Capitolo 5 INTEGRALI DOPPI

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1 Capitolo 5 INTEGRALI DOPPI Ci proponiamo di estendere alle funzioni reali di due variabili la nozione di integrale di Riemann nel caso dei domini normali. Vedremo che, in opportune ipotesi, il calcolo di tali integrali si riconduce al calcolo successivo di due integrali di funzioni di una variabile. Per tale motivo gli integrali delle funzioni di due variabili si chiamano integrali doppi. DOMINI NORMALI Definizione 1 Siano α(x) e β(x) due funzioni reali continue nell intervallo compatto [a,b] e tali che α(x) β (x) x [a,b]. Il sottoinsieme di R 2 D = { (x,y) [a,b] x R : α (x) y β (x) } si chiama dominio normale (rispetto) all asse x definito dalle limitazioni (*) a x b α(x) y β(x) Osservazione 1 Si noti dalla teoria dell integrale di Riemann che un dominio D normale all asse x è un insieme dotato di area (insieme misurabile) e la sua area che denoteremo col simbolo m(d) è espressa dall intergale definito (vedi figura) Osservazione 2 m(d) = β(x)dx α(x)dx = (β(x) α(x))dx Si noti che un dominio D normale all asse x è effettivamente un dominio e cioè la chiusura di un aperto solo quando risulta α(x) < β(x) x [a,b]. Se α(x) = β(x) in un sottoinsieme di [a,b], D non è un dominio. Tuttavia si conviene di utilizzare il termine dominio normale all asse x per l insieme D anche quando D non è un dominio perché ciò non è una differenza nella teoria dell integrale doppio. Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 1 di 16

2 Osservazione 3 Si noti che il dominio D normale rispetto all asse x definito dalle limitazioni (*) gode della seguente proprietà. Ogni retta perpendicolare all asse x e passante per un punto dell intervallo [a,b] intercetta su D un segmento che può anche ridursi ad un punto (segmento degenere). ****************** In maniera del tutto analoga si definiscono i domini normali all asse y: Definizione 2 Siano γ(y) e δ(y) due funzioni reali continue nell intervallo compatto [c, d] e tali che γ(y) δ(y) y [c,d]. Il sottoinsieme di R 2 D = { (x, y) [c, d] x R : γ(y) x δ(y) } si chiama il dominio normale (rispetto) all asse y definito dalle limitazioni: c y d ; γ(y) x δ(y) Osservazione 4 Per i domini normali all asse y valgono, con le ovvie modifiche, le considerazioni fatte nelle osservazioni 1, 2 e 3. Definizione 3 Un dominio normale all asse x (all asse y) si dice un dominio regolare normale all asse x (all asse y) quando la sua frontiera è una curva semplice chiusa regolare a tratti. Osservazione 5 Si noti che D dominio normale all asse x definito dalle limitazioni (*) è dominio regolare normale all asse x se e solo se le funzioni α(x) e β(x) sono di classe C (1) in [a, b]. Analogamente per i domini normali all asse y. Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 2 di 16

3 INTEGRALI DOPPI SU DOMINI NORMALI Premettiamo una definizione Definizione 1 Sia D R 2 un dominio limitato (non necessariamente dominio normale) e D 1, D 2,, D n (n > 1), i domini contenuti in D. Si dice che i domini D 1, D 2, D n costituiscono una partizione o anche una decomposizione di D quando risulta: 1) D 1, D 2,, D n sono due a due domini privi di punti interni comuni. 2) D 1 D 2 D n = D. Una partizione del dominio D negli n domini D 1, D 2, D n si denota col simbolo { D 1, D 2, D n } e i domini D 1, D 2, D n si chiamano gli elementi della partizione. Osservazione 1 Si noti che in se D è un dominio decomponibile in un numero finito di domini misurabili (cioè dotati di area) i quali costituiscono una partizione di D, per la proprietà additiva della misura, risulta che D è a sua volta misurabile e m(d) = m(d 1 ) + m(d 2 ) + + m(d n ) Definizione 2 (di integrale doppio) Sia ƒ(p) = ƒ(x, y) una funzione reale limitata in D in R 2 dominio normale (all asse x, all asse y, oppure anche normale ad entrambi gli assi x, y). Per ogni partizione P = {D 1, D 2,, D n } di D in domini normali porremo: m i = inf ƒ(p); M i = sup ƒ(p) D i e considereremo le due somme integrali D i i {1,2,..n} s(p ) = Σ m i m(d i ) ; S(P ) = Σ M i m(d i ) dove m(d i ) denota la misura o anche l area del dominio normale D i i = 1,2, n. Al variare della partizione P di D in domini normali, tali somme integrali descrivono due insiemi numerici Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 3 di 16

4 A = {s(p )} ; B = {S(P )}. Si dimostra che, analogamente al caso delle funzioni di una variabile, tali insiemi numerici sono separati. Conseguentemente A e B ammettono elementi separatori. Se A e B sono anche contigui l unico elemento separatore si chiama l integrale doppio di ƒ(p) = ƒ(x,y) esteso al dominio D e si denota con uno dei simboli: Osservazione 2 ƒ(p)dxdy ; ƒ(x, y)dxdy. Analogamente al caso delle funzioni di una variabile si dimostra che se ƒ(p) = ƒ(x,y) è continua in D, ƒ(p) = ƒ(x,y) è integrabile in D. L integrale doppio gode di tutte le proprietà dell integrale. In particolare valgono le seguenti proprietà: 1) Proprietà distributiva Se ƒ, g sono funzioni integrabili nel dominio normale D e c 1 e c 2 sono costanti reali, risulta: [c 1 ƒ(x, y) + c 2 g(x, y) ]dxdy = c 1 ƒ(x, y)dxdy + c 2 g(x, y)dxdy 2) Proprietà additiva Se { D 1, D 2,, D n } è una partizione del dominio normale D in domini normali e ƒ(x,y) è una funzione integrabile in D, risulta: ƒ(x, y)dxdy = ƒ(x, y)dxdy + ƒ(x, y)dxdy ƒ(x, y)dxdy SIGNIFICATO GEOMETRICO DELL INTEGRALE DOPPIO Premettiamo che se ƒ(x,y) è una funzione continua in un dominio connesso e limitato D (non necessariamente normale) il sottoinsieme di R 3 : S = { (x, y, z) R 3 : (x, y) D e z = ƒ(x, y) } è, come vedremo, una superficie che si chiama il diagramma della funzione ƒ(x,y). L equazione z = ƒ(x,y) si chiama l equazione cartesiana del diagramma di ƒ(x,y). Definizione Sia ƒ(x, y) una funzione reale di due variabili continua e non negativa in un dominio normale D. L insieme: C = { (x, y, z) R 3 : (x, y) D e 0 z ƒ(x,y) } si chiama cilindroide di base D relativo alla funzione ƒ(x, y). Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 4 di 16

5 Osservazione Il cilindroide C è un insieme compatto di R 3 che ha per frontiera la superficie diagramma z = ƒ(x,y), il dominio normale D e i segmenti paralleli all asse z passanti per i punti della frontiera D del dominio D. Se ƒ(x,y) = h > 0 ( cioè se ƒ è costante) il cilindroide si riduce al cilindro di base D e altezza h. Premesso tutto ciò, si dimostra che il cilindroide C di base D relativo alla funzione ƒ è un solido misurabile ( cioè dotato di volume) e risulta vol. C = ƒ(x,y)dxdy Conseguentemente: se ƒ è continua e non negativa nel dominio normale D l integrale doppio di ƒ esteso a D rappresenta il volume del cilindroide C di base D relativo alla funzione ƒ. FORMULE DI RIDUZIONE DEGLI INTEGRALI DOPPI È fondamentale per le applicazioni il seguente risultato che consente di calcolare un integrale doppio mediante il calcolo successivo di due integrali semplici e cioè integrali di funzioni di una sola variabile. Teorema ( che contiene le formule di riduzione) Sia ƒ(x,y) una funzione reale continua nel dominio normale D. Se il dominio D è definito dalle limitazioni: a x b ; α(x) y β(x) e cioè è un dominio normale all asse x, vale la formula di riduzione (*) ƒ(x,y) dxdy = dx ƒ(x,y) dy se, invece, D e definito dalle limitazioni: c y d ; γ(y) x δ(y) e cioè è un dominio normale all asse y, vale la formula di riduzione (**) ƒ(x,y) dxdy = dy ƒ(x,y) dx Rimandiamo, per motivi di brevità, alla dimostrazione di questo teorema. Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 5 di 16

6 Osservazione 1 Le uguaglianze (*), (**) contenute in questo teorema si chiamano le formule di riduzione degli integrali doppi. Si noti che, se poniamo: g(x) = ƒ(x, y)dy x [a, b] allora il simbolo a secondo membro della formula (*) si interpreta nel seguente modo: dx ƒ(x,y)dy = ( ƒ(x,y)dy )dx = g(x)dx e cioè è un simbolo che compendia due integrazioni successive di funzioni di una sola variabile. La prima integrazione va eseguita rispetto ad y e conduce alla determinazione della funzione g(x), la seconda integrazione rispetto ad x della funzione g(x) conduce poi al calcolo dell integrale doppio. Un analogo ragionamento vale per la formula di riduzione (**). È evidente in conclusione, l utilità pratica delle formule di riduzione. INTEGRALI DOPPI SU DOMINI REGOLARI Premettiamo che, considerato nel piano cartesiano (O, x, y) un dominio limitato D, si dice che D è un dominio regolare quando risulta decomponibile in un numero finito D 1,D 2, D n di domini normali regolari a due a due privi di punti interni in comune. Ad esempio è un dominio regolare la corona circolare D di centro l origine O (0,0) e raggi r 1 e r 2 (vedi figura). Infatti mediante la retta di equazione x = r 1 e x = r 1, D si decompone nei quattro domini normali regolari D 1, D 2, D 3, D 4. Ciò posto, se ƒ(x,y) è una funzione continua nel dominio regolare D e se D è decomponibile nei domini normali regolari D 1, D 2,, D n, a due a due privi di punti interni in comune, si pone per definizione: ƒ(x,y)dxdy = ƒ(x,y)dxdy + ƒ(x,y)dxdy + + ƒ(x,y)dxdy Si dimostra che l integrale doppio a primo membro non dipende dalle partizioni { D 1, D 2,, D n } di D. Osservazione1 (notevole) Dalla definizione precedente si deduce che per calcolare l integrale doppio di una funzione continua in un dominio regolare D è necessario decomporre il dominio D in domini normali D 1, D 2,, D n ; calcolare con una formula di riduzione gli integrali doppi di ƒ estesi ai domini D 1, D 2,..., D n e infine sommare. Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 6 di 16

7 Nella pratica, la necessità di decomporre il dominio D in domini normali si può presentare anche quando, pur essendo D un dominio normale, almeno una delle due curve frontiera non si può esprimere mediante un unica equazione cartesiana. Osservazione2 (notevole) Si noti che se D è il dominio normale all asse x definito dalle limitazioni a x b ; α(x) y β(x) risulta: 1 dxdy = dx 1 dy = [β(x) α(x)] dx = m(d) Analogamente se D è un dominio normale all asse y. È facile a questo punto concludere che ogni dominio regolare D è numerabile (cioè è un insieme dotato di area) e risulta: m(d) = dxdy FORMULE DI GAUSS E CONSEGUENZE Ci proponiamo di dimostrare un teorema molto importante che fornisce delle formule, dette di Gauss, le quali consentono di calcolare un integrale doppio mediante un integrale curvilineo e viceversa. Teorema Se ƒ(x, y) è una funzione di classe C (1) in un dominio regolare D, valgono le seguenti formule di Gauss: dxdy = ƒ dy ; dxdy = ƒ dx ƒ x ƒ y Dimostrazione Premettiamo che, essendo un dominio regolare unione di un numero finito di domini normali, basta dimostrare il teorema per i domini normali. Per ragioni di semplicità ci limitiamo a dimostrare la prima delle formule di Gauss nel caso che D sia un dominio normale rispetto all asse y definito dalle limitazioni : c y d ; γ(y) x δ(y) Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 7 di 16

8 Osserviamo innanzitutto che in tal caso, per la formula di riduzione, risulta: (*) ƒ dxdy = dy ƒ dx = [ƒ(x, y)] dy = [ ƒ(δ(y), y) ƒ(γ(y), y) ]dy x x D altra parte, se indichiamo con +Г 1, +Г 2, +Г 3, +Г 4, gli archi di curva semplici e regolari che compongono la frontiera D del domino D orientati nel verso che lascia alla sinistra i punti interni, risulta (vedi figura): ƒ(x,y)dy = ƒ(x,y)dy + ƒ(x,y)dy + ƒ(x,y)dy + ƒ(x,y)dy Il primo e il terzo degli integrali curvilinei a secondo membro di questa uguaglianza sono nulli perché sui segmenti Г 1, Г 3 l ordinata y è costante. D altra parte Г 2, Г 4 ammettono rispettivamente le rappresentazioni parametriche: x = δ(t) y = t t [c, d] ; x = γ(t) y = t t [c, d] ; per cui, tenuto anche conto dell orientamento di tali curve, si ha: (**) ƒ(x, y)dy = ƒ(δ(t), t)dt ƒ(γ(t), t)dt = [ ƒ(δ(t), t) ƒ(γ(t), t) ]dt Confrontando (**) con (*) si ha la tesi. Una conseguenza immediata di questo teorema è il seguente risultato che lega gli integrali doppi agli integrali curvilinei delle forme differenziali lineari. Teorema di Stokes Sia Xdx + Ydy una forma differenziale lineare di classe C (1) nel dominio regolare D R 2 In tale ipotesi risulta : Xdx + Ydy = (Y x X y )dxdy Dimostrazione Dalle formule di Gauss risulta Y dxdy = Ydy ; X dxdy = Xdx x y sottraendo membro a membro queste uguaglianze e applicando la proprietà distributiva dell integrale, si ha la tesi. Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 8 di 16

9 Siamo ora in grado di dimostrare la condizione sufficiente affinché una forma differenziale lineare di classe C (1) in un aperto A ivi chiusa, sia esatta. Teorema Sia Xdx + Ydy una forma differenziale lineare di classe C (1) in un aperto A semplicemente connesso. Vale la seguente implicazione (Xdx + Ydy chiusa in A) ( Xdx + Ydy esatta in A ) Dimostrazione Sia Г una curva semplice chiusa regolare a tratti contenuta in A e D A il dominio regolare avente per frontiera la curva Г. Per il teorema di Stokes risulta Xdx + Ydy = (Y x X y )dxdy Ne segue, essendo X y = Y x in D, in forza dell ipotesi, Xdx + Ydy = 0 Dal teorema che caratterizza le forme differenziali lineari esatte mediante una proprietà dell integrale curvilineo, segue l asserto. CALCOLO DI UN INTEGRALE DOPPIO MEDIANTE LE COORDINATE POLARI Premettiamo che, se P = (x, y) è un punto del piano cartesiano (O, x, y) diverso dall origine O = (0,0), il numero ρ = distanza di P da O e il numero θ misura in radianti dell angolo formato dal segmento OP col semiasse positivo delle x (vedi figura) si chiamano le coordinate polari del punto P. Il legame tra le coordinate cartesiane (x, y) di P e le coordinate polari (ρ, θ) è espresso dalle uguaglianze x = ρ cosθ y = ρ senθ le quali si chiamano le formule del passaggio dalle coordinate polari alle coordinate cartesiane. Le formule di passaggio dalle coordinate polari alle coordinate cartesiane consentono di trasformare insiemi del piano cartesiano (O, ρ, θ) (cioè di origine O e assi ρ Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 9 di 16

10 e θ) in insiemi del piano cartesiano (O, x, y). Per tale motivo si dice che le (*) costituiscono una trasformazione di equazioni x = ρ cosθ, y = ρ senθ. Definizione Siano φ(θ) e ψ(θ) funzioni reali di classe C (1) nell intervallo [α, β] con β α 2π tali che 0 φ(θ) ψ(θ) per ogni θ [α, β]. L insieme D dei punti (x, y) le cui coordinate polari (ρ, θ) verificano le limitazioni (**) α θ β ; 0 ρ ψ(θ) si chiama il dominio polarmente normale definito (mediante le coordinate polari) dalle limitazioni (**). In particolare l insieme D dei punti (x, y) le cui coordinate polari verificano le limitazioni si chiama il vettore di equazione polare Osservazione1 α θ β ; 0 ρ ψ(θ) ρ = ψ(θ) ; θ [α, β]. Il motivo per cui il dominio D è detto polarmente normale è che ogni semiretta uscente dall origine la quale formi con l asse x un angolo θ [α, β] intercetta su D un segmento. Ciò comporta che, mediante le formule (*) D è il trasformato di un dominio T del piano (O, ρ, θ) normale rispetto all asse θ, verificante le limitazioni (**) (vedi figura). Ciò premesso, vale il seguente risultato che fornisce una formula di cambiamento delle variabili per gli integrali doppi. Teorema Sia D il dominio polarmente normale definito dalle limitazioni α θ β ; φ(θ) ρ ψ(θ) dove β α 2π e 0 φ(θ) ψ(θ) sono funzioni di classe C (1) in [α, β]. Se ƒ(x, y) è una funzione reale continua in D e se T è il dominio del piano (O, θ, ρ) di cui D è il trasformato mediante le formule (*) risulta Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 10 di 16

11 ƒ(x, y)dxdy = ƒ(ρcosθ, ρsenθ) dove il determinante (x, y) (ρ, θ) dρdθ (x, y) (ρ, θ) x x cosθ -ρsenθ = ρ θ = = ρ y y senθ ρcosθ ρ θ si chiama lo jacobiano della trasformazione di equazioni (*). Conseguentemente la formula di cambiamento delle variabili anzidetta si riscrive Osservazione ƒ(x, y)dxdy = ƒ(ρcosθ, ρsenθ) ρ dρdθ Poiché T è un dominio normale rispetto all asse θ, applicando la formula di riduzione degli integrali doppi, si ha: ƒ(x, y)dxdy = ƒ(ρcosθ, ρsenθ) ρ dρdθ = dθ ƒ(ρcosθ, ρsenθ)ρ dρ Conseguentemente le formule del passaggio alle coordinate polari sono particolarmente utili quando D è un dominio polarmente normale. In particolare se D è il vettore di equazione polare ρ = φ(θ) ; θ [α, β], si ha (***) m(d) = 1 dxdy = dθ ρ dρ = ½ φ 2 (θ)dθ e questa è la formula che fornisce l area del vettore polarmente normale. LA FORMULA DI CAMBIAMENTO DELLE VARIABILI PER GLI INTEGRALI DOPPI Il calcolo di un integrale doppio mediante il passaggio alle coordinate polari e cioè mediante la trasformazione di equazioni x = ρcosθ y = ρsenθ Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 11 di 16

