Soluzioni degli esercizi

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1 Equazioni differenziali Soluzioni degli esercizi Premessa: in tutti gli esercizi x denota la variabile indipendente, y la funzione (di x) incognita dell equazione differenziale. Un equazione differenziale è detta lineare del primo ordine se si può ricondurre alla forma y 0 (x) +a (x) y (x) =f (x) cona (x) ef (x) continue in uno stesso intervallo della retta reale; omogenea se f (x) = 0; a coefficienti costanti se a (x) è una funzione costante; del secondo ordine se si può ricondurre alla forma y 00 (x)+a (x) y 0 (x)+b (x) y (x) =f (x) con a (x), b (x), e f (x) continue in uno stesso intervallo della retta reale; omogenea se f (x) =0; a coefficienti costanti se a (x) e b (x) sono funzioni costanti; ecc. Sol. Ex.. y 0 =5y x: equazione differenziale lineare del primo ordine non omogenea a coefficienti. y 00 + x = y: equazionedifferenziale lineare del secondo ordine non omogenea a coefficienti. yy 0 = x: equazionedifferenziale del primo ordine a variabili separabili.. y 00 +(x sin x) y 0 = y: equazione differenziale lineare del secondo ordine omogenea a coefficienti non 5. y 00 +y 0 y = y : equazione differenziale non lineare (y compare al quadrato!) del secondo ordine. 6. y xy 0 = x y:equazionedifferenziale lineare del terzo ordine omogenea acoefficienti non Sol. Ex.. yy 0 = x R ydy = R xdx y = x + c con c R y = x + c oppure y = x + c con c R. Ecco le curve integrali corrispondenti ad alcune condizioni iniziali y (0) = y = x +9 y () = y = x y () = y = x +

2 . y 0 = y x èequazionedifferenziale lineare del I ordine non omogenea: y 0 x y = x. (a) Soluzioni dell omogenea associata (y 0 x y =0): y (x) =kx con k R. (b) Soluzione particolare (metodo di variazione delle costanti): y (x) = x x = (c) Integrale generale: y (x) = + kx con k R.. y 0 = x y è equazione differenziale del I ordine a variabili separabili. (a) Soluzioni particolari da isolare prima di separare le variabili: y (x) = 0. (b) R dy y = R x dx y = x + c con c R (c) Integrale generale: y (x) = con c R. x +c. y 0 = y ln x èequazionedifferenziale lineare del I ordine omogenea non a coefficienti costanti: y 0 (ln x) y = 0. Integrale generale: y (x) =ke x ln x x,cioè y (x) =k x x,conk R. e 5. y 0 =5y xèequazione differenziale lineare del I ordine non omogenea a coefficienti costanti: y 0 5y = x. (a) Soluzioni dell omogenea associata (y 0 5y =0): y (x) =ke 5x con k R. (b) Soluzione particolare (metodo di variazione delle costanti): y (x) =e R 5x xe 5x dx = 5 x + 5 (c) Integrale generale: y (x) = 5 x ke5x con k R. 6. y 0 = y x + x è equazione differenziale lineare del I ordine non omogenea, non a coefficienti costanti: y 0 x y = x. (a) Soluzioni dell omogenea associata (y 0 x y =0): y (x) =kx con k R. (b) Soluzione particolare (metodo di variazione delle costanti): y (x) =x (c) Integrale generale: y (x) =x + kx con k R. 7. y 0 +y = e x èequazionedifferenziale lineare del I ordine non omogenea, a coefficienti (a) Soluzioni dell omogenea associata (y 0 + y =0): y (x) =ke x con k R. µ (b) Soluzione particolare (metodo di variazione delle costanti): y (x) = ex e x = ex. (c) Integrale generale: y (x) = ex + ke x con k R.

