f x è pari, simmetrica rispetto all asse y, come da

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1 Esam di Stato 7 Problma Confrontiamo alcun proprità dlla funzion con l informazioni dducibili dal grafico: f f quindi figura f, compatibil con il grafico Imponiamo ch f a Notiamo ch f è pari, simmtrica risptto all ass y, com da a a a a a a ln ln ln ln ln Quindi l du soluzioni sono oppost; prndiamo quindi il valor positivo a ln Si ha ancora f ' Da cui ln ln ln ln lim f ' a Quindi la smitangnt forma un angolo di 5 con l ass, compatibil con il grafico. Dall ultimo calcolo dl punto prcdnt, ossrvando ch f ' è dispari, ssndo la drivata di una funzion pari, considrando la priodicità introdotta con la costruzion di fig., sgu immdiatamnt: lim f ' lim f ' lim f ' ; l smitangnti ni punti in cui la funzion si annulla sono a a a prtanto ortogonali. Indicata con la lunghzza dll arco, si ha M. Vincoli Esam di Stato 7

2 a a a a ' f d d d d a ln ln ln ln d d a L indicazioni dl tsto consntono di assumr ch la vrtical condotta dal cntro dl quadrato, il punto C(; d), passa pr il punto di tangnza A(, f()): i du punti sono infatti indicati nlla figura con la stssa ascissa, anch s dimostrarlo è tutt altro ch banal, pr cui appartngono ad una rtta parallla all ass y. Con tal assunzion si ha: tan LAM tan LCA f ' (i du angoli LAM LCA sono congrunti prché complmntari dllo stsso angolo LAC) da cui: LC d CA f f f cos LCA cos LCA d ssndo cos LCA tan LCA f ' (è stato utilizzato il risultato già ottnuto al punto ). Infin: d CA f, costant al variar di. Con considrazioni analogh a qull svolt al punto, considrando ch la nuova funzion diffrisc dalla prima pr una costant, quindi ha la stssa drivata, si ha: lim ln f ' ln ln ln ln L angolo formato dalla smitangnt con l ass positivo è prtanto 5 ( con l ass ngativo); l angolo tra l du smitangnti val quindi, da cui il poligono richisto è un sagono rgolar. Procdndo ancora com al punto, si ottin pr il lato: ln ln ln ln f ' d M. Vincoli Esam di Stato 7

3 Problma Basandoci sui dati ricavabili dal grafico, scriviamo l sprssion analitica dlla funzion f( ) nll intrvallo ; pr f( ) pr pr pr f '( ) pr pr da cui, oprando con la traslazion di vttor v k; k, si può gnralizzar in : k pr k k pr k k f ( ) k pr k k k f ( ) pr k k k pr k k f( ) è continua in d è drivabil in k, k. k Infatti, limitando lo studio all intrvallo ; si ha: lim f '( ) lim f '( ) quindi (;) è un punto angoloso; analogamnt lo è (;-). Si ha: lim f( ) in quanto la funzion, ssndo priodica, continua ad oscillar tra - ; pr una dimostrazion più formal, si possono considrar l succssioni, ottnut a partir dalla funzion f() a pr n k n b pr n k k n ch convrgono, pr n tndnt all infinito, vrso du valori distinti. Si ha poi f( ), da cui, utilizzando il torma dl confronto f( ) lim lim lim Dtrminiamo la funzion h () ngli intrvalli opportuni: pr : h( ) t dt pr : t h( ) t dt t M. Vincoli Esam di Stato 7

4 pr t 8 6 : h( ) t dt t 8 I du grafici sono quindi (ni punti di ascissa f ()) non sist): La funzion s() ha priodo T b ; riscriviamola prtanto nlla forma b s( ) sn ;.. L du funzioni f() s() sono riportat in figura nll intrvallo Avndo il quadrato OABC ara unitaria, l probabilità richist coincidono con l ar dll tr rgioni di piano indicat con,. Si ha: P (ara dl triangolo OBC) P sn d cos,7 P P P,6 M. Vincoli Esam di Stato 7

5 Indichiamo con P ', P ', P ' l probabilità in qusto scondo caso. si ha f Essndo f ( ) s( ) disuguaglianza strtta Analogamnt, f ( ) f ( ) ). ( ) f ( ), pr cui P' P (pr val la s( ) s( ) pr cui l ara dlla rgion di piano comprsa ntro il triangolo curvilino OAB, chiuso dalla curva di quazion y s( ) aumnta, pr cui P' P. La qustion non è invc vidnt pr P ', pr cui procdiamo con il calcolo numrico. ' P d P cos P d d P ' sn sn P' P' P',67 P 6 V h( ) d d d M. Vincoli Esam di Stato 7 5

