Nota Come sinonimo di funzione lineare spesso si usano i termini operatore lineare o applicazione lineare o trasformazione lineare

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1 Funioni Linari tra Spai Vttoriali D. Siano V V du spai vttoriali sia : V V. è dtta FUNZIONE LINEARE s: v, v V, k R si ha : v v v additività v kv k omognità v Oppur con l unica proprità: v v v v Nota Com sinonimo di union linar spsso si usano i trmini oprator linar o applicaion linar o trasormaion linar Nota Una union linar è nota quando è noto com agisc sui vttori di una bas di V.

2 Esmpi Esmpi Es. Sia :R R Si stabilisca s è linar:

3 Esmpi Esmpi Es. Sia :R R union linar tal ch: Si calcoli: 5 NOTA Una Funion Linar è nota una volta ch è noto il modo in cui agisc sui vttori di una bas!

4 Krnl o Nuclo D. Krnl Data : V V union linar abbiamo: Torma Data : V V union linar, Kr è un sottospaio vttorial di V. Kr V : V Oss. S è un applicaion linar tra V V allora. Inatti: v-vv-v. Dunqu Kr è almno costituito dal vttor nullo dllo spaio V. Val il sgunt torma: Dim. Siano k k, Kr, R k Dimostriamo ch : k Kr Inatti: k k k k Ciò mostra ch Kr è un sottospaio vttorial di V

5 Krnl o Nuclo Torma Data : V V union linar, La union è inittiva s solo s Kr{}. Dim. Sia inittiva, dimostriamo ch Kr{}: Kr Vicvrsa: sia Kr{} allora é inittiva : Ma dunqu s è inittiva. Siano, tali ch. Allora : - - n sgu ch Nota ' Kr ' ' inittiva Inoltr s Kr { } k k Tuttavia: k k k E dunqu non può ssr inittiva 5

6 Krnl Krnl o Nuclo: smpi Nuclo: smpi Es. Si dtrmini il Krnl dll unioni dgli srcii prcdnti: * ] 6 DimKr non è inittiva dt *

7 Krnl Krnl o Nuclo: smpi Nuclo: smpi Es. Si dtrmini il Krnl dll unioni dgli srcii prcdnti: ] 7 DimKr è inittiva * dt *

8 Codominio o Immagin D. Immagin Data : V V union linar abbiamo: Im { w V } : v V : v V : w Torma Data : V V union linar, Im è un sottospaio vttorial di V. Torma Una union è surittiva s solo s ImV Torma Data : V V union linar: dim Kr dim V dimim D. S è inittiva surittiva quindi biunivoca prnd il nom di ISOMORFISMO Automorismo s V V 8

9 Codominio o Immagin Codominio o Immagin Es. Si dtrmini l Immagin dll unioni dgli srcii prcdnti : ] Dtrminiamo quali vttori,, dllo spaio di partna hanno com immagin un gnrico vttor a,b,c dllo spaio di arrivo. Cioè si considri: L immagin è gnrata dai tr vttori colonna dlla matric. Ossrviamo: 9 dt L immagin è gnrata dai tr vttori colonna dlla matric. La matric di vttori ha rango du. Dunqu du solo di tr vttori gnrano l immagin. Allora Im ha dimnsion d una bas di Im è costituita da du qualsiasi di tr vttori. Val la somma: DimImDimKr

10 Codominio o Immagin Codominio o Immagin Es. Si dtrmini l Immagin dll unioni dgli srcii prcdnti : ] Si considri: Si considri: dt La matric di vttori ha rango tr. Dunqu Im ha dimnsion. La bas è costituita dai tr vttori colonna dlla matric. La somma: DimImDimKr

