Teoria microscopica della conduzione elettrica. Indice

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1 Toria microscopica dlla conduzion lttrica Indic 1. Un modllo microscopico dlla conduzion lttrica 1.1 Modllo classico dlla conduzion 1. Intrprtazion classica di v m di 1.3 Difficoltà dll intrprtazion classica. Toria quantistica dlla conduzion lttrica.1 Quantizzazion dll nrgia in una buca unidimnsional. I frmioni d il principio di sclusion di Pauli..3 Enrgia di Frmi.4 Fattor di Frmi, tmpratura di Frmi vlocità di Frmi.5 Scattring dll ond lttronich intrprtazion quantistica dlla rsistività

2 Toria microscopica dlla conduzion lttrica Il primo modllo microscopico dlla conduzion lttrica ni mtalli fu proposto da P. Drud nl 1990 succssivamnt prcisato ngli asptti statistici da A. Lorntz intorno al Tal modllo prvd corrttamnt l lggi di Ohm la dipndnza dlla rsistività da quantità microscopich quali la vlocità quadratica mdia v rms dgli lttroni d il loro cammino libro mdio. Tuttavia, quando tali quantità vngono intrprtat classicamnt, il modllo non risc a fornir risultati corrtti sia in rlazion ai valori dlla rsistività di mtalli sia in rlazion all andamnto dlla rsistività al variar dlla tmpratura. La toria classica dlla conduzion, inoltr, non fornisc alcuna informazion sul prché i divrsi matriali possono ssr conduttori, smiconduttori d isolanti. Una corrtta complta intrprtazion dll proprità lttronich di solidi può ssr ottnuta soltanto nll ambito dlla toria quantistica. 1 Un modllo microscopico dlla conduzion lttrica Considriamo un mtallo ch immaginiamo formato da un rticolo cristallino tridimnsional. Il mtallo occupa un volum V contin un numro N di lttroni libri di muovrsi attravrso il rticolo. In assnza di campo lttrico strno gli lttroni libri si muovono in modo casual, proprio com l molcol di un gas all intrno di un rcipint (gas di lttroni libri), la corrnt lttrica ch attravrsa il mtallo è nulla. In prsnza di un campo lttrico, il conduttor è attravrsato da una corrnt lttrica I. Da un punto di vista macroscopico, l proprità lttrich di un mtallo possono ssr dscritt pr mzzo dll du lggi di Ohm: 1. l intnsità di corrnt lttrica è proporzional alla ddp applicata all strmità dl mtallo: I = V / R o V = R I (1). La rsistnza lttrica dl mtallo R è indipndnt dal campo lttrico d è dirttamnt proporzional alla dimnsion linar L dl mtallo lungo la dirzion dl campo alla sua szion S prpndicolar al campo lttrico: R = L / A () è la rsistività dl mtallo ch, a una data tmpratura, è una costant carattristica dl matrial indipndnt dal valor dl campo lttrico E cui è sottoposto il conduttor. Utilizzando l lggi di Ohm d ossrvando ch V = E L, l intnsità di corrnt lttrica può ssr sprssa nl modo sgunt: I 1 EA (3)

3 1.1 Modllo classico dlla conduzion L intnsità di corrnt lttrica può ssr anch sprssa in trmini di quantità microscopich quali la vlocità di driva v D dgli lttroni libri all intrno dl mtallo (cioè il valor mdio dlla vlocità dgli lttroni lungo la dirzion dl campo), il numro di lttroni libri n pr unità di volum dl mtallo la carica lttrica dll lttron. Esprimndo I in funzion di tali quantità si ha: I n Av D ch confrontata con la (3) fornisc: E n v D (4) Poiché è indipndnt dal campo lttrico, qust ultima quazion richid ch: la vlocità di driva dgli lttroni v D risulta costant dirttamnt proporzional all intnsità E dl campo lttrico. D altra part un lttron libro in prsnza dl campo E risnt di una forza ch produc un acclrazion costant E/m. S qusta foss l unica forza agnt la vlocità di driva v D dovrbb aumntar costantmnt linarmnt con il tmpo. Prtanto, nl modllo microscopico, si assum ch l lttron vnga acclrato dal campo pr un brv intrvallo di tmpo ch quindi urti con uno ion dl rticolo. La vlocità dll lttron dopo l urto è compltamnt scorrlata dal valor dlla v D (com vdrmo più avanti, la corrttzza di tal ipotsi è giustificata dal fatto ch v D è molto più piccola dll vlocità trmich dgli lttroni). L fftto complssivo di tali urti è quivalnt in mdia ad una forza rsistnt proporzional alla vlocità istantana dll lttron, in grado di controbilanciar l fftto dl campo di garantir una condizion di rgim di tipo stazionario. Considriamo, dunqu, un lttron sclto a caso indichiamo con il tmpo mdio trascorso dall ultima collision dll lttron con il rticolo ( coincid con il tmpo di volo, cioè, con il tmpo mdio tra du collisioni). Poiché l lttron è soggtto ad un acclrazion a = E/m, la vlocità di driva può ssr sprssa com: E v D (5) m usando l quazion (4) possiamo scrivr: m (6) n E inoltr vidnt ch, s v m indica la vlocità mdia dgli lttroni, la distanza mdia prcorsa da un lttron tra du urti conscutivi è: = v m

