Forza d interesse e scindibilità. Benedetto Matarazzo

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1 orza d intrss scindibilità Bndtto Matarazzo

2 Corso di Matmatica inanziaria Rgimi finanziari Oprazioni finanziari Intrss Sconto Equivalnz finanziari Rgim dll intrss smplic Rgim dll intrss composto Rgim dll intrss anticipato sconto commrcial Principali proprità di un qualsiasi rgim finanziario Confronto tra rgimi Tassi ffttivi Tassi quivalnti Tassi nominali Tassi istantani Scindibilità Rgimi scindibili Scindibilità forza d intrss Rgimi coniugati Tassi mdi orza d intrss di sconto

3 orza d intrss Lgg di capitalizzazion a du variabili intnsità mdia d intrss -C + C C+ Intrss prodotto in [ + ] da un capital C invstito in : I;+ = C+ C Tasso d intrss ffttivo in [ + ] dlla stssa oprazion: Oprazion finanziaria in prosguimnto > 0: ; ; C I i Intnsità mdia d intrss in [ + ] prodotta da un capital C invstito all poca scondo la lgg : i ; ;

4 lim orza d intrss Lgg di capitalizzazion a du variabili continua S è drivabil parzialmnt risptto ad si ha: 0 Intnsità mdia d intrss -1 log + + : forza d intrss o intnsità istantana d intrss in di prosguimnto prodotta dall invstimnto di un capital C all poca scondo la lgg. Rapprsnta la vlocità istantana di accrscimnto dl capital accumulato in risptto a tal valor.

5 orza d intrss Lgg di capitalizzazion a du variabili continua C M M Intrss maturato sul capital C nl priodo [ + ] a mno di infinitsimi di ordin suprior risptto a è quindi proporzional al montant all inizio dl priodo alla forza di intrss d all ampizza dl priodo lgg linar forza d intrss montant in durata Incrmnto dl montant intrss in [+] prodotto da C:

6 orza d intrss Lgg di capitalizzazion a du variabili continua attori di capitalizzazion forza di intrss ni divrsi rgimi: Intrssi smplici composti anticipati s 1 i i 1 i c 1 i log 1 i cm i i 1 i 1 i 1 i i funzion di d costant risptto ad d funzion di d dcrscnt con crscnt con N.B. La forza di intrss corrispondnt ai tr rgimi qui considrati è invariant risptto a traslazioni tmporali.

7 Dtrminazion dlla lgg di capitalizzazion t 0 a partir dalla forza d intrss Da log Infatti da intgrando in [t 0 ] risptto ad si ottin: t 0 s log s s 1 t 0 intgrando in ambo i mmbri risptto a si ha: Lgg di capitalizzazion dfinita dalla forza d intrss s s log log t 0 log ; log t 0 continua

8 Dtrminazion dlla lgg di capitalizzazion a partir dalla forza d intrss Continua Lggi finanziari a du variabili Ponndo t 0 = = 1 si ottin: s da cui: M 1 s quindi: s A S Risulta ancora: C S C s [condizion inizial] s s s ; 1

9 orza d intrss di sconto Lggi finanziari ad una variabil Lggi finanziari ad una variabil: - = t0 lim M t t M t lim C u t t u t t 0 t 0 u' t M t t M t t t s ut è drivabil u t -t + t -t Simmtricamnt forza di sconto; s vt è drivabil: At+t lim u t t M t u t t 0 0 At -S u t lim t 0 A t At t d t log v t dt lim v t v t Sv t v t 0 t d dt 1 log u t d dt t log v' t A t t A t t t v t u t t s utvt=1

10 orza d intrss Lgg di capitalizzazion ad una variabil ut continua attori di capitalizzazion forza di intrss ni divrsi rgimi: Intrssi smplici composti anticipati f s t 1 it f c t 1 t i f cm t 1 i 1 i it i 1 i it i t 1 it t log 1 i t dcrscnt con t costant crscnt con t attor di attualizzazion forza di sconto nl rgim dgli intrssi anticipati: d cm t 1 dt; cm t cm t 1 dt

11 orza d intrss Dtrminazion dlla lgg finanziaria ad una variabil Da d dt log u t t intgrando ambo i mmbri in [t 0 t] 0t 0 t ponndo t 0 =0 u0=1 condizion inizial si ha: u t 0 t s Lgg di capitalizzazion dfinita dalla forza d intrss t t0 Può ricavarsi immdiatamnt il fattor di sconto coniugato vt=1/ut: 1 0 v t u t t s In particolar s t= costant t si ha: M t t C 0 s C t Lgg di attualizzazion dfinita dalla forza d intrss t t0 Rgim sponnzial; proprità carattristica dll intrss composto

12 Lggi finanziari scindibili Una lgg finanziaria di capitalizzazion carattrizzat dal fattor di capitalizzazion si dic dbolmnt scindibil scondo Cantlli s comunqu prs tr poch z <<z risulta: z=z cioè s il montant non varia in sguito ad intrruzion ad immdiata riprsa dll oprazion finanziaria un qualunqu numro di volt. S la lgg di capitalizzazion è scindibil è scindibil anch la lgg di attualizzazion coniugata: z z z z La scindibilità dbol carattrizza prtanto singol lggi di capitalizzazion o di attualizzazion transitività prospttiva transitività rtrospttiva.