3 8. y 00 5y 0 6y =0è equazione differenziale lineare del II ordine omogenea, a coefficienti (a) Soluzioni dell equazione caratteristica (r 5r 6=0): r =6,r =. (b) Ci sono soluzioni particolari indipendenti : y (x) =e 6x, y (x) =e x. (c) Integrale generale: y (x) =c e 6x + c e x con c, c variabili 9. y 00 +y 0 +y =0è equazione differenziale lineare del II ordine omogenea, a coefficienti (a) Soluzioni dell equazione caratteristica (r +r +=0): r = i, r = +i. (b) Ci sono soluzioni particolari indipendenti reali: y (x) =e x cos x, y (x) = e x sin x. (c) Integrale generale: y (x) =e x c cos x + c sin x con c, c variabili 0. 9y 00 +6y 0 + y =0è equazione differenziale lineare del II ordine omogenea, a coefficienti (a) Soluzione dell equazione caratteristica (9r +6r +=0): r =. (b) Ci sono soluzioni particolari indipendenti : y (x) =e x, y (x) =xe x. (c) Integrale generale: y (x) =e x (c + c x)conc, c variabili. y 00 + y 0 y = x èequazionedifferenziale lineare del II ordine non omogenea, a coefficienti (a) Equazione omogenea associata: y 00 + y 0 y =0. (b) Soluzioni dell equazione caratteristica (r + r =0): r =, r =. (c) Integrale generale dell omogenea associata: y (x) =c e x + c e x con c, c variabili (d) Soluzione particolare (polinomio di I grado in x, essendo il coeff. di y diversoda0): y (x) = x. (e) Integrale generale: y (x) = x + c e x + c e x con c, c variabili. y 00 y 0 6y = e x è equazione differenziale lineare del II ordine non omogenea, a coefficienti (a) Equazione omogenea associata: y 00 y 0 6y =0. (b) Soluzioni dell equazione caratteristica (r r 6=0): r =, r =. (c) Integrale generale dell omogenea associata: y (x) =c e x + c e x con c, c variabili (d) Soluzione particolare: y (x) = x 5 e x (poichéilcoefficiente dell esponente del termine noto dell eq. diff. è soluzione dell equazione caratteristica, ma ( ) + ( ) 6= 0). (e) Integrale generale: y (x) = x 5 e x + c e x + c e x con c, c variabili

4 . y 00 +y 0 = xe x è equazione differenziale lineare del II ordine non omogenea, a coefficienti (a) Posto y 0 = z e y 00 = z 0 : ci si riconduce all equazione differenziale lineare del I ordine z 0 +z = xe x. (b) Equazione omogenea associata: z 0 +z =0. (c) Soluzioni dell equazione omogenea associata: z = ke x con k R. (d) Soluzione particolare (metodo di variazione delle costanti): z (x) = e R x xe x dx = xex 9 ex. (e) Integrale generale dell equazione differenziale del I ordine z (x) =ke x + xex 9 ex con k R. (f) Integrale generale dell equazione assegnata: y (x) = R ke x + xex ex dx = 9 k e x + (x ) ex 9 ex + c = x e x + c e x + c con c = k, c variabili. y 00 +y 0 +y = e x sin x è equazione differenziale lineare del II ordine non omogenea, a coefficienti (a) Equazione omogenea associata: y 00 +y 0 +y =0. (b) Soluzioni dell equazione caratteristica (r +r +=0): r = +i, r = i. (c) Integrale generale dell omogenea associata: y (x) =e x (c cos x + c sin x)conc, c variabili (d) Soluzione particolare: y (x) = 8 ex (sin x cos x) (vedi punto (f)). (e) Integrale generale: y (x) = 8 ex (sin x cos x)+e x (c cos x + c sin x) conc, c variabili (f) Per ricavare l integrale particolare ci sono vie: i. Vedere se esiste una soluzione della forma y (x) =e x (k cos x + k sin x). Allora y 0 (x) =e x [(k + k )cosx +(k k )sinx] e y 00 (x) =e x (k cos x k sin x). Da qui, sostituendo nell equazione e semplificando e x, si ha (k +k )cosx = ½(k + k )sinx. Quest uguaglianza deve essere vera per ogni x e quindi risulta k +k =0 k +k = cioè k = k =. 8 ii. Osservare che sin x = eix e ix e quindi trovare una soluzione particolare y + di i y 00 +y 0 +y = e (+i)x e una soluzione particolare y di y 00 +y 0 +y = e ( i)x e porre poi y (x) = (y +) (y ).Siha i y + = c (x) e (+i)x, y+ 0 =(c 0 +(+i) c) e (+i)x, y+ 00 = c 00 +(+i) c 0 +(+i) c e (+i)x, da cui c 00 +(+i) c 0 +(+i) c = : si può scegliere c (x) =,equindi (+i) y + = i 8 e(+i)x. Similmente y = c (x) e ( i)x, y 0 =(c 0 +( i) c) e (+i)x, y+ 00 = c 00 +( i) c 0 +( i) c e (+i)x, da cui c 00 +( i) c 0 +( i) c =: sipuò scegliere c (x) =,equindi ( i) y = +i 8 e( i)x.neconsegueche y (x)= i 6i e(+i)x +i 6i e( i)x = 6i e (+i)x e ( i)x 6 e (+i)x +e ( i)x = 8 ex (sin x cos x).

