Appunti di Statistica

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1 Appunti di Statistica Appunti dall lzioni Nicola Vanllo 27 dicmbr 2018

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3 Capitolo 1 Variabili Alatori Discrt 1.1 Variabil alatoria di Brnoulli Una variabil alatoria di Brnoulli, può assumr du valori, dnominati nl sguito com succsso insuccsso, di valori rispttivamnt, 1 0. La probabilità di ottnr un succsso è pari a p, mntr la possibilità di ottnr un insuccsso è pari a q=1-p. Quindi P {X = 1} = p P {X = 0} = 1 p = q La variabil alatoria di Brnoulli può ssr utilizzata pr dscrivr un procsso di Brnoulli, ovvro una sri di n prov indipndnti, ciascuna dll quali può assumr valor 0 o 1, con la stssa probabilità. In particolar, il numro di succssi in n prov può ssr dscritto dalla variabil alatoria X = X 1 + X X n dov la variabil X i dscriv il risultato dlla prova i-sima. Si può dimostrar ch tal variabil ha una distribuzion di tipo binomial. Infatti s considriamo la probabilità di un vnto composto nl qual si hanno k succssi n-k insuccssi, tal probabilità val p k q n k. Visto ch il numro di vnti di qusto tipo è pari al numro di combinazioni di k oggtti in n posizioni (o quivalntmnt al numro di modi diffrnti ni quali i k succssi si possono prsntar nll n prov), la probabilità di avr k succssi in n prov è pari alla massa di probabilità binomial ( ) n p n (k) = p k q n k k S la probabilità di succsso è molto piccola, allora l vnto succsso è un vnto raro la variabil alatoria è dscritta da una distribuzion di Poisson. Ora introdurrmo la variabil di Poisson. 3

4 4 CAPITOLO 1. VARIABILI ALEATORIE DISCRETE Tmpo dl k-simo succsso: variabil binomial ngativa Considriamo i risultati di un procsso di Brnoulli considriamo dll variabili alatori ch dscrivano i tmpi intrcorrnti tra du vnti carattrizzati da un succsso. Ad smpio T 1 indica il numro dll vnto ch è stato carattrizzato dal primo succsso. Quindi T 1 =5 indica ch il primo succsso coincid con l vnto 5. S poi indichiamo T 2 =3, significa ch il scondo succsso si è vrificato al tmpo T 1 +T 2 =8. Considriamo adsso il tmpo dl k-simo succsso τ k =T 1 + T T k Qusta è un variabil alatoria ch può assumr i valori intri da k a +inf. La massa di probabilità può ssr dfinita com, la probabilità ch il k-simo succsso avvnga al tmpo k+h quindi P {τ k = k + h} Il succsso k-simo in corrispondnza dl tmpo k +h, avvin quando X k + h=1 ci sono stati altri k-1 succssi nll prcdnti k+h-1 variabili. ( I modi ni quali i k-1 succssi possono vrificarsi ni k+h-1 vnti sono k+h 1 ) k 1. Ciascuno di qusti vnti ha una probabilità pari a p k q h considrando anch l vnto succsso al tmpo k+h abbiamo p k q h. In dfinitiva, siamo in grado di calcolar la massa di probabilità crcata, ch prndrà il nom di binomial ngativa di paramtri k p d è pari a ( ) k + h 1 P {τ k = k + h} = p k q h k 1 Tal variabil ha valor mdio varianza pari a τ k = k p, σ2 = k q p 2 Chi foss intrssato alla dimostrazion può far rifrimnto all dispns dl Prof. Flandoli. 1.2 Variabil alatoria di Poisson La distribuzion di Poisson srv pr contar il numro di volt in cui un vnto ha luogo in un dtrminato intrvallo di tmpo. La stssa distribuzion può ssr stsa anch pr contar gli vnti ch hanno luogo in una dtrminata porzion di spazio. Tal distribuzion trova un applicazion biomdica, ad smpio, nlla dscrizion dll immagini ottnut tramit la Tomografia ad mission di positroni o PET, nlla qual la formazion dll

