y = ln x ln x x x Studiare e disegnare il grafico delle seguenti funzioni Esercizio no.1 Soluzione a pag.2 Esercizio no.2 Soluzione a pag.

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1 Edutcnica.it Studio di funzioni Studiar disgnar il grafico dll sgunti funzioni Esrcizio no. Soluzion a pag. Esrcizio no. Soluzion a pag. atg Esrcizio no. Soluzion a pag. Esrcizio no. Soluzion a pag.9 ln (ln ) ln ln Esrcizio no.5 Soluzion a pag. Esrcizio no. Soluzion a pag. arcsin Esrcizio no.7 Soluzion a pag.7 Esrcizio no.8 Soluzion a pag.9 ln Esrcizio no.9 Soluzion a pag. ( ) ( ) arcsin Esrcizio no. Soluzion a pag. ln( )

2 Edutcnica.it Studio di funzioni Esrcizio no.:soluzion La funzion da studiar è: atg Pr il campo di sistnza dv ssr quindi C.E. (- ) data la prsnza dl bisogna considrar i du casi: I) < la funzion divnta atg atg π atg() π è l quazion di una rtta: I) > si ha: atg L condizioni agli strmi dl campo sono: atg atg atg atg atg π π atg atg( ) atg l andamnto prsunto è illustrato a dstra Calcolando l drivat:

3 Edutcnica.it Studio di funzioni ( ) 8 ( 8 ) ' 8 studiando la y notiamo ch ( 8 ) > > smpr. ( 8 ) y > pr -> > studiando la y : y > pr -> >/ il punto / è di flsso Il punto / è di flsso. π π y atg( ) il punto è di minimo con y min, y () : la curva part dal punto, π d ha la tangnt orizzontal. F, π con y (/)- l vntual asintoto obliquo di quazion ymq ha valori m π q ( y m ) atg() π l asintoto obliquo è

4 Edutcnica.it Studio di funzioni Esrcizio no.:soluzion La funzion da studiar è Dv ssr > la disquazion è quivalnt ai du sistmi I ) > ( ) > < II ) > ( ) ( ) > < Il campo di sistnza è quindi C.E. (- ) Nl caso I) la funzion divnta: pr pr < ( α ) ( β ) Nl caso II) la funzion divnta: ( ) con < ( γ ) la (α) la (β) sono i rami di una iprbol quilatra, bisogna studiar solo la (γ) ch può anch ssr riscritta com: ( ) / con < una curva ch non intrsca mai gli assi d è smpr positiva. L condizioni agli strmi dl campo: y() l ass y è asintoto vrtical.

5 Edutcnica.it Studio di funzioni 5 Il calcolo dll drivat: ' y y 5 ( ( ) ( ) y / y ( ) y 5 ( ) ) y Studiando la y si riconosc com 5 ( ( ) y y 5 ) ( ) y y > mai!, quindi la curva è smpr dcrscnt; inoltr y (). Studiando la y ha: ' > > smpr vro dato ch il <. La curva ha la concavità smpr rivolta vrso l alto. 5

6 Edutcnica.it Studio di funzioni Esrcizio no.:soluzion La funzion da studiar è: ln (ln ) Pr il campo di sistnza dv ssr > ln- C.E. ( ) l vntuali intrszioni con l ass si ha pr y ln ch prò non è accttabil dato ch non appartin al campo. E prò possibil ch appartin al campo. Si intuisc ch la funzion è smpr positiva, dato ch > ln è smpr positivo o ugual a pr. L condizioni agli strmi dl campo sono: ln (ln ) ln ± ± (ln ) ln pr il confronto fra infiniti. (ln ) Ora calcolo l drivat: dato ch ln s > ln ln s < < ln ± (ln ) y y (ln )(ln ) ln (ln ) ln (ln ) ln (ln ) ' ' ln ln 5 (ln ) studiando la y notiamo ch > ( a ) ( b ) > < < quando quando > > > < quindi la funzion è crscnt in > quando y > in << quando y <; pr cui studirmo in tutto il C.E. il sgno dlla y.

7 Edutcnica.it Studio di funzioni 7 7 D N ) ( ) ( > > > < > I punti di ascissa d sono rispttivamnt di massimo di minimo. ma ) ( ) y( min ) ( ) y( la curva part da con tangnt orizzontal Il punto di ascissa è un punto angoloso. Studiando la y avrmo: < > > < < > > > ' ' ' quando ( b ) ' quando a ) ( ' Cioè si tratta di una funzion concava vrso l alto in > quando y > in << quando y <. Studiando in tutto il CE il sgno dlla y : 5 ln ln ) (ln 5 ln ln ' < < < > > i punti di ascissa sono punti di flsso. F ) ( ) ( y F ) ( ) ( y

8 Edutcnica.it Studio di funzioni 8 ( ) con ( ) 9 9 Non sist un vntual asintoto obliquo, infatti constatiamo: m q m 8

9 Edutcnica.it Studio di funzioni 9 Esrcizio no.:soluzion La funzion è: Soluzion ln ln Si crca il campo di sistnza; dv ssr: > ln C.E. ( ) L vntuali intrszioni con gli assi si hanno pr ln ln studiando il sgno dlla funzion si ha: / ln y > > ln l condizioni agli strmi sono: La rtta è asintoto vrtical, l ass dll asciss y è asintoto orizzontal. Calcoliamo la drivata prima. 9

