ESAME DI GEOMETRIA E ALGEBRA INGEGNERIA INFORMATICA (PROF. ACCASCINA) PROVA SCRITTA DEL 1 GIUGNO 1998 Tempo assegnato: 2 ore e 30 minuti
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- Ambra Petrucci
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1 ESAME DI GEOMETRIA E ALGEBRA INGEGNERIA INFORMATICA (PROF. ACCASCINA PROVA SCRITTA DEL 1 GIUGNO 1998 Tmpo assgnato: 2 or 30 minuti PRIMO ESERCIZIO [8 punti] Sia A il sottoinsim dll anllo (M (2, R, +, (dov + indica la somma di matrici ( indica il prodotto di matrici riga pr colonna formato dall matrici a b dl tipo con a, b R: 1. Mostrar ch A è un sottoanllo di M(2, 2, R. ( a b 2. Mostrar ch la funzion f : C A così dfinita f(a + ib isomorfismo di anlli. è un 3. Dimostrar ch A è un campo (Suggrimnto: utilizzar il punto 2 SECONDO ESERCIZIO [7 punti] Si dtrmini al variar dl paramtro m in Z, la cardinalità dll insim A m {(x, y x Z, y Z, y mx, xy 1}. TERZO ESERCIZIO [8 punti] Siano dat l matrici A B di M (4, R: A B Stabilir s l matrici A B sono simili: in caso affrmativo dtrminar una matric M GL (4, R tal ch A M 1 BM 2. Calcolar A 100 B QUARTO ESERCIZIO [7 punti] Il quarto srcizio riguarda argomnti non facnti part dl programma dl anno accadmico
2 ESAME DI GEOMETRIA E ALGEBRA INGEGNERIA INFORMATICA (PROF. ACCASCINA RISOLUZIONE DEL TEMA D ESAME DEL 1 GIUGNO 1998 PRIMO ESERCIZIO 1. Pr vrificar ch A è un sottoanllo di (M (2, R, +, occorr basta vrificar ch A, ch pr ogni M N A l matrici M + N, M MN appartngono ancora ad A. L insim A è vidntmnt non vuoto, prché possiamo assgnar ai paramtri a b di valori rali arbitrari ottnr una matric di A. Siano ora ( ( a b c d M N d c du matrici qualunqu di A. Dunqu: ( ( a + c b + d a + c b + d M + N, b d a + c (b + d a + c ( ( a b a b M, b a ( b a ( ( ac bd ad + bc ac bd ad + bc MN bc ad bd + ac (ad + bc ac bd sono vidntmnt matrici di A. 2. Pr vrificar ch f è un isomorfismo occorr basta vrificar ch f consrva l oprazioni ch f è sia inittivo sia surittivo. (a S a + ib c + id sono du numri complssi allora, ( a + c b + d fa (+ib + c + id f (a + c + i (b + d (b + d a + c ( ( a b c d f (a + ib + f (c + id + d c ( a + c b + d (b + d a + c, prtanto f consrva la somma. Inoltr ( ac bd ad + bc f((a + ib(c + id f(ac bd + i(ad + bc bc ad ac bd ( ( a b c d f(a + ib f(c + id d c ( ac bd ad + bc. bc ad ac bd Dunqu f è un omomorfismo. 2
3 ( a b (b f è inittivo. S f(a+ib 0, allora a b 0, cioè a + ib 0. ( a b (c f è surittivo. S ( ,, prtanto, è una matric di A, allora A f(a + ib. 3. Pr vrificar ch A è un campo è sufficint notar ch abbiamo vrificato ch A è isomorfo a C. Poiché qust ultimo è un campo anch A lo è. SECONDO ESERCIZIO Si noti anzitutto ch il sistma { y mx xy 1 è ovviamnt quivalnt al sgunt { y mx mx 2 1 Dunqu, s indichiamo con B m il sottoinsim {x mx 2 1} di Z, l applicazion α : B m A m dfinita da α (x (x, mx è biunivoca, quindi, A m B m. Pr m 0, la disquazion mx 2 1 è soddisfatta pr tutti i valori x Z. Dunqu A m ℵ 0. Pr m 1 la disquazion divnta x 2 1 ch ha com soluzioni i valori 0, 1 1. Dunqu A 1 3. Pr m > 1 la disquazion mx 2 1 ha com unica soluzion x 0 (s x 0, allora x 2 1 mx 2 > 1. Dunqu A m 1. L srcizio potva ssr risolto anch gomtricamnt, considrando A m com l insim di punti a coordinat intr dl piano giacnti sulla rtta di quazion y mx comprsi tra i du rami dll iprbol di quazion xy 1. TERZO ESERCIZIO 1. Du matrici quadrat rali sono simili s solo s, a mno di scambi di blocchi, hanno la stssa forma canonica di Jordan (vntualmnt a cofficinti complssi. Ossrviamo ch A è una matric triangolar (suprior: i suoi autovalori sono gli lmnti lungo la diagonal contati con l opportun moltplicità. Dunqu gli autovalori di A sono λ 1 0 di moltplicità algbrica 2 λ 2 1 di moltplicità algbrica 2. Dtrminiamo ora la forma canonica di Jordan di A. Sappiamo ch la moltplicità gomtrica di un autovalor di una matric è ugual al numro di blocchi di Jordan rlativi all autovalor prsnti nlla forma canonica dlla matric. Ora: mg A (0 4 car A 4 car