12 è soltanto un caso particolare di una formula generale detta di cambiamento delle variabili per gli integrali doppi. Diamo un accenno a questa questione per non uscire dai limiti imposti dal corso compatto. Sia T un dominio regolare del piano cartesiano (O, u, v) e consideriamo la funzione vettoriale di classe C (1) in T: Φ(u,v) = ( x(u,v), y(u,v) ) (u,v) T. osserviamo che questa funzione vettoriale ad ogni punto (u,v) T fa corrispondere il punto (x,y) D con D = Φ(T), tali che (*) x = x(u,v) y = y(u,v) Per tale motivo la funzione Φ si chiama una trasformazione del dominio regolare T del piano (O, u, v) nell insieme D del piano (O, x, y). Le equazioni (*) si chiamano le equazioni della trasformazione, l insieme D = Φ(T) si chiama il trasformato del dominio T mediante la trasformazione Φ. Il determinante (x, y) x u x v (u, v) = = x u y v x v y u y u si chiama lo jacobiano della trasformazione Φ di equazioni (*). Premesso tutto ciò si dà la seguente Definizione y v Una trasformazione Φ del dominio regolare T nell insieme D di equazioni (*) si dice una trasformazione regolare quando accade che: 1. La funzione Φ : T D è biunivoca e cioè Φ è invertibile in T e inoltre ogni elemento di D è immagine mediante Φ di un unico elemento di T (x, y) 2. 0 (u, v) T (u, v) Si può dimostrare che se Φ è una trasformazione regolare di T in D allora l insieme trasformato D = Φ(T) è a sua volta un dominio regolare. Conseguentemente Φ trasforma domini regolari del piano (O, u, v) in domini regolari del piano (O, x, y). Una volta data questa definizione si dimostra il seguente Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 12 di 16

13 Teorema di cambiamento della variabile per gli integrali doppi Sia Φ la trasformazione regolare del dominio T nel dominio D, di equazioni x = x(u,v) (u, v) T y = y(u,v) e ƒ(x, y) una funzione reale continua nel dominio D. In tali ipotesi risulta: (x, y) (*) ƒ(x, y)dxdy = ƒ(x(u,v), y(u,v) ) dudv. (u, v) Osservazione La formula (*) si chiama formula di cambiamento delle variabili per gli integrali doppi e fornisce una regola di calcolo degli integrali doppi che è analoga alla regola di sostituzione per gli integrali semplici. Si dimostra che tale formula è applicabile anche quando la trasformazione Φ non è biunivoca sulla frontiera dei domini T e D (non è biunivoca tra T o e D o ) e anche quando lo jacobiano si annulla nei punti di D. Ciò può accadere, ad esempio, quando, si usano le formule di passaggio alle coordinate polari. DOMINI NORMALI DI R 3 Definizione Siano φ(x,y), ψ (x,y) due funzioni reali continue nel dominio D del piano (O, x, y) normale rispetto ad uno degli assi cartesiani x, y e tali che φ(x, y) ψ (x, y) (x, y) D. Il sottoinsieme di R 3 E = { (x, y, z) DxR : φ(x, y) z ψ(x, y) } si chiama dominio normale rispetto al piano (O, x, y) definito dalle limitazioni (*) (x, y) D ; φ(x, y) z ψ(x, y). Analogamente è possibile definire i domini di R 3 normali rispetto ai piani(o,y,z) e (O,x,z). Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 13 di 16

14 Osservazione Dalla teoria delle funzioni di due variabili si deduce che un dominio E di R 3 normale rispetto ad uno dei piani coordinati è un insieme dotato di volume (cioè misurabile). In particolare se E è il dominio normale definito dalle limitazioni (*) risulta: vol. E = [ψ(x,y) φ(x,y)] dxdy INTEGRALI TRIPLI La definizione di integrale triplo di una funzione ƒ(x, y, x) continua in E R 3 dominio normale rispetto ad uno dei piani coordinati (O, x, y), (O, y, z), (O, x, z) è del tutto analoga alla definizione di integrale doppio per cui non ce ne occupiamo. L integrale triplo di ƒ(x,y,z) esteso ad E si denota col simbolo ƒ(x,y,z)dxdydz Contrariamente a quanto avviene per gli integrali doppi, l integrale triplo non ha un significato geometrico interessante perché i sottoinsiemi di R 4 sono oggetti astratti. L unica eccezione è il caso ƒ(x,y,z) = 1 (x,y,z) E, in quanto, come vedremo in seguito, risulta analogamente al caso delle funzioni di due variabili vol E = 1dxdydz FORMULE DI RIDUZIONE Anche per gli integrali tripli si dimostrano le formule di riduzione. Per esempio sia E un dominio normale rispetto al piano (O, x, y) definito dalle limitazioni: (x,y) D; φ(x, y) z ψ(x,y) Considerata una funzione reale di tre variabili ƒ(x,y,z) continua nel dominio E si dimostra che vale la seguente formula di riduzione ƒ(x,y,z)dxdydz = dxdy ƒ(x,y,z)dz Ne segue che se D è, in particolare, un dominio normale rispetto all asse x definito dalle limitazioni a x b ; α(x) y β(x) per le formule di riduzione degli integrali doppi, risulta ancora ƒ(x,y,z)dxdydz = dx dy ƒ(x, y, z)dz e, in conclusione, il calcolo dell integrale triplo si riduce al calcolo successivo di tre integrali semplici. Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 14 di 16

15 Analogamente, se D è un dominio normale rispetto all asse y definito dalle limitazioni: c y d ; γ(y) x δ(y) risulta ƒ(x,y,z)dxdydz = dy dx ƒ(x,y,z)dz CALCOLO DEL VOLUME DI UN SOLIDO DI ROTAZIONE Dalle formule di riduzione degli integrali tripli si deduce che se E R 3 è il dominio normale rispetto al piano (O, x, y) definito dalle limitazioni : (x, y) D; φ(x, y) z ψ(x, y) Risulta: 1 dxdydz = dxdy dz = [ψ(x,y) φ(x,y)]dxdy = vol E Conseguentemente, in generale, il calcolo del volume di un solido il quale risulti essere un dominio normale di R 3 o, più in generale,decomponibile in un numero finito di domini normali di R 3 due a due privi di punti interni comuni, è un problema che riguarda la teoria degli integrali tripli. Tuttavia è possibile dimostrare, ma su ciò non possiamo soffermarci, che se E è un dominio di R 3 verificante le seguenti ipotesi: 1. E si proietta ortogonalmente sull asse x in un intervallo [a,b] ; 2. x [a,b] la sezione S(x) di E col piano perpendicolare all asse x e passante per il punto (x,0,0) è un insieme misurabile (cioè dotato di area); 3. La funzione areas(x) è continua in [a,b] ; allora risulta : vol E = [areas(x)]dx In altri termini per calcolare il volume di E basta integrare tra a e b l area della sezione piana S(x). Un caso particolare notevole di applicazione di questo risultato è quello dei solidi di rotazione. Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 15 di 16

16 Più precisamente supponiamo che E R 3 sia il solido ottenuto ruotando intorno all asse x di un angolo giro il rettangoloide del piano (O, x, y) di base l intervallo [a, b] relativo alla funzione ƒ(x) continua e non negativa in [a,b]. È facile convincersi che E è un solido di rotazione che verifica le seguenti ipotesi. 1. Si proietta ortogonalmente sull asse x in [a,b] ; 2. la sezione S(x) è il cerchio di raggio ƒ(x) la cui area è π (ƒ(x))²; 3. la funzione π (ƒ(x))² è continua in [a, b] per le ipotesi poste su ƒ. Ne segue allora che vol E = π (ƒ(x))²dx Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 16 di 16

17 Capitolo 1 FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI Ci proponiamo di studiare le funzioni reali di più variabili reali e cioè le funzioni ƒ : R k R con k > 1. Per motivi di semplicità ci riferiremo esclusivamente alle funzioni di due variabili estendendo poi i risultati ottenuti, quando è necessario alle funzioni di tre o più variabili. A tale scopo è opportuno premettere le principali proprietà topologiche dell insieme R² {(x,y) : x R e y R² }e cioè dell insieme R² visto come oggetto geometrico. È noto che R² si rappresenta geometricamente sul piano mediante un sistema di assi cartesiani ortogonali. PROPRIETÀ TOPOLOGICHE DI R² Definizione 1 Distanza: Siano P 0 = (x 0, y 0 ) e P 1 = (x 1, y 1 ) due elementi di R 2 o anche due punti di R 2. Si chiama distanza di P 1 = (x 1, y 1 ) da P 0 = (x 0, y 0 ) il numero reale non negativo: δ = La distanza fra due punti è uguale alla lunghezza del segmento di estremi P 0 e P 1. Definizione 2 Intorno: Sia P 0 = (x 0,y 0 ) un punto di R 2 e δ un numero reale positivo. Si chiama intorno (circolare) di centro P 0 = (x 0, y 0 ) e raggio δ >0 l insieme I δ (P 0 ) = I δ (x 0, y 0 ) = { (x,y) R 2 : < δ } e cioè l insieme dei punti P = (x,y) R 2 che appartengono al cerchio di centro P 0 = (x 0,y 0 ) e raggio δ privato della circonferenza (cerchio aperto). Definizione 3 Punto interno e interno di un insieme: Sia A R 2. Si dice che il punto P 0 = (x 0, y 0 ) A è interno ad A se esiste un intorno I δ (P 0 ) di centro P 0 e raggio δ tutto contenuto in A. Si chiama interno di A e si denota con il simbolo Å l insieme dei punti interni ad A. Definizione 4 Punto esterno: Sia A R 2. Si dice che il punto P 0 = (x 0, y 0 ) A è esterno ad A se esiste un intorno I δ (P 0 ) che non contiene punti di A e cioè tale che I δ (P 0 ) A =. Evidentemente P 0 è esterno ad A se è interno al complementare di A rispetto a R 2 e cioè se è interno all insieme R 2 A. Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 1 di 20

18 Definizione 5 Punto frontiera e di frontiera: Sia A R 2. Si dice che il punto P 0 = (x 0,y 0 ) R 2 è un punto frontiera di A se non è nè interno nè esterno ad A. Conseguentemente in ogni intorno di P 0 cadono sia punti di A sia punti che non appartengono ad A. L insieme dei punti frontiera si chiama frontiera di A e si denota con il simbolo A. Osservazione 1 Si noti che un punto frontiera non è tenuto ad appartenere all insieme A. Ad esempio il cerchio di centro il punto P 0 = (x 0, y 0 ) e raggio r e lo stesso cerchio privato della circonferenza (cerchio aperto) hanno entrambi per frontiera la circonferenza di centro P 0 e raggio r. Nel primo caso la frontiera appartiene al cerchio, nel secondo caso non appartiene. Definizione 6 Punto di accumulazione e insieme derivato: Sia A R 2 e P 0 = (x 0, y 0 ) R 2. Si dice che P 0 è un punto di accumulazione di A se in ogni intorno I(P 0 ) = I(x 0, y 0 ) di centro P 0 cadono infiniti punti di A diversi da P 0. L insieme dei punti di accumulazione di A si chiama il derivato di A. Definizione 7 Insieme limitato e non limitato: Un insieme A R 2 si dice limitato se è contenuto in un intorno I δ (O) di centro l origine O = (0,0). Si dice non limitato se ciò non accade. Definizione 8 Insieme aperto e chiuso: Un insieme A R 2 si dice aperto se A = Å e cioè se ogni punto di A è un punto interno ad A; si dice chiuso se il suo complementare rispetto a R 2 e cioè l insieme R 2 A è aperto. Osservazione 2 Si noti che un insieme aperto non contiene punti frontiera, mentre un insieme chiuso contiene tutti i punti frontiera. Si noti ancora che un insieme A R 2 che non sia aperto non è tenuto ad essere chiuso. Ad esempio l insieme: A = {(x,y) : x [1,2[ e y [2,3[} non è né aperto né chiuso. Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 2 di 20

19 Definizione 9 Chiusura di un insieme: Sia A R 2. Si chiama chiusura di A e si denota con il simbolo Ā, l insieme unione di A e della frontiera di A. In simboli: Ā = A U A. La chiusura Ā di A è un insieme chiuso perché contiene tutti i punti frontiera. Definizione 10 Dominio: Si chiama dominio ogni sottinsieme di R 2 che risulti essere la chiusura di un insieme aperto, e cioè anche l unione di un insieme aperto e della sua frontiera. Ad esempio un cerchio chiuso, un angolo chiuso sono domini. L insieme ottenuto come unione di un cerchio chiuso e di un segmento non è un dominio. LA DEFINIZIONE DI LIMITE La definizione di limite, già nota per le funzioni di una variabile, si estende facilmente alle funzioni di due variabili. Sia ƒ(x,y) una funzione reale definita nell insieme A R 2 e P 0 = (x 0, y 0 ) un punto di accumulazione per A. Si dice che ƒ ha limite l R in P 0 e si scrive lim ƒ (x, y) = l oppure anche lim ƒ(p) = l (x, y) (x 0,y 0 ) P P 0 quando vale la seguente proprietà detta definizione di limite. J ε (l) I δ (P 0 ) : P A I δ (P 0 ) {P 0 } f(p) J ε (l) la quale essendo J ε (l) un intervallo aperto di centro l e raggio ε e cioè J ε (l)=] l ε; l +ε [ e I δ (P 0 ) un cerchio aperto di centro P 0 e raggio δ e cioè I δ(p 0 ) = { (x,y) R 2 : ε > 0 δ > 0 : (x,y) A e 0 < < δ }, si esprime in maniera equivalente: < δ ƒ(x,y) l < ε I due casi l = + e l = - si trattano in maniera analoga. Ad esempio lim ƒ(p) = + significa che vale la proprietà: P P 0 J(+ ) I δ (P 0 ): x A I(P 0 ) {P 0 } ƒ(p) J(+ ) e cioè se: J(+ ) = ]M, + [ con M > 0. Μ > 0 δ > 0 : (x,y) A e 0 < < δ ƒ(p) > Μ. Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 3 di 20

20 Definizione di funzione continua Sia f : A R 2 R e P 0 = (x 0, y 0 ) A. Si dice che ƒ è continua in P 0 = (x 0, y 0 ) quando risulta lim ƒ (x, y) = l oppure anche lim ƒ(p) = l. (x, y) (x 0,y 0 ) P P 0 Si dice che ƒ è continua nell insieme A quando è continua in ogni punto di A. A proposito delle funzioni continue, si estende il teorema di Weiestrass nella maniera seguente. Teorema di Weiestrass Se ƒ(x,y) è una funzione continua in un insieme A chiuso e limitato (cioè compatto) allora ƒ assume in A il minimo ed il massimo e cioè esistono in A due punti (x, y) e (x, y) tali che ƒ(x, y) ƒ(x, y) ƒ(x, y) (x, y) A. Osservazione La definizione di limite, la continuità e il teorema di Weiestrass si estendono facilmente alle funzioni reali di k variabili con k > 2. Di ciò la cura al lettore. Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 4 di 20

21 DERIVATE PARZIALI Sia ƒ(x,y) una funzione reale definita in un insieme A e P 0 = (x 0, y 0 ) un punto interno ad A. In tali ipotesi esiste un intorno I r (P 0 ) di centro P 0 e raggio r tutto contenuto in A ed ha senso considerare la funzione della sola variabile x: (*) ƒ(x, y 0 ) ƒ(x 0, y 0 ) x x 0 con x ] x 0 r, x 0 + r [ {x 0 } Si chiama derivata parziale di ƒ rispetto a x nel punto P 0 e si denota con uno dei simboli ƒ x (P 0 ), ƒ(p 0 ) il limite in x 0 della funzione (*) sempre che tale limite esista e sia x finito. Riassumendo: ƒ x (P 0 ) = ƒ x (x 0, y 0 ) = ƒ(p 0 ) x lim x x 0 ƒ(x, y 0 ) ƒ(x 0, y 0 ) x x 0 Analogamente si chiama derivata parziale di ƒ rispetto a y nel punto P 0 e si denota con uno dei simboli ƒ y (P 0 ), ƒ(p 0 ) il limite in y 0 della funzione y ƒ(x 0, y) ƒ(x 0, y 0 ) y y 0 con y ] y 0 r, y 0 + r [ {y 0 } quando tale limite esiste ed è finito. In simboli: ƒ y (P 0 ) = ƒ y (x 0, y 0 ) = ƒ(p 0 ) y lim y y 0 ƒ(x 0, y) ƒ(x 0, y 0 ) y y 0 Si dice che ƒ(x,y) è derivabile nel punto P 0 =(x 0, y 0 ) quando esistono finite in P 0 entrambe le derivate parziali. Se A = Å e cioè se A è un aperto e se ƒ(x,y) è derivabile in ogni punto di A si dice che ƒ è derivabile nell insieme A. Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 5 di 20

22 Osservazione notevole sulla continuità Ricordando che per le funzioni di una variabile la derivabilità implica la continuità risulta che: lim ƒ(x, y 0 ) ƒ(x 0, y 0 ) R lim ƒ (x, y 0 ) = ƒ (x 0, y 0 ) x x 0 x x 0 x x 0 e cioè se una funzione ƒ(x,y) è derivabile parzialmente rispetto a x nel punto P 0 = (x 0, y 0 ) allora tale funzione è continua rispetto a x nel punto P 0. Analogamente: lim ƒ(x 0, y) ƒ(x 0, y 0 ) y y R lim ƒ (x 0, y) = ƒ (x 0, y 0 ) 0 y y 0 y y 0 e cioè se una funzione ƒ(x,y) è derivabile parzialmente rispetto a y nel punto P 0 = (x 0, y 0 ) allora tale funzione è continua rispetto a y nel punto P 0. Tuttavia la continuità della funzione ƒ rispetto a x e rispetto a y nel punto P 0 non implica la continuità di ƒ in P 0 e cioè: lim ƒ(x, y 0 ) = ƒ(x 0, y 0 ) e lim ƒ(x 0, y ) = ƒ(x 0, y 0 ) lim ƒ(x, y) = ƒ(x 0, y 0 ) x x 0 y y 0 x x 0 y y 0 Si prenda ad esempio la funzione: xy se (x,y) (0, 0) ƒ(x, y) = x 2 + y 2 0 se (x, y) = (0, 0) tale funzione non risulta essere continua in (0,0) perché lungo la retta y = x si ha: lim ƒ(x, y) = lim ƒ(x, x) = lim x 2 x 0 y 0 x 0 x 0 2x 2 2 = 1 ƒ(0,0) Tuttavia è continua in (0,0) sia rispetto a x sia rispetto a y. Infatti essendo ƒ(x,0) = 0 x R - {0} e ƒ(0,y) = 0 y R - {0} risulta: In conclusione: lim ƒ(x, 0) = 0 = ƒ(0, 0) e lim ƒ(0,y) = 0 = ƒ(0, 0) x 0 y 0 ( ƒ derivabile in P 0 ) ( ƒ continua in P 0 ) Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 6 di 20

