I PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA A Ing. [Informatica, Telecomunicazioni](L-Z)

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1 I PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA A Ing. [Informatica, Telecomunicazioni](L-Z) (Alberto PARMEGGIANI) A.A. 1999/2000: 22 Ottobre 1999 (1) COGNOME e NOME (Stampatello): MATRICOLA: N.B. Ogni risposta esatta vale 5 punti, ogni errata -1. Barrare una sola casella. (1). Dette z 1, z 2 le soluzioni in C dell equazione 3z z 2 = z 2 2, calcolare z 1 + z 2 1/4 3/2 3 2i (2). Determinare, se esistono, gli asintoti della funzione f: x suo dominio naturale La funzione non ha asintoto alcuno La retta di equazione x = 1 e non c è asintoto all infinito La retta di equazione x = 1 e y = 0 x2 + 1 x + 1 definita sul (3). Sia f: x f(x) = e 2x sin x. Si determinino α e β in R in modo tale che α = 2/5, β = 1/10 α = 4, β = 5 α = 1/4, β = 5/4 αf (x) + f (x) + βf(x) = 0 x R

2 (4). Dette z 0, z 1, z 2, le soluzioni in C dell equazione ( ) 2 determinare 2 Im(z 0 + z 1 + z 2 ) 9/ ( ) 3 z + i = 8i, 1 i (5). Sia f: x y = 3 e (2x+1)/(x+3) definita sul suo dominio naturale, e sia g: y g(y) la sua inversa. Allora: g non è mai definita g ha un asintoto verticale y = e 2/3 ed uno orizzontale x = 3 a + g è definita per y > 0 e y e 2/3, ed è infinitesima per y + (6). Sia A = { x + 1 ; x (0, 2]}. Si determinino sup A ed inf A. x + 2 sup A = 3/4 e inf A = 1/2 sup A = 3/5 e inf A = 1/2 sup A = 3/5 e inf A = 1/3

3 I PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA A Ing. [Informatica, Telecomunicazioni](L-Z) (Alberto PARMEGGIANI) A.A. 1999/2000: 22 Ottobre 1999 (2) COGNOME e NOME (Stampatello): MATRICOLA: N.B. Ogni risposta esatta vale 5 punti, ogni errata -1. Barrare una sola casella. (1). Dette z 0, z 1, z 2, le soluzioni in C dell equazione determinare 1 2 ( ) 2 Im(z 0 + z 1 + z 2 ) 9/2 9/2 18 ( ) 3 z + i = 8i, 1 + i (2). Sia A = { x + 1 ; x (0, 2]}. Si determinino sup A ed inf A. x + 3 sup A = 3/4 e inf A = 1/2 sup A = 3/5 e inf A = 1/2 sup A = 3/5 e inf A = 1/3 (3). Sia f: x y = 3 e (x+2)/(x+3) definita sul suo dominio naturale, e sia g: y g(y) la sua inversa. Allora: g è definita per y > 0 e y e 1/3, ed è infinita per y + g non è mai definita g ha un asintoto verticale y = e 1/3 ed uno orizzontale x = 3 a +

4 (4). Dette z 1, z 2 le soluzioni in C dell equazione 3z 2z 2 = 2 z 2 1, calcolare z 1 z 2 1/4 3/2 3 2i (5). Sia f: x f(x) = e 2x sin x. Si determinino α e β in R in modo tale che α = 4/5, β = 1/10 α = 4, β = 5 α = 5/4, β = 1/4 f (x) + αf (x) + βf(x) = 0 x R (6). Determinare, se esistono, gli asintoti della funzione f: x suo dominio naturale La retta di equazione x = 1 e non c è asintoto all infinito Le rette di equazioni x = 1 e y = 0 La funzione non ha asintoto alcuno x2 + 4 x + 1 definita sul

