Prima prova intercorso lunedì 14 aprile 2005

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1 Prima prova intrcorso lundì 14 april 25 Laura in Scinza Inggnria di Matriali anno accadmico Istituzioni di Fisica dlla Matria - Prof. Lornzo Marrucci Tmpo a disposizion: 2 or 15 minuti Uso dgli appunti o di libri: NON AMMESSO; uso dlla calcolatric: AMMESSO Nota: pr lasciar un margin di rcupro intrno a qusto compito, il total di punti a disposizion è fissato a 32 invc ch a 3, ma il voto massimo di qusto scritto ai fini dlla mdia pr il voto final rsta comunqu 3/3. 1) Una molcola di acido fluoridrico HF può ssr considrata quivalnt ad un sistma di du mass (gli atomi di idrogno H di fluoro F) collgat da una molla (il lgam chimico tra i du atomi). Essndo il fluoro 19 volt più psant dll idrogno, pott assumr in prima approssimazion ch l atomo di fluoro rsti frmo mntr l idrogno oscilla. La frqunza misurata di oscillazion armonica (o, com si dic più spsso, di vibrazion ) dlla molcola risulta pari a ν Hz. Sapndo ch la massa dll atomo di idrogno è pari a m H kg, calcolar (a) la costant lastica k dl lgam chimico tra H F. Qusta vibrazion dlla molcola HF può ssr indotta utilizzando radiazion lttromagntica infrarossa, la qual srcita una forza lttrica sull atomo di idrogno a causa dl fatto ch l idrogno H nlla molcola HF possid una carica positiva q C (compnsata da un ugual carica ngativa dl fluoro). Calcolar (b) la lunghzza d onda λ dlla radiazion lttromagntica ch si trova in condizion di risonanza con l oscillazion dlla molcola HF. Sapndo poi ch l nrgia di lgam di una molcola di HF è approssimativamnt pari a 1 18 J, calcolat (c) la minima intnsità I dll onda lttromagntica di lunghzza d onda λ capac di dissociar la molcola, supponndo ch il fattor di qualità dlla risonanza vibrazional dlla molcola HF sia pari a Q 1 4. [punti: a 3; b 3; c 2] (costant dilttrica dl vuoto ε 9 pf/m) 2) Una catna di 1 pndoli prsnta l sgunti carattristich: i fili di sospnsion possono ssr considrati infinitamnt lunghi; l mass di pndoli sono pari a 1 g; la distanza di quilibrio tra pndoli conscutivi è 5 cm; l moll ch collgano i pndoli sono tutt uguali. Applicando una forza strna, imponiamo al primo pndolo dlla catna un moto armonico di ampizza 1 cm frqunza ciclica 1 Hz. Sulla catna si ossrva allora la gnrazion di un onda armonica viaggiant ch possid una lunghzza d onda di 1 m. In bas a qust informazioni, calcolar: (a) la vlocità dll ond sulla catna (b) la costant lastica dll moll dlla catna. Assumndo ora ch l ultimo pndolo dlla catna sia tnuto bloccato in modo ch si gnri un onda riflssa, calcolar (c) la vlocità massima di oscillazion dl pndolo ch si trova ad una distanza di 25 cm dall ultimo pndolo (suppont pr qusta risposta ch l onda riflssa non abbia ancora raggiunto il primo pndolo, pr cui non abbia influnza sulla gnrazion dll onda inizial). Suppont ora ch anziché trminar in un pndolo bloccato, la catna di 1 pndoli sia collgata tramit una molla (ugual all altr moll) ad un altra catna con l stss carattristich dlla prcdnt, cctto pr la massa di pndoli ch è m 4 g. Calcolar (d) l ampizza dll onda armonica ch vin trasmssa nlla sconda catna di pndoli [suggrimnto pr la domanda (d): nl limit continuo, i pndoli adiacnti al punto di contatto tra l du catn dvono sguir lo stsso moto nonché, pr il principio di azion razion, scambiarsi la stssa forza lastica]. [punti: a 2; b 2; c 2; d 2]. 3) Scrivt un saggio di circa mzza pagina su uno di sgunti du argomnti, a vostra sclta (ma NON ENTRAMBI). [punti: 8] a. Il fnomno dlla risonanza. b. La soluzion gnral dll quazion dll ond di D Almbrt. ATTENZIONE: la prova continua alla pagina sgunt...