23 DERIVATE PARZIALI DI ORDINE SUPERIORE Sia ƒ(p) = ƒ(x,y) una funzione di due variabili definita in un aperto A. Supponiamo che ƒ sia derivabile in A e cioè che ƒ sia derivabile parzialmente rispetto a x e y in ogni punto P = (x,y) A. Ha senso allora considerare le seguenti due funzioni: (x,y) A ƒx(x,y); (x,y) A ƒy(x,y). Tali funzioni si chiamano rispettivamente la (funzione) derivata parziale prima di ƒ rispetto a x in A e la (funzione) derivata parziale prima di ƒ rispetto a y in A e si denotano con uno dei seguenti simboli: ƒ ƒ ƒ x (x,y); (x,y) ; ƒ y (x, y); (x,y) ; x y oppure anche: ƒ ƒ ƒ x (P); (P) ; ƒ y (P); (P) ; x y Definizione Se le funzioni derivate prime ƒx e ƒy sono a loro volta derivabili in ogni punto dell'aperto A, le quattro funzioni: ƒ x ƒ x ƒ y ƒ y x (P); y (P); x (P); y (P) si chiamano le derivate (parziali) seconde di ƒ in A e si denotano con i simboli: oppure anche con i simboli: ƒxx(p) ; ƒxy(p) ; ƒyx(p) ; ƒyy(p) 2 ƒ 2 ƒ 2 ƒ 2 ƒ x 2 (P); x y (P); y x (P); y 2 (P) Teorema di Schwarz (di inversione dell ordine di derivazione) Sia ƒ(x,y) una funzione reale due volte derivabile in un aperto A. Vale la seguente implicazione: ( ƒ xy, ƒ yx continue in (x 0, y 0 ) A) (ƒ xy (x 0, y 0 ) = ƒ yx (x 0, y 0 )) e cioè le derivate seconde miste di una funzione di due variabili sono uguali nei punti in cui risultano continue. Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 7 di 20

24 Osservazione Il teorema di Schwarz consente di calcolare le derivate seconde miste senza preoccuparsi dell ordine delle derivazioni successive nei punti in cui le derivate seconde sono continue. **************** A partire dalle derivate seconde si definiscono, in maniera analoga, le derivate terze, quarte,, n-esime di ƒ(x, y). Evidentemente se tali derivate successive sono continue allora le derivate miste, per il teorema di Schwarz, non dipendono dall ordine di derivazione. LA NOZIONE DI DIFFERENZIABILITÀ Abbiamo visto che contrariamente a quanto accade per le funzioni di una variabile, le funzioni di due variabili che sono derivabili non sono necessariamente continue. Vedremo subito che la nozione equivalente alla derivabilità delle funzioni di una variabile è per le funzioni di più variabili la differenziabilità. Definizione Sia ƒ(x,y) una funzione definita in un aperto A e P = (x,y) A. Indicati con x e y due numeri reali qualsiasi poniamo P = ( x, y) e P+ P = (x+ x, y+ y) (cioè chiamiamo P il punto di coordinate x, y e P+ P il punto di coordinate x+ x, y+ y). Se il punto P+ P A è lecito considerare la differenza (detta incremento di ƒ relativo ai punti P e P+ P) tra i valori di ƒ nei punti P e P+ P: e l'espressione ƒ = ƒ(p+ P) ƒ(p) = ƒ(x+ x, y+ y) ƒ(x,y) dƒ = ƒx(p) x + ƒy(p) y = ƒx(x,y) x + ƒy(x,y) y che si suole chiamare (in analogia al caso della funzione di una variabile) differenziale della funzione ƒ. Si dice che la funzione ƒ è differenziabile nel punto P = (x,y) quando risulta: lim ( x, y) (0,0) ƒ dƒ x 2 + y 2 = 0 o anche, in maniera equivalente pensando P = ( x, y) come il vettore di componenti x, y e P = x 2 + y 2 come il modulo di P, quando risulti: lim P 0 ƒ dƒ P = 0 Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 8 di 20

25 Osservazione notevole Si noti che (*) lim P 0 ƒ dƒ P = 0 lim ƒ = 0 P 0 infatti affinché il rapporto ƒ ƒ P sia infinitesimo per P 0 è necessario che ƒ - dƒ sia infinitesimo per P 0 e poiché lim dƒ = 0 ciò sarà vero quando lim ƒ = 0. D altra parte (**) lim ƒ = 0 P 0 P 0 P 0 lim ƒ(p + P) = ƒ(p) P 0 Da (*) e (**) si deduce allora l implicazione ( ƒ differenziabile in P) ( ƒ continua in P) ***************** Vogliamo ora dimostrare un teorema che garantisce la differenziabilità di una funzione. A tale scopo premettiamo un risultato che si ottiene facilmente mediante il teorema di Lagrange per le funzioni di una variabile. Proposizione Sia ƒ(x,y) una funzione derivabile in un aperto A. Per ogni coppia P = (x,y), P+ P =(x+ x, y+ y) di punti di A esiste un punto P = (x, y) tale che ƒ = ƒx( x, y+ y) x + ƒy(x, y) y dove x e y sono tali che x < x < x+ x; y < y < y+ y il che significa che P è interno al segmento di estremi P e P+ P. Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 9 di 20

26 Teorema ( condizione sufficiente di differenziabilità) Sia ƒ(x,y) una funzione derivabile in un aperto A e P = (x,y) A. V. s. i. (ƒ x, ƒ y continue in P) (ƒ differenziabile in P) e cioè ƒ è differenziabile in ogni punto di A nel quale le derivate sono continue. Dimostrazione: In base alla definizione dobbiamo dimostrare che: lim ( x, y) (0,0) ƒ dƒ x 2 + y 2 = 0 Per la proposizione precedente, tenuto conto dell espressione di dƒ, si ha: ƒ dƒ = [ ƒ x (x, y + y) ƒ x (x, y)] x + [ ƒ y (x, y) ƒ y (x, y)] y. Conseguentemente : x 0 ƒ dƒ ƒ x (x, y + y) ƒ x (x, y). + x 2 + y 2 x 2 + y 2 + ƒ y (x, y) ƒ y (x, y). y x 2 + y 2 ƒ x (x, y + y) ƒ x (x, y) + ƒ y (x, y) ƒ y (x, y) dove x < x < x + x e y < y < y + y. Passando al limite per ( x, y) (0,0) si ha l asserto per l ipotesi di continuità in (x,y) delle derivate parziali e per il criterio di convergenza per confronto (che continua a valere per le funzioni di due variabili). Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 10 di 20

27 LO SPAZIO VETTORIALE R² Consideriamo un riferimento cartesiano (O,x,y) dei punti del piano e il punto P di coordinate cartesiane x e y, cioè P = (x,y), il quale rappresenta geometricamente l elemento (x,y) R². È comodo in certi casi interpretare l elemento (x,y) in questione come il vettore v = (x,y) applicato nell origine O degli assi, avente per estremo il punto P = (x,y) e componenti i numeri x, y. In tale analisi di idee, si chiama somma dei due vettori v 1 = (x 1, y 1 ) e v 2 = (x 2, y 2 ) il vettore: v 1 + v 2 = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) e si chiama prodotto del vettore v = (x, y) per lo scalare λ (cioè per il numero reale λ) il vettore: λ v = (λx, λy). Lo spazio R 2 con le operazioni di somma e prodotto sopra definite si chiama lo spazio vettoriale R 2. Per ogni vettore v = (x, y) si chiama modulo di v il numero reale non negativo: v = Il modulo di v rappresenta la distanza del punto P = (x,y) dalle origini degli assi O = (0,0) e si chiama anche la lunghezza del vettore v. Si chiama prodotto scalare dei due vettori v 1 = (x 1, y 1 ), v 2 = (x 2, y 2 ) il numero reale: v 1 v 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 Si dimostra che v 1 v 2 = v 1 v 2 cos ω dove ω è l angolo formato dai due vettori. FUNZIONI VETTORIALI Siano x = x(t) e y =y(t) funzioni reali di una variabile definita in un intervallo I R. La seguente legge: t I (x, y) = (x(t), y(t)) R 2 è una funzione definita in I e a valori in R 2. Ricordando che lo spazio R 2 può essere interpretato come spazio di vettori, tale funzione si può anche interpretare come la legge che ad ogni numero reale t associ il vettore v(t) =( x(t), y(t)) dello spazio R 2. Per questo motivo tale funzione si suole chiamare funzione vettoriale della variabile t di componenti x = x(t) e y = y(t). Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 11 di 20

28 Naturalmente questa nozione si può generalizzare. Consideriamo ad esempio tre funzioni reali di due variabili x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v) definite in un insieme A R 2. La seguente legge (u, v) A (x, y, z) = ( x(u,v), y(u,v), z(u,v) ) R 2 È una funzione di due variabili a valori nello spazio R 3. Interpretando i punti di R 3 come vettori, tale funzione si può anche definire come la legge che ad ogni punto (u,v) A associ il vettore dello spazio P (u,v) = ( x(u,v), y(u,v), z(u,v) ) di componenti le tre funzioni x(u,v), y(u,v), z(u,v). In conclusione ogni funzione definita in un sottinsieme di R 2 e a valori nello spazio R 3 si chiama una funzione vettoriale di due variabili a tre componenti. Definizione funzione vettoriale continue derivabili Una funzione vettoriale si dice continua o di classe C (0) se tali sono le sue componenti; derivabile se tali sono le sue componenti; di classe C (1) se le componenti sono continue, derivabili o con derivate continue. Ogni vettore di componenti le derivate delle componenti di una funzione vettoriale si chiama un vettore derivato. Ad esempio la funzione v(t) = (x(t), y(t)) è continua se x(t), y(t) sono funzioni continue, derivabile se x(t), y(t) sono derivabili. t I il vettore v'(t) = (x'(t), y'(t)) è il vettore derivato. La funzione vettoriale P(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) è continua se x(u,v), y(u,v), z(u,v) sono continue, derivabile parzialmente rispetto ad u e v se tali sono le componenti x(u,v), y(u,v), z(u,v). I vettori P u (u,v) = (x u (u,v), y u (u,v), z u (u,v)) P v (u,v) = (x v (u,v), y v (u,v), z v (u,v)) Sono i vettori derivati rispetto ad u e v. Se P(u,v) e i vettori P u e P v sono continui allora la funzione P(u,v) è di classe C (1). DERIVATE DELLE FUNIONI CONTINUE Supponiamo che una funzione F(t) = ƒ(x(t)) composta mediante le funzioni x(t) e ƒ(x), se le funzioni componenti sono derivabili, è derivabile e vale la regola di derivazione delle funzioni composte: F '(t) = Dƒ(x(t)) x'(t). Il seguente teorema generalizza questo risultato. Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 12 di 20

29 Teorema di derivazione delle funzioni composte Siano ƒ(x, y) una funzione reale definita in un aperto A e (x(t), y(t)) una funzione vettoriale della variabile reale t definita nell intervallo I e a valori in A. In tali ipotesi ha senso considerare la funzione composta F(t) = ƒ(x(t), y(t)) la quale risulta definita in I. Vale la seguente implicazione. 1) (x(t), y(t)) derivabile in t 0 I 2) ƒ(x, y) differenziabile in P 0 =(x 0,y 0 )=(x(t 0 ),y(t 0 )) F derivabile in t 0 e F'(t 0 )=ƒ x (P 0 )x'(t 0 )+ƒ y (P 0 )y'(t 0 ) Definizione - vettore gradiente Se ƒ(x,y) è una funzione derivabile in un aperto A, il vettore Dƒ = (ƒ x, ƒ y ) si chiama gradiente di ƒ. Evidentemente ƒ è dotata di gradiente in un punto P = (x,y) se è derivabile in P = (x,y). Ciò premesso la regola di derivazione delle funzioni composte contenuta nel teorema precedente si può esprimere nel seguente prodotto scalare: F'(t) = Dƒ(x(t), y(t)) (x'(t), y'(t)) t I dove (x'(t), y'(t)) è il vettore derivato di (x(t), y(t)). DERIVATE DIREZIONALI È noto dalla Geometria Analitica che le equazioni parametriche (*) x = x 0 + αt y = y 0 + βt con α, β R e tali che α 2 + β 2 = 1 rappresentano sul piano cartesiano, al variare di t in R, la retta passante per il punto P 0 = (x 0, y 0 ) di coseni direttori α e β. Tale retta è parallela ed equiversa al versore λ = (α, β) che viene chiamato versore dell asse r (asse significa retta orientata). Evidentemente, assegnato il versore λ = (α, β) ed il punto P 0 = (x 0, y 0 ) risulta univocamente individuato l asse r passante per P 0 avente la stessa direzione di λ: si tratta della retta di equazione parametrica (*). Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 13 di 20

30 Definizione Sia ƒ(x, y) una funzione reale definita in un aperto A, P 0 = (x 0, y 0 ) A. Consideriamo la funzione di una variabile F(t) = ƒ(x 0 +αt, y 0 +βt) composta mediante la funzione scalare ƒ (componente esterna) e la funzione vettoriale (x(t), y(t)) = (x 0 +αt, y 0 +βt) (componente interna) definita in R. Indicato con λ = (α, β) il versore dell'asse r passante per P 0 e di coseni direttori α e β si chiama derivata della funzione ƒ secondo la direzione del versore λ in P 0 (brevemente derivata di ƒ secondo la direzione λ in P 0 ) o anche derivata direzionale di ƒ in P 0 secondo la direzione λ e si indica con uno dei simboli: ƒ λ (P 0 ); ƒ λ (x 0, y 0 ); ƒ λ (P 0) ; ƒ λ (x 0, y 0 ) la derivata della funzione F(t) calcolata nel punto t = 0. In conclusione ƒ λ (P 0 ) F'(0) e cioè ƒ λ (P 0 ) lim F(t) F(0) = lim ƒ(x 0 +αt, y 0 +βt) ƒ(x 0, y 0 ) t 0 t t 0 t Osservazione Se λ = (1,0) oppure λ = (0,1) e cioè se λ è uno dei versori degli assi coordinanti, si ha ƒ λ (P 0 )=lim ƒ(x 0 + t, y 0 ) ƒ(x 0, y 0 ) =ƒ x (P 0 ) t 0 t ƒ λ (x 0, y 0 )=lim ƒ(x 0, y 0 + t) ƒ(x 0, y 0 ) =ƒ y (x 0, y 0 ) t 0 t in cui (sempre naturalmente che questi limiti esistano e siano finiti) le derivate direzionali nelle direzioni degli assi coordinanti coincidono con le derivate parziali. ************** Ci proponiamo di dimostrare che le funzioni differenziabili non solo sono dotate di derivate parziali ma hanno anche derivate secondo ogni direzione. Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 14 di 20

31 Teorema sulle derivate direzionali di una funzione differenziale Sia ƒ(x, y) una funzione definita in un aperto A, P 0 = (x 0, y 0 ) A. Per ogni direzione λ = (α, β) vale la seguente implicazione: (ƒ differenziabile in P 0 ) ( ƒ λ (P 0 ) = ƒ x (P 0 ) α + ƒ y (P 0 ) β). Dimostrazione: Per ogni versore λ = (α,β) consideriamo la funzione F(t) = ƒ(x 0 + αt, y 0 + βt). F è funzione composta mediante la funzione ƒ(x, y) e la funzione vettoriale (x(t), y(t)) = (x 0 + αt, y 0 + βt) con t R. Essendo (x 0 + αt, y 0 + βt) derivabile nel punto t = 0 e ƒ(x, y) differenziabile nel punto P 0 = (x 0, y 0 ) corrispondente di t = 0 mediante la funzione vettoriale, per il teorema di derivazione delle funzioni composte F(t) è derivabile in t = 0 e risulta: F'(0) = ƒ x (P 0 ) x'(t 0 ) + ƒ y (P 0 ) y'(t 0 ) = ƒ x (x 0,y 0 ) α + ƒ y (x 0, y 0 ) β. Ma ciò significa secondo definizione ƒλ(x 0, y 0 ) = F'(0), che risulta ƒ λ (x 0, y 0 ) = ƒ x (x 0, y 0 ) α + ƒ y (x 0, y 0 ) β. Il teorema è dimostrato. Osservazione notevole Da questo teorema si deduce che, se ƒ(x,y) è differenziabile in P 0 = (x 0, y 0 ), per ogni direzione λ = (α, β) risulta: ƒ λ (P 0 ) = Dƒ(P 0 ) λ dove Dƒ (P 0 ) denota il gradiente di ƒ in P 0. Ricordando che il prodotto scalare di due vettori è nullo se e solo se i due vettori sono ortogonali, ne segue che la derivata direzionale di ƒ in P 0 secondo la direzione λ è nulla quando il gradiente Dƒ(P 0 ) = (ƒ x (P 0 ), ƒ y (P 0 )) è ortogonale alla direzione λ = (α, β). Ricordando ancora che il prodotto scalare di due vettori è massimo quando i due vettori sono paralleli ed equiversi, ne segue anche che ƒ λ (P 0 ) assume il massimo valore quando il gradiente Dƒ(P 0 ) è parallelo ed equiverso alla direzione λ = (α, β). IL TEOREMA DI LAGRANGE Premettiamo che dati due punti P 0 = (x 0, y 0 ) e P 1 = (x 1, y 1 ) nel piano cartesiano (O,x,y) i punti P = (x,y) tali che: x = x 0 + t( x 1 - x 0 ) ; y = y 0 + t(y 1 - y 0 ) con t [0,1] al variare di t nell intervallo compatto [0,1] descrivono il segmento di estremi i punti P 0 e P 1 che si denota con il simbolo P 0 P 1.I punti di P 0 P 1 distinti dagli estremi si dicono punti interni al segmento. Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 15 di 20

32 Ciò premesso ci proponiamo di dimostrare il seguente Teorema di Lagrange Sia ƒ(x,y) una funzione definita in un aperto A e differenziabile sul segmento P 0 P 1 A. In tali ipotesi esiste un punto Q interno al segmento P 0 P 1 tale che: ƒ(p 1 ) ƒ(p 0 ) = ƒ x (Q) (x 1 -x 0 ) + ƒ y (Q)(y 1 -y 0 ). Dimostrazione: Consideriamo la funzione: F(t) = ƒ(x 0 + t (x 1 -x 0 ), y 0 + t (y 1 -y 0 )) con t [0,1]. Osserviamo innanzitutto che tale funzione è composta mediante la funzione vettoriale (x(t),y(t)) = (x 0 + t (x 1 -x 0 ), y 0 + t (y 1 -y 0 )) (componente interna) derivabile in [0,1] e la funzione ƒ(x,y) (componente esterna) la quale per ipotesi è differenziabile in ogni punto del segmento P 0 P 1. Ne segue, per il teorema di derivazione delle funzioni composte, che F(t) è derivabile in [0,1] e inoltre: F'(t) = ƒ x (x(t), y(t)) (x 1 -x 0 ) + ƒ y (x(t),y(t)) (y 1 -y 0 ) t [0,1]. Ciò posto, applicando a F(t) il teorema di Lagrange relativo alle funzioni di una variabile, si ha: F(1) F(0) = F'(t) 1 con t ]0,1[ e di qui, osservato che F(1) = ƒ(p 1 ), F(0) = ƒ(p 0 ) e posto Q = (x 0 + t (x 1 -x 0 ), y 0 + t (y 1 - y 0 )), si ha la tesi. Osservazione Se denotiamo con Dƒ = (ƒ x, ƒ y ) il gradiente di ƒ(x,y) e P 1 - P 0 = (x 1 -x 0, y 1 -y 0 ) il vettore di componenti x 1 -x 0, y 1 -y 0, la formula di Lagrange per le funzioni di due variabili si può esprimere mediante il prodotto scalare di due vettori Dƒ e P 1 P 0 : ƒ(p 1 ) ƒ(p 0 ) = Dƒ(Q) (P 1 - P 0 ) FUNZIONI CON GRADIENTE NULLO IN UN CONNESSO Premettiamo che un aperto A dello spazio R 2 si dice un aperto connesso quando per ogni coppia di punti distinti P e Q di A esiste una poligonale semplice che lì congiunge tutta contenuta in A. Ciò posto, utilizzando il teorema di Lagrange per le funzioni di due variabili, dimostriamo il seguente teorema. Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 16 di 20