5 II PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA A Ing. [Informatica, Telecomunicazioni](L-Z) (Alberto PARMEGGIANI) A.A. 1999/2000: 19 Novembre 1999 (1) COGNOME e NOME (Stampatello): MATRICOLA: N.B. Ogni risposta esatta vale 5 punti, ogni errata -1. Barrare una sola casella. SCRIVERE NOME, COGNOME, NUMERO DI MATRICOLA. (1). Si calcoli il + 2 1/2 e x2 cosh(x 2) x 0 (x sin x) tan x (2). Determinare tutti i λ R per i quali l equazione esattamente 2 soluzioni reali distinte λ R \ {0} Soltanto λ = 0 λ R 2x 4x 2 3 = λ, x ± 3/2 ha (3). Sia α > 0. Determinare tutti gli α per i quali α = e 2 α = 1/e α = e max x [0,+ ) (xe αx ) = + 0 xe αx dx

6 (4). Determinare l ordine di infinito della funzione x x 0 t 2 + t + 1 dt, per x + t + 1 (5). Calcolare 1 + log 3 2 log log x(x 2 + 2) dx (6). Determinare il codominio della funzione [0, + ) [0, π] (0, + ) F (x) = x 0 e t 1 + t 4 dt, x 0 (7). Determinare tutti gli α, β R per i quali la funzione f(x) = x α sin x se 0 < x 1, f(0) = 0, f(x) = x β cos 2 ( 1 x ) se 1 x < 0, risulta continua in [ 1, 1] α 1 e β > 0 α > 2 e β 0 α > 1 e β > 0 (8). Si determinino tutti gli α R per i quali risulta convergente l integrale generalizzato α ( 1/3, 1) α ( 1, 1) α ( 1/3, 1/3) + 3 e 1/x2 1 x 3 27 α dx Alcuni sviluppi utili per y 0 : cosh y = 1 + y2 2! + y4 4! + o(y4 ), sinh y = y + y3 3! + y5 5! + o(y5 ), log(1 + y) = y y2 2 + y3 3 + o(y3 ).

7 II PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA A Ing. [Informatica, Telecomunicazioni](L-Z) (Alberto PARMEGGIANI) A.A. 1999/2000: 19 Novembre 1999 (2) COGNOME e NOME (Stampatello): MATRICOLA: N.B. Ogni risposta esatta vale 5 punti, ogni errata -1. Barrare una sola casella. SCRIVERE NOME, COGNOME, NUMERO DI MATRICOLA. (1). Calcolare 1 + log 3 2 log log 3 2 log (x + 1)x 2 dx (2). Determinare l ordine di infinito della funzione x x 0 t 4 + t t + 1 dt, per x + t (3). Si calcoli il 2 1/2 + sinh(x 2 ) log(1 + x 2 ) x 0 (e x2 1) arctan(x 2 )

8 (4). Sia α > 0. Determinare tutti gli α per i quali 1/e e 2 e max (xe αx ) = x [0,+ ) + 0 xe αx dx (5). Determinare tutti gli α, β R per i quali la funzione f(x) = x α log(1 + x 2 ) se 0 < x 1, f(0) = 0, f(x) = x β sin 2 ( 1 x ) se 1 x < 0, risulta continua in [ 1, 1] α > 1 e β > 0 α > 2 e β > 0 α > 1 e β 0 (6). Determinare tutti gli α R per i quali converge l integrale generalizzato 1 > α > 1/3 α < 1/3 α < log(1 + 1 x 4 ) x 3 8 α dx (7). Determinare tutti i λ R per i quali l equazione 2x2 1 x 2 soluzioni reali distinte λ R λ R \ {0} Soltanto λ = 0 = λ, x 0, ha esattamente (8). Determinare il codominio della funzione [0, 2π] [0, + ) (0, + ) F (x) = x 0 e t 1 + t 2 dt, x 0 Alcuni sviluppi utili per y 0 : cosh y = 1 + y2 2! + y4 4! + o(y4 ), sinh y = y + y3 3! + y5 5! + o(y5 ), log(1 + y) = y y2 2 + y3 3 + o(y3 ).

