03. Le oscillazioni meccaniche. 03 d. Le onde stazionarie

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1 d. L ond stazionari

2 03. Contnuti : la fnomnologia, il formalismo ral qullo complsso, il principio di sovrapposizion l analisi spttral.

3 slid#3 Pitagora Samo a.c. Jan Baptist Josph Fourir Francia, Pitagora i suoi allivi didro un impulso straordinario alla toria di numri alla toria dl suono. A Pitagora è attribuito il primo studio sistmatico dll ond ccitat sul monocordo la scoprta dll armonich smplici. Allivo di Laplac Lagrang, Fourir did un contributo dcisivo all analisi funzional. L sri di Fourir l trasformat di Fourir sono strumnti ssnziali allo studio dll quazioni diffrnziali all drivat parziali, com ad smpio l quazioni dll ond l quazion di diffusion dl calor.

4 slid#4 Sollcitando una corda tnuta tra du strmi fissi è facil stabilir su di ssa ond stazionari, o armonich. L possibili armonich su una corda sono un insim discrto. Pr ccitar la ciascuna armonica si dv far vibrar la corda a una crta prcisa frqunza carattristica, dtta frqunza di risonanza. pistoncino Corda lastica strmo fisso In figura: du foto di una corda lastica sollcitata da un pistoncino ch oscilla trasvrsalmnt.

5 slid#5 L armonich sono carattrizzat da un numro crscnt di nodi vntri. L armonich più alt corrispondono a frqunza maggiori. I nodi sono punti fissi. L particll nl nodo sono frm. L particll tra i nodi oscillano. L particll ni vntri hanno ampizza massima di oscillazion.

6 slid#6 In bas alla fnomnologia, confrontando in particolar la forma dll armonich pari dispari, possiamo indovinar ch la forma funzional di un armonica ccitata sulla corda dv ssr dl tipo: R ( u) cos ( k x ) cos ( ωt ) Armonich dispari R Infatti: ( u) sn ( k x ) sn ( ωt ) Armonich pari -L 0 L x 1. Ogni fotografia dl profilo dlla corda ccitata ricorda una funzion di tipo sinusoidal.. L fotografi a istanti succssivi mostrano lo stsso profilo, ma l ampizza cambia in funzion dl tmpo in modo oscillant. u -L L x Sovrapposizion di foto a istanti divrsi. Ciascun punto si muov com un oscillator armonico, con lgg oraria ~ cos(ωt) L ampizza dll oscillazioni di divrsi punti prò cambia da punto a punto, com cos(kx)

7 slid#7 Vogliamo ora dimostrar ch l armonich sono la somma o la diffrnza tra du ond monocromatich, una progrssiva una rgrssiva, di pari ampizza. Fnomnologicamnt, qusto significa intrprtar l armonich com un onda ch vin continuamnt riflssa avanti inditro dall parti fiss post agli strmi dlla corda. L onda progrssiva ha numro d onda positivo L onda rgrssiva ha numro d onda ngativo A u Stsso cofficint complsso A i ( k x ωt) i( k x ωt) ± A Attnzion a non far confusion: qusta combinazion non ha nulla a ch vdr con qulla ch occorr pr trovar la part ral di u! Infatti, qusta funzion è complssa. Qusta funzion è crtamnt soluzion dll quazion di D Alambrt, prché è una combinazion linar di ond progrssiv rgrssiv. D altrond, com si mostrrà nlla prossima slid, la part ral di u è il prodotto di una funzion sinusoidal ch dipnd solo da x, pr una funzion sinusoidal ch dipnd solo da t. Qusta è sattamnt la proprità ch carattrizza l ond stazionari.

8 slid#8 Esrcizio: vrificar ch la part ral di u è il prodotto di una funzion sinusoidal ch dipnd solo da x, pr una funzion sinusoidal ch dipnd solo da t. u S c è la somma: R ( u) i( k x ωt) A + i( k x ωt) A A cos iωt ( kx) + A cos ( kx) A i k x + + iωt A cos i k x i ωt iωt + A cos + iωt iωt ( kx) ( kx) A cos ( kx) cos ( ωt) S c è la diffrnza: u i( k x ωt) A i( k x ωt) A i A i k x i i k x i ωt i A sn iωt ( kx) R ( u) i A sn A sn iωt ( kx) i A sn ( kx) i ωt i i ωt i A sn ( kx) A sn ( kx) sn ( ωt) + i ωt ( kx) i ωt iωt Nota. In qusti calcoli si è prso pr comodità A ral. S invc A A xp(iφ), valgono tutti I risultati prcdnti a patto di ffttuar nll formul finali l sostituzioni A A ; ωt ωt + φ.