33 Teorema sulle funzioni con gradiente nullo Sia ƒ(x,y) una funzione reale definita in un aperto A ed ivi derivabile sicché è lecito considerare il gradiente Dƒ di ƒ in ogni punto di A. Vale la seguente implicazione: ( Dƒ identicamente nullo in A e A aperto connesso ) ( ƒ costante in A ) Dimostrazione: Si tratta di dimostrare che (x', y') (x'', y'') Þ ƒ(x',y') = ƒ(x'',y''). Poniamo P' = (x', y'), P''=(x'', y'') e consideriamo il segmento P'P''di estremi P' ep''. Si distinguono i due casi: 1 ) P'P'' A. In tal caso, applicando il teorema di Lagrange al segmento in questione si ha: ƒ(p'') ƒ(p') = Dƒ(Q) P'' P'= 0 (P'' P') = 0 (2 ) P'P'' A (vedi figura). Essendo A un aperto connesso esiste una poligonale contenuta in A che congiunge P' con P''. Detti P 1 = P', P 2, P 3,, P n = P'' i vertici di tale poligonale, applicando il teorema di Lagrange ai segmenti P 1 P 2, P 2 P 3,, P n-1 P n si ha successivamente: ƒ(p') = ƒ(p 1 ) = ƒ(p 2 )= = ƒ(p n-1 ) = ƒ(p n ) = ƒ(p'') e di qui ancora la tesi. MASSIMI E MINIMI RELATIVI Definizione 1 Sia ƒ(p) = ƒ(x,y) una funzione definita in un insieme A e P 0 = (x 0, y 0 ) A. Si dice che P 0 è un punto di massimo (o minimo) relativo per la funzione ƒ in A se vale la seguente proprietà: un intorno I(P 0 ) di P 0 : ƒ(p) ƒ(p 0 ) (ƒ(p) ƒ(p 0 )) P = (x, y) I(P 0 ) A Un punto di minimo o di massimo relativo si chiama un punto di estremo relativo. Ci proponiamo, in analogia al caso delle funzioni di una variabile, di stabilire una condizione necessaria di estremo relativo e cioè di stabilire un risultato analogo del teorema di Fermat. Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 17 di 20

34 Condizione necessaria di estremo relativo Sia ƒ(p) = ƒ(x, y) una funzione di due variabili definita in un insieme A e P 0 = (x 0, y 0 ) un punto interno ad A nel quale risulti derivabile. Vale la seguente implicazione (P 0 punto di estremo relativo per ƒ in A) ( Dƒ(P 0 ) = 0 cioè ƒ x (P 0 ) = ƒ y (P 0 ) = 0 ) Dimostrazione: Supponiamo per fissare le idee che P 0 sia un punto di massimo relativo. Essendo P 0 Å esiste un intorno I δ (P 0 ) di centro P 0 e raggio δ tutto contenuto in A tale che ƒ(x, y) ƒ(x 0,y 0 ) (x,y) I δ (P 0 ). Consideriamo la funzione di una variabile F(x) = ƒ(x,y 0 ) che risulta essere (vedi figura) la restrizione di ƒ(x,y) al diametro del cerchio I δ (P 0 ) parallelo all asse x. Evidentemente risulta F(x) F(x 0 ) x ]x 0 δ; x 0 +δ [ per cui x 0 è un punto di massimo relativo per F interno ad un intervallo. Per il teorema di Fermat risulta allora F'(x 0 ) = ƒ x (x 0, y 0 ) = 0. In maniera analoga si dimostra anche che ƒ y (x 0, y 0 ) = 0. Il teorema è dimostrato. Definizione 2 (Punto stazionario) Un punto P 0 = (x 0, y 0 ) Å in cui risulta Dƒ(P 0 ) = 0 si chiama un punto stazionario o anche punto estremante per ƒ in A. Vogliamo ora enunciare un teorema che fornisce una condizione sufficiente di estremo relativo e che ha una certa analogia con la condizione sufficiente per le funzioni di una variabile che si esprime nella seguente implicazione (ƒ'(x 0 ) = 0 ƒ ''(x 0 ) < 0 (>0)) (x 0 punto di massimo (di minimo) relativo per ƒ). A tale scopo premettiamo una definizione Definizione 3 Sia ƒ(x,y) una funzione reale di classe C (2) in un aperto A (cioè continua con le derivate prima e seconda in A). Il determinante Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 18 di 20

35 ƒ xx (x, y) ƒ xy (x, y) H(x, y) = ƒ yx (x, y) ƒ yy (x, y) =ƒ xx (x, y)ƒ yy (x, y) ƒ 2 xy (x, y) si chiama determinante hessiano di ƒ in A. Ciò premesso si dimostra la seguente Condizione sufficiente di estremo relativo Sia ƒ(x,y) una funzione reale definita in un insieme A e P 0 = (x 0, y 0 ) Å. Supponiamo, inoltre, che esista un intorno I(P 0 ) di P 0 contenuto in A nel quale ƒ sia di classe C (2). Vale la seguente implicazione. 1) Dƒ(P 0 ) = 0 2) H(P 0 ) > 0 3) ƒ xx (P 0 ) < 0 ( > 0) P 0 è un punto di massimo relativo (minimo relativo) per ƒ in A Dƒ(P 0 ) = 0 e H(P 0 ) < 0 P 0 non è un punto di estremo relativo per ƒ in A Osservazione E utile per le applicazioni osservare che Conseguentemente (H(x, y) = ƒ xx ƒ yy ƒ xy 2 > 0 ) ( ƒ xx ƒ yy > 0) ( ƒ xx < 0 ) ( ƒ yy < 0) (> 0) ( > 0) ******************** REGOLA PER DETERMINARE GLI ESTREMI RELATIVI Sia ƒ(x,y) una funzione di due variabili definita in un insieme A e di classe C (2) in Å. In tale ipotesi i punti (x,y) Å che sono di estremo relativo per ƒ in A vanno cercati tra la soluzione del sistema: Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 19 di 20

36 ƒ x (x, y) = 0 ƒ y (x, y) = 0 che risultano appartenere ad Å (cioè interne ad A). Se (x 0, y 0 ) Å è una soluzione si calcola l hessiano H(x 0, y 0 ). Possono presentarsi i seguenti tre casi: 1. H(x 0, y 0 ) > 0. In tal caso (x 0, y 0 ) è un punto di estremo relativo per ƒ. Precisamente è un punto di massimo relativo se ƒ xx (x 0, y 0 ) = ƒ yy (x 0, y 0 ) < 0; un punto di minimo relativo se ƒ xx (x 0, y 0 ) = ƒ yy (x 0, y 0 ) > H(x 0, y 0 ) < 0. In tal caso (x 0,y 0 ) non è un punto di estremo relativo. 3. H(x 0, y 0 ) = 0. In tal caso (x 0, y 0 ) può essere come può non essere un punto di estremo relativo e non si possono trarre considerazioni a meno che non si riesca a studiare il segno di ƒ in un intorno di (x 0,y 0 ). Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 20 di 20

37 Capitolo 2 EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI Premessa Ricordiamo che si chiama insieme dei numeri complessi in forma algebrica l insieme C = {a + ib : (a,b) R 2 } Un elemento di C cioè il numero complesso a + ib è un espressione nella quale i (sicché i² = -1), a si chiama parte reale di a + ib, ib parte immaginaria di a + ib. L insieme C è un ampliamento di R (cioè R C ) perché se b = 0 risulta a+ib = a a R. Ciò posto, consideriamo le funzioni reali a(x) e b(x) definite in un intervallo I R. La legge di corrispondenza F : x I a(x) + ib(x) C che si può anche denotare F(x) = a(x) + ib(x) x I è una funzione definita in I e a valori in C che si chiama funzione complessa di variabile reale. Tale funzione si dice continua, derivabile in I se tali sono le funzioni reali a(x) e b(x). Se ƒ è derivabile in I la funzione DF(x) = Da(x) + i Db(x) x R si chiama la derivata di F. Le derivate successive si definiscono poi nel seguente modo: D (2) F(x)= D(D F(x))= D (2) a(x)+ i D (2) b(x) D (3) F(x)= D(D 2 F(x)) = D (3) a(x)+ i D (3) b(x); ecc. ecc. È chiaro a questo punto che cosa significhi che F è di classe C (1) in I e più in generale, che cosa significhi che F è di classe C (n) in I con n 1. Esempio notevole Sia λ = a + ib un numero complesso, si pone per definizione λx = (a+ib)x = ax (cosbx + isenbx) x R Tale espressione è una funzione complessa di variabile reale che ad ogni x R associa il numero complesso F(x) = ax (cosbx + isenbx), e si chiama funzione esponenziale nel campo complesso, brevemente esponenziale complesso. Si verifica facilmente che l esponenziale complesso è continua e derivabile risultando Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 1 di 12

38 D λx = λ λx Pertanto continuano a valere per l esponenziale complesso le formule di derivazione dell esponenziale. Analogamente al caso reale le derivate successive di λx risultano essere D (2) λx = λ 2 λx ; D (3) λx = λ 3 λx ;... ; D (n) λx = λ n λx, n N Ciò premesso veniamo ora alle equazioni differenziali linaeri. Definizione Siano a 1 (x), a 2 (x),, a n (x), ƒ(x) n +1 funzioni reali continue in un intervallo I qualsiasi. L espressione: (*) y (n) + a 1 (x) y (n-1) + + a n-1 (x) y ' + a n (x) y = ƒ(x) si chiama equazione differenziale lineare di ordine n avente per coefficienti le n assegnate funzioni a 1 (x), a 2 (x),, a n (x) e termine noto la funzione ƒ(x). Ogni funzione y = y(x), reale o complessa, di classe C (n) in I che verifichi (*) si dice una soluzione o anche, per un motivo che vediamo tra poco, un integrale dell equazione differenziale. Se il termine noto ƒ(x) è nullo in I, l equazione differenziale si dice omogenea. Osservazione 1 L equazione differenziale(*) si dice lineare perchè, considerata la legge di corrispondenza: L : y C (n) (I) y (n) + a 1 (x)y (n-1) a n (x) y la quale viene chiamata operatore differenziale, si verifica facilmente che L gode della seguente proprietà di linearità : L (c 1 y 1 +c 2 y 2 ) = c 1 L (y 1 ) + c 2 L (y 2 ) per ogni coppia c 1, c 2 di costanti reali o complesse. Si noti ancora che, utilizzando l operatore differenziale L (y) = y (n) + a 1 (x) y (n-1) a n (x) y l equazione differenziale (*) si può scrivere sinteticamente nella forma Osservazione 2 L(y) = ƒ Si noti che, per la linearità dell operatore L, se y 1 e y 2 sono soluzioni dell equazione omogenea L(y) = 0 anche ogni loro combinazione lineare c 1 y 1 + c 2 y 2 con le costanti c 1 e c 2 è soluzione dell equazione differenziale. Cioè vale la seguente implicazione (L(y 1 ) = L(y 2 ) = 0) ( L(c 1 y 1 + c 2 y 2 ) = 0 ) Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 2 di 12

39 Osservazione 3 In generale è semplice verificare che una data funzione è soluzione di un equazione differenziale lineare; è meno facile invece stabilire quali sono le soluzioni e non è chiaro a priori se le soluzioni trovate sono tutte le possibili soluzioni. IL PROBLEMA DI CAUCHY Consideriamo di nuovo l equazione differenziale lineare del 1 ordine y ' = ƒ(x) Abbiamo visto che, se ƒ è continua nell intervallo I, tutte le soluzione reali di tale equazione differenziale si possono esprimere nella forma (*) y(x) = ƒ(t)dt + c con x, x 0 I e c R Evidentemente x 0 I e h 0 R esiste un unica soluzione di tale equazione differenziale che verifica la condizione y(x 0 ) = h 0 e tale soluzione è la funzione y(x) = ƒ(t)dt + h 0 ottenuta da (*) ponendo c = h 0 Conseguentemente possiamo affermare che l equazione differenziale y ' = ƒ(x) ammette infinite soluzioni mentre il problema (**) y ' = ƒ(x) y (x 0 ) = h 0 ammette un unica soluzione x 0 I e h 0 R. Il problema sopra riportato si chiama un problema di Cauchy relativo all equazione differenziale y '= ƒ(x) di punto iniziale x 0 e condizione iniziale y(x 0 ) = h 0. Tutto ciò si generalizza come segue. Sia L(y) = ƒ un equazione differenziale lineare di ordine n a coefficienti e termine noto continui in un intervallo I. x 0 I e (h 0, h 1,., h n-1 ) R n il problema di determinare le soluzioni di tali equazioni definite in I e verificanti le n condizioni y(x 0 ) = h 0, y'(x 0 ) = h 1,.., y (n-1) (x 0 ) = h n-1 si denota con il simbolo L(y) = ƒ (***) y(x 0 ) = h 0, y'(x 0 ) = h 1,.., y (n-1) (x 0 ) = h n-1 e si chiama il problema di Cauchy di punto iniziale x 0 e condizioni iniziali y(x 0 ) = h 0, y'(x 0 ) = h 1,.., y (n-1) (x 0 ) = h n-1 relativo all equazione differenziale L(y) = ƒ. Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 3 di 12

40 Nel caso particolare dell equazione differenziale y'=ƒ(x) abbiamo visto che ogni problema di Cauchy ammette un unica soluzione reale. Tale risultato sussiste in generale perchè si dimostra il seguente Teorema di esistenza e di unicità Se i coefficienti e il termine noto dell equazione differenziale L(y) = ƒ sono funzioni continue nell intervallo I, x 0 I e (h 0, h 1,, h (n-1) ) R n esiste un unica soluzione reale del problema di Cauchy, e cioè un unica soluzione reale y = y(x) definita in I e verificante le n condizioni iniziali y(x 0 ) = h 0, y'(x 0 ) = h 1,.., y (n-1) (x 0 ) = h n-1 INTEGRALE GENERALE E INTEGRALI PARTICOLARI Premettiamo che se L(y) = ƒ è un equazione differenziale lineare di ordine n, l equazione L(y) = 0 si chiama equazione omogenea associata di L(y) = ƒ. Una volta data questa definizione l equazione L(y) = ƒ si chiama equazione completa. Ciò posto, abbiamo visto che un equazione differenziale lineare L(y) = ƒ di ordine n, per il teorema di esistenza e di unicità, ammette infiniti integrali reali ciascuno dei quali è soluzione di un problema di Cauchy. Conseguentemente ha senso la seguente Definizione (di integrale generale) Sia L(y) = ƒ un equazione differenziale lineare di ordine n. Si chiama integrale generale di tale equazione l insieme di tutti gli integrali reali. Ogni soluzione dell equazione stessa si chiama un integrale particolare. Vogliamo ora mettere in luce una proprietà molto importante degli integrali di un equazione lineare. Teorema ( sull integrale di un equazione lineare completa) Sia L(y) = ƒ un equazione differenziale lineare completa di ordine n e y un suo integrale particolare (prefissato una volta per tutte). Vale la seguente implicazione ( y: L(y) = ƒ ) ( y = y 0 + y con y 0 : L(y 0 ) = 0) In altri termini: ogni integrale di un equazione completa si esprime come somma di un integrale dell omogenea associata e di un integrale della completa; viceversa la somma di un integrale dell omogenea associata e di un integrale dell equazione completa è un integrale dell equazione completa. Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 4 di 12

41 Dimostrazione Se y è integrale di L(y) = ƒ, per la linearità dell operatore L, y 0 = y y è un integrale dell omogenea associata L(y) = 0 e dunque y = y 0 + y con y 0 integrale dell omogenea L(y) = 0. Dimostrazione Se y = y 0 + y con y 0 : L(y 0 ) = 0, per la linearità dell operatore L, risulta anche L(y) = L(y 0 ) + L(y) = 0 + ƒ = ƒ e dunque y è integrale della completa. Il teorema è dimostrato. Osservazione notevole Da questo teorema si deduce che si se conoscono tutti gli integrali dell omogenea L(y) = 0 e un solo integrale particolare della completa L(y) = ƒ, allora si conoscono anche tutti gli integrali della completa L(y) = ƒ. Conseguentemente: l integrale generale di un equazione lineare si esprime come somma dell integrale generale dell omogenea associata e l integrale particolare (reale) della completa. L EQUAZIONE LINEARE DEL 1 ORDINE Ci proponiamo di determinare l integrale generale dell equazione differenziale y ' + a(x)y = ƒ(x) con coefficiente e termine noto continui in un intervallo I. A tale scopo è bene osservare che, per il teorema di esistenza e di unicità dell equazione differenziale lineare, l omogenea associata (*) y ' + a(x)y = 0 ammette in I, oltre all integrale nullo, integrali reali che sono o sempre positivi in I oppure sempre negativi. Teorema Considerata l equazione lineare omogenea del 1 ordine (*) e indicata con A(x) una primitiva della funzione a(x), l espressione (**) y = c -A(x) al variare di c in R fornisce tutti gli integrali reali dell equazione e cioè fornisce l integrale generale. Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 5 di 12

42 Dimostrazione: Sia y(x) un integrale reale dell equazione (*) diverso dall integrale nullo y(x)=0 x I. Essendo y(x) una soluzione di (*) risulta: y'(x) + a(x) y(x) = 0 da cui, ricordando che dy = y'(x)dx e integrando si ha successivamente 1 dy = -a(x)dx y(x) 1 dy = - a(x)dx ; y(x) log y(x) = -A(x) + k y(x) = -A(x)+k = k -A(x) y(x) = ± k -A(x) con k R dove va scelto il segno + se y(x) > 0 in I, il segno se y(x) < 0. Posto, infine, c = ± k si ha l asserto quando si osservi anche che per c = 0 l espressione (**) fornisce l integrale nullo. Viceversa, verifichiamo che l espressione (**) c R è intergale dell equazione (*). Si ha: y(x) = c -A(x) y ' (x) = c -A(x) a(x) sostituendo nell equazione y' + a(x)y = 0 si ha l asserto. Osservazione notevole Dalla dimostrazione di questo teorema si deduce che per integrare un equazione lineare omogenea del primo ordine nella pratica conviene eseguire le seguenti due operazioni. 1) Considerata l equazione (*) si pone dy/dx in luogo di y' e si scrive l equazione stessa nella forma dy/y = -a(x)dx Quando si effettua questa operazione si dice che nell equazione (*) si separano le variabili x e y. 2) si integra membro a membro quest ultima eguaglianza. Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 6 di 12

