Esercitazione 2. Francesca Apollonio Dipartimento Ingegneria Elettronica

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1 srcitaion Francsca pollonio Dipartimnto Inggnria lttronica -mail:

2 () t cos( ω t ϕ) ampia pulsaion Vttori complssi Data una granda scalar (t) variabil cosinusoidalmnt nl tmpo fas i può sprimr (t) com sgu: () t ( t ϕ ) t ϕ j t t * t granda complssa associata a qulla istantana->fasor jϕ

3 Vttori complssi ora considriamo la funion vttorial (t) l cui componnti sui tr assi variano cosinusoidalmnt nl tmpo: () () t () t () t t () t t () t t () t t I rlativi fasori jϕ jϕ jϕ j j j i introduc il vttor complsso quantità rali j dov

4 i ha ch: () ( ) t t Vttori complssi j t jϕ cos t t ( ω t) sin( ω t) Il vttor istantano (t) è dato dalla somma di vttori ω t hanno: dirioni fiss nllo spaio ampi variabili nl tmpo () cos( ω t ϕ ) cos( ωt ϕ ) cos( ωt ϕ ) t j j j t j t ϕ ( ϕ ω ω ) j ϕ jϕ j ϕ cos ( ) sin( ω t) quindi individuano un piano sul qual l strmo libro di (t) dscriv un luogo gomtrico al variar di t ch

5 Proprità di vttori complssi Un vttor complsso non si può disgnar com i vttori rali prché ha componnti complss non associabili ai punti di una rtta. Modulo di un vttor complsso (quantità ral positiva) * Prodotto scalar: s il prodotto scalar tra du vttori complssi è nullo non è dtto ch i vttori part ral part immaginaria siano sparatamnt ortogonali tra loro ( j3) ( ) j u ju j ( 3 j) 3 j( ) v jv u 3 v u v j ( j3) 3 j u v 3 u v 3

6 Vttori complssi: rapprsntaion quantità non linari P( t) V ( t) I( t) [ ] ( iω t iω t * iω t V I I ) V i ω t ( ) iω t * iω t iω t * I I VI VI VI i ω t * VI valor mdio in un priodo dlla potna istantana fornita dal gnrator al circuito Potna complssa P T T * P VI P jp p. ral p. rattiva () P t dt

7 Polariaion () t ( ) t t t j t cos( ω t) sin( ω t) θ Un vttor sinusoidal può ssr rapprsntato dalla somma di du vttori ch oscillano in quadratura scondo dirioni fiss. Il vttor (t) giac sul piano ch contin d d il suo strmo dscriv una traittoria llittica. L coordinat dll strmo di (t) saranno: X Y cos cos ( ω t) ( ) sin ω t ( ω t) sin( ω t) X X Y Y sin cos ( ω t) ( ω t) ( X Y ) ( X Y ) ( )

8 Polariaion Y θ X X Y ( t) cos( ω t) sin( ω t) () t sin( ω t) sinϑ sin ( ω t) Y sinϑ cosϑ cos ( ω t) X cosϑ X Y cotϑ Y sinϑ ( cos( ω t) ) sin ( ω t) ( ) X XY cotϑ Y cot ϑ Y X XY cotϑ Y cot sin ϑ X XY cotϑ Y cot ϑ sin ϑ b 4ac 4cot ϑ 4 cot ϑ ϑ sin ϑ conica dl tipo: ax bxy cy il cui discriminant: sin < ϑ d

9 Polariaion () t cos( ω t) sin( ω t) j Nl caso in cui θ π/ cioè Polariaion circolar X Y Nl caso in cui θ cioè oppur o X Y ( t) cos( ω t) m sin( ω t) () t Polariaion linar

10 srcii su polariaion ) 3 3 Polariaion linar [ ] t ( 3 ) cos( t) () t ( 3 ) ω () t cos ( ω t) () t cos( ω t) () t 3cos( ω t) () t 4 9 cos( ω t) 4 cos( ω t) () t 4 ma

11 ) j ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) 3 ( t) ( 3 ) cos( ω t) ( 3 ) sin( ω t) ( 3 )( cos( ω t) sin( ω t) ) () t 4 cos( ω t) sin( ω t) d dt cos ( sin ( ω t) cos( ω t) ) ( ) ω tan ω t ( ω t) ± tan ( ω t) sin ( ω t) ± tan tan ( ω t) ( ω t) () t ma 5 5

12 3) j Polariaion circolar [ ] t ( 3 4 ) cos( ω t) 5 sin( t) () t ( j ) ω () t 9cos ( ω t) 6cos ( ω t) 5sin ( ω t) 5 4) 5 3 j

