Analisi Matematica 1 per IM - 23/01/2019. Tema 1

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1 Analisi Matmatica 1 pr IM - 23/01/2019 Cognom Nom: Matricola: Docnt: Tmpo a disposizion: du or. Il candidato, a mno ch non si ritiri, dv consgnar qusto foglio assim al foglio intstato. Vin corrtto solo ciò ch è scritto sul foglio intstato. Il solo posssso di un tlfono cllular, anch spnto, è motivo di sclusion dalla prova. Ogni affrmazion dv ssr adguatamnt giustificata. Esrcizio 1 Tma 1 Sia f la funzion dfinita da f(x) = (x 2 4x) 1/(x2 4x). 1. Studiar la funzion f, dtrminando dominio, simmtri, sgno, continuità, iti d vntuali asintoti, drivabilità studio di vntuali punti di non drivabilità, monotonia, vntuali punti di strmo rlativo assoluto. Disgnar il grafico di f. Non è richisto lo studio dlla drivata sconda. 2. Dtrminar, s sist, l ordin di infinito di f pr x Poniamo Ossrviamo ch h(t) t 1/t t R \ {0}, g(x) x 2 4x x R. g(x) = x(x 4). Il dominio di f risulta dunqu ssr R \ {0, 4}. Inoltr 1/(x2 4x) > 0 x R \ {0, 4}. Di consgunza quindi Si vrifica ch Di consgunza, f(x) = +, x f(x) =, x 4 sgn f(x) = sgn(x(x 4)), f(x) < 0 0 < x < 4, f(x) > 0 x < 0 oppur x > 4. f(x) = 0, x 0 f(x) = 0, x 4 + inf f =, sup f = +. f(x) =, x 0 + f(x) = +. x +

2 La funzion risulta ssr di class C in tutti i punti dl suo dominio. Calcoliamo la drivata di f. Abbiamo ( ) h (t) = 1/t t + 1 t 0, t Di consgunza, f (x) = 1/(x2 4x) Studiando il sgno di f (x) ottniamo ch ch ch Quindi g (x) 2x 4 x R. ( ) x 2 4x + 1 x 2 4x (2x 4) x R \ {0, 4}. f (x) < 0 x < 0 oppur 2 3 < x < 2 oppur < x < 4, f (x) > 0 0 < x < 2 3 oppur 2 < x < oppur x > 4, f (2 3) = 0, f (2) = 0, f (2 + 3) = 0. f è dcrscnt in ], 0[, in ]2 3, 2[ in ]2 + 3, 4[ f è crscnt in ]0, 2 3[, ]2, 2 + 3[ in ]4, + [. Possiamo inoltr carattrizzar i punti critici com sgu: Inoltr, 2 3 è punto di massimo rlativo, 2 è punto di minimo rlativo, è punto di massimo rlativo. f (x) = 0, f (x) = +, f (x) =, f (x) = 0. x 0 x 0 + x 4 x 4 + La funzion non ha asintoti obliqui. L rtt x = 0 x = 4 sono asintoti vrticali a dstra sinistra, rispttivamnt. Un abbozzo dl grafico si trova in figura Figura 1: Il grafico dlla funzion dll srcizio 1 (gli assi hanno scal divrs)

3 2. Ossrviamo ch f(x) x + x 2 = 1. Di consgunza, l ordin di infinito a + risulta ssr 2. Esrcizio 2 Calcolar l intgral 1 0 2x + 2 x 2x + 2 x + 2 dx, Ossrviamo ch ffttuando la sostituzion t = x si ha Esrcizio x + 2 x 2x + 2 x + 2 dx = t t 2 + 2t + 2 dt = 1 2t t 2 + 2t + 2 dt (t + 1) dt = 1 2 log t= t2 + 2t arctan(t + 1) = 1 2 log t=1 t= t=1 + arctan( + 1) arctan(2). 1. Discutr il carattr dlla sri n + 1 ln(1 + n ). 2. Discutr al variar dl paramtro α R la convrgnza dlla sri 1. Cominciamo ossrvando ch n ln(1 + α n ) n + 1 ln(1 + n ) 2n n ( 2 ) n 1 n + 1 = n + 1 pr n +. Dal momnto ch la sri + 2 < 1, ( 2 ) n 1 n + 1 convrg grazi al critrio asintotico dlla radic, prché (2 ) n n 1 n n + 1 = 2 1 n n = + 1 < 1, dal critrio dl confronto asintotico si dduc la convrgnza dlla sri n + 1 ln(1 + n ).

4 2. Ossrviamo ch s α < 1 si ha n ln(1 + α n ) 2n α n n = 1 ( 2α )n n pr n +. Inoltr n n n = n 2α 1 n n = 2α, cosicché, pr il critrio asintotico dlla radic, la sri n convrg s α < 1/2 divrg s α > 1/2. Pr α = 1/2 il critrio asintotico dlla radic non fornisc informazioni, ma si ha n = 1 n ch una sri convrgnt. Allora, pr il critrio asintotico dl confronto, anch la sri data convrg pr α < 1/2 divrg pr 1/2 < α < 1, ssndo a trmini non ngativi. S α = 1 la sri divin n ln 2, ch è una sri a trmin gnral positivo non infinitsimo. Di consgunza, divrg a +. Infin, s α > 1, la sri divin n ln(1 + α n ). ha trmin gnral non infinitsimo quindi risulta ssr divrgnt (a + ).

5 dl tst Tst 1 D B C D A A E A B D Tst 2 A D E B C D C A C D Tst 3 B B E C A D A D B A Tst 4 B A D D B D C C C E