43 EQUAZIONE LINEARE OMOGENEA A COEFFICIENTI COSTANTI Premettiamo che è noto dall algebra che un equazione di grado n a 0 x n + a 1 x n-1,, a n-1 x + a n = 0 a coefficienti a 0, a 1,..., a n reali se ammette una radice complessa ammette anche la radice complessa coniugata e le due radici hanno lo stesso ordine di molteplicità. Definizione Consideriamo l equazione lineare omogenea a coefficienti costanti a 1, a 2,, a n L equazione algebrica di grado n (*) L(y) = y (n) + a 1 y (n-1) + a n y = 0 p(λ) = λ n + a 1 λ n a n che si ottiene da (*) sostituendo la derivata y (k) con la potenza λ k ( k = 0, 1, 2,..., n) si chiama equazione algebrica caratteristica dell equazione differenziale omogenea (*). Esempio Consideriamo l equazione differenziale y (4) + y (3) + y =0 L equazione algebrica caratteristica di questa equazione è λ 4 + λ = 0 Ciò posto, l equazione algebrica caratteristica ha un ruolo fondamentale nella risoluzione (cioè nella determinazione dell integrale generale) dell equazione lineare omogenea (*) quando i coefficienti a 1, a 2,, a n sono costanti reali. Sussiste infatti il seguente risultato. Teorema1 Considerata l equazione algebrica caratteristica dell equazione differenziale (*), vale la seguente equivalenza ( λ radice dell eq. p(λ) = 0 reale o complessa ) ( y = e λx integrale dell eq. diff.(*) ) e cioè la funzione y = e λx è integrale particolare dell equazione differenziale (*) se e solo se λ è radice della sua equazione algebrica caratteristica. Dimostrazione: Risulta, in forza di quanto premesso sull esponenziale complesso, Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 7 di 12

44 e conseguentemente Osservazione 1 L(y) = L(e λx ) = λ n e λx + a 1 λ n-1 e λx + + a n-1 λ e λx + a n e λx = e λx p(λ) ( L(e λx ) = 0 ) ( p(λ) = 0) Se λ = a + ib è una radice complessa dell equazione p(λ) = 0, per quanto premesso all inizio, l equazione p(λ) = 0 ammette anche la radice complessa coniugata λ = a ib. Per il teorema 1 tali radici complesse coniugate determinano i due integrali particolari complessi: λx = ax (cosbx + isenbx ) ; λx = ax (cosbx isenbx ) i quali non si scrivono perchè noi cerchiamo gli integrali reali dell equazione differenziale. Tuttavia, per la linearità dell operatore L(y) risulta: L ( (a±ib)x ) = L ( ax cosbx + i ax senbx ) = L( ax cosbx) ± il( ax senbx) Conseguentemente ( L( (a±ib)x ) = 0 ) ( L( ax cosbx) = 0, L( ax senbx) = 0 ) e cioè: l equazione differenziale lineare omogenea L(y) = 0 ammette i due integrali complessi coniugati λx, λx se e solo se ammette i due integrali reali ax cosbx, ax senbx. Si conclude che nella risoluzione di un equazione lineare omogenea a coefficienti costanti con il metodo dell equazione algebrica caratteristica è lecito sostituire la coppia di integrali complessi λx ed λx con la coppia di integrali reali ax cosbx, ax senbx. Osservazione 2 Nella risoluzione dell equazione algebrica caratteristica p(λ) = 0 può capitare di determinare delle radici (reali o complesse) multiple di ordine k (k > 1). In tal caso si dimostra che se λ è una radice multipla di ordine k allora le k funzioni λx ; x λx ; x 2 λx ;... ; x k-1 λx sono integrali (reali o complessi) dell equazione differenziale lineare L(y) = 0 mentre tale non è la funzione x k λx. Conseguentemente, poiché la somma degli ordini di molteplicità delle radici di un equazione di grado n è n, è possibile in ogni caso (risolvendo l equazione algebrica caratteristica) determinare n integrali particolari distinti dell equazione differenziale L(y)=0. Naturalmente tra questi n integrali vi possono essere delle coppie di integrali Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 8 di 12

45 complessi coniugati, però, come abbiamo visto, queste coppie di integrali complessi possono essere sostituiti con le coppie di integrali reali. In conclusione possiamo affermare che, risolvendo l equazione algebrica caratteristica è possibile in ogni caso trovare n integrali particolari reali e distinti dell equazione differenziale L(y) = 0. Ciò posto si dimostra il seguente risultato. Teorema 2 Considerata l equazione differenziale lineare omogenea di ordine n L(y) = 0 e detti y 1 (x), y 2 (x),, y n (x) gli n integrali particolari reali e distinti determinati col metodo dell equazione algebrica caratteristica l espressione y = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x)+ +c n y n (x) dove c 1, c 2,, c n sono n costanti reali arbitrarie, rappresenta l integrale generale dell equazione differenziale L(y) = 0. METODO DELLA VARIAZIONE DELLE COSTANTI Consideriamo un equazione differenziale lineare L(y) = ƒ(x) a coefficienti costanti e completa. Sappiamo che l integrale generale è somma dell integrale generale dell omogenea associata L(y) = 0 e di un integrale particolare dell equazione stessa. Ne segue che è molto importante determinare un suo integrale particolare y(x). Sussiste in proposito il seguente teorema. Teorema della variazione delle costanti( di Lagrange) Siano y 1, y 2,, y n gli n integrali particolari dell omogenea L(y) = 0 che si ottengono col metodo dell equazione caratteristica e γ 1 (x), γ 2 (x),, γ n (x) n funzioni reali di classe C (1). Se le derivate γ 1 ', γ 2 ',, γ n ' di tali funzioni soddisfano il sistema: γ 1 ' y 1 + γ 2 ' y γ n ' y n = 0 γ 1 ' y 1 ' + γ 2 ' y 2 ' + + γ n ' y n ' = 0... γ 1 ' y 1 (n-2) + γ 2 ' y 2 (n-2) + + γ n ' y n (n-2) = 0 γ 1 ' y 1 (n-1) + γ 2 ' y 2 (n-1) + + γ n ' y n (n-1) = ƒ Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 9 di 12

46 allora la funzione y = γ 1 (x)y 1 (x) + γ 2 (x)y 2 (x) +..+ γ n (x)y n (x) è un integrale particolare dell equazione completa L(y) = ƒ. Dimostrazione: Per semplicità dimostriamo il teorema supponendo l equazione L(y) = ƒ del secondo ordine. Dobbiamo provare che la funzione y = γ1(x)y1(x) + γ2(x)y2(x) soddisfa tale equazione nell ipotesi che γ1' e γ2' soddisfano il sistema γ 1 ' y 1 + γ 2 ' y 2 = 0 γ 1 ' y 1 ' + γ 2 ' y 2 ' = ƒ Si tratta di una semplice verifica. Infatti, derivando y e tenuto conto della prima equazione del sistema (*), si ha y' = γ 1 y 1 ' + γ 2 y 2 ' Derivando ancora e tenuto conto della seconda equazione del sistema (*) si ha y '' = ƒ + γ 1 y 1 '' + γ 2 y 2 '' Sostituendo nell equazione differenziale L(y)=y '' + a 1 (x)y' + a 2 (x)y = ƒ + γ 1 y 1 '' + γ 2 y 2 '' + a 1 (x)(γ 1 y 1 ' + γ 2 y 2 ') + a 2 (x)(γ 1 y 1 + γ 2 y 2 )= = ƒ + γ 1 L(y 1 ) + γ 2 L(y 2 ) = ƒ = ƒ Il teorema è dimostrato. Osservazione 1 Si noti che l integrale particolare dell equazione completa fornito dal teorema di Lagrange precedente si ottiene a partire dall integrale generale y = c 1 y 1 + c 2 y c n y n dell omogenea associata sostituendo le costanti c 1, c 2,..., c n con altrettanti funzioni incognite γ 1, γ 2,..., γ n. E questo il motivo per cui la ricerca di un integrale particolare dell equazione completa nella forma y = γ 1 y 1 + γ 2 y γ n y n indicata dal teorema si chiama metodo della variazione delle costanti. Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 10 di 12

47 Osservazione 2 Abbiamo visto che per trovare un integrale particolare dell equazione completa è necessario risolvere il sistema di n equazioni lineari nelle n incognite γ 1 ', γ 2 ',..., γ n ' γ 1 ' y 1 + γ 2 ' y γ n ' y n = 0 γ 1 ' y 1 ' + γ 2 ' y 2 ' + + γ n ' y n ' = 0... γ 1 ' y 1 (n-2) + γ 2 ' y 2 (n-2) + + γ n ' y n (n-2) = 0 γ 1 ' y 1 (n-1) + γ 2 ' y 2 (n-1) + + γ n ' y n (n-1) = ƒ Si noti che, una volta risolto questo sistema e cioè una volta determinate le funzioni γ 1 ', γ 2 ',..., γ n ', per trovare le funzioni incognite γ 1, γ 2,..., γ n occorre calcolare ancora n integrali indefiniti. Precisamente γ 1 = γ 1 'dx; γ 2 = γ 2 'dx;...; γ n = γ n 'dx Naturalmente in tal modo le n funzioni γ 1, γ 2,..., γ n vengono determinate a meno di una costante additiva la quale però non ci interessa e può essere trascurata. EQUAZIONI LINEARI A COEFFICIENTI COSTANTI CON TERMINE NOTO DI TIPO PARTICOLARE Il metodo di Lagrange per la determinazione di un integrale particolare dell equazione completa L(y) = ƒ è molto laborioso perché richiede la risoluzione di un sistema di equazioni lineari e il calcolo di integrali indefiniti. Per tale motivo è molto utile nella pratica ogni procedimento che consente di evitare l uso del metodo di Lagrange. Sussiste in proposito il seguente risultato che per brevità non dimostriamo. Proposizione Sia L(y) = ƒ un equazione lineare completa a coefficienti costanti e supponiamo che il termine noto abbia l espressione (*) ƒ(x) = αx ( p(x)cosβx + q(x)senβx) Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 11 di 12

48 con p(x) e q(x) polinomi a coefficienti reali e α e β costanti reali. In tali ipotesi se il numero complesso α + iβ non è radice dell equazione algebrica caratteristica dell omogenea associata L(y) = 0 allora l equazione completa ammette l integrale particolare (dello stesso tipo): (**) y(x) = αx ( p 1 (x) cos βx + q 1 (x) sen βx ) essendo p 1 e q 1 due polinomi di grado uguale al maggiore dei gradi dei polinomi p e q. Se, invece, α + iβ è radice dell equazione caratteristica di molteplicità k ( 1) l equazione completa ammette l integrale particolare Osservazione 1 (**) y(x) = x k αx (p 1 (x) cos βx + q 1 (x) sen βx) Dalla proposizione precedente, i numeri reali α e β e i polinomi p(x) e q(x) si deduce che il termine noto dell equazione L(y) = ƒ e del tipo (*) anche quando: 1. ƒ(x) = p(x) e cioè ƒ è un polinomio; (α = 0 e β = 0) 2. ƒ(x) = αx p(x) e cioè ƒ è il prodotto di un esponenziale per un polinomio (β = 0) 3. ƒ(x) = αx p(x) cos βx ; ƒ(x) = αx q(x) sen βx e cioè ƒ è il prodotto di un esponenziale per un polinomio per un coseno o seno (q(x) identicamente nullo oppure p(x) identicamente nullo). Osservazione 2 Si noti che l integrale particolare (**) fornito dalla proposizione precedente è della stessa forma del termine noto dell equazione differenziale. Osservazione 3 Si noti che la proposizione precedente assicura l esistenza e il grado dei due polinomi p 1, q 1 ma non fornisce l espressione di tali polinomi. Conseguentemente nella pratica occorre determinare i polinomi p 1 e q 1 e cioè occorre calcolare i loro coefficienti. Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 12 di 12

49 Capitolo 3 CURVE PIANE Definizione 1 Sia P(t) = (x(t), y(t)) una funzione vettoriale di classe C (0) in un intervallo compatto [a,b] e cioè a componenti x(t), y(t) continue in [a,b]. Si chiama curva parametrica piana o brevemente curva piana, l insieme Γ = { (x,y) R 2 : x = x(t), y = y(t) t [a, b] } o anche, posto P = (x,y) e indicato con Π il piano cartesiano (O, x, y): Le equazioni (*) x = x(t) y = y(t) Γ = { P Π : P = P(t) t [a, b] }. si chiamano equazioni parametriche della curva Γ mentre t si chiama parametro e [a,b] intervallo base della rappresentazione parametrica. L equazione: P = P(t); t [a,b] dove P(t) = (x(t),y(t)) equazione parametrica vettoriale di Γ. I punti P' = P(a) e P'' = P(b) si chiamano gli estremi di Γ, i punti di Γ diversi dagli estremi, punti interni a Γ. È importante rilevare che con questa definizione esistono infinite rappresentazioni parametriche di una stessa curva Γ. Infatti se P = P(t), t [a,b] è una rappresentazione parametrica di Γ e t = t(a) è una funzione continua definita nell intervallo [c,d] e avente per codominio nell intervallo [a,b], l equazione P = P(t(u)), u [c,d] è una nuova rappresentazione parametrica di Γ. Essendo infinite le funzioni continue in un intervallo compatto e aventi per codominio l intervallo [a,b] è evidente che sono infinite le rappresentazioni parametriche di una curva piana Γ. Da questo discorso si deduce che, a rigore, sarebbe opportuno distinguere tra la nozione di curva intesa come funzione vettoriale e quella di sostegno della curva e cioè come luogo geometrico. Tuttavia non faremo questa distinzione, che riteniamo piuttosto astratta, preferendo rimanere vicini all idea intuitiva di una curva intesa come luogo geometrico. Definizione 2 Una curva piana Γ si dice semplice se esiste una sua rappresentazione parametrica P = P(t), t [a,b] tale che: t' t'' P(t') P(t'') per ogni coppia t', t'' di valori del parametro t dei quali almeno uno è interno ad [a,b]. Una tale rappresentazione parametrica si dice una rappresentazione parametrica semplice di Γ. Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 1 di 9

50 In conclusione, una curva Γ si dice semplice quando ammette rappresentazioni parametriche semplici. Osservazione 1 Si noti che dal punto di vista geometrico, una curva Γ è semplice quando è possibile descriverla, senza mai tornare indietro, passando una sola volta per ciascuno dei suoi punti. Consideriamo, ad esempio, le seguenti curve. Evidentemente le prime due curve sono semplici, mentre la terza non lo è perché descrivendola è necessario passare due volte per il punto P. Definizione 3 Una curva piana Γ si dice chiusa se esiste una sua rappresentazione parametrica P = P(t), t [a,b] tale che P(a) = P(b). Ciò significa che, mediante una rappresentazione parametrica gli estremi di Γ e cioè P' = P(a) e P'' = P(b) sono coincidenti. Definizione 4 Una curva Γ si dice una curva regolare se esiste una sua rappresentazione parametrica P = P(t), t [a,b] tale che la funzione vettoriale P(t) è di classe C (1) in [a,b] e inoltre risulta P' (t) 0 t ]a,b[. Posto P(t) = (x(t), y(t)) ciò significa anche che le funzioni scalari x(t), y(t) sono di classe C (1) in [a, b] e tali che > 0 t ]a,b[. Una rappresentazione parametrica di Γ che verifichi le proprietà anzidette si dice una rappresentazione parametrica regolare. ORIENTAMENTO DI UNA CURVA SEMPLICE Sia Γ una curva semplice e P = P(t), t [a, b] una sua rappresentazione parametrica semplice. Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 2 di 9

51 Tale rappresentazione parametrica induce su Γ un orientamento che viene detto il verso delle t crescenti della rappresentazione parametrica considerata, per il quale (t' < t'') (il punto P' = P(t') precede il punto P'' = P(t'')) Il verso opposto si chiama verso delle t decrescenti della rappresentazione parametrica considerata. Si dice che Γ è una curva orientata, quando si sceglie in modo arbitrario uno dei versi anzidetti e il verso prescelto si chiama verso positivo. Se scegliamo il verso delle t crescenti diremo che Γ è orientata nel verso delle t crescenti della rappresentazione parametrica (*). È possibile orientare Γ, prescindendo dalle rappresentazioni parametriche, nella maniera seguente. 1. Se Γ non è una curva chiusa ( in tal caso si suole dire che Γ è una curva aperta) considerati su Γ due punti distinti (che possono essere anche gli estremi) P' P'' restano individuati su Γ due possibili versi di percorrenza. Il verso che va da P' a P'' e il verso opposto. Diremo che Γ è una curva orientata quando si sceglie, ad arbitrio, uno di questi due versi e tale verso prescelto si chiama verso positivo di Γ. 2. Se Γ è una curva chiusa denotiamo con D il dominio limitato avente per frontiera la curva Γ. Restano allora individuati due possibili versi di percorrenza: il verso che lascia alla sinistra i punti interni a D (indicato in figura) e il verso opposto. Diremo che Γ è una curva orientata quando scegliamo, ad arbitrio, uno di questi due possibili versi e il verso prescelto si chiamerà verso positivo di Γ. Naturalmente quando la curva semplice Γ è orientata intrinsecamente e si considera una sua rappresentazione parametrica semplice (*) il verso indotto su Γ da tale rappresentazione parametrica cioè il verso delle t crescenti può essere concorde o discorde col verso positivo prefissato intrinsecamente su Γ. RETTA TANGENTE Sia Γ una curva regolare, P = P(t), t [a,b] una rappresentazione parametrica regolare di Γ. Posto P(t) = ( x(t), y(t)) consideriamo la retta detta secante, passante per i punti P 0 =(x 0, y 0 ) = (x(t 0 ), y(t 0 ) ) = P(t 0 ) e P 1 = P(t 0 + t) = ( x(t 0 + t), y(t 0 + t) ). Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 3 di 9

52 Tale retta ha equazione: e cioè x x 0 y y 0 = x(t 0 t) x(t 0 ) y(t0 + t) y(t 0 ) ( y(t 0 + t) y(t 0 ) ) ( x x 0 ) ( x(t 0 + t) x(t 0 ) ) (y y 0 ) = 0 Dividendo questa espressione per t e passando al limite per t 0, in forza dell'ipotesi di regolarità di Γ, si ottiene la retta di equazione: Definizione 1 (*) y'(t 0 ) ( x x 0 ) x'(t 0 ) (y y 0 ) = 0 La retta di equazione (*) si chiama retta tangente a Γ nel punto P 0 = (x 0, y 0 ). Osservazione 1 La condizione di regolarità P'(t 0 ) = (x'(t 0 ), y'(t 0 )) 0 t ]a,b[ garantisce l esistenza della tangente a Γ in ogni punto interno. La curva è perciò una curva liscia e cioè priva di cuspidi e punti angolari nei punti interni. Ad esempio la curva di equazione y = Definizione 2 (di vettore tangente e versore tangente) con x [-1, 1] non è regolare. Nelle ipotesi poste su Γ il vettore P'(t 0 ) = (x'(t 0 ), y'(t 0 )) si chiama vettore tangente a Γ nel punto P 0 = P(t 0 ) = (x 0, y 0 ). Tale vettore è parallelo alla tangente a Γ nel punto P 0 = (x 0, y 0 ) ed è orientato nel verso indotto su Γ dalla rappresentazione parametrica considerata. Il vettore di modulo unitario P't 0 ) τ(t 0 ) = P'(t0) = x'(t 0 ) y'(t 0 ), si chiama versore tangente a Γ nel punto P 0 = (x 0, y 0 ) = ( x(t 0 ), y(t 0 )). Se la curva Γ è una curva orientata nel verso delle t crescenti della rappresentazione parametrica considerata, il versore τ(t 0 ) si chiama versore tangente positivo relativo alla rappresentazione parametrica di Γ. Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 4 di 9