13 pplicaion torma di Ponting τ τ ( p p ) dτ i mi ( p p ) dτ I nlla rgion non sistono corrnti imprss problma statico V c dτ τ p ssndo σ

14 ( ) Π t n n d d pplicaion torma di Ponting '' ' t ( ) ( ) ( ) ( ) '' ' d d d d n n n n '' ' n n su d ( ) ( ) '' ' d d ( ) ( )d d '' ' ϕ d d d ( ) ( ) ( ) '' π π ϕ d d d d

15 pr il campo lttrico V pplicaion torma di Ponting V λ V V pr il torma di Gauss π λ : carica pr unità di lungha distribuita πε sulla suprfici dl conduttor intrno V λ λ λ V V d d d ( ln ln ) ln πε πε πε λ V V πε ln ln pr il campo magntico ϕ ϕ tangnial risptto ad una circonfrna cost λ ε

16 pplicaion torma di Ponting pr la lgg dlla circuitaion di mpr s s ds In dfinitiva: π ϕ dϕ π I ϕ ϕ I π V ' ln ( ) d π ϕ d ' I π VI d V ln I Potna fornita al carico dal gnrator di tnsion. La potna dissipata sul carico è pari alla potna trasmssa attravrso il dilttrico. La trasmission di nrgia dal gnrator al carico avvin attravrso il dilttrico non attravrso i conduttori dl cavo.

17 Funioni d onda in rgim sinusoidal In gnral l soluioni dll quaioni di campi monocromatici saranno di vttori con componnti dl tipo: L ampia la fas sono funion dlla jϕ Ψ Ψ Ψ cos posiion Ψ Ψ () r, ϕ ϕ() r ( ω t ϕ ) apprsntano ond ch si propagano -> funioni d onda I luoghi di punti r ch soddisfano quaioni dl tipo L oscillaioni di Ψ avvngono in fas ϕ () r cost suprfici quifas

18 Funioni d onda in rgim sinusoidal I luoghi di punti r ch soddisfano quaioni dl tipo ω t ϕ () r cost () t fas istantana front d onda ll istant t la suprfici ω t ϕ r cos coincid con una sup. quifas, all istant succssivo ssa coincid con una sup. cui compt un valor dcrscnt dlla fas. Il moto di fronti d onda costituisc ciò ch si intnd pr propagaion di un onda monocromatica Ni casi particolari in cui l sup. quifas d i fronti d onda sono piani, sfr, cilindri, l onda vin dtta piana, sfrica, cilindrica. Il vttor : rad β - ϕ Vttor d onda m prpndicolar alla sup. quifas orintato nl vrso dlla propagaion

19 Funioni d onda in rgim sinusoidal upponiamo ch un ossrvator voglia sguir un front d onda muovndosi nlla dirion di un vrsor a partndo dal punto r. La vlocità v a con cui l ossrvator dovrbb muovrsi si chiama vlocità di fas nlla dirion a ϕ dϕ a ϕ a ( v dt) a v dt a β v dt a L ossrvator d altro canto vd smpr lo stsso valor di fas istantana d ( ϕ ω t) dϕ ω dt a

20 Funioni d onda in rgim sinusoidal v a ω v v a β cosθ ω β vlocità di fas vlocità di fas nlla dirion dl vttor d onda smpio Ψ jk s indichiamo con φ a l argomnto di si ha ϕ ϕ a k l sup. quifas sono piani prpndicolari all ass β ( a k) ( k) k - ϕ Onda piana ch si propaga nl vrso positivo dll β k v ω k

21 Funioni d onda in rgim sinusoidal Du piani quifas cui comptono valori di fas ch diffriscono di π sono sparati da una distana fissa (lungha d onda) λ π β λ v f L ampia dll oscillaioni è idntica in tutti i punti di un piano quifas: onda piana uniform vt smpio Ψ jk smpio 3 Ψ γ α [] γ dov γ sono complss Ψ α jϕ ϕ ϕ Im bbiamo un onda piana prché l sup. quifas sono prpndicolari all ass. L onda è uniform a [] γ

22 Funioni d onda in rgim sinusoidal L ampia dll oscillaioni si attnua con lgg sponnial nl vrso di propagaion Ψ Ψ() ( d ) α α ( d ) α d

23 smpio 4 Funioni d onda in rgim sinusoidal Ψ ( θ, ϕ) jkr r L suprfici quifas sono i luoghi di punti krcost -> suprfici sfrich