Alcune primitive. Francesco Leonetti (1) 5 giugno 2009
|
|
- Virginio Montanari
- 6 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Alcune primitive Francesco Leonetti ) 5 giugno 009 Introduzione La risoluzione di alcune equazioni differenziali ci ha mostrato come sia importante la capacità di trovare le primitive di funzioni assegnate. Consideriamo bx) per x I 0, 3).) e cerchiamo una sua primitiva. A tal fine ci chiediamo se esistono A R e B R tali che A x + B x 3 per ogni x I 0, 3)..) Per rispondere al quesito trasformiamo la somma a secondo membro in un unica frazione: A x + B x 3 Ax 3) + Bx Ax 3A + Bx A + B)x 3A..3) Adesso imponiamo che la frazione al secondo membro della.3) uguagli la frazione al primo membro della.): otteniamo il sistema { 0 A + B.4) 3A ) Dipartimento di Matematica Pura ed Applicata, Università di L Aquila, 6700 L Aquila, Italy.
2 F. Leonetti La seconda equazione ci dà A /3; sostituiamo il valore trovato nella prima ed abbiamo B /3. Quindi 3 x + 3 x 3 3 x ) x 3 3 x + )..5) 3 x Poichè x > 0 per x I, si ha Inoltre 3 x > 0 per x I, quindi Dunque Allora x x))..6) 3 x 3 x))..7) x + 3 x x)) + 3 x)) x) 3 x)) )) x.8) 3 x Quindi )) x 3 3 x P x) 3 x 3 x Il caso generale 3 x + ) )) x 3 x 3 3 x )) x 3.9) 3 x Sia α 0, + ); consideriamo la funzione bx) ) è una primitiva di bx) xx 3) per ogni x I 0, 3).0) in I 0, 3). per x I 0, α)..)
3 Alcune primitive 3 e cerchiamo una sua primitiva. A tal fine ci chiediamo se esistono A R e B R tali che A x + B x α per ogni x I 0, α)..) Per rispondere al quesito trasformiamo la somma a secondo membro in un unica frazione: A x + B x α Ax α) + Bx Ax αa + Bx A + B)x αa..3) Adesso imponiamo che la frazione al secondo membro della.3) uguagli la frazione al primo membro della.): otteniamo il sistema { 0 A + B αa.4) La seconda equazione ci dà A /α; sostituiamo il valore trovato nella prima ed abbiamo B /α. Quindi α x + α x α α Poichè x > 0 per x I, si ha Inoltre α x > 0 per x I, quindi Dunque x ) x α α x + )..5) α x x x))..6) α x α x))..7) x + α x x)) + α x)) x) α x)) )) x.8) α x
4 4 F. Leonetti Allora α x + ) )) x α x α α x )) x α.9) α x Quindi )) x α α x per ogni x I 0, α).0) P x) ) x α α x è una primitiva di bx) xx α) 3 Un altra situazione in I 0, α). Consideriamo ora un altra situazione. Calcoliamo la derivata di e x senx): Ora calcoliamo la derivata di e x cosx): e x senx)) e x senx) + e x cosx). 3.) e x cosx)) e x cosx) e x senx). 3.) Sommando membro a membro le due uguaglianze il termine e x senx) viene eliminato: e x senx)) + e x cosx)) e x cosx) 3.3) quindi e x senx) + e x cosx)) e x cosx) 3.4) ) e x senx) + e x cosx) e x cosx) 3.5) allora la funzione P x) e x senx) + e x cosx))/ è una primitiva di bx) e x cosx) nell intervallo, + ). Se sottraiamo membro a membro le due uguaglianze contenute nelle 3.) e 3.) il termine e x cosx) sparisce ed abbiamo e x senx)) e x cosx)) e x senx) 3.6)
5 Alcune primitive 5 quindi e x senx) e x cosx)) e x senx) 3.7) ) e x senx) e x cosx) e x senx) 3.8) allora la funzione P x) e x senx) e x cosx))/ è una primitiva di bx) e x senx) nell intervallo, + ). Usiamo la stessa tecnica per le primitive di e x cosx) e e x senx): calcoliamo la derivata del prodotto e x senx) ) e x senx) + e x cosx) 3.9) poi dell altro e x cosx) ) e x cosx) e x senx). 3.0) Adesso sommiamo membro a membro le due uguaglianze ottenute: il termine e x cosx) scompare ed abbiamo e x senx) ) + e x cosx) ) e x senx) 3.) quindi e x senx) + e x cosx) ) e x senx) 3.) ) e x senx) + e x cosx) e x senx) 3.3) allora la funzione P x) e x senx) + e x cosx))/ ) è una primitiva di bx) e x senx) nell intervallo, + ). Adesso sottraiamo membro a membro le uguaglianze contenute nelle 3.9) e 3.0): il termine e x senx) scompare ed abbiamo e x senx) ) e x cosx) ) e x cosx) 3.4) quindi e x senx) e x cosx) ) e x cosx) 3.5) ) e x senx) e x cosx) e x cosx) 3.6) allora la funzione P x) e x senx) e x cosx))/ è una primitiva di bx) e x cosx) nell intervallo, + ).