53 Osservazione 2 Se Γ è il diagramma di equazione cartesiana y = ƒ(x) con ƒ di classe C (1) nell intervallo [a,b], sappiamo che Γ è una curva regolare e che una rappresentazione parametrica regolare di Γ è x = t t [a, b] y = ƒ(t) Consideriamo il punto P 0 = (x 0, y 0 ) = (t 0,ƒ(t 0 )) = (x 0,ƒ(x 0 )), essendo x'=1 e y' =ƒ'(t) =ƒ'(x) x [a, b], l equazione della tangente a Γ in P 0 è e cioè ƒ'(x 0 )(x x 0 ) (y ƒ(x 0 )) = 0 y = ƒ(x 0 ) + ƒ'(x 0 )(x x 0 ) LUNGHEZZA DI UNA CURVA Sia Γ una curva semplice di estremi P' e P'' e consideriamo n+1 punti distinti P 0 = P', P 1, P 2,, P n = P'' di Γ scelti in modo che P 0 precede P 1, P 1 precede P 2,P n-1 precede P n in uno dei due possibili orientamenti di Γ. La poligonale π di vertici i punti P 0, P 1, P n si chiama una poligonale inscritta nella curva Γ. È evidente che di poligonali inscritte in Γ ne esistono infinite per cui se denotiamo con l(π) la lunghezza della poligonale π, l insieme {l(π)} delle lunghezze delle poligonali inscritte in Γ è un insieme infinito. Ciò posto si dà la seguente definizione. Definizione 1 Si dice che la curva semplice Γ è rettificabile se l insieme {l(π)} delle lunghezze delle poligonali inscritte è limitato superiormente. In tale ipotesi l'estremo superiore l(γ)=sup{l(π)} delle lunghezze delle poligonali inscritte si chiama lunghezza della curva Γ. Si dimostra il seguente Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 5 di 9

54 Teorema di rettificabilità Sia Γ una curva semplice e P = P(t), t [a,b] una sua rappresentazione parametrica semplice. Se la funzione vettoriale P(t) = ( x(t), y(t) ) è di classe C (1) in [a,b], la curva Γ è rettificabile e risulta Osservazione (*) l(г) = P'(t) dt = dt Evidentemente se Г è una curva semplice e regolare e se P = P(t), t [a,b] è una sua rappresentazione parametrica semplice e regolare allora Г è rettificabile e la sua lunghezza è data dall integrale (*). CURVE REGOLARI A TRATTI Definizione 1 Una curva Γ si dice regolare a tratti se risulta essere l'unione di un numero finito Γ 1, Γ 2, Γ n di curve semplici e regolari, ognuna delle quali si salda alla successiva in un punto. (vedi figura) Ciò significa che esistono una rappresentazione parametrica P = P (t), t [a,b] e una partizione {t 0 = a, t 1, t 2,, t n = b} dell intervallo [a,b] tali che in ciascuno degli intervalli [t 0, t 1 ], [t 1, t 2 ],, [t n-1, t n ] la P = P(t) è una rappresentazione parametrica semplice e regolare. Una tale rappresentazione parametrica si dice una rappresentazione parametrica di Γ regolare a tratti. Osservazione 1 In base alla definizione una curva Γ regolare a tratti può essere pensata come somma di un numero finito di curve Γ 1, Γ 2, Γ n di curve semplici e regolari. Se nessuno tra gli archi Γ 1, Γ 2, Γ n incontra i rimanenti, Γ è anch essa una curva semplice. Può benissimo però accadere che uno degli archi Γ i incontri uno o più altri archi Г j (i+j) perché la condizione di semplicità vale per i singoli archi Γ 1, Γ 2, Γ n. (vedi figura) In tal caso la curva Γ è intrecciata e presenta i cosiddetti punti multipli. Si noti ancora che nei punti P i = P(t i ) (i = 0,1,2 n) le tangenti agli archi Γ i (i = 0,1,2 n) hanno, in generale, direzioni diverse e cioè, come si suol dire, i punti P i sono in generale punti angolari della curva Γ. Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 6 di 9

55 Definizione 2 Sia Γ una curva regolare a tratti unione delle n curve Γ 1, Γ 2, Γ n semplici e regolari. Si pone per definizione l (Γ) = l (Γ 1 ) + l (Γ 2 ) + + l (Γ n ) e cioè si chiama lunghezza di Γ la somma delle lunghezze degli archi semplici e regolari Γ 1, Γ 2, Γ n che costituiscono Γ. Osservazione 2 (notevole) Sia Γ una curva regolare a tratti e P = P (t) t [a,b] una rappresentazione parametrica regolare a tratti di Γ allora esiste una partizione { t 0 = a, t 1, t 2,..., t n = b} con t 0 < t 1 <... < t n dell intervallo base [a,b] tale che gli n archi in cui Γ risulta suddivisa Г 1 = { P = P(t) : t [t 0, t 1 ]} ; Г 2 = {P = P(t) : t [t 1,t 2 ]} ;... ; Г n = { P = P(t) : t [t n-1, t n ]} risultano essere curve semplici e regolari. Dalla definizione precedente e dal teorema di rettificabilità si deduce che l(г) = P'(t) dt INTEGRALE CURVILINEO DI UNA FUNZIONE DI DUE VARIABILI Sia ƒ(p) = ƒ(x, y) una funzione di due variabili limitata in un insieme A R 2 e Γ A una curva piana semplice e regolare di estremi P' e P''. In tali ipotesi effettuiamo le seguenti operazioni. Consideriamo n+1 punti distinti di Γ: P 0 = P', P 1,, P n = P'' scelti in modo che P 0 precede P 1, P 1 precede P 2,, P n-1 precede P n in uno dei due possibili versi in cui è possibile descrivere Γ e denotiamo con D = {P 0, P 1,, P n } la partizione di Γ mediante tali punti. Tale partizione suddivide la curva Γ in n archi Γ 1, Γ 2,, Γ n (vedi figura). Poniamo m i = inf ƒ(p); M i = sup ƒ(p) (i = 1, 2,... n) Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 7 di 9

56 e consideriamo le due somme: s(d) = m i l(г i ) ; S(D) = M i l(г i ) dove l(γ i ) denota la lunghezza dell'arco Γ i. Al variare della partizione D di Γ le due somme considerate descrivono due insiemi numerici A = { s(d) }, B = { S(D) }. Se A e B sono separati e contigui, l'unico elemento separatore di A e B si chiama integrale curvilineo della funzione ƒ(x, y) esteso alla curva Γ e si denota con uno dei simboli ƒ(x,y) ds; ƒ(p)ds. Si dimostra il seguente risultato che fornisce anche una formula per il calcolo dell integrale curvilineo. Teorema sull'integrale curvilineo di una funzione continua Se la funzione ƒ(x,y) è continua in A esiste l integrale curvilineo di ƒ(x,y) esteso a Γ. Considerata, inoltre, una rappresentazione parametrica P = P(t) t [a,b] semplice e regolare della curva Γ, risulta: ƒ(p)ds = ƒ(p(t)) P'(t) dt oppure anche, il che è lo stesso, se P(t) = (x(t), y(t)) Osservazione 1 ƒ(x,y)ds = ƒ(x(t),y(t)) dt L integrale curvilineo di una funzione, essendo sostanzialmente un integrale di Riemann, gode di tutte le proprietà dell integrale. In particolare: 1. Proprietà distributiva Se esistono gli integrali curvilinei di ƒ e g estesi a una curva Γ semplice e regolare e c 1, c 2 sono due costanti reali, risulta: [c 1 ƒ(p) + c 2 g(p)]ds = c 1 ƒ(p)ds + c 2 g(p)ds 2. Proprietà additiva Se esiste l integrale curvilineo di ƒ esteso ad una curva Γ semplice regolare e se si decompone la curva Γ nelle due curve Γ 1 e Γ 2 risulta: ƒ(p)ds = ƒ(p)ds + ƒ(p)ds La definizione di integrale curvilineo si estende alle curve regolari a tratti. Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 8 di 9

57 Sia Γ una curva regolare a tratti decomponibile nelle n curve semplici e regolari Γ 1, Γ 2, Γ n si pone per definizione: ƒ(p)ds = ƒ(p)ds + ƒ(p)ds ƒ(p)ds CURVE DELLO SPAZIO In questo numero ci proponiamo di accennare all espansione allo spazio R 3 dei risultati relativi alle curve piane. In effetti tutte le definizioni e i teoremi di cui ci siamo occupati si estendono allo spazio quando con il simbolo P(t) si intende una funzione vettoriale a tre componenti ((x(t),y(t),z(t)) definita in un intervallo compatto. Ad esempio la definizione di curva si estende in maniera seguente. Definizione Sia P(t) = (x(t), y(t), z(t)) una funzione vettoriale di classe C (0) in un intervallo compatto [a, b]. Si chiama curva dello spazio, l insieme: Γ = { (x, y, z) R 3 : x = x(t), y = y(t), z = z(t) t [a, b]} o anche posto P = (x, y, z) l insieme Le equazioni Γ = { P = P(t) t [a, b] }. x = x(t) y = y(t) t [a, b] z = z(t) si chiamano equazioni parametriche e scalari della curva Γ. L equazione P = P(t); t [a, b] si chiama equazione parametrica vettoriale di Γ. I punti P' = P(a), P'' = P(b) si chiamano gli estremi di Γ, i punti di Γ diversi dagli estremi punti interni a Γ. Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 9 di 9

58 Capitolo 4 INTEGRALE CURVILINEO DI UNA FORMA DIFFERENZIALE Premettiamo che se X (x,y), Y (x,y) sono due funzioni reali definite in un insieme A R 2 e dx, dy denotano due variabili reali, l'espressione (*) X(x,y)dx + Y(x,y)dy si chiama una forma differenziale lineare di coefficienti X e Y. Tale espressione è funzione delle 4 variabili reali x, y, dx, dy, e per ogni punto (x,y) fissato in A si identifica con un polinomio di 1 grado nelle due variabili dx e dy. Poiché un tale polinomio si suole chiamare in algebra una forma lineare e poiché le variabili dx e dy si possono interpretare come differenziali è valso l uso di chiamare l espressione in oggetto forma differenziale lineare. Nel seguito diremo che la forma differenziale lineare (*) è di classe C (0) in A se tali sono i coefficienti X e Y; diremo che è di classe C (1) in A se tali sono X e Y. Ciò posto è molto importante per il seguito la seguente definizione Definizione 1(di integrale curvilineo) Siano (*) X(x,y)dx + Y(x,y)dy una forma differenziale lineare di classe C (0) in un insieme A R 2 e Γ una curva semplice e regolare contenuta in A. Fissato su Γ uno dei due possibili orientamenti, denotiamo col simbolo +Γ la curva Γ orientata sul verso positivo che abbiamo scelto. Considerata una qualsiasi rappresentazione parametrica semplice e regolare di Γ x = x(t) y = y(t) t [a, b] si chiama integrale curvilineo della forma differenziale lineare (*) esteso alla curva orientata +Γ e si denota con il simbolo l integrale definito (**) X(x,y)dx + Y(x,y)dy ± [X(x(t),y(t)) x'(t) + Y(x(t),y(t)) y'(t)] dt dove va scelto il segno + se il verso indotto su Γ della rappresentazione parametrica considerata (verso delle t crescenti) è concorde con il verso della curva orientata +Γ, altrimenti va scelto il segno. Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 1 di 13

59 Osservazione 1 Si noti esplicitamente che l integrale curvilineo di una forma differenziale lineare dipende dall orientamento della curva Γ nel senso che, se denotiamo con Γ la curva Γ orientata nel verso opposto della curva orientata +Γ, risulta Osservazione 2 Xdx + Ydy = Xdx + Ydy Se la curva Γ è chiusa il simbolo +Γ denota la curva Г orientata nella maniera seguente. Indicato con D il dominio limitato avente per frontiera la curva Γ, il simbolo +Γ denota la curva Γ orientata nel verso che lascia alla sinistra i punti interni a D.(vedi figura) ******************** Dalla definizione stessa segue che l integrale curvilineo di una forma differenziale lineare gode di tutte le proprietà dell integrale definito. In particolare vale la seguente proprietà Proprietà additiva Se la curva orientata +Γ si scompone, mediante un suo punto, in due curve orientate +Γ 1 e +Γ 2 che hanno lo stesso orientamento di Γ, risulta: Xdx + Ydy = Xdx + Ydy + Xdx + Ydy La proprietà additiva consente di estendere la definizione di integrale di una forma differenziale lineare alle curve semplici e regolari a tratti. Definizione 2 Sia Γ una curva semplice, regolare a tratti la quale sia unione delle n curve regolari Γ 1, Г 2,, Γ n. Si pone per definizione Xdx + Ydy = Xdx + Ydy + Xdx + Ydy Xdx + Ydy dove le curve +Γ 1, +Г 2,, +Γ n hanno lo stesso orientamento della curva orientata +Γ. Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 2 di 13

60 Osservazione 3 Dalla proprietà additiva dell integrale definito, tenuto conto della definizione precedente si deduce che se x = x(t) y = y(t) t [a, b] è una rappresentazione parametrica semplice regolare a tratti di Γ risulta ancora Xdx + Ydy = ± [X(x(t),y(t)) x'(t) + Y(x(t),y(t)) y'(t)] dt con lo stesso significato del + e del dinanzi all integrale. CAMPI VETTORIALI. LAVORO E CIRCUITAZIONE DI UN CAMPO DI VETTORI LUNGO UN CAMMINO Definizione 1 Sia A R 2 e per ogni punto P = (x,y) A indichiamo con oppure anche con V(x,y) = (X(x,y), Y(x,y)) V(P) = (X(P), Y(P)) il vettore di R 2 avente per componenti i coefficienti della forma differenziale lineare Xdx + Ydy. Al variare del punto P (x,y) in A, V(x,y) descrive un insieme di vettori che in Fisica viene chiamato un campo vettoriale o anche campo di forze. Osservazione Se indichiamo con dp = (dx,dy) il vettore di R 2 avente per componenti i numeri reali dx e dy, per la definizione stessa di prodotto scalare i due vettori risulta Xdx + Ydy = V dp e cioè la forma differenziale lineare Xdx + Ydy si esprime come prodotto scalare del vettore V(P) per il vettore dp in ogni punto P = (x,y) di A. Definizione 2 Sia V = (X,Y) un campo vettoriale a componenti di classe C (0) in un insieme A R 2 e +Γ una curva semplice, regolare a tratti, orientata contenuta in A. Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 3 di 13

61 L'integrale curvilineo V dp si chiama il lavoro del campo di vettori V lungo il cammino +Γ, oppure, se Γ è chiusa, la circuitazione del campo di vettori V lungo il cammino +Γ. Osservazione Si noti esplicitamente che risulta V dp = Xdx + Ydy STUDIO DELLE FORME DIFFERENZIALI LINEARI NEGLI APERTI CONNESSI MEDIANTE GLI INTEGRALI CURVILINEI È fondamentale per il seguito la seguente Definizione 1 di forma differenziale lineare esatta Sia Xdx + Ydy una forma differenziale lineare definita in un aperto A R 2. Si dice che Xdx + Ydy è una forma differenziale lineare esatta in A se esiste una funzione di due variabili U(x,y) differenziabile in A per la quale risulta U x (x,y) = X(x,y); U y (x,y) = Y(x,y) (x,y) A. Una tale funzione U(x,y) si dice una primitiva della forma differenziale lineare considerata sull'aperto A. Osservazione Ricordando che il differenziale du della funzione U è l espressione U x dx + U y dy, dalla definizione precedente si deduce che ( U primitiva di Xdx + Ydy) (du = Xdx + Ydy) e quindi la forma differenziale lineare Xdx + Ydy è esatta se e solo se è uguale al differenziale di una funzione U. Chiaramente non sempre ciò accade e ciò lo vedremo in seguito con un esempio. Ci proponiamo ora di stabilire dei risultati sulle forme differenziali esatte sfruttando la nozione di integrale curvilineo che abbiamo dato nella definizione n. 1. A tale scopo dimostriamo il seguente teorema. Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 4 di 13

62 Teorema 1 Sia Xdx + Ydy una forma differenziale lineare definita in un aperto connesso A R 2. Vale la seguente implicazione ( U e V primitive di Xdx + Ydy in A ) ( U V = c con c costante reale) Dimostrazione Essendo per ipotesi U e V entrambe primitive di Xdx+Ydy, risulta (U V) = X X = 0 ; (U V) x = Y Y = 0 (x,y) A y ne segue, essendo A un aperto connesso (in forza del teorema sulle funzioni con gradiente nullo in un connesso) che la funzione U V è costante in A e cioè la tesi. Osservazione 1 (notevole) Da questo teorema si deduce immediatamente che se U è una primitiva di Xdx + Ydy in un aperto connesso, tutte le primitive di Xdx + Ydy in A sono espresse dalla formula V = U + c al variare della costante reale c in R. Conseguentemente le primitive sono infinite. Teorema 2 (condizione necessaria) Sia Xdx + Ydy una forma differenziale lineare continua in un aperto connesso A R 2. Essendo A connesso per ogni coppia P' e P'' di punti di A esistono curve semplici regolari a tratti di estremi P' e P'' tutte contenute in A. Denotiamo allora con +Γ una tale curva orientata sul verso che va da P' a P''. Vale la seguente implicazione ( Xdx + Ydy esatta in A) ( Xdx + Ydy = U(P'') U(P') ) dove U(P) denota una qualsiasi primitiva di Xdx + Ydy. Dimostrazione Sia x = x(t) y = y(t) t [a, b] una rappresentazione parametrica di Γ semplice e regolare a tratti la quale induce su Γ il Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 5 di 13

63 verso che va da P' in P'' sicché risulterà P' = (x(a), y(a)) e P'' = (x(b), y(b)). Dalla definizione stessa, detta U una primitiva di Xdx+Ydy, si ha Xdx + Ydy = [X(x(t),y(t)) x'(t) + Y(x(t),y(t)) y'(t)]dt = = [U x (x(t),y(t)) x'(t) + U y (x(t),y(t)) y'(t)]dt = d U(x(t),y(t))dt = [U(x(t),y(t))] = dt Il teorema è dimostrato. Osservazione 2 (notevole) = U(x(b),y(b)) U(x(a),y(a)) = U(P'') U(P') Da questo teorema si deduce che l integrale curvilineo di una forma differenziale lineare esatta in un aperto connesso non dipende dalla curva semplice regolare a tratti che congiunge due punti P' e P'' ma dipende solo dai punti P' e P'' e naturalmente dall orientamento della curva stessa. Infatti se indichiamo con +Γ 1 e + Γ 2 due tali curve orientate entrambe nel verso che va da P' e P'' risulta Xdx + Ydy = U(P'') U(P') = Xdx + Ydy Ne segue che se Γ è una curva chiusa, essendo gli estremi P' e P'' di Γ coincidenti risulta Xdx + Ydy = 0 *************** Supponiamo che Xdx + Ydy non dipende dalla curva Γ ma soltanto degli estremi di Γ. Fissato allora un punto P 0 = (x 0, y 0 ) A per ogni punto P = (x, y) A l integrale curvilineo in questione dipende soltanto dal punto P e cioè è una funzione dalle coordinate x, y di P. Ha senso allora porre (*) W 0 (x, y) = Xdx + Ydy dove naturalmente con +Γ si intende una curva semplice regolare a tratti che congiunge P 0 con P orientata nel verso che va da P 0 con P. Ciò posto è importante rilevare che l implicazione contenuta nel teorema 2 si può invertire. Si dimostra infatti il seguente risultato. Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 6 di 13

