Esame di stato di istruzione secondaria superiore Indirizzi: Scientifico Comunicazione Opzione Sportiva Tema di matematica

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1 wwwmatmaticamntit Nicola D Rosa maturità Esam di stato di istruzion scondaria suprior Indirizzi: Scintifico Comunicazion Opzion Sportiva Tma di matmatica Il candidato risolva uno di du problmi risponda a usiti dl ustionario PROBLEMA La funzion drivabil ha, pr, il grafico Γ disgnato in figura Γ prsnta l tangnti orizzontali pr =-, =, = L ar dll rgioni A, B, C D sono rispttivamnt,, Sia g() una primitiva di f() tal ch g()=- Nl caso f() foss sprimibil con un polinomio, ual potrbb ssr il suo grado minimo? Illustra il ragionamnto sguito Individua i valori di, pr cui g() ha un massimo rlativo dtrmina i valori di pr i uali g() volg la concavità vrso l alto Calcola g(), s sist, il Sia, dtrmina il valor di

2 wwwmatmaticamntit Nicola D Rosa maturità SVOLGIMENTO a cura di Nicola D Rosa Il grado di f () nll ipotsi ch sia una funzion polinomial è almno uarto Infatti ha tr punti a tangnt orizzontal, dunu la sua drivata dv annullarsi in tr punti uindi è un polinomio di grado non infrior al trzo A confrma, una rtta opportunamnt sclta intrsca il grafico dlla curva in uattro punti La primitiva g () ha monotonia stabilita dal sgno di f () scondo il sgunt schma: sgno di f () monotonia di g () uindi g () ha un massimo rlativo in (gli altri du zri di corrispondono ad un minimo in d un flsso a tangnt orizzontal in ) Il vrso dlla concavità di g () è fissato dal sgno di g ( ) f ( ) ; in particolar, la concavità è vrso l alto dov f () è positiva, uindi dov f () è crscnt Dal grafico si dsum ch ciò avvin ngli intrvalli,, Dtta g ( ) la primitiva di f ( ) ch si annulla pr, ovvro: g ( ) f ( t) dt, la funzion richista g () è data da: g( ) g ( ) K, con K opportuna costant Dai dati forniti sull ar dll rgioni dal sgno dgli intgrali dfiniti corrispondnti si trova: g (), pr cui dalla richista ch sia: g ( ) si ottin: K K, uindi è: g ( ) f ( t) dt Di consgunza: g () f ( t) dt ; il limit richisto si calcola con la rgola di D L Hopital: g( ) lim H ) g( ) lim lim ( f ( ), dov si è sfruttato il fatto ch g ( ) f ( ) ch dal grafico di risulta f ( ) Si ha: h ( ) d f ( ) d ; con la sostituzion: z d dz si ha: 9 h ( ) d ( ) ( ) f z dz

3 wwwmatmaticamntit Nicola D Rosa maturità PROBLEMA Assgnat l funzioni rali f ln g rifrimnto cartsiano O:, indicati con F G i loro grafici in un Stabilisci dominio codominio dll funzioni f g, traccia uindi i grafici dll funzioni a f g g f b ; dtrmina l uazion dlla rtta, tangnt a F nl suo punto di ascissa sist una rtta s, parallla a r, ch sia tangnt a G; Stabilisci inoltr s dtrmina l uazion dlla rtta, parallla alla bisttric dl primo uadrant, ch sia tangnt a F Dimostra ch risulta ssr tangnt anch a G; dtta A la rgion piana finita dlimitata dall ass, dalla rtta di uazion = dal grafico G, calcola l ara di A il volum dl solido gnrato ruotando A intorno all ass

4 wwwmatmaticamntit Nicola D Rosa maturità SVOLGIMENTO La funzion f ln da dominio, La funzion g da dominio R D codominio C f R f D g codominio, Di sguito i grafici nllo stsso rifrimnto cartsiano: C g Punto Si ha b g a f g ln ln ln f con

5 wwwmatmaticamntit Nicola D Rosa maturità Punto La rtta tangnt a f ln in, ha uazion ' : f r La rtta s parallla ad r ha uazion s : Pr ssr tangnt a G dv ssr ' g g ovvro prtanto : s il punto di tangnza è, Punto La rtta parallla alla bisttric dl primo trzo uadrant ha uazion t : Essa è tangnt ad f ln s ' f prtanto il punto di tangnza è B=, la rtta è : t La rtta : t è tangnt anch a g s ' g g prtanto il punto di tangnza è A=(,)

6 wwwmatmaticamntit Nicola D Rosa maturità 6 Punto La rgion A è di sguito raffigurata L ara dlla rgion A è pari a: d

7 wwwmatmaticamntit Nicola D Rosa maturità Il volum dl solido dato dalla rotazion di A attorno all ass dll ordinat è dato dal volum dl cono con raggio di bas d altzza cui va sottratta il volum dl solido gnrato dalla rotazion di g attorno all ass dll ordinat 8 Il volum dl cono con raggio di bas d altzza è pari a Invrtndo la funzion g, si ha ln gnrato dalla rotazion di nll intrvallo, g attorno all ass dll ordinat è pari a ; il volum dl solido ln d ln ln d ln d lnd ln ln ln ln ln Il volum final è 8 7