6 6 F. Leonetti 4 Applicazioni Consideriamo l equazione differenziale y x) yx) + senx) x, + ). 4.) Essa è lineare non omogenea con coefficiente ax) e termine noto bx) senx). Una primitiva di ax) è Ax) x. Una primitiva di e Ax) bx) e x senx) è Qx) e x senx) e x cosx))/. Allora tutte le soluzioni della 4.) sono date da [ ] e yx) e Ax) [Qx) + c] e x x senx) e x cosx) + c senx) cosx) + ce x 4.) al variare della costante c in R. Consideriamo quest altra equazione differenziale: y x) yx) + cosx) x, + ). 4.3) Essa è lineare non omogenea con coefficiente ax) e termine noto bx) cosx). Una primitiva di ax) è Ax) x. Una primitiva di e Ax) bx) e x cosx) è Qx) e x senx) e x cosx))/. Allora tutte le soluzioni della 4.3) sono date da [ ] e yx) e Ax) [Qx) + c] e x x senx) e x cosx) + c senx) cosx) + ce x 4.4) al variare della costante c in R. Consideriamo quest altra equazione differenziale: y x) yx) 3 y x). 4.5) Essa è a variabili separabili. Guardiamo quando si annulla il secondo membro: per yx) 0 e per yx) 3. Allora la funzione costante yx) 0 è una soluzione dell equazione differenziale 4.5) e la funzione costante yx) 3 è un altra soluzione. Supponiamo che yx) /3)y x) 0 e dividiamo ambo i membri della 4.5) per yx) /3)y x); otteniamo yx) 3 y x) y x). 4.6)
7 Alcune primitive 7 Cerchiamo una primitiva della funzione /y /3)y ); facciamoci aiutare dalla formula.0): per prima cosa trasformiamo la nostra funzione così y 3 y y 3 y) 3 y3 y) 3 yy 3) 3) yy 3) ; 4.7) adesso usiamo la.0) con α 3 ed abbiamo )) y 3) 3) yy 3) 3 3) )) y 3 y 3 3 y )) y 4.8) 3 y quindi Allora )) yx) 3 yx) Inoltre )) y y. 4.9) 3 y 3 y yx) 3 y x) y x). 4.0) x). 4.) L equazione differenziale 4.6) e le due formule 4.0), 4.) danno luogo alla catena di uguaglianze )) yx) 3 yx) yx) 3 y x) y x) x) 4.) quindi )) yx) x) 4.3) 3 yx) ) yx) x + c. 4.4) 3 yx) Adesso ricaviamo yx): la funzione inversa del logaritmo è l esponenziale; applichiamo tale esponenziale ad ambo i membri della 4.4): l uguaglianza 4.4) ci dà e 3 yx)) e x+c 4.5)
8 8 F. Leonetti Visto che l esponenziale è l inversa del logaritmo, abbiamo e z) z, quindi Moltiplichiamo ambo i membri per 3 yx): Portiamo a sinistra tutti i termini contenenti yx): Ora dividiamo per + e x+c ) ed otteniamo yx) 3 yx) ex+c. 4.6) yx) 3 yx))e x+c. 4.7) + e x+c )yx) 3e x+c. 4.8) yx) 3ex+c. 4.9) + ex+c Facciamo la verifica: calcoliamo la derivata della funzione yx) appena trovata y x) 3ex+c + e x+c ) 3e x+c e x+c + e x+c ) 3e x+c + e x+c ). 4.0) Adesso calcoliamo yx) 3 y x) quando yx) è data dalla 4.9): yx) 3 y x) Dunque y x) 3e x+c + e ) 3e x+c 3ex+c ) 3e x+c x+c 3 + e x+c + e x+c 3 + e ) x+c 3e x+c + e x+c e x+c 3e x+c + e x+c + e x+c + e x+c ). 4.) 3e x+c + e x+c ) yx) 3 y x), x R; 4.) quindi la formula 4.9) ci fornisce infinite soluzioni della 4.5), una per ogni scelta della costante c.
Risolvere i problemi di Cauchy o trovare l integrale generale delle seguenti equazioni differenziali del II ordine lineari a coefficienti costanti:
Risolvere i problemi di Cauchy o trovare l integrale generale delle seguenti equazioni differenziali del II ordine lineari a coefficienti costanti: 1. y 5y + 6y = 0 y(0) = 0 y (0) = 1 2. y 6y + 9y = 0
DettagliSistemi lineari. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara
Sistemi lineari Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utenti.unife.it/lorenzo.pareschi/ lorenzo.pareschi@unife.it Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara)
Dettagliy 3y + 2y = 1 + x x 2.
Università degli Studi della Basilicata Corsi di Laurea in Chimica / Scienze Geologiche Matematica II A. A. 03-04 (dott.ssa Vita Leonessa) Esercizi svolti: Equazioni differenziali ordinarie. Risolvere
Dettagli7. Equazioni differenziali
18 Sezione 7. Equazioni differenziali 7. Equazioni differenziali [versione: 25/5/2012] Richiamo delle nozioni fondamentali In un equazione differenziale l incognita da determinare è una funzione (e non
DettagliEquazioni differenziali Corso di Laurea in Scienze Biologiche Istituzioni di Matematiche A.A. 2007-2008. Dott.ssa G. Bellomonte
Equazioni differenziali Corso di Laurea in Scienze Biologiche Istituzioni di Matematiche A.A. 2007-2008 Dott.ssa G. Bellomonte Indice 1 Introduzione 2 2 Equazioni differenziali lineari del primo ordine
Dettaglix 2 + (x+4) 2 = 20 Alle equazioni di secondo grado si possono applicare i PRINCIPI di EQUIVALENZA utilizzati per le EQUAZIONI di PRIMO GRADO.
EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Un'equazione del tipo x 2 + (x+4) 2 = 20 è un'equazione DI SECONDO GRADO IN UNA INCOGNITA. Alle equazioni di secondo grado si possono applicare i PRINCIPI di EQUIVALENZA utilizzati
DettagliEquazioni di primo grado
Equazioni di primo grado 15 15.1 Identità ed equazioni Analizziamo le seguenti proposizioni: a ) cinque è uguale alla differenza tra sette e due ; b ) la somma di quattro e due è uguale a otto ; c ) il
DettagliEsercitazione 6 - Soluzione
Anno Accademico 28-29 Corso di Algebra Lineare e Calcolo Numerico per Ingegneria Meccanica Esercitazione 6 - Soluzione Immagine, nucleo. Teorema di Rouché-Capelli. Esercizio Sia L : R 3 R 3 l applicazione
DettagliPrecorso di Matematica
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE FACOLTA DI ARCHITETTURA Precorso di Matematica Anna Scaramuzza Anno Accademico 2005-2006 4-10 Ottobre 2005 INDICE 1. ALGEBRA................................. 3 1.1 Equazioni
DettagliAnno 2. Risoluzione di sistemi di primo grado in due incognite
Anno Risoluzione di sistemi di primo grado in due incognite Introduzione In questa lezione impareremo alcuni metodi per risolvere un sistema di due equazioni in due incognite. Al termine di questa lezione
Dettagli3x + x 5x = x = = 4 + 3x ; che equivale, moltiplicando entrambi i membri per 2, a risolvere. 4x + 6 x = 4 + 3x.
1 Soluzioni esercizi 1.1 Equazioni di 1 e grado Risolvere le seguenti equazioni di 1 grado: 1) 3x 5x = 1 x. Abbiamo: 3x + x 5x = 1 + x = 1 + 4 x = 5. ) x + 3 x = + 3x. Facciamo il m.c.m. : 4x + 6 x = 4
DettagliPrima prova in itinere di Analisi Matematica 2 Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano. A.A. 2017/2018. Prof. M. Bramanti.
Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 07/08. Prof. M. Bramanti Tema n 4 5 6 Tot. Cognome e nome (in stampatello) codice persona (o n
DettagliEsercizi svolti sugli integrali
Esercizio. Calcolare il seguente integrale indefinito x dx. Soluzione. Poniamo da cui x = t derivando rispetto a t abbiamo t = x x = t dx dt = quindi ( t x dx = ) poiché t = t, abbiamo t dt = = in definitiva:
DettagliAppunti di matematica per le Scienze Sociali Parte 1
Appunti di matematica per le Scienze Sociali Parte 1 1 Equazioni 1.1 Definizioni preliminari 1.1.1 Monomi Si definisce monomio ogni prodotto indicato di fattori qualsiasi, cioè uguali o diseguali, numerici
DettagliEquazioni differenziali
4 Equazioni differenziali Determinare le primitive di una funzione f(x) significa risolvere y (x) = f(x) dove l incognita è la funzione y(x). Questa equazione è un semplice esempio di equazione differenziale.
DettagliMatematica II. Risolvere o integrare una e.d. significa trovarne tutte le soluzione, che costituiscono il cosidetto integrale generale.
Definizione Si dice equazione differenziale di ordine n nella funzione incognita y = y (x) una relazione fra y, le sue derivate y,..., y (n), e la variabila indipendente x Risolvere o integrare una e.d.
