Ist. di Fisica Matematica mod. A Quarta esercitazione

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1 Ist. di Fisica Matematica mod. A Quarta esercitazione Francesca Arici (farici@sissa.it Domenico Monaco (dmonaco@sissa.it 3 Novemre La numerazione seguita per gli Esercizi è quella delle note del corso. Gli esercizi vertono sull equazione di Laplace u =. ( Esercizio.5.. Trovare una funzione u(x, y definita su R e che soddisfi u = x y, u r=a =. Soluzione. Data la simmetria del sistema mettiamoci in coordinate polari x = r cos ϕ, r [, + [, ϕ [, π[, y = r sin ϕ, e cerchiamo soluzioni dell equazione che aiano la forma u = r (cos ϕ sin ϕ = r cos ϕ ( u(r, ϕ = α (r + (α n (r cos nϕ + β n (r sin nϕ (3 su cui andremo poi ad imporre la condizione al contorno u(a, ϕ = per ogni ϕ. Il laplaciano in coordinate polari ha la forma = r + r r + r ϕ. (

2 Calcoliamo u r (r, ϕ = α (r + u rr (r, ϕ = α (r + u ϕϕ (r, ϕ = e sostituiamo nella ( ottenendo α (r + α (r r (α n(r cos nϕ + β n(r sin nϕ, (α n(r cos nϕ + β n(r sin nϕ, n (α n (r cos nϕ + β n (r sin nϕ, ((α n(r + r α n(r n r α n(r cos nϕ+ + (β n(r + r β n(r n r β n(r sin nϕ = r cos ϕ, da cui ricaviamo i seguenti sistemi infiniti di equazioni differenziali ordinarie α (r + r α (r =, (5 α (a =, α n(r + r α n(r n r α r se n =, n(r = altrimenti, (6 α n (a =, β n(r + r β n(r n r β n(r =, (7 β n (a =. La soluzione generale di (5 è α (r = C log r a. (8 Affinché questa sia definita su tutto il piano doiamo porre C = : pertanto α (r =. Inoltre, la soluzione di (6 con n così come di (7 è α n (r =, n, e β n (r =. Andiamo ora a cercare la soluzione per α (r + r α (r r α (r = r (9 α (a = La soluzione dell omogenea associata è della forma Ar +Br. Richiedendo nuovamente che tale funzione sia regolare nell origine, risulta essere B =. Andando inoltre a cercare una soluzione particolare nella classe dei polinomi, troviamo α (r = r.

3 Pertanto la soluzione generale dell equazione nel sistema (9 sarà del tipo α (r = Ar + r. Imponendo la condizione α (a = ricaviamo A = a /, e quindi α (r = r (r a. In conclusione, la soluzione u del prolema di Laplace proposto è u(r, ϕ = r (r a cos ϕ, ovvero, in coordinate euclidee, u(x, y = ( x y a (x y. Tale funzione è graficata nella figura seguente, per a =. Esercizio.5.. Si trovi una funzione armonica u(r, ϕ sul dominio C a, = (r, ϕ : a < r < } che soddisfi le seguenti condizioni al contorno: u(a, ϕ =, u r (, ϕ = cos ϕ. ( 3

4 Soluzione. Data la simmetria del dominio, cerchiamo soluzioni della forma (3 su cui andremo ad imporre le condizioni al contorno (. La prima condizione al ordo implica α (a = e α n (a = β n (a = per n =,,... Riscriviamo cos ϕ = + cos ϕ. Usando l espressione per u r calcolata in precedenza e la seconda condizione in ( otteniamo α ( =, α ( = e α n( = per n,. Calcolando u rr e u ϕϕ e sostituendo in (, avendo cura di utilizzare l espressione del laplaciano in coordinate polari (, otteniamo i seguenti sistemi (infiniti di equazioni ordinarie del secondo ordine: α (r + r α (r =, α (a =, ( α ( =, La soluzione di ( è data da α n(r + r α n(r n r α n(r =, α n (a =, α n( se n =, = altrimenti, β n(r + r β n(r n r β n(r =, β n (a =, β n( =. + log r a. (Si noti che stavolta questa soluzione è ammissiile, perché la corona circolare C a, non contiene l origine. La soluzione di (3 è identicamente nulla per ogni n, e così anche quella di (, tranne che per n = dove doiamo risolvere α (r + r α (r n r α (r =, α (a =, α ( =. ( (3

