3 CORRENTE ELETTRICA E CIRCUITI

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1 3 CORRNT LTTRIC CIRCUITI lssandro olta Dscrizion dll sprinza di Galvani Nl 79 il mdico bologns Luigi Galvani nll ambito dllo studio dll azioni lttrich sugli organi animali ossrvò ch toccando con uno scalpllo mtallico i nrvi crurali di una rana prcdntmnt disscata mntr una macchina lttrostatica posta a brv distanza vniva mssa in funzion i muscoli risultavano soggtti a contrazioni. In sguito Galvani vrificò ch ra sufficint porr a contatto attravrso un arco mtallico i nrvi crurali con i muscoli dll zamp dlla rana pr ossrvar l contrazioni inoltr qusto fftto risultava più intnso qualora l arco ch ralizzava il contatto ra costituito da du mtalli diffrnti. Da tal fnomno Galvani dduss ch il nrvo agiva com una sorta di bottiglia di Lida la cui lttricità accumulata vniva fatta circolar attravrso l arco bimtallico. tal intrprtazion si oppos olta il qual dopo avr riprodotto gli sprimnti di Galvani suggrì ch l contrazioni dll ran non fossro dovut ad lttricità propria dll animal bnsì alla stimolazion di nrvi oprata dalla corrnt lttrica prodotta dalla divrsità di mtalli costitunti l arco (fftto olta). In sostanza scondo olta la rana agiva com rivlator di corrnt lttrica anziché da gnrator. Nl 796 olta utilizzando un rudimntal strumnto pr la misura dll diffrnz di potnzial rilvò l tnsioni ch si originano ai capi di coppi di conduttori costituiti da mtalli divrsi posti a contatto tra loro. La spigazion dll fftto olta giuns poco più di cnto anni dopo la sua scoprta attravrso la mccanica quantistica. Intrponndo un disco di fltro inumidito con una soluzion di acido solforico tra i du conduttori uno di ram l altro di zinco nl 8 olta ralizzò la pila lttrica il primo gnrator di corrnt lttrica non lttrostatico. Pila di olta 3. Corrnt lttrica dnsità di corrnt Considriamo il moto non acclrato con vlocità piccol risptto a qulla dlla luc nl vuoto di un insim di particll dotat di carica lttrica. In tali condizioni possono ritnrsi valid l lggi dll lttrostatica. Supponiamo pr smplicità ch il moto avvnga attravrso un conduttor filiform; saminando una szion S di tal conduttor ossrvrmo ch in un tmpo dt una quantità di carica dq attravrsa la szion considrata. Si dfinisc prtanto l intnsità di corrnt I com: I dq (3.) dt

2 3- Corrnt lttrica circuiti si misura in ampr () dov C s. S con un opportuno dispositivo si stabilisc ai capi dl conduttor una diffrnza di potnzial costant nl tmpo a rgim si ossrva ch il conduttor è sd di una corrnt costant ch prnd il nom di corrnt stazionaria. Una dscrizion dl moto dll carich attravrso l uso dlla sola intnsità di corrnt risulta incomplta poiché tal grandzza non fornisc alcuna informazion riguardo la dirzion d il vrso dl flusso dll carich. llo scopo di compltar qusta dscrizion considriamo un conduttor di szion S all intrno dl qual il numro di portatori libri di carica q pr unità di volum sia n. Sia v d la vlocità mdia di tali carich (vlocità di driva). Pr stabilir la quantità di carica dq ch durant l intrvallo di tmpo dt attravrsa una szion ds considriamo un volum d di bas ds n altzza vd dt dov ds n pari a ds cos è la proizion dlla szion ds prpndicolarmnt alla dirzion di v d è l angolo tra ds v d. La quantità di carica ch attravrsa la szion ds nl tmpo dt è pari alla carica contnuta tra un tmpo t il tmpo t dt nl volum d cioè: Sia: dq nq d nqv dt ds nqv ds cos dt nqv ds dt. (3.) d n d d J nqv d (3.3) allora dalla (3.) sgu: dq di d J ds ; dt quindi intgrando sulla szion S dll intro conduttor si ha: I J ds. (3.4) S Prtanto il flusso dl vttor J attravrso la szion S fornisc il valor dll intnsità dlla corrnt attravrso la suprfici considrata; il vttor J prnd il nom di dnsità di corrnt. Ni mtalli l carich associat alla corrnt sono gli lttroni così la carica ch compar nlla (3.) è pari a : J nv d (3.5) in qusto caso i vttori J v d sono antiparallli. N sgu ch qualora in un conduttor mtallico la corrnt scorr in una crta dirzion il moto di corrispondnti lttroni si splica nlla dirzion opposta. smpio: Considriamo un conduttor di ram di szion uniform S pari a cm prcorso da una corrnt di ; stabiliamo la vlocità mdia dgli lttroni nll ipotsi ch partcipino alla conduzion du lttroni pr atomo di ram. Siccom una quantità di ram pari al suo pso atomico 63.5 sprsso in grammi contin un numro di atomi pari al numro di vogadro Cu 3 N 6. il numro di atomi di ram pr unità di volum è dato dalla rlazion:

3 Corrnt lttrica circuiti N 6. atomi n g m atomi m g 63.5 g Cu in cui indica la dnsità dl ram così la concntrazion di lttroni di conduzion val: n n lttroni m La dnsità di corrnt attravrso il conduttor è: I J 4 S m 6 m così dalla rlazion (3.5) sgu: v d 6 J m n lttroni m C m s cioè un lttron di conduzion impiga poco più di minuti pr prcorrr un cntimtro di lunghzza nl conduttor. Un valor così basso dlla vlocità mdia dgli lttroni non dv ssr ritnuto contraddittorio con la vlocità con la qual si propagano l variazioni dl campo lttrico in sno al conduttor ch risulta ssr dllo stsso ordin di grandzza dlla vlocità dlla luc nl vuoto. nalogamnt in corrispondnza dll applicazion di una prssion ad una strmità di un tubo pino d acqua un onda di prssion viaggia molto rapidamnt lungo il tubo sbbn la vlocità con la qual si sposta l acqua dntro il tubo è notvolmnt infrior. 3. quazion di continuità Considriamo un volum racchiuso in una suprfici S sottoposto ad un flusso di carich con dnsità J. Dalla rlazion (3.4) la carica ch passa nll unità di tmpo attravrso S è: ; i J ds J nds ˆ S S in particolar nll rgioni di S in cui il prodotto J nˆ è positivo risulta ch una carica positiva sc da S oppur una carica ngativa ntra in S; vicvrsa J nˆ ngativo indica ch in tali rgioni una carica positiva sta ntrando oppur una carica ngativa sta uscndo. Dal principio di consrvazion dlla carica sgu ch la carica ch attravrsa nll unità di tmpo S cioè la corrnt i è ugual alla variazion nll unità di tmpo dlla carica complssiva q int contnuta in S: dq i int J ds. dt S Il sgno mno è giustificato dal fatto ch s l intgral è complssivamnt positivo la carica all intrno diminuisc così dqint dt ( vicvrsa s l intgral è ngativo). D altra part s è la dnsità di carica intrna a si ha: dq d int J ds dv dv dt dt ; t S

4 3-4 Corrnt lttrica circuiti applicando quindi il torma dlla divrgnza al primo mmbro si ha: J dv dv t ovvro: J dv t ; dovndo ssr valida pr qualunqu volum da tal rlazion sgu: J. (3.6) t Qusta sprssion nota col nom di quazion di continuità sprim in manira gnral il principio di consrvazion dlla carica lttrica. In condizioni stazionari la dnsità di carica è indipndnt dal tmpo così t di consgunza: J (3.7) ch sprim l quazion di continuità dlla carica lttrica in rgim stazionario. 3.3 Lgg di Ohm Già nl 77 ccaria si rs conto ch non ra corrtto distingur i corpi smplicmnt in isolanti conduttori pr cui introduss il conctto di rsistnza lttrica pr carattrizzar i matriali in rlazion alla loro capacità di condurr più o mno fficacmnt il fnomno lttrico. ccaria notò inoltr ch la rsistnza è proporzional alla lunghzza dl conduttor. Cavndish nl 776 mostrò ch collgando a più conduttori di divrsa rsistnza l armatur di una bottiglia di Lida prcdntmnt caricat la corrnt attravrsa tutti i conduttori ma in misura maggior in qulli di rsistnza più bassa. Cavndish misurò la rsistnza di vari soluzioni acquos di alcuni mtalli inoltr notò ch tal grandzza è indipndnt dalla corrnt. Gli studi sulla conduzion riprsro circa vnt anni dopo la costruzion dlla pila; nl 87 il fisico tdsco Gorg Gorg Simon Ohm Simon Ohm pubblicò un rsoconto dll misur svolt su conduttori filiformi attravrso l quali avva stabilito la dipndnza dll intnsità dlla corrnt dalla szion dalla lunghzza di conduttori. Inoltr basandosi su una analogia tra il flusso di calor qullo di corrnt lttrica Ohm giuns alla conclusion ch è la diffrnza di potnzial applicata ai conduttori a dtrminar la corrnt ch qusta varia dirttamnt con la diffrnza di potnzial invrsamnt con la rsistnza. Solo nl 85 Gustav Robrt Kirchhoff provò ch la diffrnza di potnzial dnominata da Ohm forza lttroscopica ra la stssa introdotta da Poisson Laplac

