del segno, sono punti di sella. Per il teorema di Weierstrass e dallo studio del segno, ovviamente E è un punto di massimo relativo.

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1 Politcnico di Bari Laur in Inggnria dll Automazion, Elttronica Informatica corso B Esam di Analisi matmatica II A.A. 2006/ sttmbr TRACCIA A. Studiar gli vntuali punti critici dlla funzion f x, y = x 2 x + 2 y 2 5y + 6 nl suo insim di dfinizion prfribilmnt snza lo studio dlla matric Hssiana. L insim di dfinizion di f è R 2. Studiando prliminarmnt il sgno di f abbiamo x, y = 2x y 2 5y + 6 x, y = 2y 5 x 2 x + 2. Quindi i punti critici di f nl suo insim di dfinizion sono A, 2, B,, C 2, 2, 2,, E 2, 2 5. I primi quattro sono i punti di intrszion dll rtt nl grafico quindi, dallo studio dl sgno, sono punti di slla. Pr il torma di Wirstrass dallo studio dl sgno, ovviamnt E è un punto di massimo rlativo. 2. Risolvr la sgunt quazion diffrnzial y + 2y + 4y = x cos x

2 Considrata l quazion diffrnzial omogna associata y + 2y + 4y = 0, abbiamo ch l soluzioni complss dlla rlativa quazion carattristica sono ± i quindi l intgral gnral dll omogna associata è x c cos x + c 2 sin x. Applicando il mtodo dll funzioni simili abbiamo ch un intgral particolar dll quazion diffrnzial assgnata è 6 x x sin x quindi l intgral gnral è c x cos x + c 2 sin x + 6 x sin x.. Studiar la convrgnza puntual dlla sri di funzioni in [0, + [ 4x + n n + 4x n n x 5 calcolarn la somma. 4x + n n + 4x n n x 5 Tal sri convrg puntualmnt pr n n 4 x + x 5 < 4 x + x 5 < x 0 n 4 x +. x 5 quindi in [ [ 0, 7. La somma è la funzion x [ 0, [ 4x x + 7 x Calcolar x + y dxdy ssndo = { x, y R 2 y x + y; x y 2 x }.

3 Posto abbiamo Quindi u y v + y = { u, v R 2 0 u ; v 2 }. v = x + y dxdy = 2 du 2 0 2v u dv = = 0. [log 4 u log 2 u] du = 4 log Studiar la forma diffrnzial ω x, y = x x 2 + y 2 dx + y x 2 + y 2 dy. L insim di dfinizion di ω è R 2 \ {0, 0}. Su tal insim ω non è C poiché X non è drivabil risptto ad x in 0, ȳ con ȳ 0 Y non è drivabil risptto ad y in x, 0 con x 0. X Y 2y x x, y = x 2 + y 2 2 2x y x, y = x 2 + y 2 2. Quindi ω è C chiusa in Q = { x, y R 2 \ {0, 0} x > 0, y > 0 } Q = { x, y R 2 \ {0, 0} x < 0, y < 0 }. Infin ω è satta in ntrambi gli insimi V Q = 2 log x 2 + y 2 V Q = 2 log x 2 + y 2 sono potnziali di ω rispttivamnt in Q Q. 6. ar l nunciato complto di almno du tormi sull form diffrnziali satt commntarli anch con smpi significativi. trminar l insim di dfinizion, gli vntuali sottoinsimi in cui è chiusa, in cui è satta gli vntuali potnziali.

4 Politcnico di Bari Laur in Inggnria dll Automazion, Elttronica Informatica corso B Esam di Analisi matmatica II A.A. 2006/ sttmbr TRACCIA B. Studiar gli vntuali punti critici dlla funzion f x, y = x 2 + x + 2 y 2 + 5y + 6 nl suo insim di dfinizion prfribilmnt snza lo studio dlla matric Hssiana. L insim di dfinizion di f è R 2. Studiando prliminarmnt il sgno di f abbiamo x, y = 2x + y 2 + 5y + 6 x, y = 2y + 5 x 2 + x + 2. Quindi i punti critici di f nl suo insim di dfinizion sono A, 2, B,, C 2, 2, 2,, E 2, 5 2. I primi quattro sono i punti di intrszion dll rtt nl grafico quindi, dallo studio dl sgno, sono punti di slla. Pr il torma di Wirstrass dallo studio dl sgno, ovviamnt E è un punto di massimo rlativo. 2. Risolvr la sgunt quazion diffrnzial y + 2y + 4y = x sin x

5 Considrata l quazion diffrnzial omogna associata y + 2y + 4y = 0, abbiamo ch l soluzioni complss dlla rlativa quazion carattristica sono ± i quindi l intgral gnral dll omogna associata è x c cos x + c 2 sin x. Applicando il mtodo dll funzioni simili abbiamo ch un intgral particolar dll quazion diffrnzial assgnata è 6 x x cos x quindi l intgral gnral è c x cos x + c 2 sin x 6 x cos x.. Studiar la convrgnza puntual dlla sri di funzioni in [0, + [ x + n n x n 2 n x 5 calcolarn la somma. x + n n x n 2 n x 5 Tal sri convrg puntualmnt pr n n x 2 x 5 < x 2 x 5 < x 0 n x. 2 x 5 quindi in [ [ 0, 5. La somma è la funzion x [ 0, [ x x 5 x Calcolar x + y dxdy ssndo = { x, y R 2 + 2y x 2 + 2y; 2x y 2 2x }.

6 Posto abbiamo Quindi u 2y v = 2x + y = { u, v R 2 u 2; v 2 }. v 2 2 x + y dxdy = 5 du v u dv = 5 = =. [log 6 u log u] du = 5 0 log log Studiar 2 la forma diffrnzial ω x, y = x x 2 + y 2 dx y x 2 + y 2 dy. L insim di dfinizion di ω è R 2 \ {0, 0}. Su tal insim ω non è C poiché X non è drivabil risptto ad x in 0, ȳ con ȳ 0 Y non è drivabil risptto ad y in x, 0 con x 0. X 2y x x, y = x 2 + y 2 2 Y 2x y x, y = x 2 + y 2 2. Quindi ω è C chiusa in Q 2 = { x, y R 2 \ {0, 0} x < 0, y > 0 } Q 4 = { x, y R 2 \ {0, 0} x > 0, y < 0 }. Infin ω è satta in ntrambi gli insimi V Q2 = 2 log x 2 + y 2 V Q4 = 2 log x 2 + y 2 sono potnziali di ω rispttivamnt in Q 2 Q ar l nunciato complto di almno du tormi sull form diffrnziali satt commntarli anch con smpi significativi. 2 trminar l insim di dfinizion, gli vntuali insimi in cui è chiusa, gli vntuali insimi in cui è satta l vntuali primitiv.