ESERCIZI SULLA CONVEZIONE

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1 Giorgia Mrli matr. 97 Lzion dl 4//0 ora 0:0-:0 ESECIZI SULLA CONVEZIONE Esrcizio n Considriamo un tubo d acciaio analizziamo lo scambio trmico complto, ossia qullo ch avvin sia all intrno sia all strno dl tubo. Fig. All intrno dl tubo scorr dll acqua con vlocità,5 m/s con una tmpratura T i 80 C. Fuori dal tubo abbiamo invc dll aria frma ad una tmpratura T 0 C. Il tubo ha una lunghzza L 0 m i suoi diamtri intrno d strno sono rispttivamnt: D 0 mm D 0 mm. Infin ricordiamo ch dall tabll risulta: λ Acciaio 60 L acqua, scorrndo nl tubo, ovviamnt più frddo, tnd a disprdr una crta quantità di calor Q, quindi l acqua all imbocco dl tubo avrà una crta tmpratura (T i 80 ) ch sarà divrsa più prcisamnt maggior, dalla tmpratura dll acqua in uscita (T out ). mk Fig. - -

2 Lzion dl 4//0 0:0-:0 La quantità di calor ch vin prsa dall acqua all intrno dl tubo cduta succssivamnt all ambint strno può ssr calcolata ni du modi sgunti:. ml dov Q T tot T ml ( T T ) ( T T ) i Ti T out out T T Bilancio dll nrgia. Q M C ( T T ) p i out in un sistma aprto () Momntanamnt pr smplificar l cos, considriamo T Ti T ipotizzando ch l acqua abbia una tmpratura costant T i lungo tutto il tubo. In tal modo andrmo a sovrastimar il valor ral di scambio trmico ma ai fini dlla progttazion qusto sarà tutt altro ch ngativo. T ml ( ) Pr la risoluzion dl problma dovrmo considrar un sistma di tr rsistnz collgat in sri (,, ) ch schmaticamnt possono ssr rapprsntat nl modo sgunt: Fig. Ingrandimnto di una part dlla szion dl tubo su cui sono stat rapprsntat l rsistnz ch dovranno ssr calcolat - -

3 Lzion dl 4//0 0:0-:0 h π D L i D D Poiché,, sono collgat in sri tot + + λ π L Acciaio h π D L Calcoliamo h i ossia il Cofficint di convzion intrno () Prima di tutto occorr dfinir il rgim di moto dl fluido pr farlo occorr calcolar il cosiddtto n di ynolds (): D,5 0,0 6 υ 0,55 0 H O >0000 gim turbolnto () quindi possiamo usar la formula di Dittus-Boltr: Nu 0,8 0,0 Pr 0, (4) Il n di Prandtl (Pr) lo si trova nll tabll, sso dipnd solo dalla sclta dl fluido, fatta cczion pr l acqua dov sso varia anch al variar dlla tmpratura. Siccom nl nostro caso abbiamo a ch far proprio con l acqua dobbiamo tnr in considrazion la tmpratura T 80 C s tal tmpratura non è stata rgistrata in tablla si dv far una mdia tra i valori immdiatamnt vicini. Dtto qusto considriamo Pr, 5 Quindi Ma poiché Allora Nu 0, h i D Nu λ H O - - 0,8,5 0, 0, Nu λh hi D 0, 0, ,0 m K h i O (5)

4 Lzion dl 4//0 0:0-:0 Calcoliamo h ossia il Cofficint di convzion strno Innanzitutto dfiniamo la tmpratura di part T p 75 C com valor arbitrario sclto da noi una volta prso atto ch la T p < T i 80 C Ora possiamo andar a calcolar il n di Grashof (Gr) dfinir così s siamo nl caso di un rgim laminar o turbolnto. In qusto caso la formula ch dvo utilizzar pr il calcolo dl n di Nusslt è divrsa dalla prcdnt poiché la convzion è natural non più forzata. Gr g β D 00 0,55 0 ( ) 9,8 0,0 ( 75 0) T p T 6 υ H O Dov β è il cosiddtto Cofficint di dilatazion trmica più prcisamnt rapprsnta il rapporto tra la variazion di volum dl fluido ottnuta aumntando la tmpratura di K, il volum inizial. In vrità pr dfinir il rgim dl fluido occorr far un passaggio ultrior calcolar il cosiddtto n di aligh (a): (6) a Gr Pr (7) Siccom qusta volta siamo all strno dl tubo, il fluido ch ci intrssa dl qual dobbiamo considrar il Pr non è più l acqua bnsì l aria. Nll tabll trovo ch Pr aria 0,7 Quindi a , << 0 9 gim laminar In qusto caso possiamo usar la formula di Mc Adams scondo la qual: Prciò avrmo ch Nu Gr 0,5 0,5 Nu 0, ,5 Pr 0,5 0,7 0,5 54,76 (8) da qui, com in prcdnza, pr la (5) possiamo calcolar il cofficint di convzion h: h Nu λ D aria 54,76 0,0 54,76 0,0-4 -