9 III PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA A Ing. [Informatica, Telecomunicazioni](L-Z) (Alberto PARMEGGIANI) A.A. 1999/2000: 8 Gennaio 2000 (1) COGNOME e NOME (Stampatello): MATRICOLA: N.B. Ogni risposta esatta vale 5 punti, ogni errata -1. Barrare una sola casella. SCRIVERE NOME, COGNOME, NUMERO DI MATRICOLA e CORSO di appartenenza. (1). Sia R x y(x) la soluzione del problema di Cauchy Si calcoli y(x). x + + 2e 1 5e 1 y = 1 + y2, y(1) = 1. 2x 2 y (2). Sia data la funzione f: R R definita da f(x) = x 3 se x 0, f(x) = e x 1 se + ( ) n ( ) n. x > 0. Determinare tutti gli x R per i quali converge la serie sin f(x) n n=1 x R x ( 1, log 2) x [ 1, e 1) (3). Sia α > 0. Determinare tutti gli α > 0 per i quali la funzione f: R 2 R definita da x α + y 2 f(x, y) = ( ) 1/4, (x, y) (0, 0), f(0, 0) = 0, arctan(x 2 + y 2 ) risulta differenziabile nel punto (0, 0). α > 3/4 α 3/2 α > 3/2

10 (4). Sia f: R 2 R la funzione definita da f(x, y) = x 3 + 2yx + y 2. Allora: La funzione non ha punti critici La funzione ha due punti critici, dei quali uno è di minimo locale La funzione ha due punti critici, nessuno dei quali è di massimo o di minimo locale (5). Sia R t y(t) la soluzione del problema di Cauchy Determinare tutti gli α, β R per i quali y 3y + 2y = e 3t, y(0) = 1, y (0) = 3. t + (β 0 e α = 3) oppure (α > 3 e β R) (β = 5 e α 0) oppure (β > 5 e α R) (β = 3 e α 0) oppure (β > 3 e α R) y(t) R. t α eβt (6). Sia f n : (0, + ) R, n 1, la successione di funzioni definita da f n (x) = 1 x n α 1 + n 2 x. Si determinino tutti gli α per i quali la serie + f 2 n converge totalmente (cioè converge + n=1 sup x (0,+ ) α > 0 α > 1 α > 2 f n (x) ). n=1 E utile ricordare il seguente metodo per simpatia: data l equazione differenziale p( d dt )y = y +ay +by = e µt f d (t), dove f d (t) è un polinomio di grado d, si cerca una soluzione particolare y p (t) della forma y p (t) = t m e µt g d (t), dove g d (t) è un polinomio di grado d da determinarsi, ed m è scelto essere la molteplicità di µ se p(µ) = µ 2 + aµ + b = 0, mentre m = 0 se p(µ) 0.

11 III PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA A Ing. [Informatica, Telecomunicazioni](L-Z) (Alberto PARMEGGIANI) A.A. 1999/2000: 8 Gennaio 2000 (2) COGNOME e NOME (Stampatello): MATRICOLA: N.B. Ogni risposta esatta vale 5 punti, ogni errata -1. Barrare una sola casella. SCRIVERE NOME, COGNOME, NUMERO DI MATRICOLA e CORSO di appartenenza. (1). Sia R t y(t) la soluzione del problema di Cauchy Determinare tutti gli α, β R per i quali y 3y + 2y = e 5t, y(0) = 2, y (0) = 3. t + (β 0 e α = 5) oppure (α > 5 e β R) (β = 3 e α 0) oppure (β > 3 e α R) (β = 5 e α 0) oppure (β > 5 e α R) y(t) R. t α eβt (2). Sia f: R 2 R la funzione definita da f(x, y) = x 2 + 2x 2 y y. Allora: La funzione ha due punti critici, nessuno dei quali è di massimo o di minimo locale La funzione ha due punti critici, dei quali uno è di massimo locale La funzione non ha punti critici (3). Sia data la funzione f: R R definita da f(x) = x 5 se x 0, f(x) = log(1 + x) se + ( ) n ( ) n. x > 0. Determinare tutti gli x R per i quali converge la serie arctan f(x) n n=1 x ( 1, e 1) x [ 1, log 2) x R

