Matematica per l Economia (A-K) I Esonero 26 ottobre 2018 (prof. Bisceglia) Traccia A e C

Transcript

1 Matmatica pr l Economia (A-K) I Esonro 6 ottobr 8 (pro Biscglia) Traccia A C Sia A b dopo avrn data la dinizion riportar l Insim dll Parti A Data la unzion P riportar la rtta o la unzion g ch dscrivr con la unzion d il smiass positivo dll asciss un triangolo di ara pari a 6 s soddisa l ipotsi dl s torma sulla invrtibilità dll unzioni strttamnt monoton 3 Dir s la unzion : con 4 Data la unzion 5 Data la unzion : R R con unzion è strttamnt concava 6 Dir s la unzion riportar la unzion ch garantisc un incrmnto costant unitario ha vntuali simmtri ; srvndosi dll opportuno torma dir s la 7 Dir s la unzion arcsn tg è rgolar in 8 Dato il vriicar ch si possa calcolar constatar la corrttzza dl suo risultato Svolgimnto - Traccia A C Essndo A b l insim dll Parti è l insim PA X X A P A b b b b Essndo / prtanto avrmo ch bisttric dl primo quadrant intrsca una qualsiasi rtta ormando un triangolo rttangolo prtanto ricordando l ara dl triangolo è suicint trovar 6 3 ; quindi la rtta crcata è 3 Oppur trovando la rtta g prpndicolar alla bisttric dl primo quadrant ch orma un triangolo rttangolo isoscl ch intrsca l asciss nl punto ; tal ch ; quindi la rtta g passant pr il punto 6 ovvro g 6 3 L ipotsi di tal torma sono: X X : d strttamnt monotona; prtanto si ossrva ch quindi la prima ipotsi è soddisatta la unzion è surgttiva; mntr la sconda no

2 in quanto la unzion non è strttamnt monotona; anch s ci troviamo di ront a du parti dlla unzion strttamnt crscnti si ossrva ch con 4 Data la unzion la unzion ch garantisc un incrmnto costant pari a ha stsso h h h coicint angolar risulta: 5 Essndo d ssndo : R R R d monotona quindi soddisatt tutt l ipotsi dl torma sulla convssità prtanto è strttamnt concava o in modo quivalnt a b a b a b R con a b ; quindi considrando a b risulta ovviamnt also prtanto la unzion non è strttamnt concava 6 La unzion: è dinita R calcolar i sgunti iti: punto 4 4 ch risulta prtanto ha snso ; prtanto la unzion ha un vntual simmtria nl 7 Una unzion si dinisc rgolar in s quindi s è un punto di accumulazion pr il dominio di ; prtanto ssndo arcsn tg dinita pr 3 tg arctg arctg d ossrvando ch 4 4 ; prtanto è un punto di accumulazion pr il dominio dlla unzion di consgunza la unzion è rgolar in d 8 Essndo la unzion dinita R è possibil calcolar il ; risulta ch quindi prtanto Pr la dinizion di it tal ch R s si ha ; ovvro log prtanto con ponndo log si è individuato un intorno di si è quindi constatata la corrttzza dl it

3 Traccia B D Sia B b dopo avrn data la dinizion riportar l Insim dll Parti B Data la unzion P riportar la rtta o la unzion g ch dscrivr con la unzion d il smiass positivo dll asciss un triangolo di ara pari a 4 s soddisa l ipotsi dl s torma sulla invrtibilità dll unzioni strttamnt monoton 3 Dir s la unzion : 3 con 4 Data la unzion riportar la unzion ch garantisc un dcrmnto costant unitario 5 Data la unzion : con dir s la unzion è strttamnt convssa 6 Dir s la unzion ha vntuali simmtri log ; srvndosi dll opportuno torma 7 Dir s la unzion arccos tg è rgolar in 8 Dato il log vriicar ch si possa calcolar constatar la corrttzza dl suo risultato Svolgimnto - Traccia B D Essndo B b l insim dll Parti è l insim PB X X B P B b b b b Essndo / prtanto avrmo ch bisttric dl primo quadrant intrsca una qualsiasi rtta ormando un triangolo rttangolo prtanto ricordando l ara dl triangolo è suicint trovar 4 8 ; quindi la rtta crcata è Oppur trovando la rtta g prpndicolar alla bisttric dl primo quadrant ch orma un triangolo rttangolo isoscl ch intrsca l asciss nl punto ; tal ch ; quindi la rtta g passant pr il punto 4 ovvro g 4 3 L ipotsi di tal torma sono: X X 3 quindi la prima è soddisatta ch prtanto anch la sconda ipotsi è soddisatta : d strttamnt monotona; prtanto si ossrva ch con risulta

4 4 Data la unzion la unzion ch garantisc un dcrmnto costant pari a ha stsso h h h coicint angolar risulta: 5 Essndo d ssndo : con R log d monotona prtanto sono soddisatt tutt l ipotsi dl torma sulla convssità prtanto è strttamnt convssa o a b in modo quivalnt a b a b con a b ; ovvro considrando a b risulta log log log log log log log log ovvro considrando la unzion composta con la sua invrsa si ha 4 4 also prtanto la unzion non è strttamnt convssa 4 6 La unzion: è dinita R ch risulta ovviamnt prtanto ha snso calcolar i sgunti iti: prtanto la unzion ha un vntual simmtria nl punto d 7 Una unzion si dinisc rgolar in s quindi s è un punto di accumulazion pr il dominio di ; prtanto ssndo arccos tg dinita pr tg arctg arctg 4 d ossrvando ch ; prtanto è un punto di accumulazion pr il dominio dlla unzion di consgunza la unzion è rgolar in è possibil calcolar il log ; risulta ch quindi log prtanto log Pr la dinizion di it tal ch si ha log quindi log prtanto ponndo tnndo conto ch si ha 8 Essndo la unzion log dinita ;

5 it si è individuato un intorno di zro si è quindi constatata la corrttzza dl