ELEMENTI DI CALCOLO DIFFERENZIALE. PARTE II

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1 ELEMENTI DI CALCOLO DIFFERENZIALE. PARTE II FAUSTO FERRARI Matrial propdutico all lzioni di Analisi Matmatica pr i corsi di Laura in Inggnria Chimica pr l Ambint il Trritorio dll Univrsità di Bologna. Anno Accadmico 2006/2007 Sia v un vttor di R n. L insim 1. alcun nozioni di gomtria linar {y R n : y = tv, t R} è la rtta di vrsor v passant pr l origin (forma paramtrica). Analogamnt, dato un punto x 0 un vttor v R n l insim sgunt è la rtta passant pr x 0 di vrsor v. Pr ogni x 1, x 2 R n l insim {y R n : y = x 0 + tv, t R} {y R n : y = x 1 + t(x 2 x 1 ), t [0, 1]} è dtto sgmnto di strmi x 1 x 2. L quazion dl sgmnto in forma paramtrica si scriv anch nl sgunt modo tx 2 + (1 t)x 1, t [0, 1]. Il sgmnto vin indicato con il simbolo [x 1, x 2 ]. Richiamiamo sommariamnt alcun nozioni di gomtria linar. S L : R n R n è un applicazion linar risptto alla bas canonica, allora sist una matric di numri M, n n, tal ch pr ogni h in R n L(h) = M h. Data un applicazion linar L : R n R n dirmo ch un vttor v R n è un autovttor di autovalor λ R s L(v) = λv. S M è la matric associata all applicazion linar L, allora gli autovalori di L si calcolano risolvndo l quazion carattristica dt(m λi) = 0 in C. Data una matric di numri Q, n n. L applicazion P : R n R così dfinita, risptto alla bas canonica, P (h) = Qh, h è dtta forma quadratica. Una forma quadratica è dfinita positiva s pr ogni h R n, h 0, P (h) > 0. In tal caso dirmo anch ch la matric Q è dfinita positiva. Analogamnt una forma quadratica P = Qh, h è dfinita ngativa s pr ogni h R n, h 0, P (h) < 0 ovvro dirmo anch ch la matric Q associata a tal forma quadratica è dfinita ngativa. S l prcdnti disuguaglianz sono dboli si parlrà di form quadratich ( matrici) smidfinit. Dat: 15/02/

2 2 FAUSTO FERRARI Infin s sistono h 1 h 2 vttori tali ch Q(h 1 ) < 0 Q(h 2 ) > 0, allora dirmo ch la forma quadratica Q non è dfinita (o anch ch è indfinita). Val il sgunt risultato. Data una matric di numri rali H, n n, simmtrica. Allora la forma quadratica ad ssa associata Q(h) = H h, h soddisfa l sgunti disuguaglianz: pr ogni h R n dov λ h 2 H h, h Λ h 2, λ = min{γ : γ è autovalor di H} Λ = max{γ : γ è autovalor di H}. Inoltr s v m è un autovttor associato a λ v M è un autovttor associato a Λ, risulta (1) (2) Q(v m ) = λ v m 2 Q(v m ) = Λ v M 2. È possibil stabilir s una matric simmtrica è dfinita positiva o ngativa o indfinita in bas alla sgunt rgola. S H è la matric simmtrica di ordin n n, indichiamo con H i i minori principali, val a dir i dtrminanti dll matrici quadrat di ordin infrior risptto alla diagonal principal. S pr ogni i = 1, 2, n, H i > 0, allora la matric è