12 (4). Sia f n : (0, + ) R, n 1, la successione di funzioni definita da f n (x) = 1 x n 2α 1 + nx. Si determinino tutti gli α per i quali la serie + f 2 n converge totalmente (cioè converge + sup n=1 x (0,+ ) α > 1/4 α > 1 α > 0 f n (x) ). n=1 (5). Sia α > 0. Determinare tutti gli α > 0 per i quali la funzione f: R 2 R definita da x 2 + y 2α f(x, y) = ( ( )) 1/4, (x, y) (0, 0), f(0, 0) = 0, log 1 + (x 2 + y 2 ) risulta differenziabile nel punto (0, 0). α > 3/2 α 3 α > 3/4 (6). Sia R x y(x) la soluzione del problema di Cauchy Si calcoli y(x). x + 2e 1 5e 1 + y = 1 + y2 2y, y(1) = 2. x E utile ricordare il seguente metodo per simpatia: data l equazione differenziale p( d dt )y = y +ay +by = e µt f d (t), dove f d (t) è un polinomio di grado d, si cerca una soluzione particolare y p (t) della forma y p (t) = t m e µt g d (t), dove g d (t) è un polinomio di grado d da determinarsi, ed m è scelto essere la molteplicità di µ se p(µ) = µ 2 + aµ + b = 0, mentre m = 0 se p(µ) 0.

13 IV PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA A Ing. [Informatica, Telecomunicazioni](L-Z) (Alberto PARMEGGIANI) A.A. 1999/2000: 10 Febbraio 2000 (1) COGNOME e NOME (Stampatello): MATRICOLA: N.B. Ogni risposta esatta vale 5 punti, ogni errata -1. Barrare una sola casella. SCRIVERE NOME, COGNOME, NUMERO DI MATRICOLA e CORSO di appartenenza. (1). Sia data la curva ϕ: [0, 1] R 3, ϕ(t) = (t, t 2, t), e sia dato il campo vettoriale F : R 3 R 3, F (x, y, z) = (x, 1, z 3 ). Si calcoli il lavoro F, d s, dove ψ è la curva ϕ percorsa con verso opposto e d s = ψ(t)dt. 7/4 11/6 1 (2). Sia data la forma differenziale ω(x, y) = 1 2 log(1 + y2 )dx + xy dy. Detto f(x, y) 1 + y2 un potenziale di ω, si consideri la curva equipotenziale determinata da f(x, y) = f(1, 1), pensata come equazione nella incognita y. Esplicitata la y come funzione x y(x) definita sul suo dominio naturale, tale che y(1) = 1, si calcoli y(x). x log 2 log 2 e 1 e 1 (3). Sia α R. Determinare tutti gli α per i quali la funzione f: R 2 R definita da +y 2 1 f(x, y) = ex4, (x, y) (0, 0), f(0, 0) = 0, (x 2 + y 2 ) α risulta sommabile nell insieme {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 1}. α > 1 α < 2 α > 0 ψ

14 (4). Sia A = {(x, y, z) R 3 ; z 0, z 1 (x 2 + y 2 )} e sia f: R 3 R la funzione definita da f(x, y, z) = x + y + 2z. Si determini f(a). [ 2, 9/4] ( 2, ] [ 2, ] (5). Per le coordinate y B, z B del baricentro della curva ϕ: [0, 1] R 3, ϕ(t) = ( 2 3 t3, t, t 2 ), vale (si ricordi che ds = ϕ(t) dt) 7y B = 5z B + 4 y B = 0 7y B = 5z B + 2 (6). Sia A = {(x, y) R 2 ; x 0, x 2 y x}. Si calcoli 39/70 3/10 39/10 A (x + y)dxdy. (7). Sia R > 0. Sia A R = {(x, y, z) R 3 ; 0 z R 2 (x 2 + y 2 )}. Si calcoli il volume µ 3 (A R ) di A R. R 4 π/2 R 3 π/2 R 4 π/8 (8). Sia A R come nell esercizio (7). Si calcoli il 1 (x 2 + y 2 )dxdydz. R + R 2 µ 3 (A R ) A R 4 4/3 1/3

