Soluzioni. Utilizziamo la separazione di variabili. Cerchiamo una soluzione del problema della forma. 2 R (incognita da determinare).

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1 Es. Es. Es. Es. 4 Total Politcnico di Milano - Inggnria Enrgtica Mtodi Analitici Numrici 4 Sttmbr 07 Cognom: Nom: Matricola: Esrcizio. Utilizzndo il mtodo di sarazion dll variabili, dtrminar una soluzion u = u(, t) >< u(, u(, t)+u(, t) =0 in Q =(0, ) u(, 0) = 0, u(, 0) = + cos() in (0, >: u(, t) =0, in (0, Utilizziamo la sarazion di variabili. Crchiamo una soluzion dl roblma dlla forma u(, t) = (t) (), ov C ([0, +)) C ([0, ]), con, 6= 0. Drivando tal funzion sostitundola nll quazion, si vd ch soddisfano l idntità 00 (t)+ (t) (t) = 00 () () = R (incognita da dtrminar). Considrando l quazion r, si dduc ch ssa risolv il roblma ai limiti < 00 () () =0, (0, ), : 0 (0) = 0 ( ) =0 il qual ammtt soluzioni non banali s, solo s = n = n al 0 in qusti casi () = n () =c n cos(n), (0, ) (c n costanti incognit da dtrminar). Si noti ch la soluzion 0() =c 0, corrisondnt all autovalor n = 0 è costant. Pr quanto riguarda, ssa risolv il roblma < 00 (t)+(+n ) (t) =0, t (0, +), : (0) = 0 ch ammtt com soluzioni (t) = n (t) =d n sin t n +,n 0, t (0, +) (d n costanti incognit da dtrminar). Quindi, una gnrica soluzion dl roblma ha la forma u(, t) = +X Bn sin t n + cos(n), (, t) Q,

2 ov abbiamo osto B n = c n d n. Notiamo subito u(, t) = X B n n + cos t n + cos(n), n=0 da cui, utilizzando la condizion 0) (finora non considrata) u(, 0) = X B n n + cos(n) = + cos(). n=0 Quindi, r il rinciio di idntità dll sri di Fourir (our, analogmnt, utilizzando il torma di ortogonalità), abbiamo subito ch B 0 =, 0B = B n =0 n 6= 0,. Concludiamo quindi ch u(, t) =sint + sin t 0 cos(), (, t) Q. 0

3 Esrcizio. Dtrminar una soluzion u = u(, t) dl roblma di u(, u(, t) R,t>0, >: u(, 0) =, R. Vrificar i risultati. Posto K t () = (4 t) / (nuclo dl calor) () = (dato inizial), utilizzando la formula fondamntal abbiamo quindi ch u(, t) =(K t )() = Z + K t (y) ( y)dy = Z + 4 t 4 t y y +y dy. Pr calcolar slicitamnt gli intgrali all riga sora, ricordiamo rliminarmntl intgral gaussiano Z + z dz =. Dalla smlic guaglianza Dduciamo quindi ch 0 r + y y + q + A + Z + y y +y dy = Z + + q y + r = 4oniamo z = y + +! dy q () dy = q dz = q + Tornando alla formula gnral, si ha dunqu Z + z dz = 4 t + +. u(, t) = 4 t 4 t + ( + + ) = + +, R,t>0.

4 Esrcizio. Calcolar la trasformata di Fourir dlla funzion f() = cos +9, R. Notiamo rliminarmnt ch valggono l sgunti guaglianz cos = + cos() = + 4 i + i, Prtanto considriamo la dcomosizion ov abbiamo dfinito f() = f ()+ 4 f ()+ 4 f () f () = +9, f () = i +9 f () = i +9. Procdiamo quindi al calcolo dll trasformat di f, f f. Pr quanto riguarda f, abbiamo F[f ](y) = y (trasformata notvol). Prndndo oi in considrazion la formula di traslazion ossiamo calcolar anch F[ ia ()](y) =F[ ](y a), (a costant ral) F[f ](y) =F[ i f ()](y) =F[f ](y ) = y, analogamnt F[f ](y) =F[ i f ()](y) =F[f ](y + ) = y+. Infin, r linarità, si ha F[f](y) = F[f ](y)+ 4 F[f ](y)+ 4 F[f ](y) = 6 y + y + y+, y R.

5 Esrcizio 4. Utilizzando la trasformata di Lalac, dtrminar la soluzion dl sgunt roblma di Cauchy y 00 (t)+y 0 (t) >< y(t) = t, t (0, +), y(0) =, >: y 0 (0) =. Dfiniamo rliminarmnt la notazion standard L[y](s) =y(s), s (0, +) (Trasformata di Lalac). Alichiamo quindi la trasformata di Lalac al trmin di sinistra dll quazion imoniamo l condizioni iniziali. Si ha s y(s) sy(0) y 0 (0) + sy(s) y(0) y(s) = s + s y(s) s =(s )(s + )y(s) s. Ricordando inoltr ch concludiamo In virtù dlla dcomosizion L[ t ](s) = y(s) = s s (s )(s + ) s (, +), (s ) (s + ). s (s )(s + ) (s ) (s + ) = s + s + (s ) dduciamo infin ch y(t) =L [y](t) =L al s (t)+l = t + t t t. al al s + (t) L (s ) (t)