LEZIONE 17. Esercizio Trovare la soluzione delle seguenti equazioni differenziali di Bernoulli, ciascuna con condizione iniziale y(0) = 2.

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1 7 LEZIOE 7 Esrcizio 7 Trovar la soluzion dll sgunti quazioni diffrnziali di Brnoulli, ciascuna con condizion inizial y) = La prima quazion è y x) =yx) y x) Si può dividr pr il trmin di grado più alto in y, cioè y x), si ottin y x) y x) =y x), 7) a qusto punto si idntifica con ux) =y x) così ch u x) = y y x) Qust ultima quantità la si ritrova al primo mmbro dll quazion 7), ch infatti si può riscrivr in trmini di ux) com u x) =u = u x) = 4ux)+ Abbiamo dunqu trasformato l quazion non linar di partnza in una linar a cofficinti costanti ch sappiamo risolvr Pr farlo dobbiamo risolvr i du intgrali ausiliari ch srvono pr costruir la soluzion Il primo è l intgral dl cofficint di ux), l altro considra anch il cofficint dl trmin noto, ovvro 4 dx = 4x, 4σ dσ = x 4 4σ = 4x ) La soluzion dll quazion in u è quindi ux) =c 4x + 4x 4x ) = + c ) 4x, dov c è una costant ch si dtrmina a partir dal dato inizial su y Passiamo ora dalla soluzion di u a qulla di y ricordando la rlazion ch lga l du funzioni, avvamo posto ux) =y x) quindi ux) /, ovvro + c ) ) 4x 89

2 9 LEZIOE 7 Dtrminiamo c usando l ipotsi y) =, quindi =y) = c / = c =/4 In conclusion la soluzion dll quazion diffrnzial è + 4 ) ) 4x = 4x La sconda quazion è y x) =yx)+ yx) Con la tcnica sposta nll srcizio prcdnt possiamo trasformar l quazion in y x) yx) = yx)+ quindi porr u = yx) da cui u x) = y x) L quazion divnta dunqu yx) u x) =ux)+ = u x) =ux)+ ch è linar a cofficinti costanti I du intgrali ausiliari ncssari pr risolvrla sono: x ds = x, σ dσ = x σ = x La soluzion dlla funzion u è di consgunza ux) =c x + x ) x, sapndo ora ch ux) = ux) si ricava c x + x )) x = x c + ), ) da=y) = c si ha ch c =, pr cui La trza quazion è ) + x ) y x) =yx)+x yx) con la sostituzion ux) = u x) = y x) l quazion si trasforma in yx) u x)+ux)+x = u x) =ux)+ x Il primo intgral ausiliario è smplicmnt ds = x, mntr il scondo è σ σ dσ = σ σ x + σ dσ = x x + x )

3 LEZIOE 7 9 La soluzion in u è quindi ux) =c x + x x x + ) x ), ora sostitundo u x) abbiamo la soluzion pr y, c x + x x x +))) Calcolando y) si ha =c = c = quindi x + x )) x x +) La quarta d ultima quazion è più difficil da risolvr, y x) =y x)+yx), ssa è un quazion a variabili sparabili, ma vi si può riconoscr, con una piccola astuzia, un quazion di Brnoulli Vdiamo ntramb l soluzioni, iniziando con il mtodo dlla sparazion dll variabili Si raccolgono tutt l y al primo mmbro, ottnndo y x) y = = x)+yx) yx) z + z dz = dx Il scondo intgral è lmntar val x, pr quanto riguarda il primo, ossrviamo ch si può scomporr l intgrando in fratti smplici dl tipo z + z = A z + B z +, dov z =, sono l radici dl dnominator z + z A, B si trovano con i mtodi già illustrati Con facili passaggi si trovano A =/ B = / Siamo ora in grado di risolvr l intgral dlla funzion razional: yx) yx) z + z dz = z + z + dz = ln yx) ln yx)+ + ln 4 Raccoglindo i trmini si ha ) yx) ln + ) yx) / yx)+ ln = x = = yx)+ / x, il scondo mmbro è smpr positivo quindi possiamo toglir i moduli prndr il cubo di ambo i mmbri pr liminar la radic, yx) yx)+ = 4 x = + x 4 x