15 IV PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA A Ing. [Informatica, Telecomunicazioni](L-Z) (Alberto PARMEGGIANI) A.A. 1999/2000: 10 Febbraio 2000 (2) COGNOME e NOME (Stampatello): MATRICOLA: N.B. Ogni risposta esatta vale 5 punti, ogni errata -1. Barrare una sola casella. SCRIVERE NOME, COGNOME, NUMERO DI MATRICOLA e CORSO di appartenenza. (1). Sia data la forma differenziale ω(x, y) = 2xy2 1 + x dx + 2y log(1 + 2 x2 )dy. Detto f(x, y) un potenziale di ω, si consideri la curva equipotenziale determinata da f(x, y) = f(1, 1), pensata come equazione nella incognita y. Esplicitata la y come funzione x y(x) definita sul suo dominio naturale, tale che y(1) = 1, si calcoli e 1 e 1 log 2 x e 1 y(x). (2). Sia A = {(x, y, z) R 3 ; x 2 + y 2 1 z, z 2} e sia f: R 3 R la funzione definita da f(x, y, z) = 2x + y + z. Si determini f(a). [ 9/4, ] ( 2, ] [ 2, 9/4] (3). Sia A = {(x, y) R 2 ; x 0, x 3 y x}. Si calcoli 39/70 39/10 3/10 A (x + 2y)dxdy.

16 (4). Per la coordinata x B del baricentro della curva ϕ: [0, 1] R 3, ϕ(t) = ( 2 3 t3, t, t 2 ), vale (si ricordi che ds = ϕ(t) dt) x B = 0 x B = 7/30 x B = 11/25 (5). Sia α R. Determinare tutti gli α per i quali la funzione f: R 2 \ {(0, 0)} R definita da ( ) 1 arctan x f(x, y) = 4 + y 2 + 4(x 2 + y 2 ) 2, (x 2 + y 2 ) α risulta sommabile nell insieme {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 1}. α > 0 α > 1 α < 2 (6). Sia R > 0. Sia A R = {(x, y, z) R 3 ; 3(x 2 + y 2 ) z R 2 (x 2 + y 2 )}. Si calcoli il volume µ 3 (A R ) di A R. R 4 π/2 R 3 π/2 R 4 π/8 (7). Sia A R come nell esercizio (6). Si calcoli il 15 (x2 + y R + Rµ 3 (A R ) 2 )dxdydz. A R 1/3 4 4/3 (8). Sia data la curva ϕ: [0, 1] R 3, ϕ(t) = (t 3, t, t 2 ), e sia dato il campo vettoriale F : R 3 R 3, F (x, y, z) = (x, y 2, 1). Si calcoli il lavoro F, d s, dove ψ è la curva ϕ percorsa con verso opposto e d s = ψ(t)dt. 7/4 1 11/6 ψ

17 I PROVA SCRITTA DI RECUPERO ANALISI MATEMATICA A Ing. [Informatica, Telecomunicazioni](L-Z) (Alberto PARMEGGIANI) A.A. 1999/2000: 19 Aprile 2000 COGNOME e NOME (Stampatello): MATRICOLA: N.B. Ogni risposta esatta vale 2 punti, ogni errata -1/2. Barrare una sola casella. SCRIVERE NOME, COGNOME, NUMERO DI MATRICOLA e CORSO di appartenenza. Ammissione con punteggio 7. Durata della prova: 3 ore. ORALE ore 13. (1). Dette z 1, z 2 le soluzioni in C dell equazione ( ) 1 determinare Re 2 (z 2 z 1 ) /2 ( ) 2 z + 2i = 4i, 2 + 3i (2). Si calcoli il 4 0 2/3 (sinh x) 2 (sin x) 2 x 0 e x4 1 (3). Sia R x y(x) la soluzione del problema di Cauchy Si calcoli il x + y(x) 2 + y(x). e x4 /4 2e 1/4 5e 1/4 5e 1/5 y = (1 + y)y (1 + 2y) x3, y(1) = 1.

