= (1 / t ) R ( 1 - (1 + t )-n ) C = ( R/t ) ( 1 - (1 + t )-n ) C < R (1/t) ( 1 - ( 1 + t )-n ) R/t ( 1 + t )-n < R/t C. n > log (1/a) / log (1+t )

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1 1 RENDITE RENDITA Pagamnto priodico (n volt) di somma R, t intrss (fisso rifrito a ogni priodo) Valor attual n pagamnti futuri ( capital) C = i=1,n ( 1 + t )-i R = i=1,n i R [con = (1 + t ) -1, 1/ = 1 + t, t = (1- ) / C = i=1,n i R = i=0,n-1 i R = ( 1 - n ) / (1 - ) R = (1 / t ) R ( 1 - (1 + t )-n ) Formula bas C = ( R/t ) ( 1 - (1 + t )-n ) C = C(n,R,t) Linar in C R, C = C(t) dcrscnt risptto a t ( R = R(t) crscnt ) C = C(n) crscnt risptto ad n ( R R(n) dcrscnt) [Dall vari formul si ha anch C < nr, R > tc ] S n C ( R/t ) (rndita infinita) Fissato t s R > t C smpr possibil dtrminar minimo n t.c C < R (1/t) ( 1 - ( 1 + t )-n ) Condizion quival a R/t ( 1 + t )-n < R/t C (1 + t) n < 1 t C / R = a, 0 < a <1 - n log( 1 + t ) < log(a) n log( 1 + t ) > - log( a) = log(1/a) n > log (1/a) / log (1+t ) Alcuni problmi sull rndit comportano ch il capital raggiunga il valor W tra k ( n? ) anni. In qusto caso basta ricordar/applicar ch

2 2 RENDITE il capital attual C dara origin a C(1+t)k. Ogni capital (vrsamnto ) R al tmpo j da origin al tmpo k al capital R(1+t)k-j Quindi i vrsamnti R ai vari tmpi 1,, n producono complssivamnt (al tasso t) al tmpo n i=1,n (1 + t )n-i R = (1 + t )n i=1,n (1 + t )-i R = C (1+t)n C (1+t)n = (R/t) ( 1 - ( 1 + t )-n ) (1+t)n = (R/t) ( (1+t)n -1 ) Intrss non linar sono possibili stim & calcoli 1) (stima molto grzza ) (1+t)n > (1+nt) (1+t)-n > -1/(1+nt) C = R (1/t) (1-(1+t) -n ) > R (1/t) (1-1/(1+nt)) = nr/(1+nt) t > (R/C -1/n ) = t1 [ la valutazion ultrior C(1+nt) > nr ] 2) (stima ragionvol solo s (1+t)-n molto piccolo (n molto grand ) n*t>300 (330?) ) C = (R/t) (1-(1+t)-n ) < (R/t) t < R/C = t2 si ha anch com limit suprior C = i=1,n ( 1 + t )-i R < i=1,n R(1+t)-1 =(nr ) (1+t)-1 C (1+t) C < nr t < (nr-c)/c= n(r/c)-1 Un ultrior stima smplic potrbb ssr la mdia tra t 1 t 2 cio t12 = R/C - 1/ (2 n) 3) Si puo anch usar la rlazion mdia aritmtica-mdia gomtrica infatti

3 3 RENDITE (1/n) i=1,n (1+t)-i i=1,n (1+t)-i )1/n = (1+t)-n(n+1)/2n = (1+t)-(n+1)/2 pr cui infin i=1,n (1+t)-i n (1+t)-(n+1)/2 C = i=1,n (1+t)-i R n R (1+t)-(n+1)/2 (1+t) (nr/c) 2/(n+1) t (nr/c) 2/(n+1) -1 4) mtodo itrativo Trovar t noti n R C quival a risolvr l quazion non linar (in t) F(t) = C con F(t) = (R/t) (1-(1+t) -n ) E possibil scrivr la rlazion anch t = R/C (1-(1+t)-n ) = H(t) ch si puo prstar ad itrazioni tipo punto fisso. Infatti si ha H (t) = nr/c (1+t)-n-1 t >0 (1+t)i (1+t)n alla soluzion) nr (1+t)-n < i=1,n R(1+t)-i = C, (alla soluzion ) n (R / C) (1+t)-n < 1 ovvro H (t) < (1+t) -1 < 1 La formula t+ = H(t) si puo scrivr smplicmnt t+ = R/C (1-(1+t)-n ) = (1/C) t C(t,nR) ovvro t+ = t (C(t)/C ) Risultano pro piu vloci altri mtodi ( mtodo di Nwton, cc ). Una buon punto inizial puo ssr il valor