64 Teorema 3 condizione sufficiente Sia Xdx+Ydy una forma differenziale lineare continua in un aperto connesso A R 2. Vale la seguente implicazione L integrale curvilineo di Xdx + Ydy W 0 (x, y) primitiva di Xdx + Ydy e non dipende dalla curva Г quindi Xdx + Ydy è esatta dove con W 0 (x, y) si intende la funzione (*). Dai teoremi 2 e 3 e dalla osservazione 2 si deduce immediatamente il seguente risultato. Caratterizzazione delle forme differenziali lineari continue in un aperto connesso Sia Xdx+Ydy una forma differenziale lineare continua in un aperto connesso A. V. s. e. ( Xdx + Ydy esatta in A ) ( Xdx + Ydy = Xdx + Ydy ) dove +Γ 1 e +Γ 2 denotano due qualsiasi curve semplici regolari a tratti contenute in A aventi gli stessi estremi e lo stesso orientamento. ( Xdx + Ydy esatta in A ) ( Xdx + Ydy = 0 ) dove +Γ denota una qualunque curva orientata semplice chiusa regolare a tratti contenuta in A. ****************** Terminiamo con una definizione, equivalente alla definizione di forma differenziale esatta, che è molto utilizzata nelle scienze applicate. Definizione Sia V(x, y) = ( X(x, y), Y(x, y) ) un campo vettoriale definito in un aperto A. Si dice che V(x, y) è conservativo quando esiste una funzione scalare U(x, y) differenziabile in A e tale che DU(x,y) = ( U x (x,y), U y (x,y) ) = V(x,y) (x,y) A. Ogni funzione scalare U che gode della proprietà anzidetta si chiama un potenziale del campo V. Conseguentemente un campo vettoriale V(x, y) è conservativo quando ammette potenziali U(x, y). Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 7 di 13

65 STUDIO DELLE FORME DIFFERENZIALI A COEFFICIENTI DERIVABILI Nel numero precedente abbiamo stabilito dei risultati che riguardano forme differenziali a coefficienti continui e cioè di classe C (0) in un aperto connesso A. Supponiamo ora che i coefficienti delle forme differenziali lineari siano in più regolari e precisamente di classe C (1) (quindi derivabili) in un aperto A. Premettiamo una definizione Definizione 1 Sia Xdx + Ydy una forma differenziale lineare in due variabili di classe C (1) in un aperto A R 2. Si dice che tale forma differenziale lineare è chiusa in A se risulta X y (x, y) = Y x (x, y) Vale in proposito il seguente risultato Teorema 1 (condizione necessaria) (x, y) A Sia Xdx + Ydy una forma differenziale lineare di classe C(1) in un aperto A. Vale la seguente implicazione (Xdx + Ydy esatta in A) (Xdx + Ydy chiusa in A) Dimostrazione Se U(x,y) è una primitiva allora, nelle ipotesi poste, risulta U xy = U x = X y ; U yx = U y = Y x y x D altra parte, per il teorema di Schwarz, risulta U xy = U yx e quindi anche X y = Y x. Dalla definizione precedente segue l asserto. ****************** Un caso, molto importante per le applicazioni, nel quale l implicazione del teorema 1 si inverte è quello degli aperti semplicemente connessi. Definizione 2 Un aperto connesso A si dice semplicemente connesso se comunque si consideri una curva Γ A chiusa semplice regolare a tratti, il dominio limitato D di frontiera Γ è interamente contenuto in A. Esempi si aperti semplicemente connessi sono: Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 8 di 13

66 A = { (x, y) : (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < r 2 } ; A = { (x, y) : x ]a, b[ e y R } i quali sono rispettivamente un cerchio di centro (x 0,y 0 ) e raggio r e una striscia di piano delimitato dalle rette x = a e x = b. Esempi di aperti connessi ma non semplicemente connessi sono: A = {(x, y) : r 1 < < r 2 } ; A = R 2 { (x 0, y 0 )} i quali sono rispettivamente una corona circolare ci centro (x 0, y 0 ) e raggi 0 < r 1 < r 2 e il piano R 2 privato del punto (x 0, y 0 ). Ciò posto, nel seguito dimostreremo il seguente risultato. Teorema 2(condizione sufficiente) Sia Xdx + Ydy una forma differenziale lineare di classe C (1) in un aperto A semplicemente connesso del piano R 2. Vale la seguente implicazione (Xdx + Ydy chiusa in A) (Xdx + Ydy esatta in A) CALCOLO DI UNA PRIMITIVA DI UNA FORMA DIFFERENZIALE CHIUSA IN UN RETTANGOLO Nel capitolo 3 si è visto che se Xdx + Ydy è una forma differenziale lineare di classe C (1) e chiusa in un aperto A semplicemente connesso allora Xdx + Ydy è esatta in A e quindi ammette primitive. Supponiamo ora, in particolare, che A ]a,b[x]c,d[ con a,b,c,d R e cioè che A contenga un rettangolo aperto avente eventualmente dimensioni infinite. In tal caso per determinare una primitiva si possono seguire due metodi diversi. che andiamo ad esaminare mediante un esempio. Consideriamo la forma differenziale lineare (2x + 5y 3 )dx + (15xy 2 + 2y)dy verifichiamo che tale forma differenziale è esatta e calcoliamone una primitiva. Posto X(x, y) = 2x + 5y 3 ; Y(x, y) = 15xy 2 + 2y Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 9 di 13

67 osserviamo che X ed Y sono di classe C (1) in R 2 = R x R che può essere interpretato come un rettangolo aperto avente dimensioni infinite. Essendo inoltre X y = Y x = 15y 2 la forma differenziale è esatta in R 2 e quindi ammette primitive. Per determinare una primitiva possiamo seguire una delle due strade. 1 metodo Osserviamo innanzitutto che, essendo la forma differenziale lineare esatta in un aperto connesso, fissato in R 2 un punto P 0 = (x 0, y 0 ) e indicato con P = (x,y) un punto di R 2, la funzione U (x, y) = Xdx + Ydy dove +Γ denota una curva semplice regolare a tratti congiungente P 0 con P orientata da P 0 a P, non dipende dalla curva Γ. Essendo R 2 un rettangolo possiamo allora scegliere una curva Γ che sia unione di due segmenti paralleli agli assi coordinati. Fissato P 0 = O = (0,0) cerchiamo la primitiva. U (x, y) = (2x + 5y 3 )dx + (15xy 2 + 2y)dy dove +Γ è unione del segmento +Γ 1 di estremi O e Q e del segmento +Γ 2 di estremi Q e P, segmenti orientati allo stesso modo di +Г (vedi figura). Si ha: U (x, y) = Xdx + Ydy + Xdx + Ydy Calcoliamo ora i due integrali curvilinei a secondo membro. Una rappresentazione parametrica del segmento Γ 1 è x = 0 y = t ; t [0, y] Conseguentemente Xdx + Ydy = 2tdt = [t 2 ] = y 2 analogamente, una rappresentazione parametrica del segmento Γ 2 è x = t y = y ; t [0, x] Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 10 di 13

68 e quindi si conclude che Xdx + Ydy = (2t + 5y 3 )dt = [t 2 + 5y 3 t] = x 2 + 5y 3 x U (x, y) = y 2 + x 2 + 5xy 3 2 metodo Indicata con U(x, y) la primitiva cercata, si ha: U(x, y) =2x +5y 3 e quindi, integrando rispetto a x (*) U(x, y) = (2x + 5y 3 )dx = x 2 + 5xy 3 + c(y) dove c(y) denota una costante rispetto a x dipendente da y perchè la funzione integranda dipende anche da y. Per determinare l incognita c(y) deriviamo ulteriormente rispetto a y l uguaglianza così ottenuta. Si ha: U y (x, y) = 15xy 2 + c'(y) e cioè essendo U y (x, y) = Y(x,y) = 15xy 2 + 2y, abbiamo: da cui semplificando Sostituendo in (*) abbiamo in definitiva Osservazione 15xy 2 + 2y = 15xy 2 + c'(y) c'(y) = 2y c(y) = 2ydy = y 2 U(x, y) = x 2 + 5xy 2 + y 2 Si noti che essendo l aperto R 2 un aperto connesso, per il teorema 1 di pag. 8 tutte le primitive della forma differenziale lineare considerata sono le infinite funzioni x 2 + 5xy 2 + y 2 + c che si ottengono al variare della costante c in R. FORME DIFFERENZIALI NELLO SPAZIO R 3 Vogliamo ora accennare brevemente all estensione della teoria delle forme differenziali lineari allo spazio R 3. In maniera del tutto analoga, considerate tre funzioni X(x, y, z), Y(x, y, z), Z(x, y, z) definite in un insieme A R 3 e denotato con (dx, dy, dz) un punto qualsiasi di R 3 (sicché dx R, dy R, dz R ) l espressione (*) X(x, y, z) dx + Y(x, y, z) dy + Z(x, y, z)dz Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 11 di 13

69 si chiama una forma differenziale lineare di coefficienti le funzioni X, Y, Z. La definizione di integrale curvilineo di una tale forma differenziale lineare è anch essa del tutto analoga. Precisamente, supposto che i coefficienti X, Y, Z siano di classe C (0) in un aperto A R 3, consideriamo una curva Γ (dello spazio R 3 ) contenuta in A semplice e regolare avente per estremi i punti P' e P'' orientata nel verso che va da P' a P''. Supposto che x = x(t) (**) y = y(t) ; t [a, b] z = z(t) sia una rappresentazione parametrica semplice e regolare di Γ, si pone Xdx + Ydy + Zdz ± [ X( x(t), y(t), z(t)) x'(t) + Y(...) y'(t) + Z(...) z'(t)]dt dove va scelto il segno + se il verso indotto dalla rappresentazione parametrica (**) su Γ coincide col verso che va da P' a P'', altrimenti va scelto il segno -. La forma differenziale lineare (*) si dice esatta in A = Å se ammette una primitiva e cioè una funzione differenziabile U(x,y,z) per la quale risulti U x = X, U y = Y, U z = Z (x,y) A. I teoremi relativi alle forme differenziali lineari continue in un connesso esposti nel n. 2 si estendono senza alcuna difficoltà: basta sostituire negli enunciati l espressione Xdx +Ydy con Xdx +Ydy + Zdz e intendere le curve Г come curve dello spazio. Una forma differenziale Xdx + Ydy + Zdz a coefficienti di classe C (1) in un aperto A R 3 si dice chiusa quando risulta X y = Y x ; X z = Z x ; Y z = Z y (x, y) A e cioè quando risultano eguali le derivate incrociate dei coefficienti. Il teorema della condizione necessaria per una forma differenziale a coefficienti derivabili continua a sussistere. Invece il teorema relativo alla condizione sufficiente si estende allo spazio R 3 ma non è utile per le applicazioni. Per tale motivo si preferisce a questo risultato un altro risultato che suppone l aperto A stellato. Un aperto A R 3 si dice stellato se esiste un punto P 0 A tale che P A il segmento P 0 P è contenuto in A. Ad esempio è un aperto stellato un rettangolo aperto di R 3 e cioè un aperto A = ]a,b[x ]c,d[x]p,q[ con a,b,c,d,p,q R. Invece l insieme A = R 3 {(0, 0, 0)} non è un aperto stellato perché P 0 A i segmenti P 0 P passanti per O = (0, 0, 0) non sono Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 12 di 13

70 contenuti in A. Ciò posto si dimostra la seguente implicazione. (Xdx + Ydy + Zdz chiusa in A e A aperto stellato) (Xdx + Ydy + Zdz esatta in A) Terminiamo queste considerazioni sulle forme differenziali lineari nello spazio R 3 osservando che, analogamente al caso delle due variabili, se l aperto A di R 3 è un rettangolo aperto dello spazio allora A è un aperto stellato per cui se la forma differenziale lineare è anche chiusa in A per determinare una primitiva si possono utilizzare ancora i due metodi che abbiamo indicato nelle pagg. 10,11 (ovviamente opportunamente adattati allo spazio R 3 ). I limiti imposti dal corso non ci consentono più di approfondire ulteriormente questa questione. Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 13 di 13

71 Capitolo 6 SUPERFICI REGOLARI Sia P(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) una funzione vettoriale di classe C (0) in un dominio connesso B R 2. L insieme S = { (x,y,z) R³ : x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v); (u,v) B } si chiama superficie di equazioni parametriche x = x (u,v) (*) y = y(u,v) ; (u,v) B z = z(u,v) o anche, posto P = (x,y,z), superficie di equazione parametrica vettoriale P = P(u,v) ; (u,v) B si dice anche che le equazioni (*) costituiscono una rappresentazione parametrica scalare della superficie S e che l equazione (**) costituisce una rappresentazione parametrica vettoriale di S. Esistono infinite rappresentazioni parametriche di una superficie S. Infatti se Φ(s,t) = ( u(s,t), v(s,t) ) è una funzione vettoriale continua nel dominio connesso D avente per codominio il dominio connesso B, l equazione P = P ( Φ(s,t)) ; (s,t) D costituisce una nuova rappresentazione parametrica della superficie S. Essendo infinite le funzioni continue in un dominio connesso e avente per codominio B, infinite sono le rappresentazioni parametriche di S. Definizione 1 Si dice che una superficie S è una superficie regolare con bordo regolare, brevemente una superficie regolare, quando esiste una sua rappresentazione parametrica: P = P(u,v) ; (u,v) B dove P(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) è una funzione vettoriale di classe C (1) in B la quale verifica le seguenti proprietà 1) Il dominio connesso B è un dominio regolare; 2) P(u,v) è invertibile nel dominio B e cioè: ( (u',v'), (u'',v'') B e (u',v') (u'',v'') ) ( P(u',v') P(u'',v'') ) Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 1 di 15

72 3) La matrice jacobiana (**) (x, y, z) x u y u z u = (u, v) x v y v z v ha rango 2 in B e cioè è tale che almeno uno dei suoi minori del secondo ordine è diverso da zero. Osservazione 1 Si chiama bordo di una superficie regolare S e si denota con il simbolo S l insieme dei punti di S che sono immagine attraverso una sua rappresentazione parametrica regolare P = P(u,v) ; (u,v) B dei punti della frontiera B del dominio B. Osservazione 2 Si noti che una superficie regolare S può ammettere rappresentazioni parametriche che non godono delle proprietà 1),2) e 3) della definizione 1. Per tale motivo una rappresentazione parametrica di S che gode di tali tre proprietà si dice una rappresentazione parametrica regolare della superficie regolare S. Osservazione 3 Posto y u y v z u z v x u J 1 = ; J 2 = ; J 3 = ; x v z u z v x u x v y u y v e cioè, indicate con J 1 (u,v), J 2 (u,v), J 3 (u,v) i minori del secondo ordine della matrice jacobiana (**) presi a segni alterni, la condizione 3) della definizione 1 è equivalente alla condizione J 1 2 (u,v) + J 2 2 (u,v) + J 3 2 (u,v) > 0 SUPERFICI REGOLARI NOTEVOLI Superficie diagramma (u,v) B Sia ƒ(x,y) una funzione di due variabili definita in un insieme B. L insieme S = {x,y,z) R 3 : (x,y) B e z = ƒ(x,y)} Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 2 di 15

73 si chiama il diagramma della funzione ƒ e l equazione z = ƒ(x,y) equazione cartesiana del diagramma S. È facile verificare che se ƒ(x,y) e una funzione di classe C (1) in B e se B è un dominio regolare, il diagramma di ƒ è una superficie regolare. Infatti una rappresentazione parametrica della superficie S è : x = u; (*) y = v ; (u,v) B z = ƒ(u,v) ed è evidente che tale rappresentazione parametrica verifica le proprietà 1) e 2) della definizione di superficie regolare. Essendo inoltre: J 1 2 (u,v) + J 2 2 (u,v) + J 3 2 (u,v) = ƒ u 2 + ƒ v 2 + 1> 0 (u,v) B risulta verificata anche la proprietà 3). Ne segue che la rappresentazione parametrica (*) del diagramma S è regolare e quindi S è una superficie regolare. Superfici di rotazione Consideriamo nello spazio (O, x, y, z) una curva Г contenuta nel semipiano (O, x, z) con x 0 di equazione z = g(x), g essendo una funzione di classe C (1) nell intervallo [a, b] con a > 0. In tali ipotesi Г è una curva contenuta in (O, x, z), la quale è un diagramma rispetto all asse x semplice e regolare che non ha punti in comune con l asse z. La superficie S descritta dalla curva Г quando il semipiano che contiene Г ruota di un giro completo intorno all asse z si chiama una superficie di rotazione. Considerata la rappresentazione parametrica (semplice e regolare) x = t z = g(t) t [a, b] della curva Г, osserviamo che ogni punto P di Г descrive, sulla rotazione, una circonferenza che ha centro nel punto P 0, proiezione perpendicolare di P sull asse z, e raggio il segmento PP 0. Conseguentemente (vedi figura) il punto Q di tale circonferenza che proviene da P = ( t, O, g(t)) in una rotazione intorno all asse z di un angolo θ ha coordinate x = t cosθ (*) y = t senθ ; (t,θ) [a,b]x[0, 2π] = B z = g(t) Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 3 di 15

74 Le equazioni (*) costituiscono una rappresentazione parametrica della superficie di rotazione S. Eliminando il parametro t ( ricavando t dalle prime due equazioni e sostituendo nella terza) si ottiene che S è la superficie di equazione cartesiana z = g( x 2 + y 2 ) con (x,y) D = { (x,y) : a x 2 + y 2 b} e cioè S è il diagramma della funzione ƒ(x, y) = g( x 2 + y 2 ) di classe C (1) sulla corona circolare D di centro O e raggio a e b. In conclusione se Г è un diagramma regolare anche la superficie di rotazione è un diagramma regolare. Osservazione Si noti che, nella pratica, assegnata l equazione cartesiana z = g(x) della curva ruotante Г, per determinare l equazione cartesiana z = g( x 2 + y 2 ) della superficie di rotazione S basta sostituire formalmente in z = g(x) x con x 2 + y 2. Superficie cilindriche Consideriamo nello spazio (O, x, y, z) una curva Г contenuta in un piano, ad esempio il piano (O, x, y) e una retta r perpendicolare a tale piano e passante per un punto P di Г. Il luogo geometrico S descritto dalla retta r quando il punto P descrive la curva Г si chiama superficie cilindrica di curva direttrice Г e generatrice la retta r. Ciò permesso supponiamo (vedi figura) che Г sia una curva semplice regolare aperta (cioè non chiusa) e che x = x(u); (*) y = y(v) ; u [a, b] sia una rappresentazione parametrica semplice regolare di Г. E facile convincersi che le equazioni x = x(u); y = y(v) ; (u,v) [a, b]x[c, d] B z = v Costituiscono una rappresentazione parametrica della porzione di superficie cilindrica, di direttrice Г e generatrici le rette parallele all asse z e passanti per i punti di Г, compresa tra i piani di equazioni z = c e z = d. Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 4 di 15