4 ch sostituita nlla (6) prmtt di sprimr la rsistività dl mtallo in funzion di v m, cioè: m vm (7) n In accordo alla lggi di Ohm la rsistività dl mtallo è indipndnt dal campo lttrico. L unich quantità ch nll quazion prcdnt possono dipndr dal campo sono la vlocità mdia v m il cammino libro mdio. Tali quantità mritano dunqu un analisi più approfondita, al fin di scoprir s ss possano o mno dipndr dal campo lttrico. Pr farlo è util prcisar il significato di tali grandzz nll ambito dl modllo classico, pr passar succssivamnt alla più corrtta intrprtazion quantistica. 1.1 Intrprtazion classica di v m di Nll ambito dlla toria classica dlla conduzion si assum ch gli ioni dl rticolo cristallino gli lttroni libri dl conduttor siano govrnati dalla statistica di Maxwll-Boltzmann. Ciò significa ch in condizioni di quilibrio alla tmpratura assoluta T sia gli ioni ch il gas di lttroni libri possidono un nrgia cintica mdia pari a 3/ k T. Così, pr smpio, a tmpratur ordinari (T 300 K) la vlocità quadratica mdia dgli lttroni, ch è di poco suprior alla loro vlocità mdia, è: 3 3kT 3( J / K)(300K ) 5 vm vrms m/ s 31 m kg Ossrviamo ch tal vlocità è di parcchi ordini di grandzza più grand dll tipich vlocità di driva, dll ordin di m/s, cui sono soggtti gli lttroni di un mtallo. Prtanto, in condizioni ordinari, il valor strmamnt piccolo dlla vlocità driva non altra in alcun modo la vlocità mdia dgli lttroni, il cui valor dunqu può ssr considrato indipndnt dal campo lttrico strno. Da un punto di vista classico il cammino libro mdio dipnd dall dimnsioni dgli ioni dal numro di ioni pr unità di volum n ion. Pr ricavar l sprssion di considriamo un lttron, l cui dimnsioni assumrmo trascurabili, ch si muov con vlocità v in una rgion in cui sono prsnti dgli ioni, ch assumrmo ssr sfr rigid di raggio r. L lttron collidrà con uno ion s si muov lungo una traittoria la cui distanza dal cntro dllo ion è minor di r. Pr ricavar il cammino libro mdio considriamo un intrvallo di tmpo t 1. In tal intrvallo l lttron copr una distanza v t 1. S nl volum cilindrico r v t 1 vi è uno ion l lttron collidrà con sso cambiando dirzion di moto (figura 1).

5 vt = vt 1 + vt + vt 3 vt 1 vt vt 3 Figura 1 r Analogamnt in un intrvallo di tmpo succssivo t sso collidrà con un altro ion s il cntro di qust ultimo cad in un volum cilindrico r v t. Prtanto in un intrvallo di tmpo t = t 1 + t +.., l lttron urta con tutti gli ioni i cui cntri si trovano all intrno di un volum r v t. Così, s il numro di ioni pr unità di volum dl conduttor è n ioni, in un tmpo t l lttron fftturà un numro di collisioni pari a n ion r v t, prcorrndo una distanza total v t. Il rapporto tra la distanza total prcorsa dall lttron d il numro di urti rapprsnta il cammino libro mdio: n ion vt 1 (8) r vt n S Dov S = r è la szion d urto di uno ion. Poiché né n ion né S dipndono dal campo lttrico E, anch il camino libro mdio risulta indipndnt da E. Riassumndo, dunqu, in accordo all intrprtazion classica, poiché sia v m ch non dipndono dal campo lttrico, la rsistività risulta indipndnt dal campo lttrico, così com prvisto dall lggi di Ohm. 1. Difficoltà dll intrprtazion classica Sbbn la toria classica dlla conduzion fornisca una corrtta (anch s soltanto qualitativa) intrprtazion dll lggi di Ohm, ssa risulta in pals disaccordo con alcuni fatti sprimntali. Esaminiamo nl dttaglio i principali punti critici dlla toria classica. a. Dipndnza dlla rsistività dalla tmpratura. E noto ch ha tmpratur ordinari la rsistività di un mtallo crsc linarmnt con la tmpratura. Tal andamnto non può ssr riprodotto a partir dalla toria classica dlla conduzion. Infatti, sostitundo l sprssion (8) pr nlla (7), ottniamo: ion nionm vms (9) n Da un punto di vista classico l unica quantità ch in tal sprssion dipnd dalla tmpratura è v m, ch risulta proporzional a T, di modo ch la rsistività crsc con la radic quadrata dlla tmpratura non linarmnt con ssa.

