STABILITÀ DELLE SOLUZIONI DI EQUILIBRIO DI UN EQUAZIONE DIFFERENZIALE

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1 STABILITÀ DELLE SOLUZIONI DI EQUILIBRIO DI UN EQUAZIONE DIFFERENZIALE Ni paragrafi prcdnti abbiamo dtrminato, pr l vari quazioni diffrnziali saminat, l soluzioni di quilibrio dl modllo. In qusto paragrafo, invc, vogliamo fornir un critrio gnral pr potr stabilir s l soluzioni di quilibrio di un quazion diffrnzial siano o non siano asintoticamnt stabili. Pr dtrminar tal critrio gnral partiamo da alcun considrazioni sul problma dlla risoluzion di un quazion diffrnzial. In gnral, di un quazion diffrnzial non autonoma, cioè dlla forma p (t) = f(p, t), non è possibil dtrminar la soluzion bisogna, quindi, ricorrr a mtodi numrici (si vda il punto (5) dl prossimo paragrafo). Tuttavia, a part qualch altro caso particolar, la soluzion si trova in forma splicita solo quando l quazion si prsnta nll du sgunti form p (t) = g(p)h(t) (1.29) p (t) = c 1 (t)p + c 2 (t). (1.30) La forma (1.29) è dtta a variabili sparabili in quanto il scondo mmbro dll quazion f(p, t) è sprsso dal prodotto di du funzioni, una dipndnt solo dalla p l altra solo dalla variabil t. Un smpio di tal forma è stata prsa in considrazion nll quazion (1.13), in cui g(p) = p h(t) = α/ t + c o. Abbiamo già visto ch il mtodo gnral di risoluzion consist, appunto, nl sparar i trmini contnnti l du variabili p t, calcolandon poi gli intgrali ininiti. In gnral dp g(p) = h(t) dt. L quazion (1.30) è, invc, dtta quazion diffrnzial linar a cofficinti variabili; è qulla già incontrata a proposito dl modllo di Malthus pr una popolazion non isolata con tassi di natalità-mortalità

2 2 Introduzion ai Modlli Matmatici nll Scinz Trritoriali immigrazion-migrazion variabili nl tmpo (si vda l quazion (1.15) in cui c 1 (t) = a(t) c 2 (t) = I(t)). Sgundo la dimostrazion riportata nl libro [1], è possibil provar ch l quazion (1.30) ammtt la sgunt soluzion gnral [ p(t) = C 1(t) ] c 2 (t) C1(t) dt + C, (1.31) dov C è la solita costant arbitraria di intgrazion C 1 (t) è una primitiva di c 1 (t), cioè C 1 (t) = c 1 (t) dt. Supponiamo, ora, ch i du cofficinti c 1 c 2 siano invc dll costanti, cioè ch l quazion linar (1.30) sia autonoma. Si avrà allora C 1 (t) = c 1 dt = c 1 t, l intgral gnral (1.31) prndrà la forma p(t) = c 1t [c 2 ] c1t dt + C = C c1t c 2. c 1 Risolviamo il problma di Cauchy, applicando a qust ultimo intgral gnral la condizion inizial p(t = 0) = p 0. Con facili calcoli si ottin C = p 0 + c 2 /c 1, quindi, la soluzion dl problma sarà data da p(t) = p 0 c 1t + c 2 c 1 ( c 1 t 1 ). (1.32) Ora, nlla (1.32), facciamo tndr t + : s c 1 < 0, p(t) tndrà a c 2 /c 1 ; altrimnti, s c 1 > 0, p(t) divrgrà all infinito. Rissumiamo qusto risultato: abbiamo risolto il sgunt problma di Cauchy p = c 1 p + c 2 = f(p), p(t = 0) = p 0, (1.33) abbiamo trovato ch la soluzion tnd asintoticamnt a c 2 /c 1 solo s il cofficint c 1 è ngativo, altrimnti divrg; ma c 2 /c 1 è smplicmnt la soluzion di quilibrio p dll quazion (1.33), dtrminabil,

3 Cap. 1 - Equazioni dl primo ordin modlli in dinamica di popolazioni 3 cioè, ponndo c 1 p + c 2 = 0. Inoltr c 1 altri non è ch la drivata di f(p) calcolata risptto a p. Qust considrazioni ci prmttono di nunciar un critrio gnral di stabilità asintotica pr la soluzion di quilibrio di un quazion diffrnzial linar autonoma. Critrio di stabilità linar S la drivata, risptto alla variabil dipndnt p, dl scondo mmbro dll quazion p (t) = c 1 p + c 2, cioè c 1, è ngativa, allora la soluzion di quilibrio c 2 /c 1 è asintoticamnt stabil. Qusto risultato, ottnuto nl caso di un quazion linar, può ssr gnralizzato (si vda il libro [3]) al caso di una qualunqu quazion diffrnzial dl primo ordin, non linar non autonoma. Critrio di stabilità non linar S in una quazion diffrnzial dl tipo p (t) = f(p(t), t), la drivata /dp, calcolata pr p = p, risulta ngativa, allora la soluzion di quilibrio p è asintoticamnt stabil. S, vicvrsa, tal drivata è positiva, la soluzion è instabil. Infin, s la suddtta drivata è gual a zro, nulla si può dir circa la stabilità asintotica dlla soluzion p. A titolo d smpio applichiamo qusti critri ai modlli matmatici studiati finora. Nl modllo di Malthus (ch è linar) abbiamo già visto ch la soluzion di quilibrio p = 0, nl caso di popolazion isolata, p = I/a, nl caso non isolato, è stabil solo quando a < 0. Pr a > 0 ntrambi i modlli mostrano un andamnto divrgnt, con la funzion p(t) ch assum valori smpr più lontani dall quilibrio, risultando così instabil. Val la pna di ossrvar ch il quarto scnario dl modllo di Malthus, con popolazion non isolata, prsnta, in raltà, la stabilità asintotica dlla soluzion di quilibrio. Tal soluzion, p = I/a, in qusto caso non è ammissibil dal punto di vista modllistico, in quanto ngativa (sia a ch I sono ngativi). Tuttavia, da un punto di vista puramnt matmatico, la soluzion sist vin raggiunta pr t + (com si può ddurr calcolando tal limit pr la funzion (1.8)).