5 Corrnt lttrica circuiti 3-5 Considriamo un tratto di conduttor filiform di lunghzza l szion uniform S prcorso da una corrnt di intnsità I. La misura dlla diffrnza di potnzial agli strmi dl filo vidnzia l sistnza di una rlazion di proporzionalità tra qusta grandzza la corrnt I: RI (3.8) il cofficint di proporzionalità R è dtto rsistnza dl tratto di conduttor considrato; tal sprssion prnd il nom di lgg di Ohm. In figura è mostrato il simbolo lttrico dlla rsistnza. Pr conduttori mtallici R è indipndnt sia da ch da I ma dipnd dalla gomtria dl conduttor dal matrial ch lo costituisc dalla tmpratura. In particolar si vrifica ch pr il conduttor filiform considrato la rsistnza è dirttamnt proporzional alla sua lunghzza invrsamnt proporzional alla sua szion: l R (3.9) S dov è la rsistività dl conduttor. L unità di misura dlla rsistnza è l ohm ( ) risulta così la rsistività si sprim in m. L invrso dlla rsistnza G R è dtto conduttanza. Considriamo un tratto di conduttor mtallico rttilino cilindrico di lunghzza l szion S rsistività. S è la diffrnza di potnzial prsnt ai suoi strmi all intrno dl matrial sarà prsnt un campo lttrico tal ch: dl l. D altra part la corrnt ch prcorr il conduttor può ssr sprssa dalla (3.4) com il flusso dl vttor dnsità di corrnt J attravrso la szion S; assumndo pr smplicità ch il vttor J sia uniform in corrispondnza di punti dlla szion dl conduttor si ha: I J ds JS. S D altra part dalla rlazion (3.8) risulta: l R JS dalla (3.9) sgu:

6 3-6 Corrnt lttrica circuiti ovvro: l l JS S J. Sbbn ricavata in una acczion unidimnsional si prova ch tal idntità è valida anch vttorialmnt. Introducndo la conducibilità dfinita com: la rlazion prcdnt si scriv com: J. (3.) Qusta sprssion è da intrprtar com una formulazion di tipo puntual dlla lgg di Ohm in quanto assgnato il valor di in una data posizion dl conduttor fornisc il valor dlla dnsità di corrnt J una volta noto il campo lttrico agnt in tal posizion. La conducibilità è indipndnt dal campo lttrico applicato. Nl 8 il fisico ingls Humphry Davy vrificò ch la capacità conduttiva di mtalli è influnzata dalla tmpratura in particolar tal capacità diminuisc all aumntar dlla tmpratura. Succssivamnt furono idntificat moltplici cczioni a tal lgg; ad smpio nl 833 Faraday constatò ch nl solfuro d argnto il potr conduttor aumnta con la tmpratura. Pr la maggior part di mtalli la dipndnza dlla rsistività dalla tmpratura è sprssa attravrso una rlazion dl tipo: T T (3.) dov è la rsistività alla tmpratura T la rsistività alla tmpratura di rifrimnto T in gnr C un paramtro noto com cofficint trmico dlla rsistività. Dalla rlazion prcdnt posto posto T T T sgu: T. Nlla tablla sono rapprsntati i valori dlla rsistività dl cofficint trmico pr alcuni matriali. Facndo uso dlla rlazion (3.9) pr un conduttor di szion uniform è possibil scrivr la lgg di variazion dlla rsistnza con la tmpratura: Matrial Rsistività ( m ) Cofficint Trmico ( C ) rgnto Ram lluminio Tungstno Frro Platino Grafit * Grmanio * Silicio *. 6 7 tro 9 - Quarzo fuso Gomma indurita 3 - * In qusti matriali dnominati smiconduttori la rsistività è fortmnt condizionata dalla prsnza di impurità nl matrial.

7 Corrnt lttrica circuiti 3-7 R R T T. La dipndnza dlla rsistnza dalla tmpratura trova applicazion nlla ralizzazion di trmomtri di prcision. smpio: Considriamo du conduttori cilindrici coassiali di lunghzza L pari a cm di raggi r r rispttivamnt pari a cm cm la cui intrcapdin è rimpita con dlla grafit di 5 rsistività pari a.38 m. Stabiliamo la rsistnza corrispondnt al flusso di una corrnt nlla grafit pr fftto dll applicazion di una diffrnza di potnzial tra i du conduttori. pplicando la lgg di Gauss ad una suprfici cilindrica concntrica ai du conduttori di raggio r con r r r si ricava ch il campo lttrico nll intrcapdin è Q Lr dov Q indica la carica prsnt sul conduttor più intrno d la costant dilttrica dlla grafit. pari a La diffrnza di potnzial tra i du conduttori è pari all intgral di tra r il campo lttrico può sprimrsi com: r ossia Q Lln r r così. r r ln r (3.) La dnsità di corrnt J nlla grafit può ssr sprssa com I S dov I è la corrnt ch attravrsa lo spazio comprso tra i du conduttori S è una gnrica suprfici cilindrica di raggio r ( r r r ) altzza L concntrica ai du conduttori: S rl così adoprando la rlazion (3.) la corrnt I val: rl L I SJ S r r r ln ln r r dov si è fatto uso dll rlazioni (3.) (3.). Prtanto dalla lgg di Ohm (3.8) sgu ch la rsistnza R val : 5 r.38 m. m R ln ln.5 I L r. m.5 m 5 (3.3) trova: Moltiplicando la rlazion (3.3) pr l sprssion dlla capacità C dl condnsator cilindrico L ln r r si r L RC L r r ln r ln è possibil dimostrar ch qusta idntità lga in manira gnral la capacità la rsistnza dl volum comprso tra du conduttori.

8 3-8 Corrnt lttrica circuiti 3.4 Carattristich di conduttori in rgim stazionario L quazion (3.7) ch dfinisc il rgim stazionario ha importanti consgunz. Una di qust è ch il vttor J non ha componnti prpndicolari alla suprfici dl conduttor; infatti s così non foss J avss una componnt dirtta com il vttor trattggiato di figura allora si manifstrbb localmnt un progrssivo accumulo di carica consguntmnt risultrbb t. Dalla rlazion (3.) risulta inoltr ch pur il campo lttrico all intrno dl conduttor non ha componnti prpndicolari alla suprfici dl conduttor. Considriamo un conduttor prcorso da una corrnt stazionaria di dnsità J sia S una suprfici chiusa ch intrsca il conduttor in corrispondnza dll szioni S S ; poiché il vttor J non ha componnti normali alla suprfici dl conduttor gli unici contributi al flusso di J attravrso S provngono dall szioni S S : J ds J ds J ds (3.4) S S S ma pr il torma dlla divrgnza dalla (3.7) si ha: J ds J dv (3.5) S ssndo il volum contnuto in S così con rifrimnto ai vrsi indicati in figura siccom J ds è pari alla corrnt I ch attravrsa la szion S analogamnt ch attravrsa S dalla (3.4) sgu: S J ds è la corrnt I S I I. Qusta rlazion vrificata sprimntalmnt da Ptr arlow nl 85 affrma ch in condizioni stazionari la corrnt attravrso ogni szion dl conduttor è la stssa. Tal risultato si prsta ad una immdiata gnralizzazion al caso di n fili conduttori ciascuno prcorso rispttivamnt dall corrnti I I I n ch convrgono in uno stsso punto dtto nodo. pplicando la rlazion (3.5) ad una gnrica suprfici chiusa S ch racchiud il nodo sgu: n Ik (3.6) k cioè in rgim stazionario la somma algbrica dll corrnti ch confluiscono in un nodo è nulla. Prtanto assumndo ad smpio positiv l corrnti ch ntrano nl nodo ngativ qull uscnti qusta lgg dtta lgg di Kirchhoff pr l corrnti (o prima lgg di Kirchhoff) affrma ch la somma dll corrnti ntranti nl nodo è ugual alla somma dll corrnti uscnti.

