INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE ESERCITAZIONI DI ANALISI C SETTIMANA 10 TEOREMA DI RIDUZIONE DEGLI INTEGRALI IN DUE DIMENSIONI

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1 TORMA I RIUZION GLI INTGRALI IN U IMNSIONI S è misurabil f : è limitata continua, valgono l sgunti proprità: s A è un dominio normal risptto all ass, cioè,, con continu A a b pr ogni a, b, allora la funzion U f, d è continua in, b, f dd U d A a smpio: considriamo il sottoinsim dl piano la funzion f, Si ha divnta ab si ha: A,, 4 U d l intgral dd A d d s B è un dominio normal risptto all ass, cioè,, con continu B c d pr ogni c, d, allora la funzion V f, d è continua in, d, f dd V d B c smpio: considriamo il sottoinsim dl piano funzion f, Si ha 6 dd d B cd si ha: B,, la V d l intgral divnta Ossrvazion: s l insim è normal sia risptto a ch risptto a valgono ntramb l formul: convin scglir qulla ch rnd più facil il calcolo dll intgral smpio: l intgral con T triangolo di vrtici T dd considrando il dominio normal risptto a, cioè,,, primitiva di, oppur considrando il dominio normal risptto a : dd d d S inoltr l insim è un rttangolo a, b c, d, può ssr svolto d d, ma non sappiamo scrivr la la funzion è un prodotto di funzioni di una sola b d variabil f, g h allora si ha, a, b c, d a c f dd g d h d

2 dd sugli insimi,,,,, Il primo insim è un rttangolo: Il scondo insim è normal risptto a : 7 dd d d 9,, 6 4 dd d d d 4 d Scriviamo il trzo insim com normal risptto a :,, 8 7 dd d d d d 8 4 dd,, Sfruttiamo la proprità addittiva il fatto ch l insim è un rttangolo: dd dd dd d d d d 8 6 sin dd,, L insim dato si prsnta com normal risptto a L intgral sin prò impossibil da svolgr prché non conosciamo la primitiva di sin S invc invrtiamo l ordin, scrivndo l insim com normal risptto a, cioè,,, riusciamo a svolgr il calcolo d d è

3 sin dd sin d sin d cos cos TORMA I CAMBIAMNTO I VARIABILI IN U IMNSIONI Siano, du aprti sia : una funzion biittiva di class dt J u, v pr ogni, sull insim misurabil, allora,, dt, C tal ch uv S f : è una funzion continua limitata f dd f u v J u v dudv smpio: considriamo il sottoinsim dl piano f, A,, la funzion cos La trasformazion in coordinat polari ci prmtt di scrivr sin A A,, f, cos sin, mntr la matric jacobiana è J cos sin quindi dt J sin cos dd d d Prciò cos sin A A Ossrviamo inoltr ch l insim di intgrazion è un rttangolo la funzion un prodotto di funzioni di una sola variabil, quindi il calcolo dll intgral si smplifica ultriormnt in: d cos sin d sin cos 4 dd con,, 4 Passando a coordinat polari la rgion di intgrazion divnta il rttangolo,, dtrminant jacobiano ottniamo:, la funzion f cos, sin, con il d d dd con,,

4 L insim di intgrazion è il smicrchio infrior di cntro C, raggio R In coordinat cartsian posso sfruttar il fatto ch la funzion la rgion sono simmtrich risptto all ass : d d d Passando a coordinat polari sfruttiamo invc il fatto ch la rgion divnta il rttangolo,,, la funzion si prsnta com f cos, sin cos sin, con il dtrminant jacobiano ottniamo: 4 cos d cos sind 6 Sia dato l insim dd,, isgnat calcolat figura L insim (figura ) è dato dalla part di piano dlimitata a sinistra dall ass, sopra dalla parabola sotto dalla parabola, ch si incontrano nl punto La rgion di intgrazion si può vdr com dominio normal risptto a sull intrvallo, com prima cosa possiamo intgrar risptto a tra 4 4 dd d d d d d 4

5 ,,,, 7 Sia Si calcoli sin dd Il dominio di intgrazion (figura ) è situato nl primo quadrant, dlimitato dagli assi dalla parabola con vrtic sull ass dll asciss di quazion sin dd sin d d cos d sin z d z cos z dz figura,, 8 Sia dd Si calcoli

6 Il dominio di intgrazion (figura ) è la part di crchio di cntro, raggio ch giac al di sotto dlla rtta 6 dd d d d 7 figura 9 Si calcoli l intgral dov dd, 4 La rgion di intgrazion è rapprsntato dalla part comprsa fra l du circonfrnz ccntrich, rispttivamnt di raggi r mostrato in figura 4 r cntri C C 6,, Calcoliamo l intgral com diffrnza utilizzando du divrsi insimi di intgrazion: dd dd dd Convin sguir un passaggio a coordinat polari di cntro C, pr C pr,, cos d d cos, dd cos cos d d d d, com,,

7 figura 4 4 d d 7 dd, :, Insim normal risptto a (figura ):,, d d d d Figura 7