5 La soluzione generale di un equazione di questo tipo e della forma α (r = Ar + Br. Imponendo le condizioni al contorno troviamo i seguenti valori per le costanti A e B: A= 3, (a + B= a 3, (a + e dunque la seguente espressione della soluzione: α (r = 3 a 3 r r. (a + (a + Non ci resta che andare a sostituire le funzioni trovate nella (3, da cui troviamo la soluzione per il prolema di Laplace (: r 3 a 3 cos ϕ. ( r r u(r, ϕ = + log + a (a + (a + La seguente figura illustra il grafico di tale funzione, dove si e posto a = e = Esercizio.5.. Si trovi una funzione armonica u(x, y nel rettangolo Ra, = (x, y : x a, y } che soddisfi le seguenti condizioni al contorno: u(, y = Ay( y, u(a, y =, u(x, = B sin 5 πx, a u(x, =. (5

6 Soluzione. È sufficiente trovare due funzioni u e u che soddisfino i seguenti prolemi di Dirichlet: e u = per (x, y R a,, u (, y = Ay( y, u (a, y =, u (x, =, u (x, =, u = per (x, y R a,, u (, y =, u (a, y =, u (x, = B sin x, u a (x, =. Infatti, per la linearità del prolema di Laplace la funzione u = u + u risolverà il prolema di Dirichlet di cui si richiede di trovare la soluzione. Cerchiamo la funzione u nella forma u (x, y = X (xy (y seguendo il suggerimento dato nel testo. Si ha da cui ricaviamo u (x, y = X (xy (y + X (xy (y = X (x X (x = Y (y Y (y = λ dove λ è una costante (infatti il primo rapporto dipende solo da x mentre il secondo dipende solo da y. Imponendo anche le condizioni al contorno, otteniamo che la funzione Y risolve Y (y = λy (y per y, Y ( = = Y (, da cui deduciamo che deve essere λ = λ n = n e Y (y = C n sin Invece, la soluzione dell equazione ny, n N. sarà della forma X (x = λ n X (x per x a X (x = D n exp nx + D n exp ( π nx. Imponendo la condizione al contorno X (a = ricaviamo = D n exp ( na + D n exp ( π D na n ( π = D n = exp na D n 6

7 e quindi X (x = D n (exp nx exp ( π n(x a. Aiamo ottenuto quindi una famiglia di soluzioni, parametrizzata da n N. Per linearità, la somma di due qualsiasi di queste soluzioni è ancora una soluzione del prolema di Laplace: di conseguenza, la forma generale della funzione u sarà u (x, y = A n (exp nx exp ( π n(x a sin ny. I coefficienti A n = C n D n si possono ora ricavare imponendo l ultima condizione al contorno, ovvero ( π Ay( y = u (, y = A n ( exp na sin ny. A tale scopo, ricaviamo i coefficienti di Fourier della funzione f(y = Ay( y estesa per disparità all intervallo (, ; vogliamo infatti espandere tale funzione in una serie di seni -periodici. Si ha [ f(y sin ny dy + = Ay( y sin ny dy = [ = A y= y( y cos πn ny = A π n ( f( y sin ny y= [ y= ( y sin ny + y= ( y cos ] dy = ] sin ny dy = ( = A π y= π 3 n cos 3 ny = A y= π 3 n 3 (( n = se n è pari, = 8A se n è dispari. π 3 n 3 Concludiamo che se n è pari, A n = 8A π 3 n 3 exp ( π na se n è dispari, e quindi u (x, y = ] ny dy = ( 8A exp π (n x exp ( π (n (x a π 3 (n 3 (n a exp ( π sin (n y. 7

8 Per trovare la funzione u, procediamo alla stessa maniera. Imponiamo dunque la forma u (x, y = X (xy (y. Ricaviamo nuovamente X (x X (x = Y (y Y (y = µ con µ costante. Imponendo anche le condizioni al contorno, otteniamo che la funzione X risolve X (x = µx (x per x a, X ( = = X (a, da cui deduciamo che deve essere µ = µ n = a n e X (x = E n sin a nx, n N. Ragionando come in precedenza, ricaviamo inoltre che la soluzione del prolema Y (y = µ n Y (x per y, Y ( = è della forma Y (y = F n (exp a ny exp ( π a n(y. La forma generale della funzione u sarà dunque u (x, y = ( B n sin a nx exp a ny exp ( π a n(y. I coefficienti B n = E n F n si possono ora ricavare imponendo l ultima condizione al contorno, ovvero B sin a x = u (x, = ( π B n ( exp a n sin a nx. Otteniamo immediatamente che se n, B n = B exp ( π a se n =. In conclusione ( exp π u (x, y = B sin a x y exp ( π (y a a exp ( π a. 8

9 La figura seguente raffigura la soluzione u(x, t = u (x, t + u (x, t per i valori dei parametri A = 3, B =, a = 5, =. Per motivi computazionali, solo i primi termini della serie che definisce u sono stati calcolati