DettagliLE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Definizione: un equazione è di secondo grado se, dopo aver applicato i principi di equivalenza, si può scrivere nella forma, detta normale: ax + bx + c 0!!!!!con!a 0 Le lettere
DettagliEsercitazioni di Matematica
Università degli Studi di Udine Anno Accademico 009/00 Facoltà di Agraria Corsi di Laurea in VIT e STAL Esercitazioni di Matematica novembre 009 Trovare le soluzioni della seguente disequazione: x + +
DettagliEquazioni di primo grado ad un incognita
Equazioni di primo grado ad un incognita Identità Si dice IDENTITÀ un uguaglianza fra due espressioni letterali che è verificata per ogni valore attribuito alle lettere. 2 = 2 è un identità =3 2 3=2 3
DettagliCorrezione secondo compitino, testo B
Correzione secondo compitino, testo B 7 aprile 2010 1 Parte 1 Esercizio 1.1. Tra le funzioni del vostro bestiario, le funzioni che più hanno un comportamento simile a quello cercato sono le funzioni esponenziali
DettagliEquazioni frazionarie e letterali
Equazioni frazionarie e letterali 17 17.1 Equazioni di grado superiore al primo riducibili al primo grado Nel capitolo 15 abbiamo affrontato le equazioni di primo grado. Adesso consideriamo le equazioni
DettagliEQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti. y = xy. y(2) = 1.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti 1. Determinare la soluzione dell equazione differenziale (x 2 + 1)y + y 2 =. y + x tan y = 2. Risolvere il problema di Cauchy y() = 1 2 π. 3. Risolvere il problema
DettagliESERCIZI SULLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI
ESERCIZI SULLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI a cura di Michele Scaglia ESERCIZI SULLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DEL PRIMO OR- DINE A VARIABILI SEPARABILI TRATTI DA TEMI D ESAME 3) [TE /0/00] Determinare
DettagliAnno Scolastico 2014/15 - Classe 1D Verifica di matematica dell 11 Maggio Soluzioni degli esercizi. 2(x 2) 2(x 1) + 2 = 3x
Anno Scolastico 2014/15 - Classe 1D Verifica di matematica dell 11 Maggio 2015 - Soluzioni degli esercizi Risolvere le seguenti equazioni. Dove è necessario, scrivere le condizioni di accettabilità e usarle
DettagliIstituzioni di Matematiche, Integrali fratti. corso di laurea in Scienze geologiche. Mauro Costantini
Istituzioni di Matematiche, Integrali fratti corso di laurea in Scienze geologiche. Mauro Costantini tipo: Il nostro obiettivo è studiare gli integrali (indefiniti e definiti delle funzioni razionali,
Dettagliy 5z = 7 y +8z = 10 +3z = 3
Sistemi lineari Sistemi lineari in tre incognite; esempi tipici Tre equazioni incognite x, y, z Consideriamo il seguente sistema di tre equazioni lineari nelle tre x 2y +6z = 11 x +3y 11z = 18 2x 5y +20z
DettagliEquazioni differenziali
Capitolo 1 Equazioni differenziali Esercizio 1.1 Dopo averne discussa esistenza ed unicità, si risolva il seguente Problema di Cauchy, { ty (t)+y(t) = 0 y(1) = 2. Si dica inoltre su quale intervallo I
DettagliAlgebra Lineare (Matematica C.I.), 12.11.13. Sistemi di equazioni lineari. 1. Un equazione lineare in una incognita reale x e un equazione del tipo
Algebra Lineare (Matematica C.I.), 12.11.13 Sistemi di equazioni lineari 1. Un equazione lineare in una incognita reale x e un equazione del tipo ax = b, dove a e b sono numeri reali dati; a e il coefficiente
DettagliLEZIONI DI ANALISI MATEMATICA I. Equazioni Differenziali Ordinarie. Sergio Lancelotti
LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA I Equazioni Differenziali Ordinarie Sergio Lancelotti Anno Accademico 2006-2007 2 Equazioni differenziali ordinarie 1 Equazioni differenziali ordinarie di ordine n.................
DettagliEquazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti costanti Un equazioni differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti è del tipo
9 Lezione Equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti costanti Def. (C) Un equazioni differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti è del tipo u + au + bu = f(t), dove a e b sono
DettagliMATEMATICA EQUAZIONI FRATTE, DI SECONDO GRADO O SUPERIORE GSCATULLO
MATEMATICA EQUAZIONI FRATTE, DI SECONDO GRADO O SUPERIORE GSCATULLO Equazioni fratte, di secondo grado o superiore Le equazioni di secondo grado Un equazione è di secondo grado se si può scrivere nella
DettagliIngegneria civile - ambientale - edile
Ingegneria civile - ambientale - edile Analisi - Prove scritte dal 7 Prova scritta del 9 giugno 7 Esercizio Determinare i numeri complessi z che risolvono l equazione Esercizio (i) Posto a n = n i z z
DettagliEquazioni di secondo grado
Equazioni di secondo grado Un equazione di secondo grado può sempre essere ridotta nella forma: a + bx + c 0 forma normale con a 0. Le lettere a, b, c sono rappresentano i coefficienti. Solo b e c possono
DettagliAnno 3. Equazioni esponenziali e logaritmiche
Anno 3 Equazioni esponenziali e logaritmiche 1 Introduzione Lo scopo delle pagine che seguono è quello di passare in rassegna le strategie risolutive per le equazioni esponenziali e logaritmiche. Al termine
DettagliSistemi di equazioni
Sistemi di equazioni 19 191 Equazione lineare in due incognite Definizione 191 Una equazione di primo grado (in n incognite) si chiama equazione lineare Problema 191 Determinare due numeri naturali la
DettagliIntegrali indefiniti fondamentali. Integrali indefiniti riconducibili a quelli immediati. a dx ax c. log. e dx e c. cos xdx senx c.