75 Infatti, fissato il parametro u il punto ( x(u), y(u), v) al variare di v nell intervallo [c,d] descrive il segmento di generatrice passante per il punto ( x(u), y(u) ) di Г e compreso tra i piani z = c e z = d. Al variare poi del parametro u in [a, b] tale segmento descrive la superficie. È facile verificare che, essendo la curva direttrice Г semplice e regolare e la rappresentazione parametrica (*) semplice e regolare, la superficie cilindrica S gode delle proprietà 1) e 2) della definizione 1 di pagina 1. Inoltre un semplice calcolo mostra che J 1 2 (u,v) + J 2 2 (u,v) + J 3 2 (u,v) = x' 2 (u) + y' 2 (u) per cui se risulta x(u) + y(u) > 0 u [a, b] S è una superficie regolare. Ciò accade, in particolare, quando risulta che la curva direttrice Г è un diagramma regolare di equazione cartesiana y = ƒ(x), x [a,b]. Infatti in tal caso risulta PIANO TANGENTE J 1 2 (u,v) + J 2 2 (u,v) + J 3 2 (u,v) = 1 + ƒ ' 2 (u) > 0 u [a, b] Come le curve regolari sono caratterizzate dalla proprietà di essere dotate di retta tangente (curve lisce) così pure la superfici regolari sono caratterizzate dalla proprietà di essere dotate di piano tangente (superfici lisce). Vogliamo accennare a questa proprietà senza dimostrare nulla. Sia S una superficie regolare e x = x(u,v) y = y(u,v) ; (u,v) B z = z(u,v) una rappresentazione parametrica regolare di S. È possibile verificare, ma ce ne asteniamo per brevità, che se γ è una curva semplice regolare interna al dominio B e Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 5 di 15

76 u =u(t) v = v(t) t [a,b] una sua rappresentazione parametrica regolare, anche la curva Г contenuta nella superficie S di equazioni parametriche (*) x = x( u(t), v(t) ) y = y( u(t), v(t) ) t [a,b] z = z( u(t), v(t) ) è una curva semplice regolare. Tale curva si chiama una curva tracciata sulla superficie S. Ne segue che se Q 0 = (u 0, v 0 ) = (u(t 0 ), v(t 0 )) è un punto interno a γ, la curva Г tracciata su S corrispondente a γ dotata di retta tangente nel punto P 0 = (x 0,y 0,z 0 ) = (x(u 0,v 0 ), y(u 0,v 0 ), z(u 0,v 0 )) è immagine sulla superficie S del punto Q 0 γ mediante la rappresentazione parametrica (*). Si dimostra allora il seguente risultato Teorema sul significato geometrico della regolarità Sia S una superficie regolare (**) x = x (u,v) y = y (u,v) ; (u,v) B z = z (u,v) una sua rappresentazione parametrica regolare, P 0 = (x 0,y 0,z 0 ) = (x(u 0,v 0 ), y(u 0,v 0 ), z(u 0,v 0 )) un punto interno a S (cioè immagine mediante la rappresentazione parametrica considerata di un punto Q 0 = (u 0, v 0 ) interno a B). In tali ipotesi tutte le rette tangenti in P 0 alle curve semplici regolari tracciate su S e passanti per il punto P 0 si trovano nello stesso piano. Tale piano ha equazione J 1 (u 0,v 0 )(x x 0 ) + J 2 (u 0,v 0 )(y y 0 ) + J 3 (u 0,v 0 )(z z 0 ) = 0 dove, al solito, J 1,J 2, J 3 sono i minori del secondo ordine della matrice jacobiana relativa alla rappresentazione parametrica considerata (**) della superficie S. Questo teorema giustifica la seguente definizione. Definizione Nelle ipotesi del teorema precedente il piano di equazione J 1 (u 0,v 0 )(x x 0 ) + J 2 (u 0,v 0 )(y y 0 ) + J 3 (u 0,v 0 )(z z 0 ) = 0 si chiama piano tangente alla superficie S nel punto P 0 = ( x 0,y 0,z 0 ) = ( x(u 0,v 0 ), y(u 0,v 0 ), z(u0,v0) ). Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 6 di 15

77 Osservazione notevole Se S è un diagramma regolare di equazione cartesiana z = ƒ(x,y), visto che x = u y = v z = ƒ(u,v) (u,v) B è una rappresentazione parametrica regolare di S e che risulta J 1 (u,v) = ƒ u (u,v) ; J 2 (u,v) = ƒ v (u,v); J 3 (u,v) = 1 o anche, il che è lo stesso, J 1 (x,y) = ƒ x (x,y) ; J 2 (x,y) = ƒ y (x,y); J 3 (x,y) = 1 (x,y) B abbiamo Ne consegue che, considerato il punto Q 0 = (u 0,v 0 ) = (x 0,y 0 ) B 0, l equazione del piano tangente a S nel punto P 0 = ( x 0, y 0, ƒ(x 0, y 0 ) ) è : AREA DI UNA SUPERFICIE z = ƒ(x 0, y 0 ) + ƒ x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + ƒ y (x 0, y 0 )(y y 0 ) Premettiamo che definire l area di una superficie regolare con considerazioni di natura geometrica è un problema piuttosto complesso che, per tale motivo, esula dai limiti imposti dal corso compatto. Ci limiteremo perciò a dare la definizione di area di una superficie rinunciando alle giustificazioni di natura geometrica. Definizione1 Sia S una superficie regolare e x = x(u,v) y = y(u,v) ; (u,v) B z = z(u,v) una rappresentazione parametrica regolare di S. Essendo B un dominio regolare ha senso considerare l integrale doppio dudv dove J 1, J 2, J 3 sono i minori del secondo ordine della matrice jacobiana assoluta alla rappresentazione parametrica (*).Tale integrale doppio si chiama area della superficie S e si denota col simbolo m(s) oppure anche con areas. *************** Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 7 di 15

78 La definizione di area di una superficie regolare si estende in modo naturale alle superfici S che risultano essere l unione di un numero finito S 1, S 2,, S n di superfici regolari due a due aventi in comune al più soltanto punti del bordo. Tali sono ad esempio la superficie sferica, la frontiera di un cilindro circolare retto, la frontiera di un dominio regolare dello spazio normale rispetto ad uno dei piani coordinati e, più in generale, la frontiera di un dominio regolare dello spazio. Definizione2 Sia S una superficie che risulti decomponibile in un numero finito di superfici regolari S 1, S 2,, S n due a due aventi in comune al più soltanto punti del bordo. In tali ipotesi si pone per definizione m (S) = m(s 1 ) + m(s 2 ) + + m(s n ) è cioè si estende la definizione di area di una superficie a tali superfici S definendo l area m(s)come somma delle aree delle superfici regolari S 1, S 2,, S n che le costituiscono. Osservazione 1 Sia S una superficie decomponibile nelle n superfici regolari S 1, S 2,, S n e supponiamo che esista una rappresentazione parametrica P = P(u,v) ; (u,v) B di S verificante la seguente proprietà. Il dominio base B è decomponibile in n domini regolari B 1, B 2,..., B n tali che P = P(u,v) con (u,v) B i è una rappresentazione parametrica regolare della superficie regolare S i (i = 1,2.n). In tali ipotesi per la definizione precedente, risulta m(s) = dudv + dudv dudv Dalla proprietà additiva dell integrale doppio, tenuto conto che B 1 B 2 B n = B, si deduce che m(s) = dudv e cioè in conclusione, continua a valere la formula di calcolo dell area di una superficie contenuta nella definizione 1. Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 8 di 15

79 Osservazione 2 Si noti che, se S è il diagramma regolare di equazione cartesiana z = ƒ(x, y) ; (x,y) B, essendo J 1 = ƒ x ; J 2 = ƒ y ; J 3 = 1 risulta m(s) = dxdy INTEGRALE SUPERFICIALE Definizione1 Sia ƒ(x,y,z) una funzione reale di tre variabili continua in un insieme A R 3, S una superficie regolare contenuta in A, x = x(u,v) y = y(u,v) ; z = z(u,v) (u,v) B una rappresentazione parametrica regolare della superficie S. Per ogni partizione P = {B 1, B 2,, B n } del dominio regolare B in domini regolari indichiamo con {S 1, S 2,, S n } la partizione di S corrispondente a P e consideriamo le somme integrali s(p) = m i areas i ; S(P) = M i areas i dove m i e M i denotano il minimo e il massimo di ƒ(x, y, z) nella superficie S i (i = 1,2...n) certamente esistenti per il teorema di Weiestrass. Al variare della partizione P del dominio B tali somme integrali descrivono due insiemi numerici {s(p)} e {S(P)}. Se tali insiemi numerici sono separati e contigui l unico elemento separatore si chiama integrale superficiale della funzione ƒ(x, y, z) esteso alla superficie S e si denota col simbolo ƒ(x,y,z)dσ Sussiste in proposito il seguente risultato che fornisce anche una formula per il calcolo degli integrali superficiali. Teorema Nell ipotesi poste su ƒ e S nella definizione precedente esiste l integrale superficiale di ƒ esteso ad S e considerata una rappresentazione parametrica regolare P = P(u,v) ; Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 9 di 15

80 (u,v) B con P (u,v) = ( x(u,v), y(u,v), z(u,v) ) di S, risulta ƒ(x, y, z)dσ ƒ( x(u,v), y(u,v), z(u,v) ) dudv Definizione2 Se S è una superficie unione di n superfici regolari S 1, S 2,, S n aventi in comune a due a due al più soltanto punti del bordo si pone ƒ(x, y, z)dσ ƒ( x, y, z)dσ + ƒ( x, y, z)dσ ƒ( x, y, z)dσ Vogliamo ora occuparci di una applicazione importante della nozione di integrale superficiale. A tal scopo premettiamo che come è noto dalla Geometria Analitica, dato il piano di equazione ax + by + cz + d = 0 e un suo punto P 0 = (x 0, y 0, z 0 ), l equazione della retta passante per P 0 e perpendicolare a tale piano è x x 0 y y 0 z z 0 = = a b c Conseguentemente i coefficienti a, b, c che compaiono nell equazione del piano sono numeri direttori della retta perpendicolare al piano in P 0. Fissato sulla retta perpendicolare un orientamento, il vettore ± a ± b ± c,, dove la scelta dei segni + o dipende dall orientamento della retta, si chiama il versore normale nel punto P 0, al piano ax + by + cz + d = 0. Ciò posto consideriamo una superficie S regolare e una sua rappresentazione parametrica regolare x = x (u,v) (*) y = y(u,v) ; (u,v) B z = z(u,v) Abbiamo visto che, in tali ipotesi, il piano di equazione J 1 (u 0,v 0 )(x x 0 ) + J 2 (u 0,v 0 )(y y 0 ) + J 3 (u 0,v 0 )(z z 0 ) = 0 è il piano tangente a S nel punto P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) = ( x(u 0,v 0 ), y(u 0,v 0 ), z(u 0,v 0 ) ). Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 10 di 15

81 Il versore dell asse normale a tale piano nel punto P 0 : n(p 0 ) = J 1 (u 0,v 0 ) J 2 (u 0,v 0 ) J 3 (u 0,v 0 ),, si chiama versore normale positivo in P 0 alla superficie S relativo alla rappresentazione parametrica di (*) S. Il versore opposto n(p 0 ) versore normale negativo relativo alla rappresentazione parametrica (*) di S. In particolare se S è un diagramma regolare di equazione cartesiana z = ƒ(x,y); (x,y) B il versore normale positivo a S in P 0 relativo alla rappresentazione parametrica usuale di S (**) x = u y = v ; (u,v) B z = ƒ(u,v) è il vettore n(p 0 ) = ƒ x (x 0, y 0 ) ƒ y (x 0, y 0 ) 1,, Essendo la terza componente di questo vettore positiva si tratta di un versore che forma un angolo acuto con l asse z. Ciò posto, consideriamo una superficie regolare S e indichiamo con P = P (u,v) ; (u,v) B una rappresentazione parametrica regolare di S. È possibile distinguere su S due facce o pagine: la faccia che è rivolta verso i versori normali positivi relativi alla rappresentazione Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 11 di 15

82 parametrica di S considerata e la faccia opposta. La prima di queste due facce si chiama la pagina positiva di S relativa alla rappresentazione parametrica P = P(u,v), (u,v) B. Nel caso della superficie diagramma di equazione z = ƒ(x, y); (x, y) B la pagina positiva relativa alla rappresentazione parametrica (**) è quella rivolta verso l alto. (vedi figura). Una superficie regolare S si dice una superficie regolare orientata quando, considerata una ( qualsiasi ) rappresentazione parametrica regolare P = P (u,v) ; (u,v) B di S, si fissa ad arbitrio una delle due pagine di S relative a tale rappresentazione parametrica. Tale pagina prescelta si chiama pagina positiva della superficie orientata S e naturalmente non è tenuta a coincidere con la pagina di S che risulta determinata dai versori normali positivi relativi alla rappresentazione parametrica regolare di S considerata. Premesse tutte queste nozioni è possibile dare la definizione (utile nelle scienze applicate) di flesso di un campo di vettori attraverso una superficie orientata. Definizione Sia V(x,y,z) = ( X(x,y,z), Y(x,y,z), Z(x,y,z) ) un campo vettoriale dello spazio R 3 a componenti di classe C (0) in un insieme A R 3 e sia S una superficie regolare orientata contenuta in A. L integrale superficiale (V n)dσ dove (nel prodotto scalare V n) n denota il versore normale che determina la pagina positiva fissata sulla superficie S per orientarla, si chiama flesso del campo V attraverso S nella direzione dei versori n. Osservazione Si noti che se x = x(u,v) y = y(u,v) ; (u,v) B z = z(u,v) è una rappresentazione parametrica regolare della superficie S e se la pagina positiva fissata su S per orientarla coincide con la pagina positiva relativa a tale rappresentazione parametrica di S, risulta: (V n)dσ = [X( x(u,v), y(u,v), z(u,v) )J 1 (u,v)+ Y( x(u,v), y(u,v), z(u,v) )J 2 (u,v) + + Z( x(u,v), y(u,v), z(u,v) )J 3 (u,v)]dudv Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 12 di 15

83 IL TEOREMA DI STOKES NELLO SPAZIO Vogliamo ora accennare all estensione del teorema di Stokes allo spazio R 3. A tale scopo è opportuno premettere la nozione di orientamento del bordo S di una superficie regolare. Osserviamo innanzitutto che il bordo S di una superficie regolare S è costituito da un numero finito di curve dello spazio R 3 semplici, chiuse, regolari a tratti che risultano immagine mediante una rappresentazione parametrica regolare di S P = P(u,v) ; (u,v) B delle curve che costituiscono la frontiera B del dominio regolare B base della rappresentazione parametrica considerata. Ciò posto: Definizione Si chiama verso positivo del bordo S della superficie regolare S, relativo alla rappresentazione parametrica regolare di S P = P(u,v) ; (u,v) B il verso secondo il quale il punto P = P(u,v) descrive le curve del bordo S di S quando il punto (u,v) B descrive le curve della frontiera B del dominio base B nel verso positivo convenzionale (verso che lascia alla sinistra i punti interni a B). Il verso opposto si chiama verso negativo del bordo S di S relativo alla rappresentazione parametrica (*). Ciò posto, diremo che il bordo S di S è orientato quando fissiamo a piacere uno dei due possibili versi di percorrenza di S relativi ad una rappresentazione parametrica regolare di S. Il verso prescelto si chiama verso positivo del bordo S di S e si denota con il simbolo + S. Naturalmente l orientamento positivo + S del bordo S della superficie S non è tenuto a coincidere col verso positivo del bordo S relativo alla rappresentazione parametrica (*). Osservazione Si noti che, se in particolare, la superficie S è il diagramma regolare di equazione cartesiana z = ƒ(x, y) ; (x, y) B (sicché ƒ è una funzione di classe C (1) nel dominio regolare B) il verso positivo del bordo S di S relativo alla rappresentazione parametrica usuale di S x = u y = v ; (u,v) B z = ƒ(u,v) Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 13 di 15

84 e quello indicato alle pagine 11 e 12. È opportuno, in secondo luogo, precisare che cosa si intende (nelle scienze applicate) per rotore di un vettore V(x,y,z) = ( X(x,y,z), Y(x,y,z), Z(x,y,z) ) dello spazio R 3. Si chiama rotore del vettore V e si denota col simbolo rotv il vettore dello spazio R 3 che ha come componenti i minori del secondo ordine della matrice simbolica: x y z X Y Z e cioè i determinanti (presi a segni alterni) y z ; x z ; x y Y Z X Z X Y In conclusione rotv (Z y Y z, X z Z x, Y x X y ). Possiamo ora enunciare il seguente risultato Teorema di Stokes nello spazio Sia V = (X; Y; Z) un campo vettoriale dello spazio di classe C (1) in un aperto A R 3 ed S una superficie regolare contenuta in A. Considerata una rappresentazione parametrica regolare P = P(u,v); (u,v) B della superficie S, denotiamo con il versore n il versore normale positivo relativo a tale rappresentazione parametrica e con + S il bordo di S orientato nel verso positivo relativo a tale rappresentazione parametrica (si dice in tal caso che gli orientamenti di S e S sono coerenti). In tali ipotesi vale la seguente formula di Stokes (*) (rotv n)dσ = V dp Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 14 di 15

85 o anche, il che è lo stesso, la seguente formula: [(Z y Y z )J 1 (u,v)+(x z Z x )J 2 (u,v)+(y x X y )J 3 (u,v)]dudv = Xdx+Ydy+Zdz La formula (*) esprime che, se gli orientamenti di S e S sono coerenti, il flusso dei rotori del campo V attraverso la superficie S nella direzione dei versori n è uguale alla circuitazione del campo V lungo il bordo orientato + S della superficie. Osservazione1 (notevole) Allo scopo di comprendere meglio la formula di Stokes nello spazio, supponiamo che S sia un diagramma regolare di equazione cartesiana In tal caso risulta Con i quali z = ƒ(x,y) ; (x,y) B J 1 = ƒ x ; J 2 = ƒ y ; J 3 = 1 rotv n dσ = [(Z y Y z )( ƒ x ) + (X z Z x )( ƒ y ) + (Y x X y )]dxdy. Se, in particolare, S è il diagramma di equazione z = 0 (cioè ƒ(x, y) = 0) allora risulta S B, S B e quindi rotv n dσ = (Y x X y )dxdy V dp = Xdx + Ydy Si conclude che la formula di Stokes nello spazio (*) si può riscrivere nella formula seguente: (Y x X y )dxdy = Xdx + Ydy quindi coincide con la formula di Stokes nel piano. Osservazione2 Si noti che l utilità della formula di Stokes consiste nel fatto che consente di calcolare un integrale superficiale mediante un integrale curvilineo e viceversa. Ciò può essere utile nella pratica. Appunti corso Analisi Matematica II prof. Giuga Pagina 15 di 15