9 Corrnt lttrica circuiti Modllo dlla conduzion fftto Joul Dalla vidnza di una proporzionalità dirtta tra dnsità di corrnt in un conduttor campo lttrico applicato (3.) sgu ch dv sistr una analoga rlazion di proporzionalità tra la vlocità v di portatori nl conduttor d il campo lttrico ad sso applicato; infatti dall rlazioni (3.3) (3.) sgu ch è possibil sprimr tal vlocità com nq. D altra part siccom la forza F agnt sui portatori di carica è proporzional al campo lttrico ncssariamnt la loro vlocità dv risultar proporzional a qusta forza cioè si ha F nq v. Da tali considrazioni mrg un apparnt contraddizion con la sconda lgg dlla dinamica la qual affrma ch l azion di una forza su di un corpo n dtrmina l acclrazion. Quindi a diffrnza dll carich post nl vuoto l carich ni conduttori non acclrano sotto l azion di un campo lttrico. Un analogia con tal fnomno si incontra nllo studio dlla caduta di un corpo matrial attravrso un mzzo viscoso; pr fftto dlla forza di gravità il corpo inizialmnt acclra tuttavia agndo su di sso anch una forza proporzional alla vlocità la forza di attrito viscoso la vlocità dl corpo non crsc indfinitamnt ma da un crto istant in poi divnta costant. Nl 9 il fisico tdsco Paul Drud formulò un modllo dl fnomno dlla conduzion lttrica scondo cui un conduttor mtallico può ssr schmatizzato com un rticolo ionico immrso in un gas di lttroni. Pr fftto dlla prsnza di impurità nl matrial ch lo costituisc d a causa dll agitazion trmica ch sposta continuamnt l posizioni di quilibrio dgli ioni dl rticolo gli lttroni subiscono numrosi urti cambiando ogni volta dirzion Paul Drud in manira casual. smpio: Dal principio di quipartizion sgu ch gli lttroni possggono un nrgia cintica mdia mv pari a 3kT prtanto alla tmpratura d ambint pr T ugual a 3 K la loro vlocità quadratica mdia v ch è di rms poco suprior alla loro vlocità mdia v val: m v rms 3 3kT 3.38 J K 3K 3 m 9.9 kg 5.68 m s. (3.7) Quindi in assnza di un campo lttrico applicato il flusso ntto dgli lttroni attravrso una qualsiasi szion dl conduttor è nullo. ll applicazion di un campo lttrico si ossrva ch a tal moto disordinato vin a sovrapporsi un moto più lnto dgli lttroni nlla dirzion opposta a 6 qulla dl campo con vlocità mdia dll ordin di ms. Tal piccolo valor non altra la vlocità v m dgli lttroni ch prtanto può ritnrsi sostanzialmnt indipndnt dal campo. L azion dl campo lttrico su ciascun lttron si splica di fatto tra du urti succssivi pr cui in tal fas il moto dll lttron può ritnrsi libro. La vlocità v dll lttron al trmin di qusta fas ch assumiamo abbia durata pari a t val:

10 3- Corrnt lttrica circuiti v v t m dov v è la vlocità con cui l lttron è mrso dall urto prcdnt. Il valor mdio di qusta vlocità pr tutti gli lttroni cioè la vlocità di driva è: v d v v t v m m in cui dtto tmpo libro mdio è il tmpo mdio ch intrcorr tra du urti succssivi dgli lttroni col rticolo. Poiché v varia in manira casual il suo valor mdio è nullo così la vlocità di driva val: v d m. Quindi dalla rlazion (3.5) sgu: Moto dgli lttroni in un conduttor scondo il modllo di Drud: in assnza di campo lttrico (in alto) d in prsnza di un campo lttrico (in basso) n J nvd m confrontando tal sprssion con la lgg di Ohm puntual (3.) sgu: n ; (3.8) m qusta rlazion indica ch la conducibilità di un matrial aumnta sia col crscr dl numro di lttroni disponibili alla conduzion ch con l aumntar dl tmpo poiché in tal caso gli lttroni possggono un tmpo maggior pr orintar il proprio moto nlla dirzion dl campo lttrico. Il tmpo libro mdio può sprimrsi com il rapporto tra la distanza mdia prcorsa da un lttron tra du urti conscutivi dtta libro cammino mdio la vlocità mdia dgli lttroni v prtanto: m. (3.9) v m Pr stimar il libro cammino mdio considriamo il moto di un lttron nl rticolo ionico omogno ch schmatizziamo com una disposizion rgolar di sfr rigid di raggio R. L lttron urtrà contro uno ion s si spostrà lungo una traittoria la cui distanza dal cntro dllo ion risulta infrior a R. Considriamo un intrvallo di tmpo t ; in tal intrvallo l lttron prcorr una distanza pari a v t. S nl volum cilindrico R v t è contnuto uno dgli ioni dl rticolo l lttron collidrà contro di sso modificando la sua traittoria; analogamnt in un intrvallo di tmpo succssivo t l lttron urtrà un altro ion s il cntro di

11 Corrnt lttrica circuiti 3- qust ultimo è contnuto nl volum cilindrico R v t. Così in un intrvallo di tmpo t pari alla somma t t l lttron urta con tutti gli ioni i cui cntri sono situati nl volum R v t dato da R vt R vt. S il numro di ioni pr unità di volum è pari a n ioni nl tmpo t l lttron subirà un numro di collisioni pari a nioni R v t prcorrndo una distanza complssiva pari a v t. Il libro cammino mdio è pari al rapporto tra la distanza complssiva prcorsa dall lttron il numro di urti subiti: vt n R vt n R ioni ioni. Sostitundo qusta sprssion nlla rlazion (3.8) facndo uso dlla (3.9) si ottin: n n. (3.) m v m v n R m m ioni In qusta sprssion nssuna dll quantità ch compar dipnd dal campo lttrico in accordo con la lgg di Ohm. Sbbn il modllo di Drud fornisca una corrtta intrprtazion dlla lgg di Ohm sso risulta in vidnt disaccordo con alcuni risultati sprimntali. In particolar dall sprssion (3.) dalla (3.7) mrg una dipndnza dlla conducibilità dalla tmpratura attravrso v com m T di consgunza una dipndnza dlla rsistività dalla tmpratura com T a disptto dlla rlazion (3.). Inoltr facndo uso dlla (3.) si trovano valori di rsistività di mtalli alcun volt più grandi di qulli misurati. L incompltzza dl modllo di Drud è originata dall assunzion ch l intrazion tra gli lttroni libri d il rticolo ionico dl conduttor mtallico si splichi solo attravrso il mccanismo dgli urti; di fatto sistono altr form di intrazion spigat nll ambito dlla mccanica quantistica ch possono ssr considrat modificando la rlazion (3.8) nlla manira sgunt: nq * m * in cui m q prndono il nom rispttivamnt di massa fficac carica fficac di portatori di carica ch dtrminano la conduzion. Nl caso strmo com pr alcun lgh di uranio l intrazion col rticolo è tal ch la massa fficac di portatori risulta ssr anch cnto volt suprior a m mntr in altri solidi com nll trostruttur di arsniuro di gallio la massa fficac è pari ad appna il 7% circa di m. Ni matriali suprconduttori in cui al di sotto di una crta tmpratura critica la corrnt circola snza rsistnza la carica fficac è pari a. In tali matriali si gnra una dbol forza attrattiva tra coppi di lttroni formalmnt analoga a qulla ch lga i du lttroni in uno ion H (un atomo di idrogno al qual è stato aggiunto un lttron); l origin di qusto lgam idntificata nl 957 da John ardn Lon Coopr John Schriffr è dtrminata dall dformazioni locali ch si gnrano nl rticolo ionico di qusti matriali in corrispondnza dl passaggio di un lttron; tal modificazion ch prman pr un crto tmpo dal passaggio dll lttron cra una rgion di carica positiva ch attra un altro lttron. S l nrgia di lgam tra tali lttroni è suprior all nrgia cintica trasmssa dall agitazion trmica dl rticolo si forma una coppia stabil di lttroni (coppia di Coopr) ch spostandosi attravrso il rticolo incontra una minor rsistnza di quanta n trovi un lttron isolato. Ciò accad in quanto pr tutt l coppi di lttroni all intrno dl matrial lo stato favorito è qullo pr il qual l nrgia è la mdsima; siccom gli urti con il rticolo dtrminano una variazion dll nrgia di singoli portatori tali procssi sono inibiti l coppi si spostano snza incontrar alcuna rsistnza; al di sopra dlla tmpratura critica l agitazion trmica dtrmina l instabilità dlla coppia. Ni matriali smiconduttori (ppndic C) i portatori di carica sono rapprsntati sia da lttroni ch da altr ntità dtt lacun la cui carica è pari in modulo a qulla dll lttron ma ha sgno opposto. Infin studiando la conduzion attravrso catn linari di poliactiln un polimro dll actiln sono stati rilvati portatori la cui carica è pari a una frazion di.

12 3- Corrnt lttrica circuiti Il modllo di conducibilità tsté dscritto suggrisc l sistnza di un procsso di dissipazion nrgtica intrinsco al mccanismo dlla conduzion. Infatti l nrgia fornita all carich attravrso l applicazion di un campo lttrico non n dtrmina l incrmnto dll nrgia cintica ch a quanto appna visto rsta in mdia costant. Così qusta nrgia vin di fatto trasfrita al rticolo ionico costitunt il conduttor attravrso gli urti con gli lttroni; tal nrgia risulta quindi dissipata in calor dtrminando l aumnto dlla tmpratura dl conduttor prcorso da corrnt. Qusto procsso dtto fftto Joul fu dscritto nl 84 da Jams Prscott Joul riscoprto indipndntmnt da Hinrich Lnz du anni dopo. In gnral la potnza impigata da una forza F pr imprimr una vlocità v d ad un corpo val F vd prtanto: Jams Prscott Joul P F vd vd dov si è spcificato ch F è dtrminata dall azion dl campo lttrico su di un lttron. Così s n indica il numro di lttroni di conduzion pr unità di volum all intrno conduttor la potnza dissipata pr unità di volum è: p np n v J d in cui si è fatto uso dlla rlazion (3.5). Qusta rlazion sprim la lgg di Joul in forma local p prnd il nom di dnsità di potnza. Pr un conduttor rttilino di szion S lunghzza l in cui la dnsità di corrnt J è uniform attravrso S la potnza dissipata val: volum dl conduttor P p dv p Sl J Sl l JS I ch rapprsnta la lgg di Joul pr un conduttor. pplicando la lgg di Ohm (3.8) a qusta sprssion risulta inoltr:. (3.) R P I I R 3.6 Forza lttromotric lgg di Ohm gnralizzata Considriamo un conduttor di rsistnza R prcorso da una corrnt I la diffrnza di potnzial tra i capi di tal conduttor si sprim attravrso la lgg di Ohm com: dl RI ; (3.) in particolar applicando tal rlazion ad un circuito chiuso di rsistnza complssiva risulta: R T

