EQUAZIONI DIFFERENZIALI / ESERCIZI SVOLTI

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1 ANALISI MATEMATICA I - A.A. 03/0 EQUAZIONI DIFFERENZIALI / ESERCIZI SVOLTI L asterisco contrassegna gli esercizi più difficili. ESERCIZIO. Determinare l integrale generale dell equazione differenziale y = e x y e risolvere il relativo problema di Cauchy con condizione iniziale y (0) = 0. L equazione ammette soluzioni limitate? Svolgimento Esercizio. Poiché e x y = e x e y, si tratta di un equazione a variabili separabili: y = g (x) h (y) con g (x) =e x e h (y) =e y = e y. Poiché h (y) =0significa e =0, che è impossibile, l equazione non ha integrali singolari. Le soluzioni y non costanti si determinano separando formalmente le variabili ed integrando: dy dx = ex e y e y dy = e x dx e y dy = e x dx e y = e x + c con c costante reale arbitraria. Prendendo il logaritmo di ambo i membri per esplicitare la y, siottiene log e y =log(e x + c), ossiay =log(e x + c) con c costante reale arbitraria. Dunque l integrale generale dell equazione è dato da () y (x) =log(e x + c), con c R costante arbitraria. Ciascuna soluzione è definita su un opportuno intervallo I dipendente da c: quellodeglix tali che e x +c>0 (si trova I = R se c 0 e I =(log( c), + ) se c<0). Poiché y (0) = log e 0 + c =log(+c) per ogni c R, la generica soluzione () soddisfa il problema di Cauchy con dato iniziale y(0) = 0 seesoloselog ( + c) =0,chesignifica +c =,ossiac =0. Dunque la soluzione del problema di Cauchy è la funzione y (x) =loge x,cioèy (x) =x, conx R. Poiché lim (ex + c) =+ per ogni c R, la generica soluzione () soddisfa lim y (x) = lim log (ex + c) = lim log t =+ t + ed è pertanto illimitata superiormente. Dunque l equazione non ammette soluzioni limitate. ESERCIZIO. Si consideri l equazione differenziale y =(y ) cos x. (a) Provare che tutte le soluzioni definite in un intorno di x = π etalichey π = a con a> hanno un punto di massimo in x = π. (b) Risolvere il relativo problema di Cauchy con condizione iniziale y(0) =. (c) Determinarne, se esistono, le soluzioni y (x) e y (x) tali che (d) L equazione ammette soluzioni non limitate? lim y (x) =e Svolgimento. Osserviamo che si tratta di un equazione a variabili separabili : y = g (x) h (y) con g (x) =cosx e h (y) =y, la quale presenta l unico integrale singolare y (x), definito su tutto R (= dom g). lim y (x) =. Alternativamente, l equazione può anche essere studiata come equazione lineare: y y cos x = cos x.

2 M.GUIDA, S.ROLANDO (a) Se y : I R è una qualunque soluzione definita in un intorno di x = π, allora per ogni x I si ha y (x) =(y (x) ) cos x, dove y (x) ha segno costante (perché il grafico di y non può intersecare quello della soluzione costante y (x) ). Di conseguenza, il segno di y (x) coincide con il segno di cos x e quindi risulta y (x) 0 nell intorno sinistro di π ed y (x) 0 nell intorno destro di π, da cui segue che x = π è un punto di massimo per y. Risolviamo ora l equazione differenziale, per poi rispondere alle altre richieste del testo. Le soluzioni non costanti si determinano separando formalmente le variabili ed integrando: dy dx = (y ) cos x dy =cosxdx y log y =sinx + c y dy = cos xdx con c costante reale arbitraria. Prendendo l esponenziale di ambo i membri si ottiene e log y = e sin x+c, ossia y = e c e sin x,ilchesignifica y = ce sin x, ossia y =±ce sin x, con c costante reale positiva arbitraria (dove nell eliminare il valore assoluto si è tenuto conto che y ha segno costante per ogni soluzione y). Ciò equivale a y =ce sin x con c costante reale non nulla arbitraria e quindi, poiché per c =0l ultima espressione restituisce la funzione constante y (x), l integrale generale dell equazione (comprendente soluzioni costanti e non) risulta () y (x) =+ce sin x per ogni x R, con c R costante arbitraria. (b) Essendo y (0) = + ce sin 0 =+ce 0 =+c per ogni c R, lagenericasoluzione()soddisfail problema di Cauchy con dato iniziale y(0) = se e solo se +c =, cioèc =. Dunque la soluzione del problema è y (x) = e sin x, x R. (c) Poiché lim esin x non esiste, la generica soluzione () è tale che lim +ce sin x = se c =0 non esiste se c = 0. Dunque non esistono soluzioni y (x) tali che lim y (x) =, mentre la condizione è soddisfatta dalla soluzione che corrisponde a c =0, cioè la soluzione costante y (x). (d) Circa la limitatezza delle soluzioni, risulta e sin x e per ogni x R lim y (x) = (in quanto l esponenziale è crescente e sin x per ogni x R) e pertanto la generica soluzione () soddisfa y (x) = +ce sin x + ce sin x =+ c e sin x + c e per ogni x R. Dunque tutte le soluzioni dell equazione sono limitate (sul proprio intervallo di definizione, che è R). ESERCIZIO 3*. Risolvere il problema di Cauchy y =x cos y. y (0) = π/ L equazione differenziale considerata nel problema ammette soluzioni non limitate? Svolgimento. Risolviamo innanzitutto l equazione differenziale y =x cos y, per poi selezionare la soluzione che risolve anche il problema di Cauchy. Si tratta di un equazione a variabili separabili: y = g (x) h (y) con g (x) =x e h (y) =cos y. Poiché h (y) =0significa cos y =0,cioècos y =0, l equazione ha le infinite soluzioni costanti y (x) +kπ con k Z, definite su tutto R (= dom g). Nessuna di queste soluzioni risolve il problema il Cauchy π