Integrali indefiniti fondamentali Integrali indefiniti riconducibili a quelli immediati d f ( c d f ( c a d a c n n d c con n - n a a d log k e d e k k e c a c e d e c d log c send cos c cos d sen c senhd
DettagliMATEMATICA LA CIRCONFERENZA GSCATULLO
MATEMATICA LA CIRCONFERENZA GSCATULLO La Circonferenza La circonferenza e la sua equazione Introduzione e definizione La circonferenza è una conica, ovvero quella figura ottenuta tagliando un cono con
DettagliEsempi di soluzione di equazioni differenziali mediante serie di potenze
Esempi di soluzione di equazioni differenziali mediante serie di potenze Cerchiamo una soluzione dell equazione differenziale nella forma 3y () + y () + y() 0 + y() σ n con σ,. Una serie di potenze generalizzata
DettagliEquazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti
Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti 0.1 Introduzione Una equazione differenziale del secondo ordine è una relazione del tipo F (t, y(t), y (t), y (t)) = 0 (1) Definizione
DettagliSCHEDA OBIETTIVI MINIMI. Materia:MATEMATICA
Pag. 1 di 5 SCHEDA OBIETTIVI MINIMI Materia:MATEMATICA Classi QUARTA A e QUARTA B Spec.: LICEO DELLE SCIENZE APPLICATE a.s: 2016 / 2017 4 3 2 1 Presidente di dipartimento 0 DOC DS Maria Grazia Gillone
DettagliProdotto scalare e ortogonalità
Prodotto scalare e ortogonalità 12 Novembre 1 Il prodotto scalare 1.1 Definizione Possiamo estendere la definizione di prodotto scalare, già data per i vettori del piano, ai vettori dello spazio. Siano
DettagliAnno 2. Sistemi di equazioni di secondo grado
Anno 2 Sistemi di equazioni di secondo grado 1 Introduzione In questa lezione verrà data una definizione di sistema di equazioni di secondo grado, verrà illustrata la loro risoluzione e le applicazioni.
DettagliESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E COMPLEMENTI DI GEOMETRIA
ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E COMPLEMENTI DI GEOMETRIA Foglio Esempio. Determinare le soluzioni del sistema lineare Ax = B, in cui 4 A = 6 6, B = Sol. Consideriamo la matrice aumentata C = 4 6 6 6 5 e
DettagliEQUAZIONI DIFFERENZIALI / ESERCIZI SVOLTI
ANALISI MATEMATICA I - A.A. 011/01 EQUAZIONI DIFFERENZIALI / ESERCIZI SVOLTI L asterisco contrassegna gli esercizi più difficili. Determinare l integrale generale dell equazione differenziale y = e x y
DettagliSoluzioni. 152 Roberto Tauraso - Analisi Risolvere il problema di Cauchy. { y (x) + 2y(x) = 3e 2x y(0) = 1
5 Roberto Tauraso - Analisi Soluzioni. Risolvere il problema di Cauchy y (x) + y(x) = 3e x y() = R. Troviamo la soluzione generale in I = R. Una primitiva di a(x) = è A(x) = a(x) dx = dx = x e il fattore
DettagliESERCIZI SULLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI
ESERCIZI SULLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI 1. Generalità 1.1. Verifica delle soluzioni. Verificare se le funzioni date sono soluzioni delle equazioni differenziali. xy = 2y, y = 5x 2. y = x 2 + y 2, y = 1
Dettagliax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0.
. Rette in R ; circonferenze. In questo paragrafo studiamo le rette e le circonferenze in R. Ci sono due modi per descrivere una retta in R : mediante una equazione cartesiana oppure mediante una equazione
DettagliAPPLICAZIONI LINEARI
APPLICAZIONI LINEARI Esercizi Esercizio Date le seguenti applicazioni lineari f : R 2 R 3 definita da fx y = x 2y x + y x + y; 2 g : R 3 R 2 definita da gx y z = x + y x y; 3 h : Rx] 2 R 2 definita da
Dettagli1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x.
Funzioni derivabili Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: a)2x 5 b) x 3 x 4 c) x + 1 d)x sin x. 2) Scrivere l equazione della retta tangente
DettagliTipologia delle funzioni studiate: 1. y= ax n + bx n y= e x 3. y= (ax + b)/ (cx + d) 4. y= (ax 2 + b) (cx + d)
- ricerca dei punti di flesso - ricerca dell asintoto orizzontale - ricerca dell asintoto verticale - ricerca dell asintoto obliquo - ricerca dei punti di intersezione con gli assi Tipologia delle funzioni
DettagliINTRODUZIONE ALL ANALISI MATEMATICA
INTRODUZIONE ALL ANALISI MATEMATICA Intervalli e intorni Funzioni in R e classificazione Proprietà delle funzioni: pari e dispari monotone periodiche Intervallo Un intervallo di estremi a e b è un insieme
DettagliEsercizi 2016/17 - Analisi I - Ing. Edile Architettura Esponenziali e logaritmi
Esercizi 06/7 - Analisi I - Ing. Edile Architettura Esponenziali e logaritmi Esercizio. Risolvere la seguente equazione: Soluzione. ) x+ ) x 7 x = 0 7 L equazione è definita per ogni x 0, valore in cui
DettagliCORSO ZERO DI MATEMATICA
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÀ DI ARCHITETTURA CORSO ZERO DI MATEMATICA EQUAZIONI E DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO Dr. Erasmo Modica erasmo@galois.it EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Definizione: Dicesi
DettagliALGEBRA E GEOMETRIA Esercizi Corso di Laurea in Chimica - anno acc. 2015/2016 docente: Elena Polastri,
ALGEBRA E GEOMETRIA Esercizi Corso di Laurea in Chimica - anno acc. 05/06 docente: Elena Polastri, plslne@unife.it Esercizi 3: SPAZI VETTORIALI e MATRICI Combinazioni lineari di vettori.. Scrivere il vettore
DettagliDisequazioni. 3 Liceo Scientifico 3 Liceo Scientifico sez. Scienze Applicate A.S. 2016/2017 Prof. Andrea Pugliese
Disequazioni 3 Liceo Scientifico 3 Liceo Scientifico sez. Scienze Applicate A.S. 2016/2017 Prof. Andrea Pugliese Definizione ed esempi Date due espressioni algebriche A e B contenenti numeri e lettere
DettagliA.A CORSO DI ALGEBRA 1. PROFF. P. PIAZZA, E. SPINELLI. SOLUZIONE ESERCIZI FOGLIO 5.