10 Edutcnica.it Studio di funzioni ln / / ln ln / ln ln ln (ln ) ln ln ln ln ln (ln ) / ( ln ) ln / ln / ln ln / y ln ssndo ln ln ln y ln ( ln ) y avrmo ln ( ln ln ) ln ln ln 9 ln ' y ln ( ln ) ln ( ln ) ( ln ) ln ln 9 ln ' y y ln ( ln ) ln ( ln ) y 8 ln ln ln 5 ln 5 ' ln ( ln ) ln ln studiando la y : / ln > ln > sarà soddisfatta pr ln / / ln < < y( ) ma 9 ln ln ln ossrvando ch nlla condizion si ha ln ln / / 5 / ch ln ( ln ) ( ln ) ( ln ) ( ln )

11 Edutcnica.it Studio di funzioni si ha inoltr ln ln ( ln ) applicando no. volt il torma di l Hospital : 5 / ( ln ) / 5 / 5 8( ln ) / pr cui Studiando la y : la curva sc dall origin con tangnt vrtical. ' > ln 5 > ln N > D > < > 5 / > 5 / La curva prsnta du punti F d F di flsso.

12 Edutcnica.it Studio di funzioni Esrcizio no.5:soluzion Studiamo la funzion Pr la ricrca dl campo di sistnza avrmo: C.E. (- ). Pr l vntuali intrszioni con gli assi poniamo: O(, ) P(, ) Vi sono, dunqu, du punti di intrszion con gli assi. è smpr positiva, - è smpr positiva, si dduc ch la curva è collocata nl smipiano cartsiano suprior. L condizioni agli strmi dl campo sono: qusto prché è un infinito di ordin suprior; quindi pr - l ass dll asciss è asintoto orizzontal pr la curva; mntr.. Calcoliamo ora l drivat. ( ) ( ) y ' y ( ) y Studiando la y abbiamo: > > Si nota com i punti di ascissa d siano di massimo. y( ) ( ) M y( ) ( ) M

13 Edutcnica.it Studio di funzioni i punti smbrano di minimo ma in raltà in qusti punti la drivata prima risulta indfinita. l origin O è un punto angoloso anch il punto P è un punto angoloso Studiando la y ottniamo: ' > > I punti di ascissa ± sono di flsso. y( y( ) ) F F constatiamo l assnza di un vntual asintoto obliquo, dato ch:

14 Edutcnica.it Studio di funzioni Esrcizio no.:soluzion La funzion da studiar: arcsin Esguiamo la ricrca dl campo di sistnza. La prima condizion è smpr vrificata, dato ch è smpr maggior o ugual a. L sconda condizion è composta in du parti : la (II) è smpr vrificata dato ch il numrator è smpr minor dl dnominator, (I) (II) bisogna risolvr la (I): Qusta è vra infatti s < si dduc C.E. (- ). Lo studio dlla funzion assgnata vin sparato in du casi: ( a ) y ( b ) y π arcsin Ovviamnt la y va studiata nl dominio D. (- ]. π π y ma dato ch dv ssr anch π π y y Sotto qust condizioni lvando al quadrato ntrambi i mmbri π π y y può ssr ricondotta alla parabola con ass di π π simmtria dato ch y bisogna considrar solo il ramo suprior dlla curva:

15 Edutcnica.it Studio di funzioni 5 Studiamo invc la y nll intrvallo D [ ). y arcsin pr qusta part di funzion l condizioni agli strmi dl campo sono: ( ) y π arcsin( ) y Calcoliamo l drivat: ( ) ( ) ( ) pr ch è la condizion di sistnza dlla y. Pr la drivata sconda ottrrmo: ' ( ) Lo studio dlla y è il sgunt: 5

16 Edutcnica.it Studio di funzioni > > > il punto di ascissa è di minimo. () y min notiamo com sia π il punto P, è pr la funzion, un flsso a tangnt vrtical. infatti si nota anch com sia: Studiando la y si avrà: ' < > vrificata nll intrvallo 5 < < 5 pr la storia ch D [ ) si avrà < 5 La situazion dll concavità dll convssità pr l intrvallo D è: constatiamo l assnza di un vntual asintoto obliquo:

17 Edutcnica.it Studio di funzioni 7 Esrcizio no.7:soluzion La funzion in qustion è: L unica condizion da rispttar è la quindi C.E. (- ). Ricrchiamo l vntuali intrszioni con l ass. ch non è accttabil. la curva non incontra gli assi d è smpr positiva dato ch s, >, la gnrica funzion f() >. Condizioni agli strmi dl campo. ± mntr abbiamo ossrviamo com il comportamnto di pr - sia -. / cioè prval il trmin sponnzial ch è infinito di ordin suprior. prché arrivati a qust conclusioni possiamo riassumr l condizioni agli strmi. Calcolo l drivat. ( ) y ' y ( ) y ( ) y 7

