SOLUZIONE PROBLEMA 1 SOLUZIONE PROBLEMA 1 1
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- Gianleone Bellucci
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1 SOLUZIONE PROBLEMA 1 1 SOLUZIONE PROBLEMA 1 1. Studiamo la funzion q ( = at, ssndo a b costanti rali con a >. Il dominio dlla funzion è tutto R la funzion è ovunqu continua. Il grafico dlla funzion non prsnta simmtri lmntari prché la funzion non è pari ( q( ¹ q( - ), né dispari ( q( q( ). Esist un unico zro dlla funzion ch è t =, infatti, imponndo ch la funzion si annulli: q( = at = t = pr ogni valor di a b. Studiamo il sgno dlla funzion: at > pr t > infatti la costant a > la funzion sponnzial y = è smpr positiva, qualsiasi sia la costant b. Calcoliamo i limiti agli strmi dl dominio, distingundo tr casi: a) b = La funzion q ( = at è una rtta passant pr l origin, crscnt, ch tnd a + pr t + a - pr t -. b) b > Il limit lim prsnta una forma indtrminata di tipo -, ch si t at [ ] risolv applicando l rgol dlla grarchia dgli infiniti o il torma di D at l Hôpital al rapporto. Si ha: - lim at t = Inoltr: lim at = + + = t + [ ] + c) b < Il limit lim prsnta una forma indtrminata di tipo +, ch si t + at [ ] risolv applicando l rgol dlla grarchia dgli infiniti o il torma di D at l Hôpital al rapporto. Si ha: - lim at t + = Inoltr: lim at = - + = t - [ ] - D Agostini Scuola S.p.A.
2 SOLUZIONE PROBLEMA 1 L informazioni raccolt sono sufficinti pr tracciar il grafico dlla funzion q(. Pr b >, l andamnto qualitativo di q( sarà: Il grafico dlla funzion prsnta un punto di minimo assoluto di ascissa t <. Pr b <, l andamnto qualitativo di q( sarà: In qusto scondo caso, il grafico dlla funzion prsnta un punto di massimo assoluto di ascissa t >. D Agostini Scuola S.p.A.
3 SOLUZIONE PROBLEMA 1 3 Pr dtrminar i valori di paramtri a b, in modo ch la funzion abbia un massimo nl æ 8 ö punto Bç; impostiamo il sistma: è ø q() = 8 [*] q'() = Essndo q'( = a + a = a 1+, si ottin: da cui: Poiché il valor di b trovato è ngativo, la discussion ffttuata in prcdnza garantisc ch il punto stazionario ch soddisfa l condizioni [*] sia ffttivamnt un punto di massimo.. Studiamo ora la funzion q( = 4t. Part dllo studio è già stato svolto nl punto prcdnt in particolar valgono i valori di limiti calcolati pr b <. Essndo q'( = 1 t t la funzion è crscnt pr t < dcrscnt pr t >,, com anticipato nl punto (1) dl problma, il grafico prsnta un punto di massimo æ 8 ö 8 assoluto di coordinat ç ;, ssndo q =. è ø La drivata sconda è q' '( = - t - 4, positiva pr t > 4 ngativa pr t < 4. Prtanto 4 in t = 4 c è un flsso discndnt, infatti q' ( t = ) = - <. L'ordinata dl flsso è = q 4 = 16 = t 4 3 La tangnt inflssional ha quazion y = - t +. 1 t ì ïa í ï îa b b ìa = 4 ï í 1 ïb = - î 8 = ( 1+ b) = D Agostini Scuola S.p.A.
4 SOLUZIONE PROBLEMA 1 4 Il grafico dlla funzion sarà prtanto: 3. C è un problma di intrprtazion dl significato fisico dlla funzion q(, così com vin introdotta: non è corrtto infatti parlar di carica ch attravrsa una szion dl conduttor in un istant di tmpo t, ch è ugual a zro. Prtanto intrprtiamo la funzion com la quantità di carica ch ha attravrsato la szion dl conduttor nll intrvallo di tmpo [ ;t]. La costant a, moltiplicata pr il tmpo t, dv dar una carica lttrica, prtanto l su dimnsioni corrispondono a qull di una carica divisa pr un tmpo, ovvro a qull di una -1 corrnt lttrica [ a ] = [ i]. Il prodotto dv ssr un numro puro quindi [ b] = [ t ]. dq L intnsità dlla corrnt è i ( =, quindi i( = q'( = t/ (. dt La funzion q', com già ossrvato nl punto prcdnt, è positiva pr t < ngativa altrov -t / i'( = q''( = t - 4 ch è positiva pr t > 4 ngativa altrov. Quindi pr t = 4 si trova un punto di minimo assoluto con i(t = 4 s) = 4. Il massimo assoluto si ha invc A!,54 A nll istant t =, quando la corrnt val it= ( ) = 4A. Si noti ch al tmpo t = sla corrnt si annulla poi cambia sgno, ossia invrt il suo vrso. Dopo molto tmpo il valor dll intnsità di corrnt corrispond al limit pr t + dlla funzion i(, ossia: lim t + - / t - ( - = D Agostini Scuola S.p.A.
5 SOLUZIONE PROBLEMA 1 5 Il grafico dlla funzion y = i( è: 4. S continuiamo a intndr ch la funzion y = q( sia la carica ch ha attravrsato la szion dl conduttor nll intrvallo di tmpo ; t, la quantità richista è: risulta lim Q( t ) =. Si noti ch qusto significa ch la carica ch ha attravrsato la szion dl conduttor nll intrvallo di tmpo pr t > s. t + = i(dt = q( t ) Q t t q ; s = 4t t / L nrgia dissipata pr fftto Joul nll intrvallo di tmpo ; t è: t W = R i( dt = 3 t/ ( dt = 1 t t è la stssa ch lo attravrsa nl vrso opposto t ( dt D Agostini Scuola S.p.A.
PRIMI ESERCIZI SULLE FUNZIONI DERIVABILI. (1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni:
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Edutcnica.it Studio di funzioni Studiar disgnar il grafico dll sgunti funzioni Esrcizio no. Soluzion a pag. Esrcizio no. Soluzion a pag. y 5 y Esrcizio no. Soluzion a pag.6 Esrcizio no. Soluzion a pag.8
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y = ln x ln x x x Studiare e disegnare il grafico delle seguenti funzioni Esercizio no.1 Soluzione a pag.2 Esercizio no.2 Soluzione a pag.
Edutcnica.it Studio di funzioni Studiar disgnar il grafico dll sgunti funzioni Esrcizio no. Soluzion a pag. Esrcizio no. Soluzion a pag. atg Esrcizio no. Soluzion a pag. Esrcizio no. Soluzion a pag.9 ln
FUNZIONI. Dominio: il dominio di una funzione è l insieme delle x in cui una funzione è definita.
FUNZIONI Dominio: il dominio di una funzion è l insim dll in cui una funzion è dfinita. Funzioni Fratt: una funzion si dic fratta quando compar la al dnominator Pr calcolar il dominio di una funzion fratta
Soluzioni. a) Il dominio è dato da tutti i numeri reali tranne quelli che annullano il denominatore di (x+1)/x. Quindi D = R {0} = (-,0) (0,+ ).
Soluzioni Data la unzion a trova il dominio di b indica quali sono gli intrvalli in cui risulta positiva qulli in cui risulta ngativa c dtrmina l vntuali intrszioni con gli assi d studia il comportamnto
STUDI DI FUNZIONI. Dunque : y=1 è asintoto orizzontale sia sinistro che destro. x=0 è asintoto verticale ( solo a sinistra di zero )
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