A.A. 2015-2016. CORSO DI ALGEBRA 1. PROFF. P. PIAZZA, E. SPINELLI. SOLUZIONE ESERCIZI FOGLIO 5. Esercizio 5.1. Determinare le ultime tre cifre di n = 13 1625. (Suggerimento. Sfruttare il Teorema di Eulero-Fermat)
DettagliSistemi di equazioni differenziali
Capitolo 5 Sistemi di equazioni differenziali Molti problemi sono governati non da una singola equazione differenziale, ma da un sistema di più equazioni. Ad esempio questo succede se si vuole descrivere
DettagliESAME DI MATEMATICA I parte Vicenza, 05/06/2017. x log 2 x?
A. Peretti Svolgimento dei temi d esame di Matematica A.A. 6/7 ESAME DI MATEMATICA I parte Vicenza, 5/6/7 log? Domanda. Per quali valori di è definita l espressione L espressione è definita se l argomento
Dettagli3. (Da Medicina 2006) Quale delle seguenti equazioni rappresenta una funzione y = f(x) tale che f(2) = -1 e f(-1) = 5?
QUESITI 1 FUNZIONI 1. (Da Medicina e Odontoiatria 201) Data la funzione f ( x ) = x 6, quale delle seguenti risposte rappresenta la sua funzione inversa? 1 x a) f ( x ) = + 6 1 x b) f ( x ) = 2 1 x c)
DettagliMATEMATICA PRIMO COMPITINO SOLUZIONE DI ALCUNI ESERCIZI PRIMA PARTE. Esercizio 1. (Testo B) Determina, motivando la risposta, se la funzione f : R R
ANNO ACCADEMICO 25 6 SCIENZE GEOLOGICHE E SCIENZE NATURALI E AMBIENTALI MATEMATICA PRIMO COMPITINO SOLUZIONE DI ALCUNI ESERCIZI PROFF MARCO ABATE E MARGHERITA LELLI-CHIESA PRIMA PARTE Esercizio (Testo
DettagliTrasformazioni Logaritmiche
Trasformazioni Logaritmiche Una funzione y = f(x) può essere rappresentata in scala logaritmica ponendo Si noti che y = f(x) diventa ossia Quando mi conviene? X = log α x, Y = log α y. log α (x) = log
DettagliCalcolo differenziale per funzioni in più variabili.
Calcolo differenziale per funzioni in più variabili. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Università degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica 14 dicembre 2014 Paola Mannucci e Alvise Sommariva Calcolo
DettagliSISTEMI LINEARI A COEFFICIENTE COSTANTE
SISTEMI LINEARI A COEFFICIENTE COSTANTE Per studiare la velocità, la precisione e la stabilità di un sistema bisogna individuare il modello matematico del sistema Abbiamo visto che un sistema di controllo
DettagliLe equazioni di primo grado
Le equazioni di primo grado Definiamo prima di tutto cosa è una identità. Definizione : un identità è un uguaglianza, dove compaiono espressioni letterali, verificata per qualunque valore attribuito alle
DettagliMatematica e Statistica
Matematica e Statistica Prova d esame (0/0/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/3 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (0/0/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie
DettagliTeorema delle Funzioni Implicite
Teorema delle Funzioni Implicite Sia F una funzione di due variabili definita in un opportuno dominio D di R 2. Consideriamo l equazione F (x, y) = 0, questa avrà come soluzioni coppie di valori (x, y)
DettagliEquazioni differenziali
Equazioni differenziali Samuele MONGODI - 14/08/01 Un equazione differenziale è un equazione che coinvolge una funzione reale u : R R, le sue derivate e la variabile indipendente (u = u(t)). Esempi 1.