18 (4). Sia A = {(x, y, z) R 3 ; x 2 + y 2 1 z, z 1} e sia f: R 3 R la funzione definita da f(x, y, z) = x + 2y + z 1. Si determini f(a). [ (2 + 10), 10] ( 21/4, 10] [ 13/4, 10] (5). Per la coordinata x B del baricentro della curva ϕ: [1, 2] R 2, ϕ(t) = (log t, log t), vale (si ricordi che ds = ϕ(t) dt) x B = 0 x B = log 2 x B = (arctan 2 + π/4)/2 (6). Si determinino tutti gli α R per i quali converge α > 1 α 2/3 α > 2/3 (7). Sia α < 1. Sia I(α) = π π/2 π/9 x 2 +y n=100 sin( 1 n ) 1 n α n 3. 1 dxdy. Si calcoli il (1 α)i(α). (1 x 2 y 2 ) α α 1 (8). Sia R t y(t) la soluzione del problema di Cauchy y(t) Si calcoli il t + e. 3t + 1/2 1 y 4y + 3y = e 2t, y(0) = 1, y (0) = 2. E utile ricordare il seguente metodo per simpatia: data l equazione differenziale p( d dt )y = y +ay +by = e µt f d (t), dove f d (t) è un polinomio di grado d, si cerca una soluzione particolare y p (t) della forma y p (t) = t m e µt g d (t), dove g d (t) è un polinomio di grado d da determinarsi, ed m è scelto essere la molteplicità di µ se p(µ) = µ 2 + aµ + b = 0, mentre m = 0 se p(µ) 0.

19 II PROVA SCRITTA DI RECUPERO ANALISI MATEMATICA A Ing. [Informatica, Telecomunicazioni](L-Z) (Alberto PARMEGGIANI) A.A. 1999/2000: 17 Luglio 2000 COGNOME e NOME (Stampatello): MATRICOLA: N.B. Ogni risposta esatta vale 2 punti, ogni errata -1/2. Barrare una sola casella. SCRIVERE NOME, COGNOME, NUMERO DI MATRICOLA e CORSO di appartenenza. Ammissione con punteggio 7. Durata della prova: 3 ore. ORALE ore 12:30. (1). Si calcoli il 2 1/3 log(cos x) log(e x x) x 0 x sinh(x) (2). Sia A = {(x, y, z) R 3 ; x 2 + y 2 1 z, z 1} e sia f: R 3 R la funzione definita da f(x, y, z) = x + 2y + z 3. Si determini f(a). [ 21/4, 10 2] ( (2 + 10), 10] [ 13/4, 10] (3). Si determinino tutti gli α R per i quali converge α 1 α 2/3 α > 2/3 + n=100 e 1/n2 1 α. n 3 + 1

