Matematica per l Economia (A-K) e Matematica Generale 06 febbraio 2019 (prof. Bisceglia) Traccia A

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1 Matmatica pr l Economia (A-K) Matmatica Gnral 6 fbbraio 9 (prof Biscglia) Traccia A Trovar, s possibil un punto di approssimazion con un rror nll intrvallo, Dopo avrn accrtata l sistnza, calcolar il sgunt it dl suo risultato Studiar la funzion f arccos 4 Data la funzion h classificarli 6 dll quazion log, vrificar l sattzza, tracciarn approssimativamnt il grafico s s individuar vntuali punti di discontinuità, arcsn s 5 Calcolar l ara sottostant la funzion p, nll intrvallo, k 6 Data la matric A, dtrminar la sua carattristica al variar di k, la matric k A Data la funzion log f f Svolgimnto traccia A, dfinita continua nll intrvallo,, risultando, ricorrono tutt l ipotsi dl torma dgli zri, prtanto b a, / f Pr cui sapndo ch cn cn an 6, si ha n log 6 b a b a n logb a6 6 n quindi n 5 n 6 log log prtanto, posto n si ossrva ch il punto di approssimazion con un rror risulta: N A n c n B n f(a n) f(c n) f(b n) -/ / / -/8 ¼ + -/8 /6 ¼ + + 6

2 -/8 -/ /6 + ssr c, in quanto 6 6 Il sgunt it, sist, s il dominio dlla funzion non è itato infriormnt, d ssndo la funzion sponnzial dfinita in R, il it assgnato sist risulta ovvro, pr la dfinizion di it :, tal ch s R s risulta ch f I L f L Prtanto fissato, considrato ch si tratta di una funzion sponnzial smpr positiva, si ha log ; prtanto pr ponndo log ; pr ponndo, risulta quindi è vrificata l sattzza dl suo risultato Data la funzion f arccos Insim di dfinizion: Essndo una funzion arcocosno, dv ssr, X, prtanto Quindi tal funzion è dfinita,, ovvro f :, f arccos R Sgno dlla funzion: Dv ssr f arccos arccos cos Prtanto f, X, Consguntmnt f, X f, quindi passa pr il punto,, mntr arccos, Si ossrva ch arccos f, quindi la funzion tocca il punto Limiti significativi: Essndo una funzion continua, pr ogni punto di accumulazion intrno al suo insim di f f, prtanto ha snso calcolar solo il it nll strmo infrior dfinizion il f arccos quindi arccos Prtanto la rtta y Drivata prima monotonia:, in quanto trattandosi di funzion composta, si ha y y è un asintoto orizzontal a sinistra

3 f log, quindi f arccos log log, ovvro d ossrvando ch sia numrator ch il dnominator sono strttamnt positivi, trann nl punto, in cui la funzion drivata non è dfinita si ossrva ch log log, prtanto f consguntmnt, f quindi la funzion è strttamnt dcrscnt nl suo insim di dfinizion Drivata sconda concavità: log log f log, ovvro f log ch com si può ossrvar risulta f consguntmnt f, quindi la funzion è strttamnt concava nl suo insim di dfinizion quindi ddurr ch: f,,, la funzion è biunivoca su, 4 Essndo h s s arcsn s, dfinita in, ; si ossrva ch f f d il f arcsn ; prtanto il punto pr la funzion data, è un punto di discontinuità di sconda spci, il

4 5 Data la funzion p si tratta di calcolar il sgunt intgral d pr la proprità additiva risulta d d c pr il torma log log Fondamntal dl calcolo intgral, si ha: c 6 Pr potr calcolar la carattristica, troviamo il dtrminant dlla matric A, quindi considrando k la matric quadrata A si ha dta, prtanto la Car A ; inoltr ssndo T Agg A C A, si ossrva ch, ssndo C dta dta k, consguntmnt k C T k, quindi A Traccia B Trovar, s possibil un punto di approssimazion con un rror 7 dll quazion nll intrvallo, 4 Dopo avrn accrtata l sistnza, calcolar il sgunt it dl suo risultato Studiar la funzion f arcsn 4 Data la funzion h classificarli, vrificar l sattzza, tracciarn approssimativamnt il grafico s s individuar vntuali punti di discontinuità, arccos s 5 Calcolar l ara sottostant la funzion p, nll intrvallo, k 6 Data la matric A, dtrminar la sua carattristica al variar di k, la matric k A Svolgimnto traccia B

5 Data la funzion, dfinita continua nll intrvallo, 4, risultando f f, ricorrono tutt l ipotsi dl torma dgli zri, prtanto 4 b a, / 4 f Pr cui sapndo ch cn cn an 7, si ha n log 7 b a b a n logb a7 4 7 n quindi n 5 n 7 log log prtanto, posto n si ossrva ch il punto di approssimazion con un rror risulta: N A n c n B n f(a n) f(c n) f(b n) -/ /4 / / -5/48 /4 + -5/48 -/96 /4 + -/96 -/64 /4 + 7 ssr c 64 Essndo f, in quanto , tal funzion è dfinita in R, non itata supriormnt, prtanto è possibil calcolar il it ch tnd a, risulta ovvro, pr la dfinizion di it :, tal ch s R s risulta ch I f L f L Prtanto fissato, considrato ch si tratta di una funzion sponnzial smpr positiva, si ha: log, quindi posto log pr, pr risulta, si dtrmina un intorno in funzion di psilon ch soddisfatta il it trovato 6 Data la funzion f arcsn Insim di dfinizion: Essndo una funzion arcocosno, dv ssr, X, prtanto Quindi tal funzion è dfinita,, ovvro, f arcsn R f : Sgno dlla funzion: f arcsn arcsn sn Prtanto f, X, f, X, Dv ssr Consguntmnt

6 f, quindi passa pr il punto, Si ossrva ch arcsn, mntr f arcsn, quindi la funzion tocca il punto, Limiti significativi: Essndo una funzion continua, pr ogni punto di accumulazion intrno al suo insim di f f, prtanto ha snso calcolar solo il it nll strmo infrior dfinizion il arcsn f, in quanto trattandosi di funzion composta, si ha quindi arcsny y Prtanto la rtta y è un asintoto orizzontal a sinistra Drivata prima monotonia: log log f arcsn, quindi f, d ossrvando ch sia numrator ch il dnominator sono strttamnt positivi, trann nl punto, in cui la log funzion drivata non è dfinita si ossrva ch log, prtanto f, consguntmnt è strttamnt crscnt nl suo insim di dfinizion Drivata sconda concavità: f quindi la funzion log log f log, ovvro f log ch com si può ossrvar risulta f, consguntmnt f quindi la funzion è strttamnt convssa nl suo insim di dfinizion quindi ddurr ch: f,,, la funzion è biunivoca su,

7 4 Essndo h s s arccos s, dfinita in, f d il f arccos funzion data, è un punto di discontinuità inabil 5 Data la funzion pr la proprità additiva risulta ; si ossrva ch f, il ; prtanto il punto pr la p si tratta di calcolar il sgunt intgral d d d c pr il torma log Fondamntal dl calcolo intgral, si ha: c log 6 Pr potr calcolar la carattristica, troviamo il dtrminant dlla matric A, quindi considrando k la matric quadrata A si ha dt A k, prtanto k la Car A, mntr pr T Agg k la Car A A C ; inoltr ssndo A, prtanto k si ossrva ch, dta dta ssndo C, consguntmnt C T k, quindi A k k k log