Dettagli+2 3 = = =3 + =3 + =8 =15. Sistemi lineari. nelle stesse due incognite. + = + = = = Esempi + =5. Il sistema è determinato
Sistemi di equazioni SISTEMI LINEARI Un sistema di equazioni è un insieme di equazioni per le quali si cercano eventuali soluzioni comuni. +=7 =1 Ognuna delle due equazioni ha infinite soluzioni. La coppia
DettagliSISTEMI LINEARI. x y + 2t = 0 2x + y + z t = 0 x z t = 0 ; S 3 : ; S 5x 2y z = 1 4x 7y = 3
SISTEMI LINEARI. Esercizi Esercizio. Verificare se (,, ) è soluzione del sistema x y + z = x + y z = 3. Trovare poi tutte le soluzioni del sistema. Esercizio. Scrivere un sistema lineare di 3 equazioni
DettagliSoluzioni degli esercizi
Equazioni differenziali Soluzioni degli esercizi Premessa: in tutti gli esercizi x denota la variabile indipendente, y la funzione (di x) incognita dell equazione differenziale. Un equazione differenziale
DettagliEQUAZIONI DI PRIMO GRADO
Cognome... Nome... Equazioni di primo grado EQUAZIONI DI PRIMO GRADO Un'equazione di primo grado e un'uguaglianza tra due espressioni algebriche di primo grado, vera solo per alcuni valori che si attribuiscono
DettagliEquazioni differenziali. f(x, u, u,...,u (n) )=0,
Lezione Equazioni differenziali Un equazione differenziale è una relazione del tipo f(x, u, u,...,u (n) )=, che tiene conto del valori di una funzione (incognita) u e delle sue derivate fino ad un certo
DettagliORDINAMENTO 2007 SESSIONE STRAORDINARIA - QUESITI QUESITO 1
www.matefilia.it ORDINAMENTO 2007 SESSIONE STRAORDINARIA - QUESITI QUESITO 1 Si determini il campo di esistenza della funzione y = (x 2 3x) 1 x 4. Ricordiamo che il campo di esistenza di una funzione del
DettagliLEZIONE 12. v = α 1 v α n v n =
LEZIONE 12 12.1. Combinazioni lineari. Definizione 12.1.1. Sia V uno spazio vettoriale su k = R, C e v 1,..., v n V vettori fissati. Un vettore v V si dice combinazione lineare di v 1,..., v n se esistono
Dettaglinota 1. Aritmetica sui numeri interi.
nota 1. Aritmetica sui numeri interi. Numeri interi. Numeri primi. L algoritmo di Euclide per il calcolo del mcd. Equazioni diofantee di primo grado. Congruenze. Il Teorema Cinese del Resto. 1 0. Numeri
Dettaglila vasca si riempie e, per tali valori di k il tempo necessario affinché la vasca si riempia.
Esercizio In una vasca della capacità di 0 dm 3 e che inizialmente contiene 00 lt. di acqua, una pompa immette k lt. (k > 0) di acqua al minuto. Da un foro sul fondo l acqua esce con portata proporzionale
DettagliSISTEMI LINEARI, METODO DI GAUSS
SISTEMI LINEARI, METODO DI GAUSS Abbiamo visto che un sistema di m equazioni lineari in n incognite si può rappresentare in forma matriciale come A x = b dove: A è la matrice di tipo (m, n) dei coefficienti
Dettaglia) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre gli zeri di f e studiarne il segno.
1 ESERCIZI CON SOLUZIONE DETTAGLIATA Esercizio 1. Si consideri la funzione f(x) = e x 3e x +. a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre
DettagliArgomento 14 Esercizi: suggerimenti
Argomento 4 Esercizi: suggerimenti Ex.. Equazione differenziale lineare del primo ordine, cioè del tipo: y + a(x) y = f(x) il cui integrale generale è dato dalla formula: ] y(x, C) = e [C A(x) + f(x)e
DettagliSistemi di 1 grado in due incognite
Sistemi di 1 grado in due incognite Problema In un cortile ci sono polli e conigli: in totale le teste sono 7 e zampe 18. Quanti polli e quanti conigli ci sono nel cortile? Soluzione Indichiamo con e con
DettagliSistemi differenziali 2 2: esercizi svolti. 1 Sistemi lineari Stabilità nei sistemi lineari
Sistemi differenziali : esercizi svolti 1 Sistemi lineari Stabilità nei sistemi lineari 14 1 Sistemi differenziali : esercizi svolti 1 Sistemi lineari Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano
DettagliPer equazione lineare nelle incognite x, y intendo un equazione del tipo. ax = b,
Matematica II 161110 1 Equazioni lineari in una incognita Per equazione lineare nell incognita x intendo un equazione del tipo ax = b dove a b sono due costanti reali a e il coefficiente e b e il termine
DettagliSvolgimento. f y (x, y) = 8 y 2 x. 1 x 2 y = 0. y 2 x = 0. (si poteva anche ricavare la x dalla seconda equazione e sostituire nella prima)
Università degli Studi della Basilicata Corsi di Laurea in Chimica / Scienze Geologiche Matematica II A. A. 2013-2014 (dott.ssa Vita Leonessa) Esercizi svolti: Ricerca di massimi e minimi di funzioni a
DettagliA Analisi Matematica 1 (Corso di Laurea in Informatica e Bioinformatica) Simulazione compito d esame
COGNOME NOME Matr. A Analisi Matematica (Corso di Laurea in Informatica e Bioinformatica) Firma dello studente Tempo: 3 ore. Prima parte: test a risposta multipla. Una ed una sola delle 4 affermazioni