4 9 LEZIOE 7 Risolviamo ora l quazion con il mtodo di Brnoulli, ossrviamo subito ch l quazion non è dlla forma giusta pr applicar la tcnica, così com fatto finora Sappiamo infatti risolvr quazioni dl tipo y = ax)yx)+bx)y α ma qusta volta compar anch un trmin noto ch non sappiamo com trattar Bisogna dunqu vdr s siamo in grado di ricondurr qusto caso al caso omogno snza trmin noto Ciò lo si può far crcando un opportuno cambio di variabili pr y tal ch il nuovo diffrnzial coincida con qullo di y Una possibil stratgia potrbb ssr di crcar un opportuna traslazion, ovvro un cambio di variabil zx) =yx)+k dov k R Con qusto cambio si ha ch z x) =y x) zx) k Sostituiamo qusto valor di yx) nll quazion crchiamo di annullar il trmin noto scglindo un appropriato valor di k Riscrivndo l quazion diffrnzial con il nuovo cambio di variabili si ha: z x) =zx) k) +zx) k) =z x)+ k)zx)+k k Possiamo crcar un valor di k ch annulli il trmin noto dll quazion diffrnzial prcdnt ovvro porr k k = Qust quazion ammtt du soluzioni, k = ± +8 = ± =, Scglindo una dll du radici, pr smpio k =, l quazion diffrnzial divnta z x) =z x) zx), con z) = y)+=+=4 Abbiamo dunqu trasformato l quazion di partnza in una di Brnoulli ch sappiamo risolvr con l tcnich dgli srcizi prcdnti In particolar, dividndo ambo i mmbri pr z x), z x) z x) = + = ux) = zx) zx) = u x) = z x) z x) In qusto modo si passa dalla forma non linar di Brnoulli a qulla linar u x) =ux) Il primo intgral ausiliario è ds =x, mntr il scondo è σ dσ = x ) La soluzion gnral dll quazion in u è quindi ux) =c x + x x ) = + c ) x Facndo la sostituzion invrsa u =/z da cui z =/u si ha zx) = + c ) = 4=z) = x c = c = 4

5 LEZIOE 7 9 Possiamo scrivr la soluzion in y calcolando zx), ovvro +/6x / / x +/ = /+/6x / / x = + /x ) /4x ) = + x 4 x, ch è la stssa soluzion trovata con il mtodo di sparazion dll variabili Facciamo ora la vrifica ch la soluzion trovata risptti l quazion diffrnzial y = y + y, il primo mmbro si scriv com y x) = 4 x ) 4 x ) + x 4 x ) = Il scondo mmbro è y + y d quival a x 8 6x + 4 x + 8 x 4 x ) = y + y = + x ) ++ x ) 4 x ) 4 x ) 4 x ) = +x + 4 6x )x 8 6x + x 8 6x 4 x ) = 4 + )x 4 x ) = 9 4 x 4 x ) = y x) Dunqu la soluzion trovata risptta l quazion diffrnzial 9 4 x 4 x ) Esrcizio 7 Studiar l quazion logistica nl caso in cui la capacità portant vari nl tmpo scondo la lgg Kt) = t ) con tasso di crscita costant ε = Dtrminar la soluzion il suo andamnto La nuova quazion ch si forma è tralasciando di scrivr splicitamnt la dipndnza dal tmpo t di t) Kt)), = ), K con dato inizial ) = Si nota subito ch ci sono du soluzioni stazionari, t) = t) =Kt) Vdiamo com trovar l soluzioni non banali Sviluppando il scondo mmbro si trova un quazion di Brnoulli: = K = = K Possiamo risolvrla com l quazioni prcdnti, ponndo u = = u = nuova quazion è linar, d è u = u + t ), dunqu la