dfinita positiva. S pr ogni i = 1, 2, n, ( 1) i H i > 0, allora la matric è dfinita ngativa. S sist i pari tal ch H i < 0 allora la forma quadratica la matric associata è indfinita (cioè non è né dfinita pos. né df. ng. ) Vdiamo un caso. Sia M = 5, 3, 2 3, 4, 1 2, 1, 1 Allora M 1 = 5, M 2 = 11, M 3 = 2, quindi è dfinita positiva. Val il sgunt risultato in R 2 Sia Q : R 2 R una forma quadratica simmtrica M la matric (simmtrica) 2 ch carattrizza Q. 1) S dtm > 0 m 11 0, allora M è dfinita (positiva o ngativa). In particolar 1a) S m 11 > 0 dtm > 0, allora M è dfinita positiva. 1b) S m 11 < 0 dtm > 0, allora M è dfinita ngativa. 2) S dtm < 0, allora è indfinita. 3) S dtm = 0 m 11 0 allora la matric è smidfinita. L prcdnti affrmazioni possono ssr analogamnt riformulat nl caso in cui m 11 = 0 m Drivat parziali di ordin suprior Analogamnt a quanto accad nl caso di funzioni di una variabil, possiamo dfinir l drivat parziali di ordin suprior al primo. Dfinizion 2.1. Sia Ω R 2 f : Ω R. Supponiamo ch sista la drivata parzial f risptto a x j, con j {1, 2} pr ogni x I k,ɛ = {y R 2 : y = x 0 + t k ɛ < t < ɛ}, k {1, 2} dov x 0 int(ω), k è il corrispondnt vttor dlla bas canonica alla coordinata x k ɛ è un

3 ELEMENTI DI CALCOLO DIFFERENZIALE. PARTE II 3 numro positivo tal ch I k,ɛ int(ω). Dirmo ch f è dotata di drivata parzial di ordin du risptto a x j x k s sist In tal caso scrivrmo pr indicar il numro α k,j. lim t 0 f x j (x 0 + t k ) f x j (x 0 ) t (x 0 ). Utilizzrmo la sgunt simbologia. Sia Ω R 2 aprto. = α k,j R. C 2 (Ω) = {f : Ω R : f è dotata di tutt l drivat parziali fino all ordin 2 in ogni punto di Ω qust sono continu in Ω}. Si dfiniscono in modo analogo l drivat parziali di ordin suprior a du l classi di funzioni C k, con k > 2. Snza ultriori ipotsi sulla funzion f, l ordin con il qual vin calcolata la drivata parzial succsiva è rilvant. Infatti s j k, allora (x 0 ) 2 f x j x k (x 0 ). Tuttavia val il sgunt Torma ch formuliamo in Ω R n Torma 2.1. (Schwarz) S f C 2 (Ω) Ω R n è aprto, allora pr ogni j, k {1,..., n} pr ogni x 0 Ω (x 0 ) = 2 f (x 0 ). x j x k Dfinizion 2.2. Sia x 0 Ω R 2, con Ω aprto. S sistono l drivat parziali di ordin 2 in x 0, allora chiamiamo matric Hssiana di f in x 0 la matric quadrata 2 2 ( 2 ) f Hf(x 0 ) = (x 0 ). 1 k,j 2 Analogamnt s x 0 Ω R 2, con Ω aprto. La matric n n ( 2 ) f Hf(x 0 ) = (x 0 ) è dtta matric Hssiana di f in x 0. 1 k,j n Sia f C 2 (Ω), Ω R 2, allora la matric Hssiana di f in x 0 Ω, (x Hf(x 0 ) = x 2 0 ), 2 f x 1 2 x 1 (x 0 ) x 1 x 2 (x 0 ), 2 f (x x 2 0 ), 2 è simmtrica. Analogamnt s f C 2 (Ω), Ω R n, allora ( 2 ) f Hf(x 0 ) = (x 0 ) 1 k,j n è simmtrica. Prima di scrivr la formula di Taylor all ordin du vdiamo l quivalnt dl Torma dl valor mdio pr f.

