Enrico Borghi EFFETTO ZEEMAN

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1 Enrico Borghi EFFETTO ZEEMN È noto col nom di fftto Zman (Pitr Zman, 1896) il fnomno pr cui l righ dllo spttro di un atomo sottoposto a un campo magntico B si scindono in un crto numro di componnti la cui distanza spttral è, in prima approssimazion, proporzional all intnsità di B. Ci proponiamo di vdr s in ch modo la Mccanica di Schrödingr risc a dscrivr l fftto Zman. Si tratta di ottnr i livlli di nrgia di un atomo in stato stazionario in prsnza di un campo magntico costant. ssumiamo ch l atomo sia idrognoid. Sappiamo ch i livlli di nrgia di un sistma stazionario sono gli autovalori dll quazion Ĥu = Eu (1) dov Ĥ è l oprator associato all hamiltoniana H dl sistma u è l autovttor appartnnt all autovalor E. Ricaviamo dunqu innanzitutto l sprssion dll hamiltoniana pr l lttron strno di un atomo idrognoid in un campo magntico B omogno costant tmpo. L hamiltoniana dl sistma è sprssa dalla H(R,p) = 1 ( p c (R) ) + V(R) () dov = è la carica dll lttron, m la sua massa, p è il suo momnto, il potnzial magntico associato al campo B V è l nrgia potnzial ch lga l lttron al nuclo. La rlazion fra il campo B, uniform costant, il potnzial è sprssa da B = prciò si ricava in funzion dlla quantità nota B intgrando qusta quazion. L intgrazion fornisc (R) = 1 B R (3) com si può facilmnt vrificar ricordando la (19) dll ppndic dllo studio citato = 1 (B R) = 1 { R ( B) R( B) B ( R) + B( R) }

2 ossrvando ch B è costant, R = δ R = 3 prciò = 1 ( B δ + 3B) = 1 ( B + 3B) = B Notiamo ch si ha anch (v. q. (13) dll ppndic dllo studio citato) = 1 (B R) = 1 Ritorniamo alla (1). L oprator Ĥ associato ad H è sprsso da Ora ossrviamo ch { 1 Ĥ = (p } ) + V c ( ) R ( B) B ( R) = (4) = c c c ;  = (5) Sviluppiamo il prodotto scalar tnndo conto dl fatto ch p non commuta con Â, prché qusto è una funzion dll coordinat. Si ha così: = p c c c (p  +  p) + c  (6) Ricordando la (354) dllo studio citato si può scrivr p   p = i h  da cui, ssndo  =, si ottin p  =  p, prciò la (6) divin Sostitundo la (5) si ottin = p p + q c c c c  Ĥ = p + V p + m c c  Insrndo l sprssion (3) di dopo avrla trasformata in rlazion opratorial si ottin Ma Ĥ = p + V c (B R) p + 8m c (B R) (7) (B R) p = ( ε : (B R) ) p = ε. : (B R p) = B ε : ( R p) = B ( R p) = B L (8) dov L è l oprator associato al momnto angolar orbital L dll lttron, prciò Ĥ = p + V c B L + 8m c(b R)

3 bbiamo così ottnuto l sprssion dll oprator hamiltoniano ch ci ravamo proposti di dtrminar. Passiamo all quazion agli autovalori pr Ĥ omttndo, pr smplicità di scrittura, di indicar il sgno di oprator: { p + V c B L + } 8m c(b R) u = Eu Ora ossrviamo ch pr valori di B non molto lvati (< 1 4 gauss) pr valori di R paragonabili al raggio atomico il quarto trmin ntro parntsi graff divin trascurabil, prciò riman { p + V } c B L u = Eu (9) Passiamo alla dtrminazion dgli autovalori dll oprator H. Scgliamo un sistma di coordinat sfrich R r, θ, ϕ orintiamolo in modo ch B sia dirtto lungo l ass polar (ass z). L unica componnt non nulla di B è allora B z = B. La (9) divin così: { p + V } c BL z u(r) = Eu(R) (1) Si tratta ora di risolvr qusta quazion agli autovalori. Indichiamo con H () l oprator hamiltoniano in assnza di campo magntico cosicché H = H () calcoliamo il commutator [H (), H]. Si ha [H (), H] = H () H () c BH() L z H () H () + c BL z (11) c BL zh () = B c [H(),L z ] Ma H () commuta con tutt l componnti di L (v. q. (69) dllo studio citato), prciò [H (),L z ] = quindi [H (), H] = (1) Ciò significa ch l insim complto dgli autovttori di H (), ch conosciamo dall ppndic J, szion C, dllo studio citato, è anch l insim dgli autovttori di H. S dunqu u ml è un autovttor di H () (v. q. (496) dllo studio citato) si ha anch ovvro, dalla (11) ( H () Ma si ha (v. q. (488) dllo studio citato) Hu ml = Eu ml ) c BL z u ml = Eu ml L z u ml = m l hu ml 3