6 QUESTIONARIO Intgrando pr parti si ha: d d E d d E 6E E Considriamo il cilindro di volum massimo inscrivibil in una smisfra di raggio R; siano r h rispttivamnt il raggio l altzza dl cilindro. SI ha: C V h r h R h h R h h R r h Ossrviamo ch V V R ch V h h ; R C C C. Drivando risptto ad h: R V ' C h R h ch si annulla, nll intrvallo considrato, pr h ; pr l considrazioni iniziali, ssndo l unico punto stazionario nll intrvallo ; R, tal punto è massimo assoluto. Considrando quindi il rapporto tra il volum massimo dl cilindro il volum dlla smisfra, si ha: V V C, MAX Smisfra R R R,577, 6 R 5 Prché il limit sia finito, il numrator dv ssr un infinitsimo dl primo ordin; si ha quindi lim a b 6 b 6 da cui b = 8 Procdndo al calcolo dl limit a 6 6 a 6 6 a 6 6 a b 6 a 6 6 a a lim lim lim lim da cui sgu a =. M. Vincoli Esam di Stato 7 6

7 Vrifichiamo innanzitutto ch f individua una distribuzion di probabilità: Si ha quindi: f ; f d d f f d d P f d Gli vnti sono indipndnti, pr cui l informazion ch il numro sia il scondo stratto non è rilvant: 5 P d L quazion dlla rtta in forma vttorial risulta (O = origin dl sistma di rifrimnto cartsiano): Il vttor 5 5t y OA t AB t t z t 5 AB indica la dirzion dl piano pr cui, considrando inizialmnt il fascio di piani prpndicolari ad AB, imponndo succssivamnt il passaggio pr C, si ottin: 5 y z d 66 d d Pr cui l quazion richista è infin: : 5 y z 6 M. Vincoli Esam di Stato 7 7

8 Applicando il Torma di d l Hôpital, si ottin * : s a sn cos cos lim lim lim lim s a a a a a a a a 6 s a * pr a non intro il limit ha snso solo pr ch tnd a + ; la qustion non è comunqu rilvant ai fini dl qusito, in quanto vin richisto solo il valor di a ch rnd il limit finito non nullo. 7 I cntri dll sfr tangnti si trovano sulla rtta prpndicolar al piano passant pr P, a distanza piano stsso. 6 dal La rtta crcata ha quazion: t y t t z t t t t 6t d C, 6 t 6 t 6 Da cui si ottngono i du cntri richisti:,,,, C C 8 Il dado prsnta facc la cui probabilità di uscita è q una con probabilità p=q. Si ha: q q q 7, 69% p 5,8% Calcoliamo la probabilità richista mdiant l vnto complmntar: in 5 lanci, la faccia numro sca al massimo una volta; si tratta di una distribuzion binomial con valori di probabilità (sc la faccia ) (non sc la faccia ). 5 5 PF P F PF 5,7 7, % 5 5 M. Vincoli Esam di Stato 7 8

9 9 L soluzioni rali dll quazion fornita sono gli zri dlla funzion f ( ) arctg, continua drivabil in,ssndo somma di funzioni continu drivabili nllo stsso insim. Si ha: lim arctg f '( ) Risultano prtanto soddisfatt l condizioni dl torma di sistnza unicità dgli zri, pr cui la funzion f() si annulla sattamnt in un punto. f ( ) pr pr f( ) è continua in ; f( ) non è drivabil in ;, prsntando du punti angolosi pr pr pr si ha infatti: f '( ) sgn lim sgn f( ) f() 5. Non risulta prtanto vrificata la sconda ipotsi dl torma di Roll; tuttavia si ha f '(). Ciò non contraddic assolutamnt il torma di Roll in quanto tal torma, com tutti i tormi non invrtibili, prsnta una condizion sufficint ma non ncssaria, ovvro: - s l ipotsi sono vrificat, l nunciato sprsso dalla tsi è vro - l nunciato sprsso dalla tsi potrbb ssr vro anch snza ch siano soddisfatt tutt l ipotsi. M. Vincoli Esam di Stato 7 9