EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE A COEFFICIENTI COSTANTI

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1 Risoluzion di uazioni diffrnziali a ura dl prof. Massimo Latino EQUZIONI DIFFERENZILI DEL PRIMO ORDINE Dnominazion Com si prsntano Com si risolvono Euazion diffrnzial dl d primo ordin a variaili sparaili g g ( ) f ( ) ( ) f ( ) g( ) d f ( ) d d Euazion diffrnzial linar dl primo ordin a( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) d ) a d dov ( ) ( ) EQUZIONI DIFFERENZILI DEL SECONDO ORDINE COEFFICIENTI COSTNTI a 0 > 0 a 0 0 < 0 ( on soluzioni dl tipoα ± iβ ) α os β α β. a p ( ) n a. Si risolv l omogna assoiata;. Si trova m () sondo lo sphitto riportato di sguito, alolando drivata prima drivata sonda andando a sostituir nll uazion assgnata;. La soluzion è la somma tra l omogna assoiata l intgral partiolar.. a α ( ) 0 dg m n 0 a 0 dg 0 a 0 dg m m ( ) ( ) n n α a. S α non oinid on una dll radii dll omogna, ( ) α. S α oinid on una dll radii distint dll omogna, ( ) α. S α è radi doppia dll omogna, ( ). a C β Dos β a. S iβ non è radi dll omogna: ( ) os. S iβ è radi dll omogna: ( ) ( β os β) β β

2 Risoluzion di uazioni diffrnziali a ura dl prof. Massimo Latino. α a [ C( ) os β D( ) β] a. α β 0 α 0 ( ) C. α 0 β 0 ( ) C( ) os β D( ) β. S α iβ non è radi dll omogna: ( ) α [ ( ) os β ( ) β] dov () () sono polinomi di grado pari al maggior tra C() D(). α d. S α iβ os β β è una dll du radii distint: ( ) [ ( ) ( ) ] α, allora avrà radii oinidnti uindi ( ) ( ). S l omogna ha 0

3 Risoluzion di uazioni diffrnziali a ura dl prof. Massimo Latino ESERCIZI SU EQUZIONI DIFFERENZILI DEL PRIMO E DEL SECONDO ORDINE Risolvr l sgunti uazioni diffrnziali dl tipo f ( ). d d d d d ln d. d d ar. os d os d Risolvr l sgunti uazioni diffrnziali dl primo ordin a variaili sparaili os. d ( ) os ( ) d d d os os Ch non è invrtiil. Ma s spandiamo in sri di MaLaurin os, si ottin: os... Ma s i si frma al sondo trmin, sostitundo, si ottin la soluzion: ± Naturalmnt si sglirà una dll du in as all ondizioni iniziali. d ln d ( ) d d d d ln s > 0 ln s < 0

4 Risoluzion di uazioni diffrnziali a ura dl prof. Massimo Latino. ( ) d d ln ln 0 9. ot g d d ln ln os 0 os 0. os 0 d os d ln ln os 0 os. Dtrminar l intgral partiolar dll uazion diffrnzial a variaili sparaili, h soddisfa la ondizion sgnata a fiano: ondizion ( ) 0 d d artan artan π π artan 0 artan tan artan Risolvr l sgunti uazioni diffrnziali linari dl primo ordin:. ( ) 0. ( ) ( ) d ( ( ) d) ( ) d ( d) ( ). ( ) d ln ln ln d ln 5. os os os ( ) d ln ln ln d ( )

5 Risoluzion di uazioni diffrnziali a ura dl prof. Massimo Latino ln 6. ln ln ln ln ( ) ln ln ln ln ln ln d ln ln 7. Un punto matrial p si muov di moto rttilino sua vloità v è dirttamnt proporzional all asissa di p sulla rtta, alolata a partir da un punto o, prso om origin dll oordinat asiss: si ha, ioè v k, dov k è la ostant assgnata. Dtrminar la posizion dl punto p in funzion dl tmpo, sapndo h, nll istant t0, la posizion di p è data da. v k d d k kdt ln kt ln k 0 0 ( 0) dt kt Euazioni diffrnziali dl sondo ordin omogn ( ) 0. 0 ( ). 0 ( ) ( ) os 0 ± i. 9 0 ± i ( ) os Euazioni diffrnziali dl sondo ordin non omogn. ± ( ) ( ) a ( ) a ( ) 0 a. ( ) ( a ) ( ) ( ) 5

6 Risoluzion di uazioni diffrnziali a ura dl prof. Massimo Latino 5. ( ) ± i os ( ) a ( ) a ( ) 0 0 a a ( ) ( ) a 0 5a 0 a 5 7. os ( ) os ( ) ( ) ( ) os ( ) os ( ) os os os os 5 ( ) os ( ) os ( ) ( os ) ( ) os ( os ) ( ) os os ( os ) 0 9. ± i os ( ) os os ( ) ( ) ( os ) ( ) os ( os ) ( ) os os ( os ) 0 os ( ) os 6

7 Risoluzion di uazioni diffrnziali a ura dl prof. Massimo Latino 7 0. ( ) ( ) ± ( ) ( ) a ( ) ( ) a a ( ) ( ) a a a 9 ( ) ( ) ( ) a a a a 9 ( ) a 6. ( ) i os ± ( ) ( ) a ( ) ( ) ( ) a a ( ) ( ) ( ) ( ) a a a a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a a a a a a ( ) ( ) a os 0. ( ) os ( ) 0 ( ) [ ] os ( ) [ ] [ ] os os ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] os os os os [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] os os os os os os os ( ) [ ] 5os 9 5 9