4 anch H () u ml = E () u m l dov si è assunto ch l nrgia E () dipnda, oltr ch da n, anch da l, com succd in un atomo non idrognoid, in cui il campo lttrico cntral associato al potnzial V non è coulombiano, cosicché ( H () ) ( c BL z u ml = E () h ) c Bm l u ml = Eu ml (13) prciò gli autovalori di H sono E = E ml = E () h c Bm l = E () + h c Bm l (14) La quantità h/ c vin indicata con µ B d è dtta magnton di Bohr, grandzza ch compar la dscrizion dll fftto Zman basata sul modllo di atomo fornito dalla Mccanica di Bohr ( ), modllo di cui si parla la szion B dll ppndic J dllo studio citato: µ B = h c Sostitundo la (14) si ottin = 9, rg gauss E ml = E () + m l µ B B (15) Poiché, com sappiamo, m l può assumr l + 1 valori comprsi fra l +l, ogni livllo l dll atomo non soggtto a campo magntico si scind pr fftto di B in l + 1 livlli. D altra part sappiamo dall rgol di slzion (v. ppndic) ch m l può variar solo di ±1, prciò ogni livllo E () dll atomo non soggtto a campo magntico si scind pr fftto dl campo in tr livlli: E,+1 = E () + µ B B E, = E () E, 1 = E () µ B B bbiamo così ottnuto gli autovalori ch ci ravamo proposti di dtrminar. Notiamo infin ch il campo B z = B rimuov la dgnrazion magntica: infatti E vin a dipndr non solo da n l, ma anch da m l. * * * I risultati ch abbiamo ottnuto applicando l quazion di Schrödingr allo studio di un atomo idrognoid soggtto a un campo magntico coincidono con qulli ottnuti sulla bas dl modllo di atomo di Bohr (v. ppndic J, szion B, dllo studio citato). La coincidnza riguarda anch il fatto ch, non divrsamnt da qust ultimo, l quazion di Schrödingr risc a dscrivr solo in part ciò ch l sprinza mostra. Infatti si ossrva, pr campi magntici non molto forti, una suddivision dll righ spttrali dll atomo non soggtto a campo magntico in un numro di righ molto maggior dll tr indicat dalla (16), suddivision ch né l quazion di Schrödingr né il modllo di Bohr riscono a spigar. (16) ( ) La Mccanica di Bohr, ch può ssr considrata un mix di Mccanica classica di alcun assunzioni quantistich, ha prcduto stimolato la nascita dlla modrna Mccanica quantistica 4

5 Tal fnomno è noto col nom di fftto Zman anomalo, mntr la suddivision in tripltt è dtta fftto Zman normal. La spigazion dll fftto Zman anomalo potrà ssr data solo dopo avr introdotto il momnto angolar intrinsco, o spin, dll lttron. 5

6 - ppndic ppndic L rgol di slzion pr l transizioni lttronich di dipolo lttrico L ampizza di probabilità di transizion dallo stato inizial m l allo stato final n l m l dl momnto di dipolo lttrico P = R costituito dall carich dll lttron dl nuclo dll atomo è sprssa da: C n l m l,m = u l n l m (r,θ,ϕ) Ru ml (r,θ,ϕ)dτ l con (v. q. (J61) dll ppndic J dllo studio citato) u ml (r,θ,ϕ) = f (r)y lml (θ,ϕ) = f (r) imlϕ P m l l (θ) Esplicitando l componnti si ha C xn l m l,m l = C yn l m l,m l = C zn l m l,m l = dτ = r sinθdϕdθdr u n l m sinθ cos ϕu lr ml r sinθdϕdθdr u n l m sinθ sinϕu lr ml r sin θdϕdθdr u n l m cos θu lr ml r sinθdϕdθdr S sguiamo l intgrazioni risptto a ϕ π cos ϕ i(m l m l)ϕ dϕ ; π sin ϕ i(m l m l)ϕ dϕ ; π i(m l m l)ϕ dϕ possiamo constatar ch l ampizz dll componnti di C sono null a mno ch non sia S sguiamo l intgrazioni risptto a θ π m l = m l 1 ; m l = m l ; m l = m l + 1 Y l m l (θ)sin θy lml (θ)dθ ; ottniamo componnti null a mno ch non sia π l = l 1 ; l = l + 1 Y l m l (θ)cos θ sinθy lm l (θ)dθ mntr intgrando risptto a r si constata ch n può assumr qualunqu valor risptto a n. Si ritrovano così l rgol di slzion dl modllo di atomo di Bohr, ch vngono confrmat anch in Mccanica di Schrödingr. L ossrvazion dgli spttri atomici mostra ch l righ ch in ssi si prsntano sono proprio qull ch soddisfano l rgol di slzion dtrminat più sopra pr i numri quantici l m l. 6