2 sconda pagina Prima prova scritta intrcorso 14/4/25 - Istituzioni di Fisica dlla Matria - Prof. Lornzo Marrucci 4) TEST (val 1 punto pr ogni domanda, 8 punti in total) COGNOME: NOME: MATRICOLA: a) Enunciar sintticamnt (a parol /o con formul) il principio di sovrapposizion, rlativamnt ad un oscillator armonico: S x 1 (t) x 2 (t) sono dinamich possibili dll oscillator, allora anch x(t) x 1 (t)+x 2 (t) lo è b) Da quali tra i sgunti fattori può dipndr la dinamica di un oscillator smorzato soggtto ad una forza strna oscillant, dopo un tmpo molto lungo (cioè a rgim )? - Vlocità inizial: [SI] [NO] - Posizion inizial: [SI] [NO] - Intnsità forza strna: [SI] [NO] - Attriti intrni al sistma: [SI] [NO] c) Scrivt l sprssion gnrica di un onda armonica in notazion ral complssa: ξ A cos(±kx ωt+ϕ) ξ A c i(±kx iωt) d) Qual è la frqunza ciclica di un onda radio armonica la cui lunghzza d onda è 3 m? ν c / λ m/s / (3 m) 1 6 Hz 1 MHz ) Qual è la durata approssimativa dl più brv pacchtto d ond ch si possa costruir utilizzando una banda di frqunz di larghzza ν 1 khz? t 1/ ω 1/(2π ν) 1/(6 1 4 Hz) s 17 µs (ma va bn anch t 1/ ν 1 4 s) f) La corda di una chitarra si comporta com un risonator, prché è fissata ai du strmi. S la lunghzza dlla corda è L 1 m, spcificar quali tra l sgunti lunghzz d onda sono possibili sulla corda: [λ 5 m] [λ 5 cm] [λ 1 m] [λ 1 cm] [λ 2 m] [λ 3 m] [λ 3 cm] g) Mnzionar du sistmi fisici ch danno luogo ad ond longitudinali altri du ch danno luogo ad ond trasvrsali: Ond longitudinali: suono sistma pndoli; Ond trasvrsali: corda tsa campo lttromagntico h) Quanto val il modulo dl campo lttrico di un onda lttromagntica in un punto dllo spazio nll istant di tmpo in cui il campo magntico ha un modulo di 2 nt? E c B m/s T V/m.6 V/m

3 Esrcizio 1 a) Dall rlazioni ν ω 2π k m H ricaviamo immdiatamnt k (2πν) 2 m H 4 (3.14) N/m 966 N/m (domanda a) (Nota pr chi vuol approfondir: un risultato più prciso, snza dovr considrar frmo l atomo di fluoro, può ssr facilmnt ottnuto con la stssa formula, sostitundo alla massa dll atomo di idrogno la massa ridotta dl sistma di du atomi). b) In risonanza, la radiazion lttromagntica dv possdr la stssa frqunza ν dlla vibrazion. Prciò, la sua lunghzza d onda sarà smplicmnt λ c/ν m/s / s m 2.5 µm (domanda b) c) Pr calcolar l intnsità dll onda risonant ncssaria a dissociar la molcola è ncssario calcolar l nrgia mccanica U tot (cintica più potnzial) acquisita dall oscillator sotto l fftto dlla forza oscillant dovuta all onda. S A è l ampizza dll oscillazion, l nrgia dll oscillator è U tot ½ k A 2 (1) (pr ricostruir qusta formula, basta considrar il fatto ch l nrgia total dll oscillator divnta tutta potnzial ngli istanti in cui x ±A, ch l nrgia potnzial di una forza lastica è U ½ k x 2 ). In condizioni di risonanza, s Q è il fattor di qualità, l ampizza A di oscillazion è Q volt più grand dll ampizza A ch si avrbb in condizioni statich (ovvro a bassa frqunza), ossia F A QA Q k (2) dov F è l ampizza dlla forza oscillant (infatti in condizioni statich si ha k x + F, da cui A x F /k ). La forza lttrica dovuta all onda è data dalla carica q moltiplicata pr il campo lttrico E dll onda, cioè F qe (3) dov E è l ampizza dl campo lttrico dll onda. Mttndo insim l formul (1)-(3), ottniamo la sgunt sprssion pr l nrgia dll oscillator in funzion dll ampizza di campo lttrico: U tot QqE (4) 2 2k