4 mg A (1 4 car (A I 4 car Dunqu la forma canonica di Jordan di A è composta un blocco di Jordan rlativo all autovalor 0 avnt dimnsion 2 (cioè ugual alla moltplicità algbrica di 0 da du blocchi di Jordan rlativi all autovalor 1 avnti ciascuno dimnsion 1 (cioè dimnsion complssiva ugual alla moltplicità algbrica di 1. Dunqu, a mno di scambi di blocchi, la forma di Jordan di A è la sgunt J S considriamo ora la matric B, vdiamo ch ssa è una matric triangolar infrior. Analogamnt a quanto visto pr A si ha ch B ha i du autovalori λ 1 0 di moltplicità algbrica 2 λ 2 1 di moltplicità algbrica 2. Inoltr si trova facilmnt ch mg B (0 1 mg B (1 2. Prtanto la forma canonica di Jordan di B è, a mno di scambi di blocchi, la stssa di A. Dunqu A B sono simili. Dtrminiamo ora una matric invrtibil R tal ch R 1 AR J. Pr far ciò considriamo l ndomorfismo η di R 4 la cui matric risptto alla bas canonica { 1, 2, 3, 4 } di R 4 sia A. Dtrminiamo l immagini di vttori dlla bas canonica tramit η η 2 (dobbiamo calcolar l potnz di η fino al grado ugual all indic dl autovalor 0: Considriamo allora la sgunt succssion di nucli (sulla prima riga dlla tablla abbiamo riportato l loro dimnsioni la sgunt catna di autovttori gnralizzati: 0 < 1 < 2 {0} kr η kr η 2 0 v 1 v 2 Occorr allora scglir v 2 in kr η 2 kr η: ad smpio scgliamo v Dtrminiamo così v 1 η (v Sia ora η 1 η I. Dtrminiamo l immagini di vttori dlla bas canonica tramit η 1 (dobbiamo calcolar l potnz di η 1 fino al grado ugual all indic dl autovalor 1:
5 Allora vdiamo subito ch 1 4 formano una bas di kr η 1. Poniamo allora v 3 1, v 4 4. Considriamo ora la matric R l cui colonn sono, rispttivamnt, l componnti di vttori v 1, v 2, v 3 v 4 risptto alla bas canonica. Risulta allora R 1 AR J. Analogamnt dtrminiamo una matric invrtibil S tal ch S 1 BS J. Considriamo allora l ndomorfismo θ di R 4 la cui matric risptto alla bas canonica { 1, 2, 3, 4 } di R 4 sia B. Dtrminiamo l immagini di vttori dlla bas canonica tramit θ θ 2 (dobbiamo calcolar l potnz di θ fino al grado ugual all indic dl autovalor 0: Considriamo allora la sgunt succssion di nucli (sulla prima riga dlla tablla abbiamo riportato l loro dimnsioni la sgunt catna di autovttori gnralizzati: 0 < 1 < 2 {0} kr θ kr θ 2 0 u 1 u 2 Occorr allora scglir u 2 in kr θ 2 kr θ: ad smpio scgliamo u 2 3. Dtrminiamo così u 1 θ (u 2 4. Sia ora θ 1 θ I. Dtrminiamo l immagini di vttori dlla bas canonica tramit θ 1 (dobbiamo calcolar l potnz di θ 1 fino al grado ugual all indic dl autovalor 1: Allora vdiamo subito ch formano una bas di kr θ 1. Poniamo allora u 3 1, u Considriamo ora la matric: S l cui colonn sono, rispttivamnt, l componnti di vttori u 1, u 2, u 3 u 4 risptto alla bas canonica. Risulta allora S 1 BS J. Ma allora s S 1 BS R 1 AR, si ha ch B SR 1 ARS 1 (RS 1 1 A(RS 1 Dunqu una matric M com qulla crcata è, ad smpio, RS 1. 5
6 2. Ossrviamo innanzitutto ch il polinomio minimo tanto di A quanto di B è x 2 (x 1, prtanto, sist un polinomio p(x di grado minor di 3 ch coincid con il polinomio f(x x 100 sullo spttro di A B, ovvro tal ch p(0 f(0, p (0 f (0 p(1 f(1. Allora p(a A 100 p(b B 100. S p(x a + bx + cx 2, si ha ch p (x b + 2cx. Inoltr f (x 100x 99. Imponndo l condizioni p(0 f(0, p (0 f (0 p(1 f(1 troviamo il sistma: a 0 b 0 a + b + c 1, ch, risolto, dà a b 0 c 1. Ma allora p(x x 2, ovvro A 100 A B 100 B
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