4 4 RENDITE R / C - 1 / (2n) = (t1+ t2) / 2 Classich applicazioni dll rndit i) Pagamnto di un dbito (mutuo/prstito) In molti casi il pagamnto di un dbito avvin attravrso una rstituzion ratal (n anni ma anch smstri msi cc ) Caso classico : un capital finanzia in part l acquisto di una casa il rimborso avvin attravrso un pagamnto priodico di una somma costant ii) Costituzion di un capital Un capital C a tasso t divnta dopo n anni una somma S = C(1+t)n E possibil accumular la somma S al tmpo n attravrso il pagamnto pr n anni di una rndita R (tasso t) quivalnt al capital (valor attual C ) a condizion ch l somm vrsat siano progrssivamnt smpr invstit a tasso t. Esmpio Funziona scondo qusto schma il mccanismo dl TFR. E prvisto un pagamnto annual (part dlla rtribuzion) un rndimnto fissato (lgato all inflazion) Il numro n dipnd dalla durata (ta dl pnsionamnto/fin rapporto). Il capital accumulato puo ssr trasformato, almno in part, in una rndita (di durata incrta) iii) Confronto acquisto/ affitto In alcuni casi occorr dcidr tra alcun situazioni Puo intrssar dcidr tra un acquisto (przzo W) o il possibil affitto annual (A ) pr un lungo priodo (n anni). Una possibil indicazion il confronto tra il capital W il capital il valor attual (tasso t) dlla rndita gnrata dall affitto Un scondo caso il confronto tra du possibili macchinari quivalnti ma di przzi divrsi (M1 M2), di durata divrsa (n1 n2 ) sps annuali di gstion divrs (G1 G2) A tasso t il macchinario 1 prvd un costo C1 = M1 + (rndita G1 pr n1 anni) s vntualmnt rinnovato quival ad una rndita C1 pagata ora succssivamnt ogni n1 anni Il confronto tra i costi ( l rndit ottnut ) prmtt di calcolar il macchinario piu conomico ( s si vuol la rndita annual quivalnt.) iv) Indicazion valor azion Alcun socit pr azioni distribuiscono priodicamnt una part dgli utili ( dividndi). Puo intrssar, noto il tasso t, supponndo i dividndi costanti nl tmpo, il valor attual dlla rndita infinita confrontar tal valor con il valor di borsa dll azion.

5 5 RENDITE v) Franchising (acquisto diffrito) Alcuni contratti (franchising) prvdono ch sia possibil affittar un bn pr k anni pagando un affitto priodico A al trmin di k anni sia possibil (ma non obbligatorio) acquistar la proprita dl bn pagando una somma ora stabilita S (maxi rata final) Puo intrssar confrontar (pr smpio) - il costo dll acquisto immdiato W - il valor attual attual dlla rndita A (k anni) il valor attual dl riscatto S - il costo dll acquisto immdiato attravrso una somma dll rat costanti (altra rndita) vi) Immobil : usufrutto/ nuda proprita In alcuni casi possibil acquistar la nuda proprita di un bn (s. immobil) a costo C risparmiando un valor W risptto all acquisto complto. S si suppon ch l immobil sara disponibil tra n anni ( in alcuni casi n noto, in altri solo possibil stimarlo) il risparmio W quival ad una rata R ( n anni a tasso t). Il confronto tra R, il possibil affitto dll immobil, il possibil rndimnto dlla somma impgnata ( = C ) da indicazioni sulla complssiva convninza dll oprazion. Rimborso di un capital (cnno) Un caso di calcolo dll rndita quando si contra un mutuo. Un capital C vin rimborsato in n priodi ( anni o smstri) al tasso t. Un altro modo di rimborso dl dbito potrbb ssr il pagamnto pr gli anni 1..n dll intrss tc il rimborso final (anno n) dl capital C Il pagamnto complssivo risulta nr poich [ C = i=1,n ( 1 + t )-i R < i=1,n R(1+t)-1 =(nr ) (1+t)-1 (nr) > C (1+t) ] da conti prcdnti C > nr/(1+nt) C(1+t) < nr < C (1+nt)

6 6 RENDITE Il pagamnto risulta comprso tra qullo prvisto pr la rstituzion dopo un priodo qullo complssivamnt prvisto nl caso di soli intrssi con rstituzion final dl capital. Dalla formula bas C = ( R/t ) ( 1 - (1 + t )-n ) tc = R - R(1 + t )-n < R La somma R costant corrispond quindi ad un pagamnto costant R = tc +E con E = R(1 + t )-n [Altra formula : C = ( R/t ) ( 1 - (1 + t )-n ) = ( R/t ) ( (1 + t )n -1)/ (1 + t )n R = tc((1 + t )n) / ( (1 + t )n -1) E = R(1 + t )-n = (tc ) / ( (1 + t )n -1 ) ] Una somma S,invstito al tasso t, produc dopo k anni S(1+t) k La somma E pagata ai tmpi 1,..n produc quindi (tasso t, tmpo n ) (E) j=0,n-1 (1 + t ) j = (E/t) ( (1 + t )n -1 ) = Sostitundo si ottin ( (1 + t )n -1 ) ( R(1 + t )-n ) / t = ( R/t ) ( 1 - (1 + t )-n ) = C Quindi la somma E, pagata oltr agli intrssi, invstita a tasso t, produrrbb al tmpo n il capital da rstituir. Si puo immaginar l importo vrsato in una banca ch al tmpo n lo rstituisc al crditor. Chi fa (implicitamnt ) da banca in ralta il crditor ch incassa l somm R=tC+E In casi normali una banca vra corrispondrbb un tasso di intrss s < t