18 Edutcnica.it Studio di funzioni 8 studiando la > > > il punto di ascissa è un minimo con ( ) la curva part dall origin con tangnt orizzontal. Studiamo la y : y si nota com: ' > > qust ultima condizion è smpr vrificata ( <). la curva, ha dunqu, la concavità rivolta vrso l alto smpr. Non vi sono vntuali asintoti obliqui, infatti ± ± 8

19 Edutcnica.it Studio di funzioni 9 Esrcizio no.8:soluzion ln Dv ssr ncssariamnt quindi C.E. (- ). Si nota com la funzion sia dispari: y( ) ln ln y( ) La funzion è quindi simmtrica risptto all origin; bastrà studiarla soltanto nl smipiano dstro. Qusto facilita l cos, prché nl smipiano dstro. la f() divnta. ln Crchiamo vntuali intrszioni con l ass ; ln pr il sgno dlla funzion y > ln > > ; l condizioni agli strmi: ln prché il logaritmo ha un infinito di ordin infrior risptto ad. ln 9

20 Edutcnica.it Studio di funzioni calcoliamo l drivat: ln ln ln ln ln ( ln ) ( ln ln ' ) ( ln ln ) ln ( ln 5ln ) ossrvando il comportamnto dlla y. y ' > ln > ln < < il punto di ascissa con 7 y ( ) è punto di massimo. 8 ossrvando il comportamnto dlla y. ' > ln ( ln 5ln ) > si ha i punti sono di flsso l rispttiv ordinat sono: y() y( ) 8 8 y( ) P F F () ( y( ) ) F F sul smipiano dstro avrmo:

21 Edutcnica.it Studio di funzioni ssndo la funzion dispari l intro diagramma è:

22 Edutcnica.it Studio di funzioni Esrcizio no.9:soluzion ( ) ( ) arcsin Vngono distinti du casi (a) la funzion divnta y ( ) ( ) arcsin( ) ( ) ( ) arcsin( ) di qusta prima funzion va ricrcato il campo di sistnza, smpr considrando ch. Dv dunqu ssr: ( ) ( ) (b) la funzion divnta y arcsin pr qusta ultima dv ssr: quindi smpr vra unndo i du risultati il campo di sistnza complssivo è C.E. [ ). Ossrvando il comportamnto dlla y ( ) ( ) arcsin( ) pr - l condizioni agli strmi dl campo sono: ( ) y π arcsin() π y ( ) arcsin( )

23 Edutcnica.it Studio di funzioni L drivat sono: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ( ) ( ) Lo studio dlla y : > > > Il punto di ascissa - è di minimo, con ordinata y ( ) ; notiamo ch: la curva part con tangnt vrtical la curva trmina in con tangnt orizzontal Sulla y possiamo constatar: ' 5 5 > < < < cioè 5 < il punto di ascissa 5 è di flsso

24 Edutcnica.it Studio di funzioni S n tra il grafico dlla funzion y nl tratto -. Ora possiamo studiar la y. y arcsin con pr ssa l condizioni agli strmi dl campo sono: ( ) y π arcsin( ) la rtta y è asintoto orizzontal pr la y ch non attravrsa mai la rtta stssa.

25 Edutcnica.it Studio di funzioni 5 Calcolo dll drivat: ( ) ( ) ( ) ( ) ricordando ch pr si ha. ' ( ) ( ) Pr l sua carattristich la y > ; la curva è smpr crscnt. : la curva part da con tangnt vrtical. Il sosptto ch la curva abbia pr > la concavità rivolta sclusivamnt vrso il basso è più ch fondato. ' > > smpr! dato ch <. Il dnominator dlla y è smpr positivo, ma la frazion è prcduta dal sgno (-). Si dduc ch y < pr cui nl tratto > la concavità è smpr rivolta vrso il basso. Qusto il diagramma complto: 5

26 Edutcnica.it Studio di funzioni Esrcizio no.:soluzion ln( ) Pr il campo di sistnza dv ssr cioè - anch > qust ultima è smpr vra s > ma s < > > ch è smpr vra. In conclusion: C.E. (- - ). La vntual intrszion con l ass dll y si ha pr nl punto P(,-) L condizioni agli strmi: / / ln( ln( ) ) pr il momnto riusciamo ad immaginar solo una cosa dl gnr:

27 Edutcnica.it Studio di funzioni 7 Il punto di ascissa - è di discontinuità di I a spci. Dopo alcuni brvi passaggi ottniamo l drivat: ( ) ' ( ( ) 5 ) Studio dlla y : > > < < il punto di ascissa è di massimo con ordinata y() ln( ) (ma) ± sia a sinistra ch a dstra di - la curva part con tangnt orizzontal. Ossrvando la y : ' > ( 5 ) > mttndo a sistma i du trmini si ha: 7

28 Edutcnica.it Studio di funzioni 8 i punti di ascissa 5 5 sono di flsso con ordinat: y( y( 5 ) 5 ) ln( ln( 5 ) 5 ) F F non sist asintoto obliquo: ± il grafico è il sgunt: 8