4 Ora dobbiamo lgar l ampizza dl campo lttrico all intnsità I dll onda. Qusto lgam è dato dalla sgunt formula: I ½ c ε E 2 (5) Combinando la (4) la (5) ottniamo l intnsità dll onda in funzion dll nrgia mccanica ch l onda fa acquistar all oscillator: I kc ε U Qq tot S ora poniamo U tot ugual all nrgia di dissociazion U diss, qusta sprssion fornisc l intnsità minima ncssaria a dissociar la molcola (è sufficint un calcolo grossolano, ad una cifra significativa, prché i dati in qusto caso hanno bassa prcision): I kc ε Udiss W/m 6 1 W/m 8 38 Qq (domanda c) Esrcizio 2 a) L onda armonica gnrata sulla catna ha la stssa frqunza ν la stssa ampizza A dll oscillazion imposta al primo pndolo. Conoscndo la lunghzza d onda λ la frqunza ν dll onda, possiamo immdiatamnt calcolarn la vlocità: v λν 1 m 1 s 1 1 m/s (domanda a) b) Pr dtrminar la costant lastica, mttiamo in rlazion la vlocità dll ond con l carattristich dlla catna. Sappiamo ch la vlocità è data dalla sgunt sprssion: K v (1) ρ l dov K è il modulo lastico ρ l la dnsità linar di massa dlla catna. La prima è lgata alla costant lastica k di una molla dalla rlazion K k x, dov x è la lunghzza dlla molla quindi la distanza tra du pndoli conscutivi. La sconda è data da ρ l m/ x. Combinando qust rlazioni la (1), ottniamo k c) m x m v.1 1 N N/m 2 ( 5 1 ) (domanda b) Quando l onda armonica raggiung il pndolo bloccato vin riflssa. La sovrapposizion dll onda incidnt di qulla riflssa cra un onda stazionaria di ugual lunghzza d onda λ 5 cm, con un nodo nl punto di riflssion. Ogni λ/2 c è un altro nodo, mntr in mzzo tra du nodi si ha un vntr dll onda stazionaria. A 25 cm, ossia λ/4, di distanza da un nodo abbiamo quindi un vntr, ossia un

5 massimo dll onda stazionaria. S A 1 cm è l ampizza dll onda incidnt, l ampizza di qusto massimo è 2A (prché ni vntri l onda incidnt si combina con l onda riflssa con lo stsso sgno), cioè l oscillazion dl pndolo in qusto punto è govrnata da una lgg dl tipo ξ(t) 2A cos(ωt+ϕ) (2) Drivando qusta si ottin la vlocità dl pndolo dξ 2ω Asin( ωt+ ϕ) (3) dt il cui massimo (in modulo) si raggiung pr sin ±1. Prciò si ha v max 2ωA 4πνA m/s 1.26 m/s (domanda c) Un modo altrnativo più formal pr ricavar il mdsimo risultato è il sgunt. Il campo ottnuto com sovrapposizion dll onda incidnt riflssa è il sgunt (in notazion complssa): ξ(x,t) A ikx iωt + B ikx iωt (4) L ampizza complssa dll onda riflssa B vin ricavata imponndo la condizion al contorno ξ(xd,t), dov d è la posizion dll ultimo pndolo sull ass x. Convin scglir l origin dll ass x proprio in qusto punto, pr cui si ha d (ma è possibilissimo far i calcoli anch snza qusta sclta), da cui: B A il campo total (4) divnta ξ(x,t) A ikx iωt A ikx iωt 2iA sin(kx) iωt Pr x λ/4 π/(2k) si ha sin(kx) 1, pr cui il pndolo si muov con la sgunt lgg: ξ( λ/4, t) 2iA iωt (5) la cui part ral corrispond alla (2) (così si dtrmina anch la fas ϕ dll oscillazion, ch prò non ci srv). Il rsto dlla drivazion rlativa alla domanda (c) procd com prima. d) L condizioni da imporr al campo ξ nl punto di contatto tra l du catn, nl qual convin porr l origin dll ass x, sono suggrit nl tsto dl problma. Il campo ξ nl punto di contatto dv ssr lo stsso da ambo i lati (prché nl limit continuo pndoli vicini si muovono quasi nllo stsso modo), ovvro ξ 1 (x,t) ξ 2 (x,t) (6) dov ξ 1 ξ 2 sono du funzioni ch rapprsntano rispttivamnt il campo ξ pr x< (prima catna) pr x> (sconda catna). Inoltr, dobbiamo imporr ch la forza lastica scambiata tra l du catn sia la stssa. La forza lastica scambiata tra du pndoli adiacnti è data dalla sgunt sprssion: ξn ξn 1 ξ Fnn, 1 k( ξn ξn 1) k x K x x (7)