6 94 LEZIOE 7 Il primo intgral ausiliario è t ds = t, il scondo èpiù laborioso da calcolar: t σ σ ) dσ = t σ dσ, + σ t [ z = σ t = dz = σ dσ, σ = z = + dz = z z z dz = t z z dz = t z + z dz = t + z dz = z + ln z ) t L ultima sprssion si può smplificar in t + ln t ln ) = t + ln t + ) ln Possiamo smplificar i logaritmi di du toglir il modulo, prché pr t [, ) l argomnto è positivo, si trova ch il scondo intgral ausiliario val t σ σ ) dσ = t + ) lnt ) La soluzion gnral di ut) è quindi ut) =c t + t t + ) lnt ), ] pr una costant c dipndnt dal dato inizial ) = Ricordando ora ch = u si ha ch t) = c t + t t + ) lnt ) Calcoliamo ora ) pr dtrminar c, considriamo pr comodità u) poi prndiamo il rciproco, u) = c + + ) ln ) = c, dunqu = ) = /c da cui c = Pr quanto riguarda l andamnto, ossrviamo ch ffttivamnt ) =, mntr il limit pr t dlla funzion è com ci aspttavamo, sapndo ch l quazion dlla logistica tnd alla portant K, infatti il limit dlla funzion portant Kt) pr t èproprio Dunqu pr < <K) = la funzion crsc vrso, mntr pr valori supriori, dcrsc fino a Pr =la funzion non è dfinita division pr zro) ma, com si vinc dalla Figura 7, il limit di t) pr è la funzion nulla la soluzion stazionaria trovata all inizio)

7 LEZIOE 7 95 Figur 7: Il grafico dll quazion t) pr divrsi valori di Esrcizio 7 Considrat il caso di una malattia cronica caso γ =), tnndo conto dlla paramtrizzazion r = cχ, dov c è il numro di contatti pr unità di tmpo, χ la probabilità di ssr infttati in un contatto con un infttivo, studiar il caso in cui il numro di contatti vari priodicamnt scondo la lgg ct) =+sinπt, sia = I = L quazion pr il numro di infttivi è data da ) I r t) =r γ) r γ It) It) = I t) =rt)it) rt)i t) Qust ultima è un quazion diffrnzial di Brnoulli, la rndiamo linar con i sgunti passaggi: I t) I t) = rt) It) rt) = ut) = It), u t) = I t) I t),

8 96 LEZIOE t 4 4 χ Figur 7: Il grafico dll quazion It) pr divrsi valori di χ ovvro smplificando u t) = rt)ut) + rt) Indichiamo con Rt) l intgral t χ t χ cos πt + rs) ds = + sin πs ds = Rt) = t π π Allora il primo intgral ausiliario At) = Rt) = t cos πt + rs) ds = χ t π π Pr quanto riguarda il scondo intgral ausiliario, possiamo vitar di calcolarlo splicitamnt ossrvando ch sso si scriv com t t t σ Aσ) Rσ) rσ) dσ = rσ) dσ = rs) ds rσ) dσ, σ allora pr risolvrlo sufficint il cambio di variabil y = rs) ds = Rσ) pr cui, usando il torma di drivazion di un intgral dfinito, dy = rσ) dσ, quindi si ha la smplificazion t σ rs) ds rσ) dσ = t rs) ds y dy = Rt) Rt) y dy =

9 LEZIOE 7 97 Allora la soluzion gnral pr l quazion diffrnzial in u è ut) =k Rt) + Rt) Rt) Di consgunza la soluzion pr l quazion dgli infttivi è It) = ut) = + k ), Rt) ossrvando ch R) = χ /π +/π) =si ha ch = I = I) = + k ) = + k ) Rt) ) = k = Il comportamnto asintotico di It) è rgolato dall sponnt Rt), il qual pr t val χ lim Rt) = lim t ) cos πt + =+, t t π π ovvro Rt), allora It) L andamnto è riportato in Figura 7 pr divrsi valori dlla probabilità di contagio χ