11 Torma di rapprsntaion Torma di rapprsntaion Sia : V V union linar, con ndimv d mdimv. Fissat du basi in V V, gli lmnti di V possono ssr idntiicati da vttori a n componnti gli lmnti di V possono ssr idntiicati da vttori a m componnti. Siano {a,.., a n }i vttori dlla bas di V { b,.., b m }i vttori dlla bas di V : Torma Nll ipotsi sopra dscritt alla union è possibil ar corrispondr una matric di tipo m n, costruita aiancando gli n vttori a,, a n Es. Si considri al matric : A A Considriamo qusta matric pr costruir una union da A:R R tal ch al vttor gnrico di R associ il vttor A di R Ad s. s R R A t t t t

12 Torma di rapprsntaion Torma di rapprsntaion A Studio dl Krnl dll Immagin: La matric A ha rango poiché: 6 dt L Immagin di A ha dimnsion. Bas di ImA sono i vttori: Il Krnl di A ha quindi dimnsion : γ ImA Il Krnl di A ha quindi dimnsion : t t t t t 8 7 t t t 6 6 A Kr

13 Torma di rapprsntaion Torma di rapprsntaion Es. Si dtrmini la matric dll unioni dgli srcii prcdnti risptto alla bas canonica di R : ] M Notiamo ch il rango dlla matric M ugual a, guaglia la dimnsion dl sottospaio Im, ciò non è casual poiché il sottospaio Im è gnrato dall immagini di vttori di bas dllo spaio di partna. Possiamo quindi ormular il sgunt torma: Torma Data la union : V V union linar, dtta M la matric ch rapprsnta abbiamo ch RangoMDimIm. S DimImDimV allora è surittiva. S DimImDimV allora è inittiva. S DimIm DimV DimV allora è biunivoca.

14 Torma di rapprsntaion Torma di rapprsntaion Es. Si dtrmini la matric dll unioni dgli srcii prcdnti risptto alla bas canonica di R : ] M 5 Notiamo ch il rango dlla matric M ugual a, guaglia la dimnsion dl sottospaio Im. L applicaion è dunqu biunivoca automorismo di R

15 Torma di Rouché Caplli Sistmi Linari Supponiamo di avr un sistma linar nlla sua orma più gnral possibil, ormato da m quaioni con n incognit, scritto in orma normal: a a... a nn b a a... ann b am am... amnn b s indichiamo con A la matric di coicinti di tipo m n d il vttor dll incognit di tipo n : n componnti,, n con b il vttor di trmini noti di tipo m : m componnti b,,b m m Α a a.. am a a a.. m a a a n n.. mn.. n b b b.. b m 5

16 Torma di Rouché Caplli E possibil scrivr il sistma nlla sgunt orma matricial: A b La scrittura può ssr intrprtata com l aion dlla union linar rapprsntata dalla matric A agnt tra gli spai R n a valori in R m. D. Matric complta Si dinisc matric complta dl sistma la matric A b Ottnuta aiancando alla matric A una ultrior colonna costituita dal vttor di trmini noti b. E vidnt ch la condiion suicint ainché il sistma rapprsntato dalla ammtta soluioni è ch il vttor b appartnga all insim dll immagini dlla matric A. Qusta condiion è tradotta com sgu nl torma di Rouché - Caplli. 6

17 Torma di Rouché Caplli Torma di Rouché-Caplli Condiion ncssaria suicint ainché il sistma di m quaioni linari in n incognit rapprsntato dalla ammtta soluion o, quivalntmnt, ch il sistma sia compatibil è ch: Rango A Rango A b Es. m>n Α RangoA Α b dt Α b rango Α b Il sistma NON ammtt soluioni 7

18 Torma di Rouché Caplli Es. m>n Α 7 RangoA Α b dt Α b 7 5 rango Α b Il sistma ammtt soluioni è compatibil Ricrca soluioni: si considrano du dll tr quaioni qull ch gnrano il minor di ordin divrso da ro poi si risolv normalmnt :