4 4 FAUSTO FERRARI Torma 2.2. Sia f C 1 (Ω), con Ω R 2 [x 0, x] int(ω) = Ω. Allora sist x ]x 0, x[ tal ch f(x) f(x 0 ) = f( x), x x 0. Sia t g(t) = f(x 0 + t(x x 0 )) dfinita su [0, 1]. Notiamo ch g C([0, 1]) g è drivabil in ]0, 1[. Dal Torma dl valor mdio di Lagrang risulta ch sist θ ]0, 1[ tal ch Ciò si traduc nlla sgunt uguaglianza g(1) g(0) = g (θ). f(x) f(x 0 ) = f(x 0 + θ(x x 0 )), x x 0, quindi x = x 0 + θ(x x 0 ). Il Torma dl valor mdio di Lagrang è la formula di Taylor con rsto di Lagrang al primo ordin. Vdiamo ch cosa accad s ci arrstiamo al scondo ordin. Torma 2.3. (Formula di Taylor) Sia f C 2 (Ω), Ω R 2. Supponiamo ch [x 0, x] Ω. Allora f(x) = f(x 0 ) + f(x 0 ), x x Hf(x 0)(x x 0 ), (x x 0 ) + o( x x 0 2 ), x x 0. Proof. Forniamo una dimostrazion di qusto risultato pr f C 3. Dfiniamo la funzion ausiliaria g : [0, 1 +ɛ[ R, g(t) = f(x 0 +t(x x 0 )), con ɛ numro positivo vntualmnt piccolo in modo ch {x 0 + t(x x 0 ) : t [0, 1 + ɛ[} Ω, in quanto pr ipotsi [x 0, x] Ω, con Ω aprto. La funzion g è di class C 3 (] ɛ, ɛ[). Quindi pr la formula di Taylor con rsto di Lagrang risulta con ξ]0, 1 + ɛ[. In particolar risultrà g(t) = g(0) + g (0)t g (0)t g (ξ)t 3, g(1) = g(0) + g (0) g (0) g (ξ), ξ]0, 1[. D altra part, g(0) = f(x 0 ) g(1) = f(x), mntr dal torma di diffrnziabilità dll funzioni compost risulta g f (t) = f(x 0 + t(x x 0 )), x x 0 = (x 0 + t(x x 0 ))(x i x 0i ), x i g (t) = (g (t)) = g (t) = (g (t)) = j=1 i=1 k=1 i=1 k=1 i=1 x k x i (x 0 + t(x x 0 ))(x i x 0i )(x k x 0k ) 3 f x i (x 0 + t(x x 0 ))(x i x 0i )(x k x 0k )(x j x 0j ). Quindi g (0) = f(x 0 ), x x 0 g (0) = (x 0 )(x i x 0i )(x k x 0k ) = H(f(x 0 ))(x x 0 ), (x x 0 ) x k x i g (ξ) = i=1 k=1 j=1 i=1 k=1 3 f x i (x 0 + ξ(x x 0 ))(x i x 0i )(x k x 0k )(x j x 0j ). Quindi la formula di Taylor val, prché g (ξ) = o( x x 0 2 ), pr x x 0.

5 ELEMENTI DI CALCOLO DIFFERENZIALE. PARTE II 5 Ovviamnt il risultato val anch pr n > 2 nll stss ipotsi di rgolarità dl Torma prcdnt. In particolar varrà f(x) = f(x 0 ) + f(x 0 ), x x Hf(x 0)(x x 0 ), (x x 0 ) + o( x x 0 2 ), x x 0, dov f(x 0 ) è un vttor 1 n Hf(x 0 ) è una matric n n. Ricordiamo l sgunti dfinizioni 3. Classificazion di punti strmanti Dfinizion 3.1. (Punto di max local) Sia Ω R n, x 0 Ω D(Ω) f : Ω R. Dirmo ch x 0 è un punto di massimo local pr f s sist r > 0 tal ch pr ogni x B(x 0, r) Ω, f(x) f(x 0 ). Dfinizion 3.2. (Punto di min local) Sia Ω R n, x 0 Ω D(Ω) f : Ω R. Dirmo ch x 0 è un punto di minimo local pr f s sist r > 0 tal ch pr ogni x B(x 0, r) Ω, f(x) f(x 0 ). La richista ch x 0 sia anch punto di accumulazion srv pr vitar di considrar alcuni casi vidntmnt privi di significato, com una funzion dfinita su Z n pr la qual tutti i punti risultrbbro di massimo minimo local. Si parlrà di