13 Corrnt lttrica circuiti 3-3 dl R I T ossia pr ottnr nl circuito una corrnt I è ncssaria la prsnza di un campo lttrico la cui circuitazion è divrsa da zro. Tal campo non può avr natura lttrostatica poiché in tal caso risultrbb dl quindi all intrno dl circuito dv agir un campo lttrico di natura non lttrostatica. Pr gnrator lttrico si intnd un dispositivo capac di mantnr una diffrnza di potnzial quindi un campo lttrico tra du punti di un conduttor; in figura è mostrato il simbolo di tal componnt. Considriamo un circuito in cui un conduttor di rsistnza R è connsso tra i poli di un gnrator sui quali è costantmnt prsnt una diffrnza di potnzial ossia sono costantmnt accumulat dll carich di sgno opposto. Il campo lttrostatico gnrato da tali carich è dirtto da a sia nl conduttor ch nl gnrator così: dl dl dl Circuito strno intrno al gnrator al gnrator dov il primo addndo dlla somma è valutato lungo il conduttor l altro nl gnrator. Il campo quindi non può dtrminar il moto all intrno dl gnrator di una carica positiva dal polo ngativo a qullo positivo ; ciò suggrisc l sistnza di un campo lttrico lttrostatica agnt all intrno dl gnrator tal ch: Il campo * di natura non * * dl dl dl dl. (3.3) Circuito strno intrno intrno al gnrator al gnrator al gnrator * è dtto campo lttromotor mntr: intrno al gnrator * dl è dtta forza lttromotric. doprando tal dfinizion la rlazion (3.) la (3.3) si scriv: * dl dl strno intrno al gnrator al gnrator * * dl RI dl intrno intrno al gnrator al gnrator ; (3.4) siccom la corrnt I prcorr anch il gnrator introduciamo un altra grandzza carattristica dl gnrator la rsistnza intrna r tal ch:

14 3-4 Corrnt lttrica circuiti * dl ri intrno al gnrator così l sprssion (3.4) si scriv: RI ri R r I RT I (3.5) quindi l intnsità dlla corrnt in sno a tal circuito è data dalla rlazion I R r inoltr dalla (3.) sgu: RI ri. Il valor di può ssr stabilito attravrso l intrruzion dl circuito; in qusto modo nl gnrator si raggiung un quilibrio in quanto l accumulo di carica sui morstti impdisc ultriori spostamnti di carica n sgu ch la corrnt I è nulla prtanto: cioè la forza lttromotric è la diffrnza di potnzial ch si rilva ai capi dl gnrator a circuito aprto. In figura è mostrato l andamnto dl potnzial lungo il circuito considrato. Siccom l nrgia potnzial di una carica q è q tal grafico illustra anch l andamnto dll nrgia potnzial di una carica unitaria ch prcorr il circuito. Com si può ossrvar dal grafico dal punto al punto la carica acquista un nrgia q ch pr fftto dlla rsistnza intrna r prd parzialmnt all intrno dllo stsso gnrator quindi dopo ssr passata attravrso la rsistnza R dgrada compltamnt la sua nrgia. S nll sprssion (3.5) moltiplichiamo tutti i mmbri pr la corrnt I si ha: I RI ri R I ; T qusta rlazion ch sprim il bilancio nrgtico in sno al circuito considrato mostra com la potnza RI T dissipata attravrso la rsistnza R T offrta dal circuito è pari al prodotto I ch vin prtanto intrprtato com l nrgia rogata dal gnrator di forza lttromotric nll unità di tmpo. Considriamo il tratto di circuito prcorso dalla corrnt I mostrato in figura; applicando l rgol tsté spost si ha: Pr qusto motivo la diffrnza di potnzial RI ai capi dlla rsistnza R è anch dtta caduta di tnsion.

15 Corrnt lttrica circuiti 3-5 ovvro: RI C r I D D C r I RI C r I C D r I; D sommando mmbro a mmbro qust sprssioni si trova: R r r I attravrso tal rlazion è possibil drivar una rgola gnral pr la dscrizion di tratti di circuito quindi fissato il vrso dlla corrnt I cioè il vrso scondo cui il potnzial lttrico diminuisc lungo la rsistnza total R r r la forza lttromotric compar col sgno positivo prché la corrnt I ntra nl polo ngativo d sc da qullo positivo al contrario la forza lttromotric compar col sgno ngativo in quanto la corrnt ntra nl polo positivo d sc da qullo ngativo infatti s il corrispondnt gnrator agiss da solo farbb scorrr la corrnt nl vrso opposto a qullo sclto. In gnral possiamo scrivr pr un ramo di un circuito intso com un tratto dl circuito comprso tra i nodi la lgg di Ohm gnralizzata: n R I k m l k m s l in cui n rapprsntano i gnratori di forza lttromotric prsnti nl ramo R R R l rsistnz comprs qull intrn di gnratori contnut nl ramo prcorso s l dalla corrnt I l. Qualora il circuito è chiuso prcdnt si ottin la rlazion 3 : risulta ugual a così dall sprssion n r k m l k l m s l RI (3.6) ch prnd il nom lgg di Kirchhoff pr l tnsioni (o sconda lgg di Kirchhoff). 3 Il circuito chiuso considrato è costituito dall intrconnssion di r rami a ciascuno di quali compt in gnral una corrnt diffrnt I ; prtanto al scondo mmbro occorr sommar l r sprssioni l s l m RI m l ch rapprsntano la caduta di tnsion lungo ciascun ramo. L indic k dlla prima sommatoria è rlativo agli n gnratori di forza lttromotric prsnti nl circuito.

16 3-6 Corrnt lttrica circuiti 3.7 Collgamnti tra rsistori Considriamo du rsistori di rsistnza R R collgati com mostrato in figura. nalogamnt al caso di condnsatori quando ntrambi i rsistori sono sottoposti alla stssa diffrnza di potnzial la connssion è dtta in paralllo. L corrnti ch attravrsano ciascun rsistor sono: I I R. R Facndo uso dlla lgg di Kirchhoff pr l corrnti in corrispondnza dl nodo M si ha: I I I così sostitundo a I I il loro valor si ha: I I I R R R R R dov si è posto: R R R RR R R. Cioè il sistma costituito da du rsistori collgati tra loro in paralllo è assimilabil ad un unico rsistor la cui rsistnza è pari al rciproco dlla somma di rciproci dll rsistnz di ciascun rsistor. Qualora il sistma sia costituito dalla connssion in paralllo di n rsistori R R R n la rsistnza quivalnt dl sistma è pari a: R n k R k. Considriamo una coppia di rsistori collgati com in figura. In qusta connssion dtta in sri la corrnt ch attravrsa ciascun rsistor è la stssa. pplicando la lgg di Ohm ad ogni rsistnza si ha: R I R I C sommando mmbro a mmbro siccom la diffrnza di potnzial è pari alla forza lttromotric rogata dal gnrator si ha:

17 Corrnt lttrica circuiti 3-7 C R R I RI dov si è posto: R R R. Cioè il sistma costituito da du rsistori connssi tra loro in sri è quivalnt ad un unico rsistor la cui rsistnza è pari alla somma dll rsistnz di ciascun rsistor. Qualora il sistma sia costituito dal collgamnto in sri di n rsistori R R R n la rsistnza quivalnt è pari a: n R R. k k smpio: Rlativamnt all smpio prcdnt è possibil valutar la rsistnza richista con un approccio diffrnt. Considriamo du suprfici cilindrich contnut nll intrcapdin tra i du conduttori concntrich ai conduttori di altzza L di raggi rispttivamnt r r dr ; dalla rlazion (3.9) il contributo dl volum di grafit contnuto tra tali suprfici al calcolo dlla rsistnza R è pari a: dr dr ; rl tutti qusti lmnti infinitsimi ch si ottngono al variar di r pr r r r sono collgati in sri tra loro prtanto la rsistnza total sarà data da: r r dr dr r R rl L r L r r r ln. I R R. smpio: (Partitor di tnsion) Stabiliamo la diffrnza di potnzial ai capi dlla rsistnza R dl circuito di figura. Dalla lgg di Ohm applicata alla sri dll rsistnz R R sgu: I R R pr cui la corrnt I val: La diffrnza di potnzial è pari alla caduta di tnsion sulla rsistnza R : R RI R R. Il circuito appna dscritto dtto partitor di tnsion consnt di ottnr a partir da una tnsion una più bassa dl fattor R R R ch prnd il nom di rapporto di partizion. smpio: (Torma dl massimo trasfrimnto di potnza) Considriamo un gnrator di forza lttromotric rsistnza intrna r collgato ad un carico costituito da una rsistnza R. Stabiliamo il valor ch dv assumr qusta rsistnza affinché si abbia il massimo

