z 2 9 = 0 4z 2 12iz 10 i = 0 z = 3i + 4 2e i 9 8 π 2 Im f 1 = ] 2, 1] [4, 7] Im f 2 = [0, 25].

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1 Politcnico di Bari L3 in Inggnria Elttronica Esam di Analisi Matmatica I A.A. 008/009-0 fbbraio 009. Dtrminar i numri complssi z ch soddisfano l quazion ( z 9) (z iz 0 i ) = 0. I numri conplssi ch soddisfano l quazion z 9 = 0 sono mntr l quazion è soddisfatta pr ch possiamo scrivr anch com z = 3 iϑ con ϑ 0,, z iz 0 i = 0 z = 3i ± i 8 z = 3i + i 8 z = 3i + i Dat l funzioni 3x + s 0 x f (x) = x 3 s < x dtrminar: (a) l immagin di f f ; (b) f f (s possibil); (c) f f (s possibil). x s 5 x 0 f (x) = x s 0 < x 8 Smplici calcoli mostrano ch Im f = ], ], 7] Im f = 0, 5]. Poiché Im f non è contnuta in dom f, allora non è possibil dtrminar f f. Poiché Im f dom f, allora: s 0 x, f (x), 7] quindi f (f (x)) = f (x) = 3x + ; s < x, f (x) ], ] quindi f (f (x)) = f (x)] = (x 3).

2 Quindi 3x + s 0 x f f (x) = (x 3) s < x 3. Data la funzion ( ) f (x) = log x + x + 3 x + dtrminar: (a) dtrminar l insim di dfinizion X di f; (b) dtrminar X, X, Dr (X), X; (c) dtrminar gli insimi X = {x X f (x) > 0}, X = {x X f (x) = 0} X 3 = {x X f (x) < 0}; (d) dtrminar f (X). L insim di dfinizion dlla funzion f è dato dall insim dll soluzioni dl sistma { x + x x + x + 3 x + > 0 quindi X = ], +, da cui X =, +, X = X, Dr (X) = {+ }, X = { }. Poiché la disquazion x + x + 3 x + > l quazion x + x + 3 x + = non sono mai soddisfatt, allora Infin, poiché X = X = X 3 = X. lim f (x) =, x + lim f (x) = 0, x + tnndo conto dllo studio dl sgno di f dlla continuità abbiamo ch f (X) = ], 0.. Dtrminar l ordin di infinitsimo la part principal dlla funzion g (x) = (x ) sin (x ) x + pr x. Poiché pr x sin (x ) = (x ) + o ((x ) ) x = (x ) + (x ) + o ((x ) )

3 abbiamo ch g (x) = (x + ) (x ) + o ((x ) )] (x ) (x ) + o ((x ) ) ((x ) ) = (x ) + (x ) (x ) = ( (x ) + o (x ) ). (x ) + o Quindi g è infinitsima di ordin la sua part principal è (x ). 5. Studiar la drivabilità dlla funzion a + sin x + b cos x s x 0 h (x) = a arctan x + 3b x + s x < 0 nl suo insim di dfinizion al variar di paramtri rali a b. La funzion è continua drivabil pr qualsiasi valor di paramntri rali a b in R prché composta di funzioni drivabili. La funzion è continua in 0 s solo s lim x 0 h (x) = lim h (x) x 0 + 3b + a + b da cui a b =. Infin, prchè sia drivabil, dobbiamo avr lim h (x) = lim h (x) x 0 x 0 + a + 3b da cui a + 3b =. Quindi la funzion è drivabil in 0 quando la copiia (a, b) soddisfa il sistma { a b = a + 3b = cioè pr (a, b) = ( ) 8 5, Calcolar log ( x + x + ) dx. 3

4 log ( x + x + ) dx = x log ( x + x + ) x (x + ) x + x + dx = x log ( x + x + ) ( x + 8 ) x dx + x + = x log ( x + x + ) x + 8 x + x + x + dx = x log ( x + x + ) ( x + x + x + x ) x dx + x + = x log ( x + x + ) x + log ( x + x + ) + ( 5 arctan x + ) + c Studiar la funzion tracciandon un grafico approssimativo. F (x) = x log (tan t) dt Poiché l insim di dfinizion dlla funzion intgranda è ]k, + k, k Z ]0, ]0, x x ], + abbiamo ch l insim di dfinizion di F è ], +. Dallo studio dl sgno dlla funzion intgranda in ] 0, abbiamo ch F (x) 0 in ], + F (x) = 0 x = da cui abbiamo ch è punto di minimo assoluto. Poiché x + x la funzion intgranda è infinita di ordin comunqu piccolo, allora ssa è intgabil in snso improprio in, prtanto lim x + F (x) = log (tan t) dt R +. Analogamnt, poiché x + x 0+ la funzion intgranda è infinita di ordin comunqu piccolo, allora ssa è intgabil in snso improprio in ] 0, ] prtanto lim F (x) = log (tan t) dt R +. x + Quindi F è prolungabil pr continuità in (da dstra) ha asintoto orizzontal di quazion y =

5 Inoltr, poichè la funzion intgranda prsnta la sgunt simmtria ( ( )) ( ( )) log tan α = log tan + α pr α ] 0, Infin F è drivabil,, allora log (tan t) dt = F (x) = ( x log tan ) x F (x) 0 x prtanto ritroviamo ch è punto di minimo assoluto Il grafico di F è sup F = log (tan t) dt = Gli studnti ch sostngono la sconda prova di sonro dvono risolvr gli srcizi, 5, 6, 7. 5