punto di massimo rlativo strtto pr f qualora x 0 sia punto di massimo rlativo pr f f(x) < f(x 0 ), pr ogni x B(x 0, r) (Ω \ {x 0 }). Analoga dfinizion vin data pr il caso di un punto di minimo rlativo strtto. I punti di minimo o massimo local pr una funzion f sono gnricamnt dtti punti strmanti pr f. Pr mglio capir la natura dl tst pr mzzo dl qual è possibil dtrminar, qualora sistano, i punti strmanti pr una funzion f dfinita su R 2 o R n trattiamo il caso in R riassunto nl sgunt torma. Torma 3.1. Sia I R un intrvallo x 0 int(i) f : I R. Supponimo ch sistano f (x 0 ) f (x 0 ) rali. S 1) f (x 0 ) = 0 2) f (x 0 ) 0 Allora x 0 è un punto strmant rlativo fort pr f. In particolar s f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) > 0, allora x 0 è punto di minimo rlativo fort pr f, mntr s f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) < 0, allora x 0 è punto di massimo rlativo fort pr f. Vdiamo, nl caso in cui la funzion sia di class C 2 (I) con I aprto, la dimostrazion di qusto risultato. Considriamo la formula di Taylor con rsto di Pano nl punto x 0. Allora f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) 2 + o(x x 0 ) 2, x x 0 ξ ]x 0, x[, s x 0 < x, altrimnti ξ ]x, x 0 [. A qusto punto ricordiamo ch f (x 0 ) = 0. Allora da cui f(x) f(x 0 ) = 1 2 f (x 0 )(x x 0 ) 2 + o(x x 0 ) 2, x x 0 (3) f(x) f(x 0 ) = (x x 0 ) 2 ( 1 2 f (x 0 ) + o(1)), x x 0. Supponiamo f (x 0 ) > 0, allora dal torma dlla prmannza dl sgno sgu ch sist un intorno di x 0, I x0, tal ch pr ogni x I x0 \{x 0 }, ( 1 2 f (x 0 )+o(1)) > 0. Quindi risultrà positivo

6 6 FAUSTO FERRARI anch il mmbro di dstra di (3) cioè (x x 0 ) 2 ( 1 2 f (x 0 ) + o(1)) > 0 pr ogni x I x0 \ {x 0 } prtanto anch il mmbro di sinistra di (3) sarà positivo pr ogni x I x0 \ {x 0 }, ovvro pr ogni x I x0 \ {x 0 } f(x 0 ) < f(x), cioè x 0 è un punto di minimo rlativo fort pr f. Nl caso di funzioni a più variabili il risultato ch nuncrmo sarà l analogo dl prcdnt Torma in una sola variabil. Il ruolo dlla drivata prima in x 0 sarà prso dal gradint di f in x 0, mntr qullo dlla drivata sconda in x 0 sarà prso dalla matric Hssiana di f in x 0. Vdiamo ora ch l annullarsi dl gradint di f in un punto intrno è condizion ncssaria affinché il punto sia strmant. Ovviamnt non sarà condizion sufficint. Dfinizion 3.3. Sia x 0 Int(Ω), dov Ω R 2. S in x 0 sistono tutt l drivat parziali di ordin uno in x 0 f(x 0 ) = 0, allora dirmo ch x 0 è critico. Esistono punti ch sono critici snza ssr punti strmanti, si pnsi alla funzion f : R 2 R, f(x, y) = xy. f(x, y) = (y, x). L unico punto critico è (0, 0), ma (0, 0) non è strmant, prché f(t, t) > 0, s t > 0, mntr f(t, t) < 0 s t > 0 f(0, 0) = 0. Torma 3.2. (Condizion ncssaria pr l sistnza di punti strmanti). Sia x 0 Int(Ω), dov