13 Lggi finanziari scindibili continua Scindibilità fort Si ottin stndndo l considrazioni prcdbti al caso in cui si ammtt ogni sclta di ordinamnto dll poch z S si considrano simultanamnt fattori di capitalizzazion di sconto: z = z = z = z zz = zz = zz = ossia: LLz=Lz z pr qualsiasi lgg finanziaria. Nll ipotsi di proporzionalità dgli importi una lgg di scambio fortmnt scindibil dà luogo ad una rlazion binaria di quivalnza riflssiva simmtrica transitiva. L classi di prstazioni quivalnti insim quozint costituiscono un insim totalmnt ordinato. Ogni class è carattrizzata dal valor finanziario intrinsco dll su prstazioni.

14 Lggi finanziari scindibili continua Montant di prosguimnto scindibilità dbol z <<z C C C z C C C z z C z C z Montant di invstimnto Montant di prosguimnto ;z snza intrruz. con intrruz. z z Una lgg di capitalizzazion è dbolmnt scindibil s solo s ;z=;z=z ossia s il montant di prosguimnto è indipndnt dall poca di impigo.

15 Lggi finanziari scindibili continua Vrifica dlla scindibilità pr i principali rgimi finanziari. Rgim dll intrss smplic: = 1+-i z = [1+-i] [1+z-i] = [1+z-i+-z-i 2 ] = >1+z-i = z intrrompr convin Rgim dllo sconto commrcial: = 1/[1--d] in funzion di d z = 1/[1--d] 1/[1-z-d] = 1/[1-z-d--z-d 2 ] = < 1/[1-z-d] = z intrrompr non convin Rgim dll intrss composto: = 1+i - z = 1+i - 1+i z- = 1+i z- = z

16 orza d intrss scindibilità La forza d intrss di sconto carattrizzano l lggi finanziari scindibili. Una lgg finanziaria a du variabili o è dbolmnt scindibil s solo s la forza d intrss o di sconto corrispondnt dipnd al più dalla sola poca ossia è costant risptto ad poca inizial: z ossia 0 Infatti sia scindibil drivabil parzialmnt: z lo g z lo g z z z lo g log z. log z log z ossia:

17 orza d intrss scindibilità Vicvrsa sia z ; z s z z s z s z z s z s. z z Ossrvazion: S ancora la forza di intrss coincid con qulla di sconto la lgg finanziaria L risulta fortmnt scindibil. Si ha prtanto:. L s

18 orza d intrss scindibilità Pr lggi di capitalizzazion uniformi ad una sola variabil - = t > 0 la condizion di scindibilità è: u t s u t u s t s 0. Ricordando ch l unich soluzioni dll quazion funzional di Cauch f+=f+f sono dat da f=c c costant considrando l quaz. funzional ut+s=utus da cui log[ut+s]=log[ut]+log[us] si ha ch l unich su soluzioni sono dat da ut = ct c>0. S u0=1 ut è crscnt i>0 scindibil allora ut = k t k = f1 > 1; ossia c= log1+i da cui ut= t. Prtanto si ha scindibilità solo nl rgim dll intrss composto lgg sponnzial. In tal caso condizion ncssaria sufficint è ch t sia costant. Poiché risulta anch la lgg finanziaria dl rgim dll intrss composto risulta fortmnt scindibil con fattor di scambio ugual a lt= t pr ogni t positivo o ngativo.

19 Conclusioni orza d intrss scindibilità Dall analisi dlla forza d intrss si possono vidnziar l sgunti proprità carattristich di un rgim finanziario: scindibilità uniformità ossia invarianza risptto all traslazioni tmporali dll poca inizial di qulla final cioè funzioni dlla sola durata. 1 S solo s la forza d intrss o di sconto non dipnd dall poca inizial ovvro s il montant di prosguimnto non dipnd dall poca d impigo il corrispondnt rgim è dbolmnt scindibil; 2 Un rgim finanziario carattrizzato da fattori di capitalizzazion di attualizzazion coniugati è fortmnt scindibil s solo s la forza di sconto risulta ugual alla forza di intrss; 3 S la forza d intrss è invariant risptto all traslazioni tmporali il rgim è anch sso invariant ossia uniform o traslabil; 4 Un rgim è uniform scindibil s solo s la corrispondnt forza di intrss è costant. continua...

20 orza d intrss scindibilità Scindibilità Uniformità Intrss smplic Intrss composto Sconto commrcial no si no si si si Nl rgim di capitalizzazion a intrssi smplici il montant con intrruzion proscuzion è maggior dl montant non intrrotto. Nl rgim di capitalizzazion a intrssi anticipati il montant con intrruzion proscuzion è minor dl montant non intrrotto. L unico rgim uniform scindibil è qullo sponnzial. N.B.: Nl rgim di capitalizzazion mista non si ha invarianza risptto a traslazioni tmporali dll poca inizial di qulla final snza una corrispondnt traslazion di qull di capitalizzazion.