18 3-8 Corrnt lttrica circuiti trasfrimnto di potnza dal gnrator a tal carico. Siccom la corrnt attravrso R val: I r R la potnza dissipata dal carico è: P RI. r R R Pr stabilir il valor di R in corrispondnza dl qual si ha il massimo trasfrimnto di potnza imponiamo ch la drivata prima di P risptto ad R sia nulla: da cui sgu: r R Rr R P r R 4 3 R r R r R R r. Cioè si ha il massimo trasfrimnto di potnza dal gnrator alla rsistnza di carico quando tal rsistnza è ugual alla rsistnza intrna dl gnrator; qusta proprità prnd il nom di torma dl massimo trasfrimnto di potnza. In figura è mostrato il grafico dlla potnza P al variar di R. 3.8 nalisi dll rti lttrich L intrconnssion di gnratori rsistnz è dtta rt lttrica; pr carattrizzar topologicamnt una rt lttrica si fa uso di conctti già introdotti di nodo ramo. Pr nodo si intnd il punto in cui convrgono almno tr conduttori i nodi sono collgati tra loro attravrso rami contnnti in gnral rsistori gnratori. Un qualsiasi prcorso chiuso all intrno di una rt è dtto maglia. Pr analisi o soluzion di una rt lttrica si intnd la dtrminazion dll corrnti ch scorrono in ciascun ramo not ch siano l carattristich topologich fisich dlla rt. tal scopo è possibil far uso dll lggi (3.6) (3.6) formulat da Gustav Kirchhoff nl 845: Ik (3.7) k RI ; (3.8) m n l m l n in qusta manira l analisi di una rt corrispond alla risoluzion di un sistma di quazioni linari. ffinché tal sistma risulti risolvibil è ncssario ch l quazioni siano linarmnt indipndnti. S la rt ha N nodi L rami il numro quazioni (3.7) indipndnti è N poiché l quazion all N simo nodo può smpr ssr ottnuta com somma dll quazioni rlativ a du o più nodi dlla stssa rt; inoltr si prova ch il numro di quazioni (3.8) indipndnti è LN. In qusta N L N manira è possibil disporr in total di un numro pari a L di quazioni indipndnti cioè tant quanti sono i rami dlla rt. La risoluzion dl sistma formato da L quazioni in L incognit portrà Gustav Kirchhoff

19 Corrnt lttrica circuiti 3-9 prtanto alla dtrminazion di tutt l corrnti circolanti attravrso i rami dlla rt lttrica assgnata. Così la soluzion di una rt lttrica attravrso l applicazion dll lggi di Kirchhoff richid ch vngano inizialmnt individuat l M magli l cui quazioni (3.8) risultino indipndnti; a tal scopo ad smpio è possibil scglir qust magli in modo ch ciascuna abbia almno un ramo ch non fa part dll magli sclt prcdntmnt. Quindi si attribuisc arbitrariamnt il vrso dll corrnti attravrso ciascun ramo d un vrso di prcorrnza pr ogni maglia. Succssivamnt con rifrimnto ai vrsi sclti pr l corrnti si scriv l quazion (3.7) pr ciascuno dgli N nodi; quindi si scriv l quazion (3.8) pr ciascuna dll M magli; in particolar s il gnrator di forza lttromotric m è prcorso dal vrso dlla maglia dal polo ngativo a qullo positivo è considrato col sgno positivo altrimnti col sgno ngativo; inoltr qualora nl ramo l simo la corrnt I l è concord col vrso sclto pr la corrispondnt maglia l addndo RI n lè prso col sgno positivo altrimnti col sgno ngativo. Una soluzion ngativa pr l corrnti è indic dl fatto ch il vrso ffttivo pr la corrnt nl ramo è opposto a qullo arbitrariamnt stabilito. smpio: Considriamo la rt di figura in cui R val 5 R R valgono 3 R val 4 9 R val 5 d il gnrator roga una forza lttromotric di ; stabiliamo la corrnt ch scorr attravrso il ramo D. La rt possid quattro nodi si rami pr cui si avranno tr quazioni ai nodi tr all magli. ttribuiamo di vrsi arbitrari all corrnti in ciascun ramo così com indicato in figura d assumiamo qual vrso pr la prcorrnza di ciascuna maglia qullo orario. Scglindo i nodi C si hanno l sgunti quazioni ai nodi: I I I 3 6 I I I 5 I I I 4 6 ; scglindo l magli D CD DC si hanno l quazioni all magli: R I R I R I R I R I R I R I R I ; prtanto pr stabilir il valor dlla corrnt I occorr risolvr il sgunt sistma di si quazioni in si incognit: 5 quindi posto: I I I 3 R R3 R5 I4 R R R I R3 R4 I 6 D R R R 3 5 R R R 4 5 R R

20 3- Corrnt lttrica circuiti si ha I 5 D R R 3 R R 4 R R Si noti ch siccom il valor trovato è ngativo il vrso dlla corrnt I è opposto a qullo indicato in figura. 5 La soluzion di una rt lttrica può ssr notvolmnt smplificata qualora qusta sia piana ovvro qualora non vi siano rami ch si incrociano; una tal rt può ssr considrata com formata da sol magli contigu. Pr la soluzion di una rt con qusta carattristica si idntificano l magli indipndnti si attribuisc a ciascuna di ss una circolazion fittizia di corrnt (corrnt di maglia); facndo uso di tali corrnti si scriv la sconda lgg di Kirchhoff pr ogni maglia. S la rt prsnta M magli contigu quindi M corrnti di maglia qusto mtodo dovuto a Jams Clrk Maxwll comporta la rdazion di un sistma di M quazioni in altrttant incognit ch risulta prtanto risolvibil. Not l corrnti di maglia l ffttiv corrnti ch prcorrono i rami costitunti la rt si ottngono com diffrnza fra l corrnti fittizi dll du magli contigu ch hanno in comun il ramo intrssato. smpio: Con rifrimnto all smpio prcdnt stabiliamo il valor dlla corrnt I 5 facndo uso dl mtodo dll corrnti di maglia. Prtanto associamo arbitrariamnt dll corrnti all magli indipndnti D CD DC così com indicato in figura. pplicando la sconda lgg di Kirchhoff a tali magli si ha: ovvro: R R3 R5 IM R5I M R3I M 3 R5 IM R R4 R5 IM R4I M 3 R3I M R4I M R3 R4 IM 3 R R3 R5 R5 R3 IM R R R R R I M R3 R4 R3 R 4 I M 3 Si noti ch in qusto caso la matric di cofficinti è simmtrica inoltr l lmnto di posto ii rapprsnta la somma di tutt l rsistnz prsnti nlla i sima maglia l lmnto di posto ij con i j rapprsnta la somma cambiata di sgno dll rsistnz comuni tra la maglia i sima la maglia j sima. La corrnt I è data dalla diffrnza 5 dlla corrnt di maglia I la corrnt di maglia M I ch valgono rispttivamnt: M I M R R 5 3 R R R R R4 R3 R4 R R R R R R R R R R R R R R

21 Corrnt lttrica circuiti 3- I M R R R R R R R3 R3 R4 R R R R R R R R R R R R R R prtanto: I5 IM IM Malgrado l applicazion dll lggi di Kirchhoff consnta in principio la soluzion di qualsiasi rt lttrica spsso tal approccio risulta nlla pratica piuttosto complsso. Sbbn sistano numrosi tormi rlativi alla soluzion dll rti lttrich ch consntono di far a mno dll lggi di Kirchhoff in qusta sd prsntiamo il torma formulato dall inggnr francs Léon Charls Thévnin nl 883 drivato dal principio dl gnrator quivalnt di Hlmholtz dl 853. Il torma di Thévnin affrma ch una qualsiasi rt lttrica contnnt in gnral rsistori gnratori comprsa tra du morstti risulta quivalnt alla Léon Charls Thévnin sri di un gnrator di forza lttromotric d una rsistnza R ; la forza lttromotric rapprsnta la diffrnza di potnzial ch si misura tra i du morstti dlla rt quando qusti sono aprti. La rsistnza R si valuta applicando ai du morstti una diffrnza di potnzial trovando la corrnt rogata I dopo avr sostituito i gnratori prsnti nlla rt con l propri rsistnz intrn risulta allora R I. smpio: lla luc dl torma di Thévnin la rt dll smpio prcdnt può ssr schmatizzata rlativamnt ai morstti D com mostrato in figura. Il gnrator roga una forza lttromotric pari alla diffrnza di potnzial prsnt tra tali morstti a vuoto ovvro in assnza dl rsistor R. Con rifrimnto allo schma di figura not 5 l corrnti I I : D I I RR 5 D R3R 4 9 la tnsion è pari alla diffrnza di potnzial 4 : D.8.8 D RI R3I D La dtrminazion dlla rsistnza quivalnt R richid ch il gnrator vnga sostituito con la sua rsistnza quivalnt ovvro ssndo tal rsistnza nulla ch vnga sostituito con un cortocircuito 5 ; dopo tal oprazion i punti C saranno collgati tra loro prtanto la rsistnza R risultrà in paralllo alla rsistnza R 4 Con qusta scrittura si sottintnd la diffrnza di potnzial. D 5 dtto cortocircuito un collgamnto tra du punti ralizzato con un conduttor di rsistnza nulla. Dalla lgg di Ohm sgu ch la diffrnza di potnzial ai capi dl cortocircuito è nulla indipndntmnt dalla corrnt ch lo attravrsa