20 (4). Per la coordinata x B del baricentro della curva ϕ: [1, 2] R 2, ϕ(t) = (arctan t, arctan t), vale (si ricordi che ds = ϕ(t) dt) x B = 0 x B = (arctan 2 + π/4)/2 x B = log 2/2 (5). Sia R x y(x) la soluzione del problema di Cauchy Si calcoli il x + y(x) 2 + y(x). e x5 /5 2e 1/4 2e 1/5 5e 1/5 (6). Sia α > 1. Sia I(α) = 0 π/9 π/2 y = x 2 +y 2 4 (1 + y)y (1 + 2y) x4, y(1) = 1. 1 dxdy. Si calcoli il (α 1)I(α). (x 2 + y 2 1) α α 3 (7). Sia R t y(t) la soluzione del problema di Cauchy y(t) Si calcoli il t + e. 3t + 1/2 1 y 4y + 3y = e 2t, y(0) = 1, y (0) = 1. (8). Dette z 1, z 2 le soluzioni in C dell equazione ( ) 1 determinare Im 3 (z 2 z 1 ) /2 96 ( ) 2 z + 2i = 9i, 2 + 3i E utile ricordare il seguente metodo per simpatia: data l equazione differenziale p( d dt )y = y +ay +by = e µt f d (t), dove f d (t) è un polinomio di grado d, si cerca una soluzione particolare y p (t) della forma y p (t) = t m e µt g d (t), dove g d (t) è un polinomio di grado d da determinarsi, ed m è scelto essere la molteplicità di µ se p(µ) = µ 2 + aµ + b = 0, mentre m = 0 se p(µ) 0.

21 III PROVA SCRITTA DI RECUPERO ANALISI MATEMATICA A Ing. [Informatica, Telecomunicazioni](L-Z) (Alberto PARMEGGIANI) A.A. 1999/2000: 13 Settembre 2000 COGNOME e NOME (Stampatello): MATRICOLA: N.B. Ogni risposta esatta vale 2 punti, ogni errata -1/2. Barrare una sola casella. SCRIVERE NOME, COGNOME, NUMERO DI MATRICOLA e CORSO di appartenenza. Ammissione con punteggio 7. Durata della prova: 3 ore. ORALE ore 12:30. (1). Si calcoli il + 1/3 1/3 x 0 ( ) sin x x log(1 + e x e 2x ) e x2 1 x 2 (2). Sia A = {(x, y, z) R 3 ; x 8 + y 8 + z 8 = 3} e sia f: R 3 R la funzione definita da f(x, y, z) = 8(x + y + z). Si determini f(a). [ 1, 24] [ 24, 24] [ 8, 8] (3). Si determinino tutti gli α R per i quali converge Per nessun α α > 1 α > 0 + n=1 log ( 1 + e 2/n e 1/n) n α. (4). Sia data la forma differenziale ω(x, y) = (2xy 2 + 1)dx + 2x 2 ydy. Detto f(x, y) un potenziale di ω, si consideri la curva equipotenziale determinata da f(x, y) = f(1, 2), pensata come equazione nella incognita y. Esplicitata la y come funzione x y(x) definita sul suo dominio naturale, tale che y(1) = 2, si calcoli, se esiste, il x 2 y(x). 3/2 3/2 Il ite non esiste

22 (5). Sia R x y(x) la soluzione del problema di Cauchy Si calcoli il x y(x). 7 e 3 2e 3 /(2 e 3 ) 5e 3 y = (1 + y)yx, y(1) = 1. { (6). Sia α 0 e sia A α = (x, y, z) R 3 ; 0 z gli α 0 per i quali z x 2 + y 2 dxdydz < +. A α α 0 α > 1 α > 3/4 } 1. Si determinino tutti (1 + x 2 + y 2 ) α (7). Sia R t y(t) la soluzione del problema di Cauchy y(t) Si calcoli il t + te. 3t y 6y + 9y = e 3t, y(0) = 1, y (0) = 1. (8). Dette z 1, z 2 le soluzioni in C dell equazione determinare (z 1 + z 2 ) /2 8 ( z + i ) 2 2 = 4i, 7 + 8i E utile ricordare il seguente metodo per simpatia: data l equazione differenziale p( d dt )y = y + ay + by = e µt f d (t), dove f d (t) è un polinomio di grado d, si cerca una soluzione particolare y p (t) della forma y p (t) = t m e µt g d (t), dove g d (t) è un polinomio di grado d da determinarsi, ed m è scelto essere la molteplicità di µ se p(µ) = µ 2 + aµ + b = 0, mentre m = 0 se p(µ) 0. E inoltre utile ricordare che per t 0 : sin t = t t 3 /3! + o(t 3 ), log(1 + t) = t + o(t).