DettagliUniversita degli Studi di Ancona - Facolta di Ingegneria Laurea in Ing. Elettronica (VO) Ing. Informatica e Automatica - Ing. delle Telecomunicazioni
Universita degli Studi di Ancona - Facolta di Ingegneria Laurea in Ing. Elettronica (VO) Ing. Informatica e Automatica - Ing. delle Telecomunicazioni ANALISI NUMERICA - Primo Parziale - TEMA A (Prof. A.M.Perdon)
DettagliFunzioni reali di variabile reale
Funzioni reali di variabile reale Equazioni e disequazioni. In questa parte ricordiamo per completezza le prime nozioni e i primi principi sulle equazioni e disequazioni: sono le stesse nozioni e principi
DettagliAlgebra Lineare e Geometria. Il teorema fondamentale dell algebra. 1 Non c è un ordine totale sull insieme dei complessi
Università di Bergamo Anno accademico 2008 2009 Primo anno di Ingegneria Algebra Lineare e Geometria Il teorema fondamentale dell algebra 1 Non c è un ordine totale sull insieme dei complessi Vogliamo
DettagliAnalisi Vettoriale A.A Soluzioni del foglio 5. y = y 2, dy y 2 = x
Analisi Vettoriale A.A. 2006-2007 - Soluzioni del foglio 5 5. Esercizio Assegnato il problema di Cauchy y = y 2, y(0) = k determinare per ogni k la soluzione y(x), determinare il suo insieme di esistenza,
Dettaglia) Il denominatore dev essere diverso da zero. Studiamo il trinomio x 2 5x + 6. Si ha: x 1,2 = 5 ± se x ], 2[ ]3, + [;
ESERCIZIO - Data la funzione f (x) + x2 2x x 2 5x + 6, si chiede di: a) calcolare il dominio di f ; (2 punti) b) studiare la positività e le intersezioni con gli assi; (3 punti) c) stabilire se f ha asintoti
DettagliCalcolo integrale. Regole di integrazione
Calcolo integrale Linearità dell integrale Integrazione per parti Integrazione per sostituzione Integrazione di funzioni razionali 2 2006 Politecnico di Torino Proprietà Siano e funzioni integrabili su
DettagliSUI SISTEMI LINEARI. 1. Richiami.Il metodo di Gauss. Un equazione nelle incognite. si dice lineare o di primo grado se si può ridurre. R.
SUI SISTEMI LINEARI. Richiami.Il metodo di Gauss Un equaione nelle incognite..., n si dice lineare o di primo grado se si può ridurre alla forma: a a... an n b con a, a... an, b R. I numeri a, a... an
DettagliAnalisi Matematica 1+2
Università degli Studi di Genova Facoltà di Ingegneria - Polo di Savona via Cadorna 7-700 Savona Tel. +39 09 264555 - Fax +39 09 264558 Ingegneria Gestionale Analisi Matematica +2 A.A 998/99 - Prove parziali
DettagliCorso di Analisi Matematica. Polinomi e serie di Taylor
a.a. 2011/12 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Polinomi e serie di Taylor Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli
DettagliSoluzioni della prova di Matematica Maturità 2015
Soluzioni della prova di Matematica Maturità 015 Lara Charawi 1, Alberto Cogliati e Luca Magri 1 Dipartimento di Matematica, Università degli Studi di Pavia Dipartimento di Matematica, Università degli
DettagliCONTENUTI. Ci proponiamo un ripasso di argomenti sicuramente svolti nelle scuole superiori e quindi noti a tutti. I grado II grado
CONTENUTI Ci proponiamo un ripasso di argomenti sicuramente svolti nelle scuole superiori e quindi noti a tutti EQUAZIONI I grado II grado intere fratte intere fratte EQUAZIONI ALGEBRICHE generalità Dicesi
DettagliA m n B n p = P m p. 0 1 a b c d. a b. 0 a 0 c Il risultato e lo stesso solo nel caso in cui c = 0 e a = d.
Matematica II, 220404 Il prodotto di matrici e un operazione parziale che prende in entrata una matrice A ed una matrice B, tali che il numero delle colonne di A sia uguale al numero delle righe di B,
Dettagli3x 2 = 6. 3x 2 x 3 = 6
Facoltà di Scienze Statistiche, Algebra Lineare 1 A, GParmeggiani LEZIONE 7 Sistemi lineari Scrittura matriciale di un sistema lineare Def 1 Un sistema di m equazioni ed n incognite x 1, x 2, x n, si dice
DettagliAnno 2. Sistemi di grado superiore al primo in tre incognite
Anno 2 Sistemi di grado superiore al primo in tre incognite 1 Introduzione In questa lezione verranno illustrati i metodi principali per la risoluzione di sistemi di grado superiore al primo in tre incognite.
DettagliIst. di Fisica Matematica mod. A Quarta esercitazione
Ist. di Fisica Matematica mod. A Quarta esercitazione Francesca Arici (farici@sissa.it Domenico Monaco (dmonaco@sissa.it 3 Novemre La numerazione seguita per gli Esercizi è quella delle note del corso.
DettagliRisoluzione di sistemi lineari
Risoluzione di sistemi lineari Teorema (Rouché-Capelli) Dato il sistema di m equazioni in n incognite Ax = b, con A M at(m, n) b R n x R n [A b] si ha che: matrice dei coefficienti, vettore dei termini
Dettagli