Le soluzioni della prova scritta di Matematica del 9 Giugno 2015

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1 L soluzioni dlla prova scritta di Matmatica dl 9 Giugno. Sia data la unzion a. Trova il dominio di b. Scrivi, splicitamnt pr stso non sono suicinti disgnini, quali sono gli intrvalli in cui è positiva qulli in cui è ngativa c. Dtrmina l vntuali intrszioni con gli assi d. Studia il comportamnto di agli strmi dl suo dominio, scrivndo l quazion di vntuali asintoti; giustiicar i risultati di iti. Calcola la drivata prima scrivi, splicitamnt pr stso non sono suicinti disgnini, quali sono gli intrvalli in cui è crscnt qulli in cui è dcrscnt, trovando l coordinat di vntuali massimi o minimi rlativi o lssi a tangnt orizzontal. Calcola la drivata sconda scrivi, splicitamnt pr stso non sono suicinti disgnini, quali sono gli intrvalli in cui è convssa qulli in cui è concava, trovando l coordinat di vntuali lssi g. Disgna un graico approssimativo di scglindo opportunamnt il sistma di ririmnto Ossrviamo innanzitutto ch La unzion da studiar è dunqu. a D R, dal momnto ch i du sponnziali sono diniti su tutta la rtta ral. b da cui. da cui

2 In conclusion, l unica intrszion con gli assi è data dall origin. c La unzion è positiva nll intrvallo -, ngativa in,+. d Dobbiamo studiar il comportamnto di a + a -. Pr risolvr qusta orma indtrminata mttiamo in vidnza il trmin con ordin maggior, cioè, ottnndo + + mntr. L altro it da risolvr è La rtta è un asintoto orizzontal.. Prtanto Quindi è crscnt nll intrvallo, dcrscnt nll intrvallo,+. Nl punto di ascissa vi è un massimo. Troviamo la corrispondnt ordinata: In conclusion il massimo è dato dal punto di coordinat,. 9 9 Quindi

3 La unzion è convssa nll intrvallo, concava in,+ Nl punto di ascissa vi è un lsso. Troviamo la corrispondnt ordinata: In conclusion il lsso è dato dal punto di coordinat,. g

4 . Sia data la rtta r di quazion - +. a Trovar la rtta s prpndicolar ad r passant pr l origin b Stabilir snza l uso di disgni s la rtta r è strna, tangnt o scant alla circonrnza di cntro C, raggio. La rtta s ha coicint angolar m s dato da m s m momnto ch s passa pr l origin. Prtanto s ha quazion r. Il trmin noto q s è dal. Basta calcolar la distanza dlla rtta r dal C vdr s ssa è maggior, ugual o minor dl raggio. poiché. Quindi la rtta risulta strna alla circonrnza. + d C, r +

5 . Trovar una primitiva dlla unzion sn. sin d sin sin d sin cos d sin cos sin cos + sin cos + sin cos + sin cos d cos sin d sin d d Abbiamo dunqu trovato ch d sin cos + sin sin d, da cui si ottin sin d sin cos + dunqu sin d sin cos + + c.

6 . Data la unzion a calcola la drivata di + arctan +, b trova la rtta tangnt al graico di nl punto di ascissa / arctan + / arctan + arctan Troviamo l ordinata dl punto P dl graico di di ascissa. Esso è dato da π arctan Il coicint angolar dlla rtta tangnt al graico di nl punto P è dato da π π m arctan. π La rtta crcata ha quazion dl tipo + q. Imponiamo ora ch la rtta passi pr il punto rtta è π π π P, : + q q. Dunqu l quazion dlla π π +.

7 . Una compagnia ara monitora il ritardo misurato in minuti di voli ttuati in un dato giorno. Scondo i dati in posssso dlla compagnia ara, in voli ttuati si è vriicato un ritardo di minuti, in 9 voli è stato riscontrato un ritardo di minuti, in voli un ritardo di minuti in voli nssun ritardo. Calcola valor mdio, mdiano dviazion standard dl ritardo vriicatosi in tutti i voli saminati. Possiamo schmatizzar i dati con la sgunt tablla dll rqunz Dunqu il ritardo mdio è dato da rqunza numro di voli ritardo ritardo mdio 9, minuti Quanto alla mdiana, siccom il numro di dati è un numro pari vi sono voli in tutto, una volta mssi in ordin crscnt tutti i dati si ha Inin la varianza è data da dato + dato + ritardo mdiano σ 9, +. 9, + 9 9, + 9, 7,8 7,8 da cui la dviazion standard σ 7,8 8,.