5 Lzion dl 4//0 0:0-:0 Ora abbiamo a disposizion tutti i dati ch ci srvono pr riuscir a calcolar l tr rsistnz,, scondo la () di consgunza la rsistnza total tot : ,4 0, ,8 0 60, , ,76,4 0, tot , ,69 0 9,87 0 Fatto ciò dalla (.) ricaviamo ch Q T ,87 0 tot 606 Adsso ch abbiamo trovato la quantità di calor Q disprsa dall acqua durant il tragitto all intrno dl tubo, possiamo andar a calcolar la T out vrificar così s la nostra approssimazion inizial fatta pr smplificar i calcoli consntirci di risolvr il problma è accttabil oppur no. Dalla (.) si ottin ch: K T out Q Ti M C p (8) Dov M è il Cofficint di portata in massa si calcola nl sgunt modo: Kg M 0,0 ρ H O A 000,5 π 0, 785 s So ch il calor spcifico dll acqua C p è: (9) Di consgunza avrò ch C p 487 J KgK 606 T out 80 78, 4 C 0,

6 Lzion dl 4//0 0:0-:0 Ora ch possdiamo un valor di T out, sppur approssimativo, siamo in grado di calcolar Tml (Prcdntmnt approssimato a T ) scondo la (.) quindi, la disprsion trmica ffttiva Q. prciò ritornando alla (8) avrmo ch ( 80 0) ( 78,4 0) T ml 59 C ,4 0 Q , T out 80 78, 8 C 0,785 0 Quindi dai calcoli risulta ch la ral tmpratura di uscita dll acqua è 78,8 C anziché 78,4 C com risultava dal primo calcolo frutto di un approssimazion. E vidnt com, in qusto caso, la nostra approssimazion inizial ch considra una T costant di 80 C dll acqua all intrno dl tubo, non ha influito in modo considrvol sul risultato final. Esrcizio n Isolamnto trmico ni tubi Considriamo ora un tubo in acciaio nl qual vin fatta scorrr dll acqua frdda. Poiché all strno la tmpratura è più lvata, sulla suprfici dl tubo si cra dlla condnsa ch con il passar dl tmpo porta alla formazion dlla ruggin. Pr vitar ch qusto accada si rivst il tubo con una guaina isolant dlla qual è ncssario dfinir il diamtro Fig.

7 Lzion dl 4//0 0:0-:0 Fig. All intrno dl tubo scorr dll acqua con vlocità m/s con una tmpratura T i 4 C. Fuori dal tubo abbiamo invc dll aria frma ad una tmpratura T C. Il tubo ha una lunghzza L m i suoi diamtri intrno d strno sono rispttivamnt: D 0 mm D 5 mm. Occorr inoltr tnr prsnt la conducibilità trmica di divrsi matriali: λ Acciaio 60 mk λ Isolant 0, 05 mk Un altro dato important da tnr in considrazion è il cosiddtto Grado igromtrico (Umidità): ϕ 0,4 Esso consnt di riuscir a dtrminar sul diagramma psicomtrico la Tmpratura di rugiada, ch dv risultar minor dlla tmpratura di part strna (T p ) affinché la suprfici dl tubo non arrugginisca, o pr ssr più chiari, affinchè il problma vnga risolto sia dtrminato prciò il diamtro dll isolant. DIAGAMMA PSICOMETICO Fig

8 Lzion dl 4//0 0:0-:0 Ora, pr vitar la condnsa il consgunt formarsi dlla ruggin è ncssario ch: T > T p >7 C p T ugiada In qusto caso l rsistnz non sono più tr com nl caso prcdnt, bnsì quattro: $!"# Fig. Com abbiamo visto nll srcizio prcdnt abbiamo ch: h π D L i D D Poiché,,, 4 sono collgat in sri λacciaio π L tot D D λ π L Isolant 4 h π D L () Di qust quattro rsistnz, tr sono fiss, mntr una ( ) è variabil. Dobbiamo far variar fino a ch nl punto la tmpratura abbia suprato i 7 C