6 Prciò l uguaglianza dll forz scambiat ai du lati dl punto di contatto si traduc nlla sgunt condizion di uguaglianza dll drivat parziali dl campo: ξ x ξ x 1 2 x x (8) dov abbiamo usato il fatto ch il modulo lastico K dll du catn è ugual. E anch util dtrminar la vlocità dll ond sulla sconda catna. La vlocità dll ond è invrsamnt proporzional alla radic quadrata dlla dnsità di massa ρ l quindi, a parità di distanza tra i pndoli, anch dlla massa m di ciascun pndolo. Prciò, ssndo la massa di pndoli nlla sconda catna 4 volt qulla di pndoli dlla prima catna tutt l altr carattristich dll du catn idntich, si ha: v 2 v 1 /2 (9) A qusto punto si può procdr con uno qualsiasi di du approcci quivalnti. Nl primo approccio, assumiamo fin dal principio ch, s l onda incidnt è armonica di frqunza tmporal ω, anch l onda trasmssa qulla riflssa dovranno ssr ond armonich con la mdsima frqunza tmporal. Infatti è chiaro ch s l ond trasmssa riflssa avssro una divrsa dinamica tmporal, l condizioni (6) (8) non potrbbro ssr soddisfatt pr ogni istant di tmpo t. Un altro modo pr convincrsi di qusto fatto è di considrar ch l onda trasmssa l onda riflssa sono in fftti gnrat dai pndoli posti in oscillazion dall onda incidnt ch agiscono com sorgnti. Ma noi sappiamo ch una sorgnt ch oscilla in modo armonico a frqunza ω gnra solo ond armonich di frqunza tmporal ω. Quindi possiamo scrivr ξ A + B 1 ξ C 2 ik1x iωt ik1x iωt ik2x iωt (1) dov A, B C sono l ampizz (complss) dll onda incidnt, riflssa trasmssa. Ora usiamo l du condizioni (6) (8), ottnndo dopo alcun smplificazioni: A + B C k 1 (A B) k 2 C (11) Qust du quazioni, risolt pr l onda trasmssa C, ci forniscono: 2k 2 ω /v.67 cm k + k ω/v + ω/v 1+ v v C A A A A (domanda d) Con il scondo approccio non si assum nulla sulla forma dll ond riflssa trasmssa. Si pon quindi: ξ f( t x/v) + g( t+ x/v) ξ ht ( x/v ) (12) dov f, g h sono l onda incidnt, riflssa trasmssa. Si è sclto pr qustioni di convninza ni calcoli di scrivr l argomnto di qust funzioni com t±x/v anziché x±vt, cosa comunqu dl tutto quivalnt. Sostitundo l (12) nll condizioni (6) (8) ottniamo:

7 f() t + g() t h() t f () t + g () t h () t v v v (13) dov con l apic indichiamo la drivata risptto all argomnto dlla funzion (la convninza di usar t±x/v com argomnto dll funzioni si vd proprio in qusta quazion, prché pr x tutt tr l funzioni in gioco divntano funzioni dl mdsimo argomnto t). Intgrando risptto al tmpo la sconda dll (13) ( ponndo a zro la costant d intgrazion, ch non dscriv un onda), possiamo risolvr l du quazioni pr l onda trasmssa h(t) ( pr l onda riflssa g, ch prò non ci srv), ottnndo: h () t () () 1 v v f t + 3 f t 1 2 (14) Pr ottnr infin il campo nlla sconda catna di pndoli basta sostituir t t x/v 2 nlla funzion h(t) così dtrminata, cioè ξ ( xt, ) ht ( x/v ) f( t x/v ) f( t x/v ) 1+ v1 v2 3 (15) (notar in particolar l argomnto t x/v 2 non t x/v 1 ch appar nlla f in qusta formula). Qusta quazion mostra ch, s l onda incidnt è armonica, l onda trasmssa è ffttivamnt anch li armonica con ugual frqunza tmporal (ma non spazial, a causa dlla divrsa vlocità dll ond nll du catn), confrmando così anch la validità di ragionamnti usati nl primo approccio. L ampizza dll onda riflssa è data dai 2/3 dll ampizza dll onda incidnt, com già trovato con il primo approccio.