Laboratorio di Matematica. 9 novembre Determinare i punti critici voncolati per la funzione il problema. f(x, y) = x x 2 + y y.

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1 Laboratorio di Matmatica. 9 novmbr 2011 ẏ t ty = 0 con y(0) = 1 ÿ + 4ẏ = 0 con y(0) = 1 ẏ(0) = Dtrminar i punti critici voncolati pr la funzion il problma max(x + 2y + z) xyz = È data la funzion f : (x, y) R 2 : x 2 + y 2 1} R, f(x, y) = x x 2 + y y. Si considri il punto (1, 1). È possibil applicar il Torma dlla funzion implicita pr grafici di tipo y = φ(x)? Pr grafici di tipo x = φ(y)? Nl caso il torma sia applicabil calcolar la/l drivata/ dlla funzion implicita. 4. Individuar i punti critici dll funzion f(x, y) = x 2 + yx 2 y 2 y 3 classificar qulli ch hanno matric Hssiana non singolar. 5. E data la funzion f(x, y) = xy 1 + xy. Dir in qual dirzion unitaria v R 2, v = 1 la drivata dirzional f (1, 1) v assum il valor massimo calcolar tal valor.

2 Laboratorio di Matmatica. 21 sttmbr 2011 ÿ 2ẏ + 2y = 0 con y(0) = 1 ẏ(0) = 1 yẏ = y2 t con y(0) = Sia f : R 2 R 2, f(x 1, x 2 ) := x 1 xp(x 2 x 2 1). Sia x = (1, 1). Dir in qual dirzion di lunghzza unitaria v = (v 1, v 2 ) la drivata f (1, 1) è massima stabilir tal valor massimo. v Rispondr alla stssa domanda pr un punto gnrico x = ( x 1, x 2 ). 3. Sia f(x, y) = x + log(1 + x 2 + y 2 ) si fissi il punto P = (0, 0). Dir s nl punto P sono soddisfatt l ipotsi dl Torma dlla funzion implicita pr grafico di tipo x = φ(y). S la risposta positiva, calcolar la drivata dlla funzion implicita. Rispondr alla stssa domanda pr grafici di tipo y = φ(x). 4. Calcolar i punti critici vincolati dl problma max(xy + z 2 ) x 2 + y 2 + z 2 = Individuar classificar i punti critici dlla funzion f : R 2 R, f(x) = xy y 1 + x 2.

3 Laboratorio di Matmatica, 30 marzo Si considri la funzion F : R 2 R, F (x, y) = xy x+y2. Fissato il punto (1, 2), si dica s sono soddisfatt l ipotsi dl Torma dlla funzion implicita pr scrivr la funzion com grafico di tipo y = φ(x). S sí, dir quanto val la drivata di φ in Si trovino i punti critici vincolati pr il problma min(x + 2y) con vincolo x 2 + y 2 = 1 3. Risolvr i problmi di Cauchy ẏ = t(1 + y) y(0) = 0 ÿ + 4y = 0 y(0) = 0 ẏ(0) = 1. Controllar splicitamnt al trmin dll srcizio ch l soluzioni trovat sono soluzioni di corrispondnti problmi di Cauchy. 4. Individuar i punti critici dlla funzion f(x, y) = (x 1) (x2 +y 2 +2y).

4 Laboratorio di Matmatica, 9 gnnaio 2011 ÿ 6ẏ + 13y = 0, y(0) = 0 ẏ(0) = 1 yẏ = 1 + y 2, y(0) = Classificar i punti critici dlla funzion f : R 2 R, f(x, y) = x 1 + x 2 + y Si considri il problma di ottimizazion vincolata max(x 2 + 3y) con vincolo x 2 + y = 0 Dir s il vincolo rgolar trovar i punti critici vincolati. 4. Data la funzion di du variabili F (x, y) = x + y x + y 2, dfinita su (x, y) R 2 : x + y 2 0}, si considri il punto ( x, ỹ) = (1, 1). Vrificar s sono soddisfatt l ipotsi dl torma dlla funzion implicita ch prmttono di scrivr localmnt l insim di livllo 1 com grafico di tipo y = φ(x). In caso affrmativo dtrminar il valor di φ (1). Si risponda alla stssa domanda scambiando l variabili x y.

5 Laboratorio di Matmatica, 26 gnnaio Sia Ω = (x, y) R 2 : xy + 1 > 0}. Si considri la funzion F : Ω R, F (x, y) = x log(xy + 1) + y. Calcolar l drivat parziali di F vrificar s, nl punto (x 0, y 0 ) = (1, 0), pr l insim (x, y) Ω : F (x, y) = 0} sono soddisfatt l ipotsi dl torma dlla funzion implicita risptto alla variabil x oppur y. In caso affrmativo, scrivr la drivata dlla/ funzion implicita/ (o dll) funzion implicita corrispondnt/i nl punto x 0 o y Individuar i punti critici vincolati dl problma (nll variabili (x, y, z)) min(xy + z 2 2z) x 2 + y 2 = 1 3. Risolvr i problmi di Cauchy ÿ 4ẏ + 3y = 0 con y(0) = 0 ẏ(0) = 1. ẏ = t 1 + 2y con y(1) = Sia Ω = (x, y) R 2 : x 0 y 0}. Individuar i punti critici dlla funzion F : Ω R F (x, y) = x 2 + y 2 + x 2 y 2 classificarli.