5 1.2. VARIABILE ALEATORIA DI POISSON 5 immagini è lgata alla rivlazion di vnti di dcadimnto radioattivo. La distribuzion di Poisson si può vdr com limit dlla distribuzion binomial dov la probabilità di succsso p è pari a Λ n con n ch tnd a. lim n ( n )p k q n k Λ Λk = k k! dov Λ è il numro mdio di vnti può ssr visto com Λ=λT dov T è l intrvallo di tmpo λ il numro mdio di vnti nll unità di tmpo. Si fa notar ch il prodotto np è pari al valor finito Λ. Esmpio 1 Supponiamo ch un vnto accada 300 volt all ora noi siamo intrssati alla probabilità ch in un minuto accadano sattamnt 2 vnti. In qusto caso quindi la nostra unità di rifrimnto è il minuto in un minuto il numro mdio di vnti è pari a Λ = = 5. Quindi la probabilità ch in un minuto si abbiano 2 vnti è pari a da ! = La probabilità ch un vnto accada almno 8 volt in un minuto è data P {X 8} = 1 P {X 7} = 1 7 i=0 5 5i i! = Tal risultato può ssr ottnuto anch tramit tabll ch mostrano i valori di k Λ Λk k! al variar di Λ k. Esmpio 2 i=0 Supponiamo ch un vnto in mdia avvnga 6 volt al minuto, si calcoli la probabilità ch avvnga un numro di vnti ugual o infrior a 3 in un minuto. In qusto caso Λ = 6, quindi si ha ch la probabilità richista è pari a P {X 3} = 3 i=0 6 6i i! = = =

6 6 CAPITOLO 1. VARIABILI ALEATORIE DISCRETE Si calcoli la probabilità ch avvnga un numro di vnti pari a 2 in 30 scondi. In qusto caso λ = 6 minuto mntr Λ = 6T = = 3. Quindi si ha ch la probabilità richista è pari a P {X = 2} = 3 i=0 6 6i i! ! = = = Alcun proprità dlla variabil di Poisson Valor mdio. Il valor mdio dlla variabil di Poisson è pari a E{X} = η X = considrato ch kp k = k=0 k=0 k=1 Λ Λk k k! = Λ Λ x k k! = x k=1 tramit un smplic cambio di variabil si può dir ch E{X} = Λ Λ k=1 Λ k 1 k 1! = Λ Λ k 1 k 1! Varianza. Calcoliamo la varianza dlla variabil di Poisson. Pr far qusto è util calcolar la grandzza E{X(X 1)}. Tal grandzza risulta di smplic calcolo prmtt di ottnr il valor quadratico mdio com E{X 2 } = E{X(X 1)} + E{X} E{X(X 1)} = k(k 1)p k = k(k 1)p k = k=0 k=2 k=2 k(k 1) Λk Λ k! = = Λ Λ 1 k=2 Λ k 1 (k 2)! = Λ2 In qusto modo E{X 2 } = E{X(X 1)} + E{X} = Λ 2 + Λ σx 2 = E{X2 } E 2 {X} = Λ 2 + Λ Λ 2 = Λ Somma di variabili alatori di Poisson. La variabil Z, somma di du variabili Poisson X Y di valor attso Λ X Λ Y, rispttivamnt, è una variabil di Poisson con valor attso Λ Z = Λ X + Λ Y. La diffrnz di du variabili di Poisson non è una variabil di Poisson. Basti pnsar ch può assumr valori ngativi.

7 1.2. VARIABILE ALEATORIA DI POISSON 7 Esmpio 3 (dal libro di Ciampi, Dl Corso, Vrrazzani In campo biomdico, l immagini la tomografia ad missioni di positroni possono ssr studiat tramit un modllo basato sulla distribuzion di Poisson. Il procsso di dcadimnto radioattivo può ssr schmatizzato com una variabil di Poisson. Considriamo ad smpio una sostanza radioattiva il cui numro mdio di dcadimnti al scondo è pari a λ = 0.5. Si calcoli qual è la probabilità di avr almno una disintgrazion al minuto. In qusto caso possiamo dir ch il problma si può studiar utilizzando Λ = 0.5T = = 30, quindi la probabilità richista è P {X 1} = 1 P {X = 0} = 1 = ! In modo analogo si può vdr il numro di dcadimnti in un minuto com la somma di 60 variabili, ognuna di Poisson con E{X} = λ. Quindi tal variabil sarà anch ssa una variabil di Poisson con valor attso pari a 60λ.

8 8 CAPITOLO 1. VARIABILI ALEATORIE DISCRETE

9 Bibliografia [1] Luigi Landini, Nicola Vanllo (2016) Analisi Modlli di Sgnali Biomdici, Plus Pisa Univrsity Prss d. [2] Luigi Landini (2005) Fondamnti di Analisi di Sgnali Biomdici con Esrcitazioni in Matlab, Plus Pisa Univrsity Prss d. [3] F. Flandoli (2001) Elmnti di Probabilità, Statistica Procssi Stocastici [4] M. Ciampi, G. Dl Corso, L. Vrrazzani (1994) Toria di Sgnali. Sgnali Alatori ETS d. 9