9 slid#9 Gli strmi dlla corda sono fissi. L rgol di quantizzazion L ond stazionari sulla corda dvono soddisfar l condizioni al contorno: u ( L,t ) 0 ; u ( L,t ) 0 u cos cos ( k x ) ( k L) cos( k L) 0 k L π + m π m 1, u sn sn ( k x ) ( k L) sn( k L) 0 k L m π Circonfrnza goniomtrica Prché siano soddisfatt l condizioni al contorno, k può assumr solo valori discrti. Si dic ch i valori di k sono quantizzati: k n n ko ; ko π L L lunghzza total dlla corda

10 L rgol di quantizzazion kn n ko ; ko slid#10 π L π k ; λ1 L 1 4L La lunghzza d onda dlla prima armonica è il doppio dlla lunghzza dlla fun k, ω ν crscono in proporzion a n k n π 4L π n c ; λn ; ωn ; L n 4 L n νn n c 4L C è smpr un numro intro di mzz lunghzz d onda λ varia in proporzion invrsa a n

11 slid#11 La sovrapposizion di armonich divrs il torma di Fourir Naturalmnt è possibil ccitar du o più armonich divrs contmporanamnt. In bas al principio di sovrapposizion, l onda complssiva sarà allora data dalla combinazion linar di du o più armonich. u u n i kn x i kn x i ωn t ( x, t ) c ( ± ) ( x, t ) u ( x, t ) n n n L armonica n-ma è un onda La somma di ond è un onda Torma di Fourir Tutt l ond sulla corda, ch siano ond stazionari oppur no, possono ssr scritt com combinazion linar di armonich. Qusto torma è fondamntal: dimostra ch l intgral gnral dll quazion di D Alambrt sulla corda, con l condizioni al contorno spcificat, può ssr rapprsntato nlla forma di una combinazion linar di un insim numrabil di funzioni spciali, l armonich. Non dimostrrmo qusto torma.

12 slid#1 La sovrapposizion di armonich divrs il torma di Fourir Com è possibil ch anch l ond non stazionari possano ssr rapprsntat com somma di armonich? Ciò dipnd da qusta proprità fondamntal: La combinazion linar di du ond stazionari con k divrso NON E un onda stazionaria In figura è mostrata una squnza di foto di una corda sollcitata dall prim du armonich, scattat a intrvalli t. Il profilo dlla funzion somma (puntini nri) non mantin smpr la stssa forma. Il motivo è ch l armonich divrs (blu rossa) hanno un divrso priodo di oscillazion (8 t pr la prima armonica, 4 t pr la sconda), sicché in istanti divrsi l loro form non corrispondono allo stsso modo. R ( u) R ( u ) + R ( u ) A cos ( k x) cos ( ω t) + Asn ( k x) cos ( t) 1 o o o ωo 0 t t 3 t u 1 u U 1 +u 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t

13 slid#13 La sovrapposizion di armonich divrs il torma di Parcval Il Torma di Fourir è il Torma fondamntal pr la dcomposizion dll onda in armonich. Il Torma di Parcval è il Torma fondamntal pr la Spttroscopia dll ond. Torma di Fourir Torma di Parcval u ( x, t ) un ( x, t ) E E mc n n n Torma di Parcval L nrgia mccanica total dll onda è pari alla somma dll nrgi mccanich dll armonich. Qusta circostanza non è banal val solo pr l armonich: in gnral, l nrgia dlla somma di du ond non è ugual alla somma dll nrgi. Non dimostrrmo qusto torma.

14 approfondimnto Un po di musica L condizioni al contorno pr l armonich in una canna smiaprta L particll d aria sono frm sul fondo: u ( L,t) 0 u La prssion alla bocca è costant pari alla prssion atmosfrica: 0 x Il cambiamnto dll condizioni al contorno dtrmina un cambiamnto dll rgol di quantizzazion. La canna ospita un numro intro di mzz lunghzz d onda, più un quarto di lunghzza d onda. Qusta condizion si ralizza, ad smpio, quando si soffia in una bottiglia facndola suonar. Approssimativamnt, anch l cann di un organo funzionano allo stsso modo. L, t L accordatura dlla chitarra Agndo sul cavicchio, si modifica la tnsion T dlla corda, di consgunza, la vlocità dll ond trasvrsali, visto ch c S T ρ S szion dlla corda, ρ dnsità A parità di λ, la frqunza dll armonich cambia. S n può così accordar la frqunza a qulla prvista dalla scala tonal.