Ω R 2. S x 0 `punto strmant rlativo pr f : Ω R f è dotata di tutt l drivat partziali in x 0, allora f(x 0 ) = 0. Pr la dimostrazion sarà sufficint considrar pr ogni j {1, 2} g j : I j R intorno di 0 in R, con I j vntualmnt piccolo, così dfinita g j (t) = f(x 0 + t j ). L funzioni g j sono dotat di drivata in 0 qust drivat non sono altro ch l drivat parziali di f in x 0. Ovvro g 1(0) = f x 1 (x 0 ) g 2(0) = f (x 0 ). x 2 D altra part pr ogni j {1, 2} si ha ch 0 è punto strmant pr g j, dlla stssa natura di f. Val a dir: s x 0 è punto di massimo rlativo pr f, allora anch 0 è punto di massimo rlativo pr g j (analogamnt pr il minimo). Poiché 0 è punto intrno pr I j possiamo applicar il Torma di Frmat a g j concludr ch f(x 0 ) = 0. Sia f : Ω R 2 R dotata di tutt l drivat parziali di ordin uno in x 0 Int(Ω) Dirmo ch x 0 è un punto di slla pr f s f(x 0 ) = 0, ma x 0 non è punto strmant pr f. Torma 3.3. Sia x 0 Int(Ω), Ω R 2, f C 2 (Int(Ω)). S 1) f(x 0 ) = 0 (x 0 è critico) 2) Hf(x 0 ) è dfinita (positiva o ngativa). Allora x 0 è punto strmant rlativo fort pr f. In particolar s f(x 0 ) = 0 Hf(x 0 ) > 0 allora x 0 è un punto di minimo local fort, mntr s f(x 0 ) = 0 Hf(x 0 ) < 0 allora x 0 è un punto di massimo local fort. Inoltr s 1) f(x 0 ) = 0 (x 0 è critico)

7 ELEMENTI DI CALCOLO DIFFERENZIALE. PARTE II 7 2) Hf(x 0 ) non è dfinita (né positiva né ngativa), allora x 0 è punto di slla. La dimostrazion è analoga al caso unidimnsional. Poichè f C 2 (Int(Ω)) possiamo considrar i punti critici pr ciascuno di qusti, considriamo x 0, saminar la funzion f ristrtta ad una palla, vntualmnt di raggio piccolo, pr cui B(x 0, r x0 ) Ω. Notiamo ch f B(x0,r x0 ) C 2 (B(x 0, r x0 )). Sono inoltr soddisfatt l ipotsi in bas all quali possiamo applicar la formula di Taylor con cntro x 0. Avrmo f(x) = f(x 0 ) Hf(x 0)(x x 0 ), (x x 0 ) + o( x x 0 2 ), x x 0, ricordiamo ch x 0 è critico, quindi f(x 0 ) = 0. Inoltr s x x 0 f(x) f(x 0 ) = ( x x 0 2 )( 1 2 Hf(x 0)( x x 0 x x 0 ), ( x x 0 x x 0 ) + o(1)), x x 0. Ricordando (1) (2) avrmo 1 2 λ 1 2 Hf(x 0) x x 0 x x 0, x x 0 x x Λ dov λ Λ sono rispttivamnt il minimo il massimo dgli autovalori dlla matric Hf(x 0 ). Quindi s Hf(x 0 ) è dfinita positiva, allora λ > 0 ( vicvrsa), quindi f(x) f(x 0 ) = ( x x 0 2 )( 1 2 λ + o(1)), x x 0 dunqu pr il torma dlla prmannza dl sgno, sist una palla cntrata in x 0 di raggio ρ tal ch ( x x 0 2 )( 1 2 λ + o(1)) > 0 pr ogni x B(x 0, ρ) \ {x 0 }. Com consgunza avrmo ch anch f(x) f(x 0 ) > 0 pr ogni x B(x 0, ρ) \ {x 0 }. Ovvro x 0 è punto di minimo rlativo fort. Analogamnt si procd nl caso in cui la matric è dfinita ngativa. Rmark 3.1. Il prcdnt risultato è infficac nl caso in cui x 0 è critico Hf(x 0 ) = 0 o anch soltanto smidfinita (positiva o ngativa).