22 3- Corrnt lttrica circuiti analogamnt la rsistnza R risultrà in paralllo alla 3 rsistnza R ; inoltr qust coppi di rsistnz in paralllo 4 saranno collgat in sri tra loro così com mostrato in figura. La rsistnza comprsa tra i morstti D val quindi: R RR RR R R R3 R La corrnt attravrso la rsistnza R sarà quindi: 5 I R R l di la dl vantaggio connsso al minor numro di calcoli ncssari a consguir il risultato si ossrvi ch qualora si dbba calcolar la corrnt I in corrispondnza di un altro valor dlla rsistnza 5 R facndo rifrimnto al circuito quivalnt è sufficint sguir il solo calcolo final; vicvrsa la stssa dtrminazion attravrso l uso dll lggi di Kirchhoff richid nuovamnt la risoluzion di un sistma di quazioni linari. Di sguito è prsntata una dimostrazion dl torma di Thévnin. Considriamo una rt lttrica costituita da L rami; l quazioni di Kirchhoff (3.7) (3.8) possono ssr post nlla forma: R I (3.9) k k j j j con k L in cui rapprsnta la somma algbrica dll forz lttromotrici situat lungo il ramo k simo k R è la rsistnza dl ramo kj j simo I la corrnt ch attravrsa tal ramo. Il sistma di quazioni linari sprsso j dalla rlazion (3.9) può ssr invrtito posto nlla forma: I G (3. j jk k k con j L. Considriamo il ramo u comprso tra i nodi ; sia I la corrnt ch u attravrsa qusto ramo la somma algbrica dll forz lttromotrici dispost lungo tal ramo u R la rsistnza complssiva di qusto ramo. Supponiamo ch risulti u k pr k u cioè supponiamo di sostituir con un cortocircuito tutti i gnratori di forza lttromotric dlla rt scluso qullo u simo. In tal condizion la rlazion (3.3) di sprim com: I G u uu u prtanto il rapporto tra la diffrnza di potnzial la corrnt u I varrà: u I u u Ru R (3.3) G uu in cui R rapprsnta la rsistnza comprsa tra i nodi quando il ramo u simo è sconnsso dalla rt. Sia la diffrnza di potnzial tra i nodi quando il ramo u simo è sconnsso dalla rt; qualora sostituiamo il gnrator prsnt nl ramo u simo con uno ch roga una forza lttromotric pari a u la corrnt I u attravrso tal ramo risultrà nulla pr cui dalla rlazion (3.3) in corrispondnza dl ramo u simo risultrà: G G G G uu u uk k uu uk k ku ku

23 Corrnt lttrica circuiti 3-3 ovvro: ku G G uk k uu prtanto dalla (3.3) sgu in gnral: ;. I G G G G G u uu u uk k uu u uu uu u ku D altra part dalla rlazion (3.3) si ha: Iu Guu u R u u R cioè la rt a mont dl ramo u simo può schmatizzarsi com la sri tra la rsistnza R il gnrator di forza lttromotric. smpio: (diodo a vuoto) Il diodo a vuoto è un componnt lttronico costituito da du lttrodi piani uno dtto catodo posto a potnzial zro l altro dtto anodo posto a potnzial disposti paralllamnt a distanza d. Quando il catodo vin riscaldato gli atomi ch lo costituiscono così ccitati mttono lttroni 6 ch vngono acclrati attravrso la rgion comprsa tra i du lttrodi all quilibrio si origina una corrnt costant I in tal rgion. ssumndo ch la suprfici S dgli lttrodi sia molto maggior di d è possibil trascurar gli fftti ai bordi di piatti d ottnr ch tutt l quantità quali il potnzial la dnsità di carica la vlocità dgli lttroni dipndano dalla sola distanza x dal catodo; la corrnt I invc è indipndnt da tal variabil una volta raggiunta la condizion stazionaria. ssumiamo inoltr ch in tal condizion di quilibrio la dnsità dgli lttroni in corrispondnza dl catodo è tal da dtrminar un campo lttrico nullo su tal lttrodo sbbn non sia nullo il suo gradint. Poiché il potnzial in corrispondnza dl catodo è nullo trascurando la vlocità con cui sono mssi gli lttroni dal catodo il principio di consrvazion dll nrgia in corrispondnza di un punto posto a distanza x dal catodo assum l sprssion: m v x x dov m v x rapprsntano rispttivamnt la massa la vlocità dll lttron x è la diffrnza di potnzial tra un punto posto a distanza x dal catodo il catodo stsso; da tal rlazion sgu: x v x. (3.3) m Considriamo una rgion di spssor dx intrna allo spazio comprso tra gli lttrodi; poiché il volum di tal rgion è pari a S dx la carica dq contnuta in ssa varrà xs dx dov x rapprsnta la dnsità dlla carica alla distanza x dal catodo. S tal carica impiga un tmpo dt pr spostarsi dalla posizion x alla posizion x dx dall rlazioni (3.) (3.3) la corrispondnt corrnt risultrà pari a: 6 Tal procsso è dtto mission trmoionica consist nll mission indotta trmicamnt di particll carich in qusto caso lttroni da un mtallo riscaldato ad alta tmpratura dirttamnt o indirttamnt. L mission è causata dall aumnto di nrgia cintica dll particll lgat in misura tal da consntir il supramnto dll forz ch l vincolano al matrial. In assnza di campi strni l particll mss tndranno a disporsi in prossimità dlla suprfici mttitric ch si carichrà di consgunza di una carica opposta in sgno ma pari in modulo alla carica total dll particll mss.

24 3-4 Corrnt lttrica circuiti dq x S dx dx x I S x S xvx S x dt dt dt m ; Diodo a vuoto pr alta tnsion (Silvrton) si ossrvi ch siccom l carich ch originano la dnsità x sono lttroni qusta corrnt è ngativa. Da tal rlazion è possibil ddurr la dnsità dlla carica dgli lttroni: I I m x S x x S m. Sostitundo tal valor nll sprssion dll quazion di Poisson pr tal sistma si prvin all quazion diffrnzial non linar dl scondo ordin: d x x I m x x dx S (3.33) dov è la costant positiva dfinita com: I m. S Pr risolvr l quazion (3.33) moltiplichiamo ambo i mmbri pr d dx (sottintndiamo pr comodità di scrittura l dipndnz dalla variabil x ) ottnndo così: d d d dx dx dx ovvro: d d d. dx dx dx Intgrando si ottin: d dx 4 C (3.34) dov C è una costant arbitraria; poiché pr ipotsi il potnzial è nullo in corrispondnza dll origin ponndo x ugual a zro nlla prcdnt sprssion si ottin: d 4. d C dx dx Prtanto sostitundo nlla (3.34) stabilndo la radic quadrata di ambo i mmbri si ha: d dx 4 ; tal quazion può ssr risolta pr sparazion di variabili ottnndo: x Simbolo lttrico dl diodo a vuoto; i trminali K indicano rispttivamnt l anodo d il catodo F F sono i morstti pr l alimntazion dl filamnto rsistivo.

25 Corrnt lttrica circuiti 3-5 da cui sgu infin: 3 x 43 x In corrispondnza dll anodo x val d la diffrnza di potnzial prcdnt sprssion assum la forma: x val prtanto in tal posizion la d I m d S 3 da cui sgu: 4S I. (3.35) 9d m 3 Qusta rlazion ch lga la corrnt alla diffrnza di potnzial ai capi di un diodo a vuoto fu stabilita dal chimico fisico Irving Langmuir nl 93 sbbn già ddotta dal fisico Clmnt Dxtr Child nl 9 in uno studio diffrnt; pr tal motivo la (3.35) è dtta lgg di Langmuir-Child. Sbbn in qusta drivazion si sia assunto pr smplicità ch l anodo il catodo fossro du lttrodi piani parallli tal gomtria nlla pratica è scarsamnt adoprata; in gnr qusti lttrodi sono costituiti da cilindri concntrici in cui il catodo situato all intrno dll anodo è riscaldato indirttamnt facndo passar una corrnt attravrso un opportuno filamnto rsistivo situato al suo intrno. Tuttavia è possibil dimostrar ch indipndntmnt dalla gomtria dgli lttrodi la corrnt I è funzion dalla diffrnza di potnzial in manira analoga a quanto sprsso dalla (3.35) cioè: 3 I G (3.36) purché si possa trascurar la vlocità inizial dgli lttroni mssi dal catodo. In figura è mostrata la rapprsntazion grafica dlla rlazion (3.36) ch prnd il nom di carattristica dl diodo a vuoto. smpio: (rtta di carico) La dtrminazion dlla corrnt attravrso il carico rsistivo r dlla diffrnza di potnzial ai capi di tal carico nl circuito di figura possono ssr ffttuat attravrso un procdimnto grafico. Dall applicazion dlla lgg di Kirchhoff pr l tnsioni al circuito considrato sgu: dov v v Ri ri. Tal rlazion può sprimrsi attravrso il sistma di quazioni: i v R R i v r ch può ssr risolto graficamnt rapprsntando nllo stsso i r v i R v R piano iv l du quazioni dtrminando la loro intrszion. I valori di corrnt i tnsion v corrispondnti all intrszion ch prnd il nom di punto di lavoro dl circuito costituiscono la soluzion crcata:

