrant, pr cui l quazion di t può scrivrsi immdiatamnt: t : y ln con punto di tangnza T ln ; ; i grafici sono riportati nlla figura succssiva La distanza minima tra l du curv corrispond alla lunghzza dl sgmnto ST: dmin ln ln M. Vincoli Esam di Stato 8 sssion suppltiva

4 Gli vntuali punti di intrszion tra l curv appartngono a tal rtta, pr cui è sufficint dimostrar ch Dtrminiamo il punto U in cui la curva F ha tangnt parallla alla rtta r. f ' U ;ln f f intrsca in du punti la rtta r. g, simmtrich risptto alla rtta r, Essndo y ln,, il punto di tangnza giac nl smipiano al di sopra di r; considriamo U infin la funzion U h f ln, continua drivabil pr. Si ha inoltr: h' pr La funzion h è prtanto crscnt in unicità dgli zri all intrvallo ;, dcrscnt in ;, avndosi h ; ; applicando il torma di sistnza h ln si conclud ch in h si tal intrvallo la funzion si annulla sattamnt una volta; in modo analogo si conclud ch annulla sattamnt una volta nll intrvallo ;5. Da quanto dtto inizialmnt, sgu ch anch l quazion f g I grafici dll funzioni ha sattamnt soluzioni. f imponndo tal condizion risulta: f ', y ln g sono tangnti quando sono ntramb tangnti alla rtta r; M. Vincoli Esam di Stato 8 sssion suppltiva 4

5 Si ha prtanto l quazion ln ln la cui unica soluzion è. L curv F G sono disgiunt pr, tangnti pr, si intrscano in punti pr - 4 L curv F G sono riportat nlla figura succssiva; il loro punto di tangnza sia E ; SI ha: A d Il volum dl solido di rotazion attorno all ass è: V d ln d Calcolando prliminarmnt l du primitiv: pr cui: d c ln ln ln ln ln ln ln d d c c V 4 M. Vincoli Esam di Stato 8 sssion suppltiva 5

6 QUESTIONARIO La situazion è rapprsntata nlla figura a fianco; prso il punto A;4sn, il primtro dl rttangolo inscritto è: P 4sn, con Drivando, P' 8cos 4 pr cos, ovvro. Il rttangolo richisto si ottin pr ha primtro P 4 f ' Essndo assgnata ha quazion:, la rtta tangnt in P p; p alla curva t: y p p intrsca l ass nl punto di coordinat p ;. L ara dll du parti di piano in cui rsta divisa da t sono prtanto: A p p p p A d A ln p Il raggio dlla sfra è dato dalla distanza dl punto C dal piano: r La sfra ha prtanto quazion y z y z y 4z 6 Pr dtrminar il punto di tangnza, dtrminiamo l intrszion tra la normal condotta al piano dal punto C il piano stsso; la rtta normal ha quazion: M. Vincoli Esam di Stato 8 sssion suppltiva 6

7 y t z t t t t Il punto di tangnza ha prtanto coordinat T ; ;4 4 n da cui, sostitundo nll quazion dl piano, si ottin n n n n cos cos cos sn cos sn cos d d n d n n cos d n cos d cos n n n n d n cos d n cos d cos d n n n cos d cos n d Si ha prtanto: d d d cos cos cos 5 La probabilità ch non sca in n lanci dl dado è: n 5 P n 6. Si ha quindi: n ln n 5,5 6 5 ln 6 Essndo n intro, si ha n = 5 6 Imponndo il passaggio dlla curva pr il punto T ; si ottin la condizion: a b a b La drivata dlla funzion, ov sist, è sprimibil nlla forma: M. Vincoli Esam di Stato 8 sssion suppltiva 7

8 y' b a b s a b a s a b ni punti tali ch a b la curva potrbb non ssr drivabil (possibili punti angolosi); non è ncssario tnr conto di qusta possibilità nllo svolgimnto succssivo in quanto nl punto di ascissa tal condizion quivarrbb a ab, incompatibil con la condizion di passaggio trovata. Considrando quindi il punto T di ascissa, si ha a b s a b y ' a b s a b Si hanno prtanto du possibilità a b 7 a a b b ottnndo pr la funzion l du form: o a b 7 a a b b y y ch corrispondono in raltà alla mdsima quazion. 7 Considriamo il punto Aa; a su il punto Bb; b 8b La rtta tangnt in A ha quazion y a a a y a a la tangnt in B, con calcoli analoghi, è: y b 4 b 9 su. Affinché si abbia una tangnt comun, l du rtt dvono coincidr: a b 4 a a b 9 b La tangnt comun ha prtanto quazion y, con punti di contatto A ; B;. L du parabol si intrscano nl punto C, soluzion dl sistma y y 8 9 y L ara dlla rgion di piano comprsa tra l du curv la rtta tangnt è data da: M. Vincoli Esam di Stato 8 sssion suppltiva 8

9 8 9 A d d d Assunto ch la funzion f( ) sia una distribuzion di probabilità (non n è richista la vrifica), si ha: pr il valor mdio : 4 f ( ) d d d pr la mdiana M: ( ) f ( ) d M f d M ossrvando ch 4 d, possiamo ddurr immdiatamnt ch M, pr cui: M d M 4 M 9 Il luogo gomtrico richisto è il piano prpndicolar al sgmnto AB passant pr il suo punto mdio (piano di simmtria pr AB); la sua quazion può trovarsi applicando la proprità assgnata: AP BP y z y z ottnndo immdiatamnt: y z 4 Si ha: y' cos sn y '' cos pr cui: y" y' y cos cos sn sn M. Vincoli Esam di Stato 8 sssion suppltiva 9