9 Lzion dl 4//0 0:0-:0 Pr far qusto non sist una vra propria rgola, pr tntativi bisogna far variar il diamtro dl tubo di isolant fino a quando non si risc a raggiungr la T p dsidrata. Proviamo quindi a considrar D 40 mm Com nll srcizio prcdnt calcoliamo h i Dfiniamo il rgim di moto dl fluido calcolando il n di ynolds (): D 0,0 6 υ,55 0 H O 870 >0000 gim turbolnto () quindi possiamo usar la formula di Dittus-Boltr: Nu 0,8 0,0 Pr 0,4 () Vogliamo far notar ch in qusto caso, l sponnt di Pr è 0,4 non più 0, com nl caso prcdnt poiché l acqua nl tubo, più frdda risptto all ambint strno, tnd a riscaldarsi. La lgg di Dittus-Boltr prvd: Pr 0, s il fluido si raffrdda Pr 0,4 s il fluido si riscalda Nll tabll troviamo il n di Prandtl (Pr) pr l acqua alla tmpratura T i 4 C Pr,6 Quindi Ma poiché Allora Nu 0,0 870 h i D Nu λ H O 0,8,6 0,4 87 Nu λ hi D 87 0, ,0 m K h i H O (4) Com al solito υ H O λ H O, dipndnti ntrambi dalla tmpratura dll acqua, si trovano nll tabll. Qualora la tmpratura dsidrata non dovss ssr prsnt occorr far una mdia di du valori vicini a qullo dsidrato

10 Lzion dl 4//0 0:0-:0 Calcoliamo h Calcoliamo il n di Grashof (Gr) pr dfinir il rgim dl fluido Gr g β D υ ( T ) 9,8 0,04 ( 0 T p ) 00 6 ( 4 0 ) Aria 8 (5) calcoliamo ora il n di aligh (a): a Gr Pr Aria (6) Quindi a 8 0, < a < 0 9 gim laminar In qusto caso possiamo usar la formula di Mc Adams scondo la qual: Nu 0,5 Gr 0,5 Pr 0,5 0,5 8 0,5 0,7 0,5 9,0 (7) pr la (4) calcoliamo il cofficint di convzion h: h Nu λ D 9,0 0,0 6,90 0,04 m K aria Ora, scondo la (), possiamo calcolar l quattro rsistnz,,, 4 di consgunza la rsistnza total tot :, ,4 0, , , ,05,4 0,45-0 -

11 Lzion dl 4//0 0:0-:0 6,9,4 0,04 4 Fatto ciò posso trovar,54 4 tot, , ,45 +,54, 58 K Q T tot 4 7,70,58 (8) In qusto caso prò vogliamo sapr s il diamtro sclto pr l isolant è corrtto oppur no, ossia s T p >7 C Pr far qusto isolo la quarta rsistnza applico solo ad ssa la lgg di Ohm: T T Q p,54 T p Q 4 4 (9) T p 7,70,54, 57 C T p < 7 C Qusto significa ch il diamtro dll isolant D sclto non è sufficint pr impdir la condnsa la succssiva formazion dlla ruggin. ivdiamo quindi i calcoli ipotizzando di usar un isolant di spssor D 50 mm. Nl calcolo di h i il diamtro D non compar quindi 5499 m K h i Ma il calcolo di h subisc alcun variazioni: Gr g β D υ ( T ) 9,8 0,05 ( 0 T p ) 00 6 ( 4 0 ) Aria 5055 Nu 0,5 Gr 0,5 Pr 0,5 0, ,5 0,7 0,5 0,88 d infin Nu λ h D 0,88 0,0 6,58 0,05 m K aria - -

12 Lzion dl 4//0 0:0-:0 Adsso, smpr scondo la (), possiamo calcolar tot : 40 4 K tot, , , 0,05,4 6,58,4 0,05,5 0,976 da qui pr la (8) Q T tot 4,5, pr la (9) T p Q 4,5 0,976 9 C T p > 7 C Quindi il problma è stato risolto, il diamtro sclto pr l isolant pari a 50 mm è sufficint pr vitar la condnsa all intrno dl tubo poiché la tmpratura di part strna risulta maggior dlla tmpratura di rugiada (7 C). - -