26 3-6 Corrnt lttrica circuiti i R r r v. R r La rtta dscritta dall quazion i R v R è dnominata rtta di carico. Qusto approccio risulta particolarmnt fficac qualora la rlazion ch lga la corrnt i alla tnsion v dl carico collgato alla sri tra il gnrator di forza lttromotric la rsistnza R non sia nota analiticamnt. Considriamo ad smpio il circuito di figura in cui la rsistnza r sia stata sostituita da un diodo a vuoto la cui rlazion ch lga la corrnt i ch lo attravrsa con la diffrnza di potnzial v ai suoi capi sia nota solo in forma grafica (il circuito di alimntazion dl filamnto è omsso pr smplicità). L applicazion di qusto mtodo corrispond a risolvr graficamnt il sistma di quazioni: i v R R i f v in cui i f v indica l quazion dl diodo nota solo in forma grafica. L intrszion tra la carattristica corrnttnsion dl diodo con la rtta di carico consnt di stabilir il punto di lavoro dl circuito. Si ossrvi ch la rtta di carico dl circuito può ssr tracciata rapidamnt in quanto l intrszion con l ass orizzontal è rapprsntata dalla valor dlla tnsion v ai capi dl carico quando qusto è sostituito da un circuito aprto l intrszion con l ass vrtical è costituita dal valor dlla corrnt i ch attravrsa il circuito quando il carico è sostituito con un cortocircuito. 3.9 Gnratori di tnsion di corrnt Pr la dscrizion di circuiti lttrici complssi risulta opportuno introdurr il conctto di gnrator idal ovvro di un dispositivo in grado di stabilir la diffrnza di potnzial tra du punti o la corrnt attravrso un ramo rispttivamnt in manira indipndnt dalla rt situata tra i punti o dalla rt disposta lungo il ramo. Si dfinisc gnrator idal di tnsion un dispositivo ch mantin costant la diffrnza di potnzial ai suoi morstti indipndntmnt dalla corrnt rogata. Qusto dispositivo prtanto coincid col gnrator lttrico già introdotto nlla circostanza in cui la sua rsistnza intrna sia nulla. In figura è rapprsntato il simbolo adoprato pr il gnrator idal di tnsion; il sgno rapprsnta qual di du morstti è al potnzial maggior; in principio tal simbolo è altrnativo a qullo dl gnrator lttrico tuttavia pr consutudin mntr il simbolo dl gnrator idal di tnsion vin adoprato sia ch la forza lttromotric dipnda dal tmpo sia ch risulti costant il simbolo dl gnrator lttrico vin adoprato solo pr rapprsntar un gnrator di forza lttromotric costant com ad smpio una battria. Si dfinisc gnrator idal di corrnt un dispositivo ch roga una corrnt costant I indipndntmnt dalla diffrnza di potnzial ai suoi morstti. Prtanto s applicato ad una rsistnza un gnrator idal di corrnt mantin costant la corrnt ch attravrsa la rsistnza a prscindr dal suo valor. In figura è mostrato il simbolo adoprato pr il gnrator idal di corrnt la frccia indica il vrso dlla corrnt rogata.

27 Corrnt lttrica circuiti 3-7 R R r Facndo uso di un gnrator idal è possibil schmatizzar un gnrator ral. Un gnrator ral di tnsion dtrmina una diffrnza di potnzial ai suoi capi dipndnt dall condizioni di carico; ciò può ssr dscritto rapprsntando tal gnrator con la sri di un gnrator idal di tnsion con la sua rsistnza intrna r. In corrispondnza dll applicazion di tal gnrator ad un carico costituito da una rsistnza R la diffrnza di potnzial tra i morstti dl gnrator val: r R prtanto il gnrator ral di tnsion si comporta com un gnrator idal nl limit R r cioè nlla condizion in cui la rsistnza di carico è molto maggior dlla rsistnza intrna dl gnrator. Un gnrator ral di corrnt roga una corrnt dipndnt dall condizioni di carico; tal dispositivo può ssr dscritto rapprsntando qusto gnrator con il paralllo di un gnrator idal di corrnt con la sua rsistnza intrna r. In corrispondnza dll applicazion di qusto gnrator ad un carico costituito da una rsistnza R la corrnt rogata al carico val: r I I I r R R r prtanto il gnrator ral di corrnt si comporta com un gnrator idal nl limit R r cioè nlla condizion in cui la rsistnza di carico è molto minor dlla rsistnza intrna dl gnrator. smpio: (torma di Norton) Così com il torma di Thévnin consnt di schmatizzar la rt comprsa tra du morstti com la sri di un gnrator di forza lttromotric con una rsistnza ovvro con un gnrator ral di tnsion attravrso il torma di Norton proposto da dward Lawry Norton nl 96 considrato dual dl torma di Thévnin è possibil schmatizzar la rt comprsa tra du morstti com il paralllo di un gnrator idal di corrnt I con una rsistnza R ovvro con un gnrator ral di corrnt. La corrnt I rapprsnta la corrnt ch attravrsa il ramo ch si ottin collgando i du morstti tra loro (corrnt di cortocircuito). La rsistnza R si valuta con la stssa procdura dl torma di Thévnin cioè applicando ai du morstti una diffrnza di potnzial stabilndo la corrnt rogata I dopo avr sostituito i gnratori prsnti nlla rt con l propri rsistnz intrn risulta allora R I. Si noti ch sia nl caso dl torma di Thévnin ch pr il torma di Norton qualora la rt contnga gnratori idali la dtrminazion dlla rsistnza R richid in particolar ch i gnratori idali di tnsion vangano sostituiti con di cortocircuiti mntr i gnratori idali di corrnt vngano sostituiti da rami aprti. La dimostrazion dl torma di Norton procd in manira analoga a qulla proposta pr il torma di Thévnin. smpio: I tormi di Thévnin di Norton consntono di mttr in luc l quivalnza tra l du rapprsntazioni di un gnrator lttrico. Infatti s si applica il torma di Norton alla sinistra di morstti dl circuito di figura si trova la corrnt di cortocircuito I data dalla rlazion: I r la rsistnza quivalnt r. Prtanto tal rt può ssr schmatizzata com mostrato in figura. nalogamnt applicando il torma di Thévnin a sinistra di morstti di qusto circuito si trova ch la diffrnza di potnzial tra i morstti val:

28 3-8 Corrnt lttrica circuiti ri. la rsistnza quivalnt val r. N sgu ch l du rapprsntazioni sono quivalnti l uso di una o dll altra è solo qustion di opportunità. 3. Circuiti in rgim quasi stazionario La dscrizion di circuiti attravrso l lggi di Kirchhoff è consntita dal fatto ch i circuiti considrati si trovano nl rgim stazionario dfinito attravrso la rlazion (3.7). Sbbn l analisi di circuiti in rgim non stazionario risulti gnralmnt piuttosto complssa d sula dall finalità di qusto corso è possibil prsguir lo studio di circuiti in condizioni tali ch ad ogni istant l corrnti possono ssr ritnut di intnsità costant pari a qull ch si avrbbro nll condizioni stazionari in cui i campi lttromotori ch l originano assumrbbro gli stssi valori ch assumono nl caso in sam all istant considrato. Ciò corrispond a ritnr ch l corrnti in sno ai circuiti varino in manira sufficintmnt lnta da consntir a tutto il conduttor il raggiungimnto ad ogni istant dll condizioni propri dl rgim di funzionamnto stazionario. In qusta situazion il conduttor è dtto in rgim quasi stazionario. Naturalmnt la trattazion ch sgu sarà applicabil nll circostanz in cui tal assunzion risulti lgittima ovvro ogni volta ch è possibil assumr ch l corrnti ni circuiti siano praticamnt costanti rlativamnt al tmpo ncssario affinché si ridistribuiscano sulla suprfici dl conduttor gli vntuali addnsamnti locali di carica. smpio: Considriamo un conduttor omogno isotropo originariamnt in quilibrio stazionario ossia tal ch la dnsità di carica d il campo lttrico al suo intrno siano nulli. Supponiamo ch pr t vnga situata una crta carica nl conduttor in modo ch la dnsità di carica intrna non sia più nulla in particolar risulti pari a. Stabiliamo dopo quanto tmpo qusto ccsso di carica si distribuisc sulla suprfici dl conduttor in manira tal ch si raggiunga la condizion di stazionarità. Dall rlazioni (3.6) (3.) si ha: t J dov l ultimo passaggio sgu dall omognità dl matrial ch costituisc il conduttor. D altra part siccom dov è la costant dilttrica dl conduttor si ha: Posto:. t intgrando l sprssion prcdnt risulta: d t d da cui sgu: t.