5 5. y 00 +y = x è equazione differenziale lineare del II ordine non omogenea, a coefficienti (a) Equazione omogenea associata: y 00 +y =0. (b) Soluzioni dell equazione caratteristica (r +=0): r = i, r =i. (c) Integrale generale dell omogenea associata: y (x) =c cos x + c sin x con c, c variabili (d) Soluzione particolare (polinomio di II grado in x, essendo il coeff. diy diverso da 0): y (x) = x. 8 (e) Integrale generale: y (x) = x + c 8 cos x + c sin x con c, c variabili 6. y 00 y = x + e x è equazione differenziale lineare del II ordine non omogenea, a coefficienti (a) Equazione omogenea associata: y 00 y =0. (b) Soluzioni dell equazione caratteristica (r =0): r =, r =. (c) Integrale generale dell omogenea associata: y (x) =c e x + c e x con c, c variabili (d) Soluzione particolare (vedi punto (f)): y (x) = x + xex. (e) Integrale generale: y (x) = x + xex + c e x + c e x con c, c variabili (f) Se z (x) è una soluzione particolare di y 00 y = x e w (x) è una soluzione particolare di y 00 y = e x si ha z 00 z +w 00 w = x + e x,cioè(z + w) 00 (z + w) = x + e x, vale a dire z (x) +w (x) è una soluzione particolare di y 00 y = x + e x. Risulta z (x) = x. Inoltre se w (x) =c (x) ex si ha w 0 (x) =[c 0 (x)+c(x)] e x e w 00 (x) =[c 00 (x)+c 0 (x)+c(x)] e x e sostituendo: [c 00 (x)+c 0 (x)] e x = e x. Si può porre c 0 (x) =(cioè c 0 (x) = e c00 (x) = 0): quindi w (x) = xex. Sol. Ex. ½ y. Il problema di Cauchy 0 +0y = ha una e una sola soluzione, poiché l equazione differenziale in esame è lineare del I y (0.) = 0. ordine. (a) Integrale generale dell omogenea associata (y 0 +0y =0): y (x) =ke 0x con k variabile (b) Soluzione particolare: y (x) =e R 0x e 0x dx =. 0 (c) Integrale generale: y (x) = + 0 ke 0x (d) Affinché siay 0 = deve essere + ke 0 0 = cioè ke =. 0 (e) Soluzione del problema di Cauchy: y (x) = e 0x. 5

6 ½ y. Il problema di Cauchy 0 +(cosx) y =xe sin x y (π) =0 differenziale in esame è lineare del I ordine. ha una e una sola soluzione, poichél equazione (a) Integrale generale dell omogenea associata (y 0 +(cosx) y =0): y (x) =ke sin x con k variabile (b) Soluzione particolare: y (x) =e R sin x xe sin x e sin x dx = x e sin x. (c) Integrale generale: y (x) =(x + k) e sin x. (d) Affinché siay (π) = 0 deve essere π + k =0cioè k = π. (e) Soluzione del problema di Cauchy: y (x) =(x π ) e sin x. y 00 +0y 0 +5y =0. Il problema di Cauchy y () = 0 ha una e una sola soluzione, poiché l equazione y 0 () = differenziale in esame è lineare del II ordine (omogenea). (a) Soluzione dell equazione caratteristica (r +0r +5=0): r = 5 (b) Integrale generale : y (x) =c e 5x + c xe 5x con c, c variabili (c) Sua derivata: y 0 (x) =( 5c + c 5c x) e 5x ½ ½ (d) Affinché siay () = 0 e y 0 (c + c () = deve essere ) e 5 =0 ( 5c c ) e 5 = cioè c = c c =e 5. (e) Soluzione del problema di Cauchy: y (x) =e 5 5x (x ).. Il problema di Cauchy y 00 µ + y 0 + y =0 π y =0 y 0 µ π = differenziale in esame è lineare del II ordine (omogenea). ha una e una sola soluzione, poiché l equazione (a) Soluzione dell equazione caratteristica (r + r +=0): r = i, r = + i. Ã! Ã!# x x (b) Integrale generale: y (x) =e "c x/ cos + c sin con c, c variabili "Ã! Ã! Ã! Ã!# (c) Sua derivata: y 0 (x) =e x/ c c x c + c x cos sin (d) Affinchésia µ π y =0 deve essere c =0 µ π y 0 c = e π/ = cioè (e) Soluzione del problema di Cauchy: y (x) = e( π/ Ã! ) (x/) x sin. c =0 c = e π/. 6