19 Torma di Rouché Caplli 5 Es. m<n 5 5 Α 5 5 RangoA Α b 5 5 rango Α b Il sistma NON ammtt soluioni 9

20 Torma di Rouché Caplli 5 Es. m<n Α RangoA Α b rango Α b Il sistma ammtt soluioni è compatibil Ricrca soluioni: si considrano l quaioni qull ch gnrano il minor di ordin divrso da ro poi si risolv normalmnt : Soluioni ininit dipndnti da paramtro grado di librtà

21 Autovalori d Autovttori Supponiamo di volr ricrcar l dirioni ch vngono lasciat invariat dall aion di una union linar o dlla matric corrispondnt. Dv ssr :V V. La matric ch rapprsnta è dunqu una matric quadrata con ordin pari alla dimnsion di V. Possiamo ormular qusta richista, la cui validità è trasvrsal a molt disciplin scintiich, attravrso la sgunt quaion: Av v Equaion agli autovalori autovttori D. Nlla è dtto autovalor rlativo alla matric A v v è dtto autovttor dlla matric A rlativo all autovalor. Possono ssr più di uno gli autovttori rlativi ad un dtrminato autovalor, pr ssi val il sgunt Torma Tutti gli autovttori rlativi ad una dtrminato autovalor ormano un sottospaio vttorial di V dtto AUTOSPAZIO.

22 Autovalori d Autovttori Es. Α 5 6 u 6 5 v u v sono autovttori di A? Αu u u è autovttor pr A rlativo all autovalor - 9 Αv Il vttor ottnuto non è multiplo di u prciò u non è autovttor

23 Polinomio Carattristico Pr ricrcar sistmaticamnt tutti gli autovalori tutti gli autovttori di una matric procdiamo nl sgunt modo. Dalla : Av v Av I v A In v n Con I n matric idntità n-dimnsional. La rapprsnta un sistma linar omogno con incognita il vttor v. L unico modo pr non avr soluioni banali cioè v, vttor con tutt l componnti null è qullo di porr il dtrminant dlla matric di coicinti nullo. dt A I n La prcdnt quaion è dtta quaion carattristica. Essa è costituita da un polinomio in gnral di grado n nlla variabil dtto POLINOMIO CARATTERISTICO. L soluioni dl polinomio carattristico sono gli autovalori. Una volta noti gli autovalori di una matric, gli autovttori vngono dtrminati dall quaion. La matric I n é un matric diagonal, con tutti gli lmnti dlla diagonal principal uguali a.

24 Autovalori Autovttori srcii Es. Matric di rotaion in R R ϑ dt R I cosϑ sinϑ I ϑ Esistono soluioni rali s cosϑ R ϑ sinϑ sinϑ cosϑ cosϑ sin cos ϑ ± cos ϑ sinϑ cosϑ cosϑ sinϑ sinϑ cosϑ ϑ cosϑ cos ϑ cosϑ ± ϑ, π R Rπ Gli autovalori sono -. Autovttori..

25 Autovalori Autovalori Autovttori Autovttori srcii srcii Es. Matric di simmtria S I S dt I S ± k autovttori s 5 k autovttori s

26 Autovalori Autovalori Autovttori Autovttori srcii srcii Es. Matric A I A ] [ ] [ ] [ dt I A 6 5 ] 5 [ 6] [ 6 5,, A s 5 ] 5 [ 6] [ Poiché dt A ho soluion. Considro: - k solu. Autospaio rlativo all autovalor ha dimnsion Krnl

27 Autovalori Autovalori Autovttori Autovttori srcii srcii s solu. k Autospaio rlativo all autovalor ha dimnsion 7 5 s 5 solu. k Autospaio rlativo all autovalor 5 ha dimnsion

28 Autovalori Autovalori Autovttori Autovttori srcii 5 srcii 5 Es. Matric A I A dt I A, volt du 8 A s / / - solu. Autospaio rlativo all autovalor con moltplicità ha dimnsion

29 Autovalori Autovalori Autovttori Autovttori srcii 6 srcii 6 A s k solu. Autospaio rlativo all autovalor ha dimnsion 9