8 wwwmatmaticamntit Nicola D Rosa maturità QUESTIONARIO Dtrminar l sprssion analitica dlla funzion =f() sapndo ch la rtta =-+ è tangnt al grafico di f nl scondo uadrant ch f ()=- +6 Dimostrar ch il volum dl tronco di cono è sprsso dalla formula:, dov R r sono i raggi h l altzza n n Risolvr l uazion: Un solido ha pr bas la rgion R dl piano cartsiano comprsa tra il grafico dlla funzion l ass dll nll intrvallo [, ] Pr ogni punto P di R, di ascissa, l intrszion dl solido col piano passant pr P ortogonal all ass dll è un rttangolo di altzza Calcolar il volum dl solido lim Calcolar 6 Sia f la funzion, dfinita pr tutti gli rali, da, dtrminar il minimo di f 7 Dtta A(n) l ara dl poligono rgolar di n lati inscritto in un crchio C di raggio r, vrificar ch calcolarn il limit pr 8 I lati di un triangolo misurano, rispttivamnt, 6 cm, 6 cm cm Prso a caso un punto P all intrno dl triangolo, ual è la probabilità ch P disti più di cm da tutti i tr vrtici dl triangolo? 9 Data la funzion dtrminar il paramtro k in modo ch nll intrvallo [,] sia applicabil il torma di Lagrang trovar il punto in cui la tsi dl torma assicura l sistnza Il grafico dlla funzion divid in du porzioni il rttangolo ABCD avnt vrtici A(,), B(,), C(,) D(,) Calcolar il rapporto tra l ar dll du porzioni 8

9 wwwmatmaticamntit Nicola D Rosa maturità SVOLGIMENTO Intgrando si ottin: f ( ) ( 6) d 6 C ; la condizion di tangnza con la rtta data impon ch sia: f ( ) m in un punto dl II uadrant, da cui: 6 (la soluzion positiva è da scartar); il punto di ascissa sulla rtta ha ordinata: ( ) 9 ; il punto (,9) appartin alla 7 curva f () s: 9 ( 8) 6( ) C, da cui: C La funzion richista prtanto è: 7 f ( ) 6 Considriamo il tronco com il solido gnrato dalla rotazion dl trapzio dlimitato dal sgmnto dall ass in figura intorno all ass R r La rtta passant pr i punti (, r ) d ( h, R) ha uazion: R r r ; il volum si calcola con: h h h h R r R r R r V d r d, ch con la sostituzion: z r dz d h h h h R h h divnta: V z dz ( R r ) ( R r)( R Rr r ) R r, da cui l assrto r R r R r n n Innanzitutto pr avr snso l uazion dv avrsi n n n Risolvndo l uazion si ha:! n n! n! n! n n n! n!! n!! n! n! n n n 6 n n 8 n n n ntrambi accttabili in uanto soddisfano la condizion n 9!

10 wwwmatmaticamntit Nicola D Rosa maturità Una szion dl solido ha ara d d ln ln V S S prtanto il volum è pari a Si ha: lim lim lim lim La funzion è un polinomio di scondo grado; il suo trmin in ha vidntmnt cofficint positivo ( a ), uindi il grafico corrispondnt è ullo di una parabola a concavità vrso l alto 6 Si vrifica facilmnt (oprando la sostituzion: ) ch l uazion f () è invariant pr simmtria risptto alla rtta, ch prtanto rapprsnta l ass di simmtria dlla parabola, ov uindi si trova il vrtic ch è il punto di minimo richisto, d è: f ( ) 7 Il poligono è l union di n triangoli isoscli di lato obliuo r d angolo al vrtic di ciascuno di usti val: r sin ; l intro poligono ha ara: nr sin n n L ara n Il limit: lim nr sin con la sostituzion: divnta: n n n sin sin lim r sin lim r r, avndo fatto uso dl limit notvol: lim

11 wwwmatmaticamntit Nicola D Rosa maturità 8 La somma di tr sttori circolari uival a un sttor circolar di ampizza 8 prtanto la sua ara sarà S Il trinagolo ha altzza 9 S ABC La probabilità richista val: r A BC 9 h 6 prtanto la sua ara è 9 S ABC S ABC 8 p 9 % S ABC L ipotsi dl torma di Lagrang richidono continuità in, drivabilità in, C A B Pr la continuità dv ssr: lim f ( ) lim f ( ) f () lim lim( k k), da cui: k k, il ch è vro pr k Pr la drivabilità: k Prtanto è: lim f ( ) lim f ( ) f ( ) s s lim L ascissa prvista dal torma è ulla pr cui: lim( k) k f () f () f ( ), dov: da cui: f () f () Prndndo la drivata dl primo tratto di funzion, si ottin: accttabil soltanto la soluzion 6 di cui è 6 ; oprando in modo analogo sul scondo tratto, si trova:, non accttabil in uanto non comprsa nll intrvallo ],] L ara dl rttangolo val 6; di usto, la part comprsa tra la curva assgnata l ass dll asciss ha ara data da: d ; la rimannt part di rttangolo ha dunu ara: 6 d il rapporto richisto val prtanto 7