6 b. Disaccordo quantitativo con i valori misurati di rsistività L quazion (9) consnt di calcolar il valor dlla rsistività di mtalli. Utilizzando i valori noti dll quantità microscopich ch ntrano nlla (9) ( la distribuzion di Maxwll-Boltzmann pr v m ), si trova, ad smpio, ch la rsistività calcolata dl ram a 300 K è circa si volt più grand di qulla misurata. Toria quantistica dlla conduzion lttrica La toria classica dlla conduzion fallisc pr divrs ragioni. In primo luogo prché la natura quantistica dgli lttroni non può ssr trascurata. In particolar si dv tnr conto dl fatto ch gli lttroni non obbdiscono, nanch approssimativamnt, alla statistica di Maxwll-Boltzmann ma alla statistica di Frmi- Dirac. Inoltr, l intrazioni tra gli lttroni gli ioni non sono assimilabili ad un urto tra sfrtt rigid, in quanto implicano lo scattring di un onda lttronica con un rticolo cristallino oscillant. Pr introdurr il modllo quantistico dlla conduzion lttrica richiamiamo brvmnt la toria dl gas di lttroni libri di Frmi..1 Quantizzazion dll nrgia in una buca unidimnsional Pr dscrivr il comportamnto dgli lttroni libri in un mtallo,scondo la toria di Frmi, è opportuno considrar prliminarmnt il caso unidimnsional rlativo ad un singolo lttron confinato in una buca di potnzial a parti infinit (lttron in una scatola). Scondo la rlazion di D Brogli, la lunghzza d onda dll lttron è: h p (10) ssndo h la costant di Plank. Poiché l lttron è confinato in una scatola unidimnsional di dimnsion L, l lunghzz d onda possono assumr soltanto l insim discrto di valori: n L n (11) corrispondnt alla condizion di onda stazionaria. Pr la (11) n risulta la quantizzazion dl momnto p, di consgunza, dll nrgia dll lttron scondo la rlazion: E p ( h ) h m m 8mL n n n n (1) Mntr la funzion d onda dll lttron corrispondnt all autostato di nrgia E n è data da:

7 n x ( x) sin (13) L L Nl caso tridimnsional, anziché un unico numro quantico n, è ncssario considrar tr numri quantici, ciascuno associato ad una dll tr dimnsioni.. I frmioni d il principio di sclusion di Pauli Il principio di sclusion di Pauli govrna la statistica di frmioni, ossia dll particll i cui autovalori di spin possono assumr soltanto valor 1/ -1/ (particll a spin un mzzo ), com gli lttroni i nucloni. Scondo tal principio: in un sistma costituito da più frmioni (ad smpio lttroni) du particll non possono trovarsi nllo stsso stato quantico, cioè non possono assumr lo stsso st di numri quantici. Pr smpio, considrando gli lttroni atomici, il principio di sclusion di Pauli prscriv ch lo stato fondamntal può ssr occupato soltanto da du lttroni, uno con spin up, l altro con spin down. Analogamnt, considrando un sistma di lttroni in una scatola, un dato autovalor E n dll nrgia può ssr associato soltanto a du lttroni (con spin opposto). E vidnt ch il principio di sclusion di Pauli influnza in modo critico la distribuzion dll nrgia di un sistma di lttroni..3 Enrgia di frmi Considriamo un sistma di N lttroni ( di cui trascuriamo l intrazion colombiana) in una scatola unidimnsional di lunghzza L. Alla tmpratura di 0 K gli lttroni occupranno il più basso stato di nrgia compatibil con il principio di sclusion. In qust condizioni la distribuzion dll nrgia dl sistma si può ottnr ponndo du lttroni nl stato di nrgia più basso E 1, altri du nllo stato carattrizzato dall nrgia E così via. Gli N lttroni, dunqu, rimpiranno i primi N/ livlli d nrgia. Così il più lvato livllo d nrgia occupato (da uno o du lttroni a sconda ch N sia dispari o pari) sarà qullo corrispondnt all nrgia: E F E N N h (14) L 3m Tal valor dll nrgia è chiamato nrgia di Frmi E F. Nl caso tridimnsional si dimostra ch l nrgia di Frmi è: E F N L h 8m (15) L nrgia di Frmi dipnd dunqu dal numro di lttroni pr unità di volum. Inoltr, utilizzando la distribuzion complta dll nrgia dgli lttroni (distribuzion di Frmi - Dirac), si trova ch l nrgia mdia dgli lttroni a T = 0 è:

8 3 E m E F 5 (16) E important sottolinar ch tal nrgia è molto più grand di qulla prvista dalla statistica classica di Maxwll-Boltzmann. Classicamnt, infatti, l nrgia mdia dgli lttroni è dll ordin di kt, prtanto a T = 0 K ssa è nulla. Scondo la statistica di Frmi- Dirac, invc, E m è divrsa da zro anch pr T=0 K. Pr il ram, ad smpio, a T = 0 K ssa è pari a circa 4 V, dunqu di parcchi ordini di grandzza più grand dll nrgia trmica, pari a circa 0.03 V, ricavata dalla statistica di M-B a tmpratur ordinari (300 K)..4 Fattor di Frmi, tmpratura di Frmi vlocità di Frmi Il fattor di frmi rapprsnta la probabilità ch un autostato dll nrgia sia occupato. A T = 0 K tutti gli stati corrispondnti a nrgi infriori ad E F sono occupati, mntr qulli con nrgia più alta sono vuoti. Prtanto il fattor di frmi a 0 K è (figura ): f(e) f (E) = 1 f(e) = 0 pr E< E F pr E> E F 1 Figura E a tmpratur più lvat, alcuni lttroni, com consgunza dll intrazioni con il rticolo, acquistano nrgia sufficint pr occupar livlli di nrgia supriori ad E F. Tuttavia, bisogna tnr prsnt ch un lttron può muovrsi vrso uno stato di nrgia divrsa soltanto s s qust ultimo è libro. D altra part, poiché l nrgia dl rticolo cristallino è dll ordin di kt, l nrgia ch può acquistar un lttron grazi all intrazioni con il rticolo non può ssr più grand di kt. Possiamo così concludr ch soltanto gli lttroni l cui nrgi si trovano ntro un kt dal livllo di frmi possono guadagnar nrgia al crscr dlla tmpratura. Così, pr smpio, a 300 K poiché l nrgia kt (pari a circa 0.03 V) dl ram risulta molto più piccola dll nrgia di frmi (pari a 7.04 V), soltanto una piccola frazion di lttroni prossimi al livllo di frmi potranno muovrsi vrso stati di nrgia un po più lvati dll nrgia di frmi. La figura riporta il grafico dl fattor di Frmi in funzion dll nrgia pr T > 0 K. E F

9 Poiché pr T > 0 K non vi è una ntta distinzion tra livlli occupati livlli non occupati, è ncssario modificar la dfinizion di nrgia di Frmi : l nrgia di Frmi a tmpratura T è l nrgia pr la qual la probabilità di occupazion (ossia il fattor di Frmi) è pari a ½. Si dfinisc inoltr la tmpratura di Frmi com: k T F = E F (17) Pr tmpratur molto più piccol di T F l nrgia mdia dgli ioni dl rticolo (ch è dll ordin di kt) è molto più piccola di E F, prtanto la distribuzion di nrgia dgli lttroni diffrisc poco da qulla corrispondnt a T = 0 K. In gnr pr i mtalli la tmpratura di Frmi è molto lvata, cosicché anch a tmpratur ordinari la distribuzion d nrgia dgli lttroni è bn approssimata dal fattor di Frmi corrispondnt a T = 0 K. In figura 4 è riportato il grafico dl fattor di Frmi in funzion dlla vlocità dgli lttroni nl caso unidimnsional. Considrando il grafico, possiamo dfinir la vlocità di Frmi a T 0 K com: il valor u F dlla vlocità ch corrispond a F(E) = ½. In altri trmini: u F E m F (18) Quando al conduttor vin applicato un campo lttrico tutti gli lttroni libri partcipano alla conduzion. Essi infatti vngono acclrati dal campo l loro vlocità subiscono un incrmnto scondo il vrso dlla forza lttrica applicata.

