PRIMO APPELLO DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA CORSO DI LAURA IN INFORMATICA, A.A. 2017/18 31 GENNAIO 2018 CORREZIONE

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1 PRIMO APPELLO DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA CORSO DI LAURA IN INFORMATICA, A.A. 7/8 GENNAIO 8 CORREZIONE SE AVETE FATTO IL COMPITO A SOSTITUITE a ; COMPITO B a ; COMPITO C a 5; COMPITO D a 4; Esrcizio, Part Considrat la funzion p : R R dfinita da p( a. Trovat i iti di p pr + ( punti; calcolat p (, studiandon il sgno, dtrminat gli intrvalli di monotonìa di p ( p., i punti di ma / min local i corrispondnti valori di p ( p.. Dduct da tali informazioni il numro di zri di p (giustificando la vostra affrmazion localizzat, usando il mtodo di biszion, il massimo di ssi con una prcision di / ( p.. Part Ora studiat la funzion f( tracciatn un grafico approssimativo ( p., dopo avrn trovato il dominio natural, l intrszioni con gli assi l vntuali simmtri ( p., gli intrvalli di positività ( p., gli asintoti attravrso i iti agli strmi dl dominio (4 p. gli intrvalli di monotonia ( p.. Non è richisto lo studio dlla convssità. SOLUZIONE: Part prché p( + + a +, p( a ( a a 4 ; analogamnt, con la stssa dcomposizion, p(. Calcoliamo p ( a ; visto ch 4 + a >, l du radici distint sono + a 6 + a, + + a.

2 Quindi p è crscnt in (, in (, + dcrscnt in (, : è massimo local, mntr è minimo local. Calcoliamo i valori di p in qusti du punti: a,,, p( 7, p( ; a, 4,, p( 4 7, p( : a 5,, 5, p(, p( 7 ; a 4,, 8/, p( 4, p( Quindi ni primi tr casi abbiamo un unica radic pr p, mntr nll ultimo caso n abbiamo tr, in tutti i casi grazi al torma dgli zri (il polinomio è continuo. Notiamo ch nll ultimo caso, dato ch p( 4 p(4, l du radici più piccol sono intrn all intrvallo ( 4, 4 (qusta informazion srvirà dopo - anzi, si può anch dir ch appartngono a ( 4,, dato ch p( 6. Ora usiamo la biszion pr trovar la radic più grand, ch in ogni caso sarà maggior di. Compito A: Proviamo p(4 4; quindi la radic starà in [, 4]; valutiamo p in du: p( ; infin, calcoliamo p(/ /8; quindi la radic appartin all intrvallo (/, (numricamnt si trova ch la radic è circa, 89. Compito B: Proviamo p(4 8; quindi la radic starà in [, 4]; valutiamo p in tr: p( 4; infin, calcoliamo p(7/ 4/8; quindi la radic appartin all intrvallo (7/, 4 (numricamnt si trova ch la radic è, 746. Compito C: Proviamo p(4 ; quindi la radic starà in [5/, 4]. A qusto punto è più comodo lavorar con numri intri pr vitar frazioni scomodo da calcolar; quindi valutiamo p in du: p(. Dal torma di sistnza dgli zri, la radic appartin a (, 4. Calcoliamo p( p(7/ 65/8. Quindi la radic appartin a (, 7/(numricamnt si trova ch la radic è circa, 79. Compito D: Proviamo p(4 ; qusto non ci dic nint dato ch sia p( ch p(4 sono ngativi. Proviamo p(5 4; a qusto punto posso continuar con la biszion partndo dall intrvallo [4, 5] dato ch p(4 <, p(5 > ; p(9/ 7/8 abbiamo concluso, dato ch la radic sarà in [9/, 5] (numricamnt si trova ch la radic è 4, 964. Notat in ogni caso ch p(a a a a a a < (pur qusto srvirà dopo. Part Pr il dominio natural, basta imporr il dnominator divrso da ±a (dato ch ni quattro casi a è positivo: Dom(f (, a ( a, a (a, +. S, allora f(. D altra part, s crchiamo tali ch f(, sarà solo, dato ch > pr ogni R. Calcoliamo f( ( a ch non è nè f(, nè f(, quindi la funzion non ha simmtri significativ. Pr la positività, dato ch >, f(. Pr trovar l soluzioni dlla disquazion fratta, facciamo il grafico di sgni dopo avr visto ch il numrator N ss dnominator D > ss < a oppur > a. Quindi la funzion è positiva in ( a, ] (a, + ngativa in (, a (, a.

3 Dobbiamo ora calcolar i si iti agli strmi dl dominio, aiutandoci vntualmnt con la positività dlla funzion. Ad smpio, s quando crchiamo ( a non riusciamo a capir s il dnominator tnd a + o (quindi non capiamo s il it è + o, dato ch il numrator tnd a a a <, ci possiamo ricordar ch in (, a la funzion è ngativa, quindi il it non potrà ssr ch. Oppur notiamo ch ( a { a < a { ( a a > a (a + ; notat ch abbiamo cambiato il vrso dlla disuguaglianza prchè i du trmini sono ntrambi ngativi. Quindi, ragionando in uno di du modi stando attnti al sgno dl numrator, si ha Poi abbiamo dato ch + ( a a ( a + a +, a pr, + pr la grarchia dgli infiniti, dato ch Infin, calcoliamo d ( d a + +. (a/ +. d d + a ( + ( ( + ( ( ( a. Quindi f ( s solo s p(, dov p( è il polinomio studiato nlla prima part. Quindi ni primi tr casi f ( s solo s, con la radic trovata approssimativamnt, mntr nl quarto caso s solo s sta tra l prim du radici o s >. Quindi possiamo disgnar il grafico com sgu (ricordat ch in ogni caso > a:

4 Esrcizio Calcolat il it pr n + dlla sgunt succssion (4 p. n ( n4 + a n 4 a. SOLUZIONE: Visto ch è una forma dtrminata +, moltiplichiamo dividiamo pr la somma dll radici: n ( n4 + a n 4 a n ( n4 + a n 4 a ( n 4 + a + n 4 a n4 + a + n 4 a n n4 + a (n 4 a n4 + a + n 4 a n a n4 + a + n 4 a. Ora raccogliamo al numrator al dnominator l infinito ch va più vloc pr risolvr la forma indtrminata / : n a n4 + a + n 4 a n a ( n 4 + a /n 4 + a /n 4 a + a /n 4 + a /n 4 dato ch n 4 n. Ora, pr n ch tnd a +, il dnominator tnd a +, quindi la succssion tnd a a. Esrcizio Calcolat i sgunti intgrali (4 p. ciascuno d, ( a d. + a Facoltativo, (4 p. 5 d. SOLUZIONE: Pr il primo, ffttuiamo la sostituzion t, da cui dt d/(. Quindi d ( d + a + a t t + a dt.

5 Abbiamo quindi t t + a dt t t + a t + t t + a t t t t + a a t + a, t dt a dt + a 4 t + a a t t + a [ t ] a + a 4[ log(t + a ] t t ( a a + a 4 + log a t ( a t + a dt a + a 4 + log a. Pr il scondo, intgriamo pr parti du volt: la prima con f( ( a g (, da cui f ( ( a g(. ( a d ( a ( a d. La sconda, pr l ultimo intgral, con f( ( a g (, da cui f ( g( : ( a d ( a d ( a ; quindi ( a d [ ] ( a ( a +. Pr il facoltativo, intgriamo pr parti usando f(, g ( ; quindi, f ( Quindi d infin g( 5 d t t dt 5 d d y d. [ ] + c. [ ( ] t dt t