Matematica e Statistica - Scienze Ambientali Esame 24 Febbraio 2014

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1 Matmatica Statistica - Scinz Ambintali Esam 4 Fbbraio 014 Esrcizio 1 - Part A Supponiamo di conoscr l misur a, b c di tr grandzz con la sgunt incrtzza: 3.17 < a < < b < < c < 1.11 Quali limitazioni possiamo garantir sulla grandzza drivata b a c b? = < b a c b < = Esrcizio - Part A Calcolar L 4 U 4 pr la funzion f(x) = 1 x, sull intrvallo [0, 1], dov la funzion è continua crscnt. L 4 = 0.5(f(0) + f(0.5) + f(0.5) + f(0.75)) = U 4 = 0.5(f(0.5) + f(0.5) + f(0.75) + f(1)) = Esrcizio 3 - Part B Calcolar il polinomio di Taylor dl scondo ordin dlla funzion f(x) = log(1 + 3x ) in zro,bovvro il polinomio Poiché il polinomio richisto è f (x) = f(0) + f (0)x + f (0) x. f(0) = 0, 6x 1 + 3x f (0) = 0 f (x) = 6 18x (1 + 3x ) f (0) = 6 3x. 1

2 Esrcizio 4 - Part B Dtrminar: campo di sistnza; intrszioni con gli assi, sgno, limiti agli strmi dl campo di sistnza, drivata prima, intrvalli di crscnza dcrscnza d vntuali massimi minimi rlativi dlla sgunt funzion (x + ) f(x) = (x 1) Disgnar un grafico qualitativo dlla funzion stssa. Il campo di sistnza è l insim di numri rali, privato dl numro 1, ch annulla il dnominator. Ponndo x = 0 vrifichiamo ch il grafico dlla funzion intrsca l ass dll ordinat nl punto di coordinat (0, f(0) = 4). La funzion si annulla dov si annulla il numrator, ovvro nl punto x =, quindi il grafico dlla funzion intrsca l ass dll asciss nl punto di coordinat (, 0). Il sgno dl numrator è smpr positivo nl campo di sistnza, quindi il sgno coincid con il sgno dl dnominator, ch è positivo pr x > 1 ngativo pr x < 1. La funzion è continua nl suo dominio di dfinizion i limiti agli strmi dl campo si sistnza sono (x + ) lim x (x 1) (x + ) lim x 1 + (x 1) La drivata prima dlla funzion è = lim x 1 (x + ) (x 1) = (x + ) = + lim x + (x 1) = + f (x) = x x 8 (x 1). La drivata si annulla in x = x = 4 ch assim al punto x = 1 ch annulla il dnominator dtrmina la partizion dll insim di dfinizion ngli intrvalli Com si vrifica facilmnt (, ) (, 1) (1, 4) (4, + ). nll intrvallo (, ) il sgno dlla drivata è positivo, quindi la funzion è crscnt; nll intrvallo (, 1) il sgno dlla drivata è ngativo, quindi la funzion è dcrscnt;

3 nll intrvallo (1, 4) il sgno dlla drivata è ngativo, quindi la funzion è dcrscnt; nll intrvallo (4, + ) il sgno dlla drivata è positivo, quindi la funzion è crscnt Nl punto x = la funzion ha quindi un massimo rlativo nl punto x = 4 ha un minimo rlativo. Il grafico dlla funzion sguito con il calcolator è f (x) x 3

4 Esrcizio 5 - Part C Il 3% di una popolazion è afftto da una crta malattia. L accrtamnto dlla malattia è affidato ad un tst di laboratorio ch ha snsibilità pari all 95% spcificità pari al 90%. Pr un individuo il tst ha dato sito positivo; qual è la probabilità ch gli abbia ffttivamnt la malattia? Pr un individuo il tst ha dato sito ngativo; qual è la probabilità ch invc gli abbia la malattia? p(t + M + ) = 95%, p(t M ) = 90%, P (M + ) = 3%. Allora P (M + T + ) = p(t + M + )p(m + ) = p(t + ) Analogamnt p(t + M + )p(m + ) p(t + M + ) + p(t + M ) = p(t + M + )p(m + ) p(t + M + )p(m + ) + p(t + M )p(m ) = p(t + M + )p(m + ) p(t + M + )p(m + ) + (1 p(t M ))(1 p(m + )) = P (M + T ) = p(t M + )p(m + ) p(t ) 95% 3% 95% 3% + (1 90%)(1 3%) 3% = (1 p(t + M + ))p(m + ) p(t M + ) + p(t M ) = (1 p(t + M + ))p(m + ) p(t M + )p(m + ) + p(t M )p(m ) = (1 p(t + M + ))p(m + ) (1 p(t + M + ))p(m + ) + p(t M )(1 p(m + )) = (1 95%) 3% (1 95%) 3% + 90%(1 3%) 0.00% Esrcizio 6 - Part C Il 5% di una popolazion ha i caplli biondi. Qual è la probabilità ch, prsi quattro individui a caso, almno tr abbiano i caplli biondi? S possiamo assumr ch la popolazion sia molto grand, il procsso è quivalnt al lancio riptuto quattro volt di una monta in cui la probabilità di ottnr tsta sia pari a 1/4 = 5%. Si tratta quindi di calcolar la probabilità P di ottnr almno tr tst. Indicando con p(4, k) la probabilità di ottnr k tst in 4 lanci, abbiamo p(4, k) = ( 4 k ) ( ) k ( ) 4 k 3. 4

5 quindi P = p(4, 3) + p(4, 4) Esrcizio 7 - Part D Supponiamo ch una crta variabil statistica sia distribuita in manira approssimativamnt gaussiana di mdia 6 dviazion standard 3. Dtrminar la prcntual aspttata dll ossrvazioni ch cadono nll intrvallo [3, 3] la prcntual aspttata dll ossrvazioni minori di 3. Indichiamo g(µ, σ) la gaussiana di mdia µ dviazion standard σ. Nl nostro caso, µ = 6 σ = 3. Vin richisto quindi di calcolar g(µ, σ) Ricordando ch, pr ogni gaussiana g(µ, σ) g(µ, σ) = g(µ, σ) = g(µ, σ) 1 abbiamo g(µ, σ) = g(µ, σ)+ 1 g(µ, σ) = 1 ( ( + g(µ, σ) + g(µ, σ) g(µ, σ) µ+σ g(µ, σ) = ) g(µ, σ ( ) 0.8 ) g(µ, σ) 1 (1 0.68)

6 Esrcizio 8 - Part D Nl tst di ammission ad una crta univrsità di ossrvano i sgunti puntggi in funzion dgli anni Calcolar la covarianza tra la variabil anno la variabil puntggio, il diagramma di disprsion il cofficint di corrlazion. Calcolar i cofficinti dlla rtta di rgrssion la prcntual di varianza assorbita dalla rtta di rgrssion. Disgnar la rtta di rgrssion sul diagramma di disprsion. Indichiamo con x la variabil anno con y la variabil puntggio. La covarianza i (x i x)(y i y) n 1 val circa.50. Il cofficint di corrlazion i (x i x)(y i y) i (x i x) i (y i y) val circa La prcntual di varianza assorbita dalla rtta di rgrssion è il quadrato dl cofficint di corrlazion d è quindi circa 0.7. I cofficinti dlla rtta di rgrssion y = m x + q sono i m = (x i x)(y i y) i (x 0.7 i x) q = y mx 818. Il diagramma di disprsion con la rtta di rgrssion è 6

7 y x 7