4 4 Introduzion ai Modlli Matmatici nll Scinz Trritoriali Considriamo ora il modllo di Vrhulst (ch è non linar) p = ap bp 2 = f(p), ch ammtt l du condizioni di quilibrio p (1) = 0 p (1) = a/b. Risulta /dp = a 2bp, in particolar dp (p(1) ) = a, dp (p(2) ) = a 2ba/b = a. Prtanto, dal critrio di stabilità asintotica si dduc ch la soluzion p (1) è instabil, mntr l altra, p (2), è stabil, d è qulla a cui il numro di individui dlla popolazion tnd asintoticamnt, s il dato inizial p 0 è maggior di zro, com abbiamo supposto nl problma studiato. Tuttavia, da un punto di vista puramnt matmatico ha snso associar all quazion (1.18) una condizion inizial ngativa. In qusto caso la soluzion è data da una forma divrsa da qulla riportata nll quazion (1.20) la soluzion pr t + tnd addirittura a. Qusto comportamnto può ssr spigato nl modo sgunt: il dato inizial è minor dlla soluzion d quilibrio instabil p (1) = 0 qusta rsping la soluzion dll quazion, facndola tndr asintoticamnt a. In altr parol la soluzion d quilibrio instabil si comporta com un rpulsor. Vicvrsa, quando considriamo pr l quazion (1.18) un dato inizial positivo, qusto è collocato al di sopra dlla soluzion d quilibrio instabil ch rsping la soluzion dll quazion vrso la soluzion d quilibrio stabil ch si comporta, quindi, com un attrattor. Un po più complsso è il comportamnto dl modllo di Vrhulst nl caso di popolazion non isolata (quazion (1.21)). Distinguiamo tra i quattro scnari. L soluzioni di quilibrio pr a 2 + 4bI > 0 (Scnari 1 2) sono dat da p (1) = a a 2 + 4bI, p (2) 2b Prtanto, si ha /dp = a 2bp, = a + a 2 + 4bI. 2b dp (p(1) ) = a 2 + 4bI > 0, dp (p(2) ) = a 2 + 4bI < 0,

5 Cap. 1 - Equazioni dl primo ordin modlli in dinamica di popolazioni 5 quindi la soluzion di quilibrio p (1) è instabil mntr p (2) è stabil. La soluzion dl modllo, infatti, può tndr asintoticamnt al valor. Tuttavia, abbiamo visto ch ciò avvin solo pr crti dati iniziali dl problma di Cauchy. Infatti, s la condizion inizial p 0 è minor di p (1), allora qusta si comporta da rpulsor sping la soluzion a. Qusta circostanza, com l altra mostrata pr l quazion (1.18) con dato inizial ngativo, ci prmtt di chiarir ch quando un quazion diffrnzial prsnta più di una soluzion di quilibrio il comportamnto asintotico dipnd dalla condizion inizial. Qusta è la notvol diffrnza di comportamnto tra un quazion linar una non linar: infatti, la prima ammtt smpr una sola soluzion di quilibrio,, s qusta è stabil, allora la soluzion dll quazion stssa vi tnd asintoticamnt. Non è così quando l quazion è non linar. Quindi, quando in un quazion diffrnzial (non linar) vi sono più configurazioni di quilibrio sia stabili ch instabili, il comportamnto p (2) asintotico dlla soluzion dipnd dal dato inizial: pr crti dati la soluzion tndrà asintoticamnt all soluzioni d quilibrio stabili (attrattori), pr altri, invc l configurazioni d quilibrio instabili spingranno la soluzion a divrgr (rpulsori). Tornando, ora, al modllo di Vrlhust pr popolazioni non isolat, ossrviamo ch è divrso il comportamnto dll quazion (1.21) nllo Scnario 3 (a 2 = 4bI). In qusto caso, infatti, sist una sola situazion di quilibrio p = a/2b, pr la qual si ha dp (p = a 2b ) = 0. In accordo con il critrio di stabilità non linar, nunciato prcdntmnt, nulla si può dir a priori sulla stabilità asintotica di qusta soluzion di quilibrio. Infatti, com abbiamo visto, la soluzion (1.25) tnd a p = a/2b solo s il dato inizial è maggior di tal valor. Infin lo Scnario 4 (a 2 < 4b I ) non prsnta soluzioni di quilibrio, prtanto, non si manifasta mai, com prvisto, un comportamnto di stabilità asintotica. Vogliamo concludr qusto paragrafo gnralizzando il conctto di stabilità. Infatti, è possibil dar una inizion mno rstrittiva di qulla di stabilità asintotica. Dfinirmo allora la stabilità nutral o di Ljapunov.

6 6 Introduzion ai Modlli Matmatici nll Scinz Trritoriali Dfinizion 3 Sclto un ɛ > 0, sist una costant δ(ɛ) ɛ tal ch p 0 p < δ(ɛ) p(t) p < ɛ, t. Allora la soluzion di quilibrio p è dtta nutralmnt stabil. In altr parol, la soluzion di quilibrio è nutralmnt stabil quando la soluzion dll quazion diffrnzial, invc di tndr asintoticamnt a ssa, vi rsta, pr ogni t, in un intorno comunqu piccolo.