10 Figura 4 La figura 4 mostra com vin modificato il fattor di Frmi quando gli lttroni sono sottoposti ad un campo lttrico strno. Sbbn l vlocità di tutti gli lttroni subiscono uno shift vrso valori più lvati, l fftto complssivo dl campo è quivalnt ad uno shift di soli lttroni ch si trovano il prossimità dl livllo di Frmi..5 Scattring dll ond lttronich Vdiamo adsso com l id introdott consntono di suprar l difficoltà insit nlla toria classica dlla conduzion. Considriamo a tal fin l quazion (7) pr la rsistività, dov al posto di v m sostituiamo u F m u n F (19) Vi sono du problmi da risolvr. In primo luogo, poiché u F è praticamnt indipndnt dalla tmpratura, anch la rsistività risultrà indipndnt dalla tmpratura, a mno ch la dipnd dalla tmpratura non provnga dal cammino libro mdio. Inoltr, abbiamo già ossrvato ch utilizzando la vlocità mdia dgli lttroni ricavata dalla statistica di Maxwll-Boltzmann, il valor di rsistività prvisto dal modllo classico a 300 K risulta si volt più grand dl valor misurato. Poiché la vlocità di Frmi risulta circa 16 volt più grand di v m a 300 K, il valor dlla rsistività calcolato con la formula prcdnt sarbb circa 100 volt più grand di qullo misurato. Entrambi qusti problmi possono ssr risolti intrprtando quantisticamnt il cammino libro mdio dgli lttroni libri. Abbiamo visto ch nll quazion classica = 1/nA, A = r rapprsnta l ara di uno ion vista dall lttron. S prò si ffttua il calcolo quantistico, ci si rnd conto ch un onda lttronica ch attravrsa un rticolo cristallino prfttamnt ordinato non subisc alcuno scattring, con la consgunza ch il cammino libro dll lttron risulta infinito. Lo scattring si vrifica soltanto s si considrano l imprfzioni dl rticolo, cioè l dviazioni dgli ioni rticolari da una configurazion prfttamnt ordinata. L caus più comuni di tali dviazioni consistono nll vibrazioni trmich dgli ioni nll impurzz. Tnndo opportunamnt conto di tali fattori, possiamo continuar ad utilizzar l sprssion = 1/nA, a condizion di intrprtar in modo divrso l ara A.

11 In trmini quantistici, gli ioni dl rticolo vanno, infatti, considrati com punti, con dimnsioni null ma con una szion d urto A = r 0, dov il raggio r 0 è proporzional all ampizza dll vibrazioni trmich dllo ion D altra part sappiamo ch l nrgia di un oscillator armonico è proporzional al - quadrato dll ampizza d oscillazion, dunqu, ad r 0. Dunqu la szion d urto A u risulta proporzional all nrgia E F dll oscillator armonico. Inoltr, dal principio di quipartizion dll nrgia discnd ch l nrgia mdia Figura 5 d oscillazion dgli ioni (ch a tmpratur ordinari obbdiscono alla statistica di Maxwll-Boltzmann) è proporzional a kt. Quindi poiché A risulta proporzional a T, x risulta proporzional a 1/T la rsistività calcolata con la formula (19) risulta Szion d urto A = r 0 T proporzional a T, in prftto accordo con l andamnto ossrvato sprimntalmnt. L ara fficac A può ssr calcolata risultati forniscono valori di rsistività in accordo con qulli ricavati sprimntalmnt. La prsnza di impurzz ni mtalli causa dll dviazioni risptto alla condizion di prftta rgolarità dl rticolo cristallino. Gli fftti consgunti sulla rsistività sono quasi indipndnti dalla tmpratura. In gnral, la rsistività di un mtallo può ssr scritta com la somma di du trmini: T i (0) Dov T è il contributo dovuto all vibrazioni trmich dl rticolo i allo scattring dgli lttroni da part dll impurzz. Quando la tmpratura tnd a valori molto piccoli il trmin T tnd a zro la rsistività tnd ad assumr il valor costant i dovuto all impurzz (figura 6).

12 Figura 6. (a) Andamnto dlla rsistività dl potassio puro com funzion dlla tmpratura; (b) Efftto di un piccolo ammontar di impurzz sulla rsistnza rsidua dll argnto (Aftr Dugdal 1977)