29 Corrnt lttrica circuiti 3-9 Il tmpo prnd il nom di tmpo di rilassamnto rapprsnta il tmpo ncssario affinché la carica intrna al conduttor si riduc di un fattor pari a (il 37 % circa) risptto al valor inizial. Pr un conduttor prftto in cui la conducibilità è infinita il tmpo di rilassamnto è nullo. Pr il ram è praticamnt ugual a Fm m 9 così.5 s. D altra part pr il quarzo fuso il tmpo di rilassamnto è di giorni circa. Dopo un tmpo pari a qualch costant di tmpo da quando è stata introdotta la carica nl conduttor la carica ntta d il campo lttrico nl conduttor possono ssr ritnuti praticamnt nulli. L smpio prcdnt mostra com pr matriali ch siano buoni conduttori lttrici l approssimazion di quasi stazionarità possa ritnrsi soddisfacnt in numrosi casi di intrss fisico. Qusto implica ad smpio ch la corrnt attravrso ogni szion di uno stsso ramo è istant pr istant la stssa; d altra part poiché i sgnali lttrici si propagano attravrso i rami ad 8 una vlocità finita prossima a qulla dlla luc nl vuoto di circa 3 ms ai fini dlla dscrizion di circuiti con corrnti variabili nl tmpo facndo uso dll lggi propri di circuiti in rgim stazionario occorrrà inoltr assumr ch la variazion dlla corrnt in sno a ciascun ramo avvnga in un tmpo trascurabil rlativamnt al tmpo impigato dalla luc a prcorrr la lunghzza total dl ramo in sam. 3. Carica scarica di un condnsator Considriamo il circuito di figura in cui il condnsator C è inizialmnt scarico; supponiamo ch all istant inizial t l intrruttor T vnga chiuso; applicando la sconda lgg di Kirchhoff al circuito in sam si ha: v t Ri t (3.37) in cui indica la forza lttromotric rogata dal gnrator vt la diffrnza di potnzial ai capi dl condnsator. Dal principio di consrvazion dlla carica sgu ch la variazion dq dlla carica qt prsnt sull armatur dl condnsator ch si manifsta nl tmpo dt è pari alla carica itdt ch attravrsa la rsistnza R: dq i t dt ; (3.38) si noti ch il sgno dlla variazion dq è positivo in quanto al passaggio dlla carica itdt nlla rsistnza corrispond un aumnto dlla carica sull armatur dl condnsator. Poiché: vt qt (3.39) C sostitundo nlla rlazion (3.37) facndo uso dlla (3.38) si ha: q dq R C dt. Sparando l variabili intgrando si ha:

30 3-3 Corrnt lttrica circuiti q d d C RC t posto: sgu: da cui si ha: RC (3.4) t q C ln C t q t C. (3.4) Facndo uso dlla rlazion (3.39) è possibil ricavar la lgg di variazion dlla diffrnza di potnzial ai capi dl condnsator: t v t. La quantità ha l dimnsioni di un tmpo prnd il nom di costant di tmpo dl circuito rapprsnta il tmpo misurato risptto all istant inizial in corrispondnza dl qual la diffrnza di potnzial ai capi dl condnsator risulta infrior di volt risptto al suo valor massimo. L sprssion dlla corrnt attravrso la rsistnza può ssr ricavata dalla (3.4) attravrso la rlazion (3.38): t t t dq t C C it ; dt RC R si noti ch la corrnt all istant inizial t val R ovvro è pari alla corrnt ch circolrbb nl circuito qualora il condnsator foss sostituito da un cortocircuito d altra part pr t dalla (3.4) sgu qt di consgunza dalla (3.39) anch vt. Qualora il condnsator possdss all istant inizial una carica non q q l intgrazion dll quazion (3.37) si nulla ossia fftturbb nlla manira sgunt: q d d C RC q t da cui sgu:

31 Corrnt lttrica circuiti 3-3 t q t C q C. Indicando con v la diffrnza di potnzial prsnt all istant inizial tra l armatur dl condnsator: v q C (3.4) la diffrnza di potnzial ai capi dl condnsator in un istant gnrico si scriv: t v t v. Nll ipotsi in cui il condnsator sia originariamnt scarico l nrgia U rogata dal gnrator nl procsso di carica val: t R ; U p t dt i t dt dt C al trmin dl procsso di carica mtà di qusta nrgia divnta nrgia lttrostatica immagazzinata nl condnsator: t U Cv t C C lim lim t t l altra mtà risulta dissipata pr fftto Joul nlla rsistnza cioè facndo uso dlla rlazion (3.) si ha: J t t R R. U Ri t dt R dt dt C Considriamo il circuito di figura in cui il condnsator C è inizialmnt q q nll istant in cui l intrruttor T vin chiuso; carico ossia applicando la sconda lgg di Kirchhoff al circuito in sam si ha: v t Ri t d altra part valndo ancora la rlazion (3.39) risulta: qt Ri t C. (3.43)

32 3-3 Corrnt lttrica circuiti Nl tmpo dt la rsistnza è attravrsata da una carica itdt dal principio di consrvazion dlla carica sgu ch tal quantità dv rapprsntar anch la diminuzion dlla carica qt possduta dal condnsator cioè: dq i t dt prtanto sostitundo nlla rlazion (3.43) si ha: q dq R C dt. Posto com dalla (3.4) sparando l variabili intgrando sgu: q d d q t ovvro: cioè: t q ln q q t t q. Facndo uso dlla (3.39) ossia dividndo ambo i mmbri dlla prcdnt sprssion pr C si trova l andamnto dlla diffrnza di potnzial ai capi dl condnsator: v t J t v in cui v la diffrnza di potnzial prsnt all istant inizial tra l armatur dl condnsator è dfinita com nlla (3.4). Dalla (3.43) infin è possibil dtrminar l andamnto dlla corrnt attravrso la rsistnza: v. R t v v q U Ri t dt R dt dt i t partir da qusta sprssion facndo uso dlla (3.) si può stabilir l nrgia dissipata nlla rsistnza a partir dall istant in cui si chiud il tasto T: t t R R C ; tal quantità risulta pari all nrgia lttrostatica immagazzinata nl condnsator all istant inizial.

33 Corrnt lttrica circuiti 3-33 smpio: Considriamo il circuito di figura in cui R val k R R valgono 3 ntramb k C val F C val F d il gnrator roga una forza lttromotric di ; stabiliamo l carich q q prsnti sull armatur di du condnsatori all quilibrio. In tal condizion poiché i rami contnnti i condnsatori non sono attravrsati da corrnt la corrnt rogata dal gnrator val: I m R R R k k k 3 così l diffrnz di potnzial ai capi di ciascun condnsator valgono rispttivamnt: da cui sgu: I R R m k k 6 I R R3 m k k 8 q C F 6 6 C q C F 8 6 C smpio: Nl circuito di figura il condnsator C di F inizialmnt caricato alla tnsion di pr fftto dlla chiusura dll intrruttor T all istant t vin collgato alla sri costituita dalla rsistnza R di k dal condnsator C di 4 F inizialmnt scarico. Stabiliamo la diffrnza di potnzial prsnt tra l armatur di C 5ms dopo la chiusura dll intrruttor. pplicando la sconda lgg di Kirchhoff alla maglia ch si ottin alla chiusura dll intrruttor si ha: ossia s v t v t Ri t q t q t sono rispttivamnt l carich al tmpo t sui condnsatori C C : q t q t Ri t C C Drivando ambo i mmbri risptto al tmpo si trova:. dq dq di R. (3.44) C dt C dt dt Col vrso sclto la corrnt it è pari a dq dt : dq i (3.45) dt inoltr dal principio di consrvazion dlla carica risulta: dq dq da cui sgu l idntità dq dt dq dt prtanto la rlazion (3.44) divnta:

34 3-34 Corrnt lttrica circuiti da cui posto: di i i R C C dt C C C.33 F risulta: di dt RC i. In corrispondnza dll istant inizial il condnsator C è scarico pr cui si comporta com un cortocircuito cioè risulta i t in tal istant val R così intgrando la q di consgunza v prtanto la corrnt prcdnt quazion: si ha: i d RC v R i t t v t RC. R d v Infin nota l sprssion dlla corrnt it è possibil sostituirla nlla rlazion (3.45) pr ricavar consgunza v t : q t v C v t i d d v t t RC C C C R C C 5ms F k.33 F 9. F 4F t RC smpio: Nl circuito di figura stabiliamo la lgg di variazion dlla diffrnza di potnzial vt ai capi dl condnsator C a partir dall istant inizial in cui vin chiuso il tasto T. Il circuito prsnta du nodi tr rami quindi si avranno una quazion ai nodi du all magli. In corrispondnza dl nodo N indicando con dq t dt la corrnt ch scorr nl ramo contnnt il condnsator risulta: dq t d dv t it it Cvt C ; (3.46) dt dt dt q t di assumndo qual vrso di prcorrnza dll du magli sclt qullo orario l du quazioni corrispondnti sono: Ricavando v t R i t (3.47) v t R i t. (3.48) i t dalla (3.47) i t dalla (3.48) sostitundo nlla (3.46) si ottin:

35 Corrnt lttrica circuiti 3-35 da cui sgu: v t v t dv t C R R dt R R dv t R C v t R R dt R R. (3.49) Posto quindi: R R R RR R R R (3.5) (3.5) l quazion (3.49) divnta: dv t RC v t dt ch risulta formalmnt ugual a qulla rlativa alla carica di un condnsator C ad una diffrnza di potnzial attravrso una rsistnza R pr cui posto RC la soluzion vt è: t v t (3.5) Si noti ch tal problma potva ssr risolto più smplicmnt applicando il torma di Thévnin al ramo NM. lla luc di qusto torma una volta chiuso il tasto T la rt può ssr schmatizzata com mostrato in figura pr cui la lgg di carica dl condnsator sarà data dalla rlazion (3.5). In qusta schmatizzazion la forza lttromotric è la diffrnza di potnzial ch si rilva a tasto chiuso tra i morstti N M col condnsator scollgato ovvro il valor fornito dalla rlazion (3.5); la rsistnza quivalnt R è qulla comprsa tra i morstti N M a tasto chiuso quando il gnrator di forza lttromotric è sostituito dal un cortocircuito ovvro l sprssion indicata dalla rlazion (3.5).

36 3-36 Corrnt lttrica circuiti