7 7 RENDITE ( chi contra il mutuo piu rischioso dlla banca) : risulta convnint pagar R anzich pagar solo tc, rinnovar il dbito risparmiar R-tC a mno ch non si abbia la possibilita di un invstimnto ch rnda piu di t. FUNZIONI EXCEL UTILI {Notazion : C capital, R rata, t tasso intrss n numro priodi Sgni : + ricvuto pagato quindi sgno opposto pr C R } 1) Rata = PMT(t,n,-C) 2) Capital (valor attual rndita) = PV( t,n,-r) 3) Tasso intrss = RATE(n,-R,C) 4) Numro priodi fissati capital rata tasso = NPER(t,-R,C) { calcola la soluzion di quazion quindi valor non intro } 5) Valor futuro di pagamnti priodici = FV(t,n,-R) [ NB: a) t puo anch rapprsntar un altro tasso s : inflazion/rinvstimnto cc b) FV acctta n ngativi FV(t,-n,-R) da il valor attual di un flusso priodico ( n priodi) corrispondnti a R {= PV(t,n,-R)} ] NOTA Nll vrsioni italian di xcl l vari funzioni si chiamano PMT RATA PV VA RATE TASSO NPER NUM.RATE FV VAL.FUT

8 8 RENDITE Nl sgunt schma sono indicat l soluzioni di alcuni problmi classici lgati all rndit RENDITE Incognita FORMULA Funzion xcl Sgni : + ricvuto pagato quindi sgno opposto pr C R C = C (capital attual) C ( R/t )* ( 1 - (1 + t ) -n ) = PV( t,n,-r) R (rata) R = t C (1+t)n / ( (1+t)n 1 ) N (numro rat (minimo ) n > log (1/a) / log (1+t ) a= 1 t C / R [in italiano VA] = PMT(t,n,-C) [in italiano RATA] (soluzion dll quazion valor non intro) = NPER(t,-R,C) [in italiano NUM.RATE ] Tasso (stima grossolana ) (R/C -1/n ) < t < R/C (valor satto) = RATE(n,-R,C) [in italiano TASSO] CF capital futuro (dopo n anni) C (1+t) n = ( R/t )* ( (1+t)n -1 ) = FV(t,n,-R) [ in italliano VAL.FUT R variabil E possibil ch la rata R sia variabil. E facil studiar i du casi Rk+1 = q Rk, q>0, Rk+1 = Rk + s, s >0

9 9 RENDITE Caso Rk+1 = q Rk Nl caso si pon pr cui R0 = R1 /q Rk =qk R0 C = i=1,n Ri ( 1 + t )-i C = i=1,n ( 1 + t )-i qi R0 = i=1,n i R0 [con = q(1 + t )-1, 1/ = (1 + t)/q, (1- ) = 1- q / (1 + t )-1 = (1+t-q)/(1+t) C = i=1,n i R0 = i=0,n-1 i R0 = ( 1 - n ) / (1 - ) R0 = (1- qn(1+t)-n) qr0/(1+t) (1+t)/(1+t-q) = R1/(1+t-q) (1- qn(1+t)-n) Caso R k+1 = R k + s si ha C = i=1,n Ri ( 1 + t )-i [ = R 1 ( 1 + t )-1 + R 2 ( 1 + t ) R n-1 ( 1 + t )-(n-1) +R n ( 1 + t )-n = R1( 1 + t ) -1 + (R1+ s) ( 1 + t ) (R1+ (n-1)s) ( 1 + t ) -n C(1+t) = i=1,n Ri ( 1 + t )-i+1 [ = R1 + R2( 1 + t )-1 + R3( 1 + t ) Rn-1 ( 1 + t )-(n-2), +Rn ( 1 + t )-(n-1) R1 + (R1+ s) ( 1 + t ) ( R1+ (n-1)s ) ( 1 + t )-n-1

10 10 RENDITE tc = C(1+t)-C = R1 + s i=1,n-1 ( 1 + t )-i - Rn ( 1 + t )-n [ R n = R 1 + (n-1)s = R 1 + ns - s ; - R n = - R 1 -ns +s ] tc = R1 + s i=1,n ( 1 + t )-i - R1 ( 1 + t )-n - ns ( 1 + t )-n Ct = (R+s/t + ns ) ( 1-( 1 + t )-n ) -ns C = (R+s/t + ns) (1/t) ( 1-( 1 + t )-n ) - ns/t Nlla tablla sono riassunt l formul principali rlativ al capital quivalnt ad una rndita (costant o variabil) Standard :rata costant (n anni ) C = ( R/t ) ( 1 - (1 + t )-n ) Numro rat infinito Rata crscnt Rk+1 = Rk + s Rata non costant Rk+1 = q Rk Rk =qk R0 C = R/t C = (R+s/t + ns) (1/t) * ( 1-( 1 + t )-n ) - ns/t C = R1/(1+t-q) (1- qn(1+t)-n) ***