3 EQUAZIONI DIFFERENZIALI 3 (in quanto non esiste k Z tale che π + kπ = π ) e quindi la soluzione del problema va cercata tra quelle non costanti. Le soluzioni non costanti si determinano separando formalmente le variabili ed integrando: dy dx =x cos y cos dy =xdx y cos y dy = xdx tan y = x + c con c costante reale arbitraria. Ciò significa che le soluzioni non costanti dell equazione sono tutte e sole le funzioni non costanti y (x) definite su un intervallo I etalichetan (y (x)) = x + c per ogni x I ( ). A noi interessa l unica soluzione tale che y (0) = π, la quale deve allora soddisfare tan (y (0)) = c y (0) = π, da cui segue che deve essere c =tan π =. D altra parte, poiché ciascuna soluzione non costante dell equazione assume valori in uno ed uno solo degli intervalli in cui il coseno non si annulla (cioè gliintervallideltipo π + kπ, π + kπ con k Z) e poiché sappiamo che la nostra soluzione assume il valore π, essa assumerà valori tutti contenuti nell intervallo π, π (cioè nell intervallo del tipo π + kπ, π + kπ che contiene π ), su cui la tangente si inverte nell arcotangente. Questo consente di esplicitare tan (y (x)) = x +tramite la funzione arcotangente e dunque, in definitiva, la soluzione del problema di Cauchy è y (x) = arctan x + per ogni x R. Circa la limitatezza delle soluzioni dell equazione, ricordiamo quanto già osservato: ogni soluzione non costante assume valori in uno ed un solo intervallo del tipo π + kπ, π + kπ con k Z, cheèun intervallo limitato, e pertanto è essa stessa limitata. Poiché le soluzioni costanti sono ovviamente limitate, concludiamo che l equazione non ha soluzioni non limitate. ESERCIZIO. Risolvere l equazione differenziale y +(sinx) y =sinx e, se esistono, determinarne le soluzioni: (i) costanti; (ii) non limitate. Svolgimento. Si tratta di un equazione lineare del primo ordine a coefficienti continui sull intervallo I = R. Usiamolaformularisolutiva y (x) =e A(x) e A(x) g (x) dx per ogni x R dove g (x) =sinx e A (x) è una qualsiasi primitiva di a (x) =sinx su R. Siha a (x) dx = sin xdx= cos x + c e quindi possiamo scegliere A (x) = cos x. Allora, effettuando la sostituzione t = cos x, dt =sinxdx, si ha e A(x) g (x) dx = e cos x sin xdx= e t dt = e t + c = e cos x + c con c R costante arbitraria, da cui si ottiene y (x) =e cos x e cos x sin xdx= e cos x e cos x + c =+ce cos x per ogni x R. L integrale generale è dunque (3) y (x) =+ce cos x per ogni x R, con c R costante arbitraria. La generica soluzione (3) è costante se e solo se y (x) =0per ogni x R, cioè c (sin x) e cos x =0per ogni x R, ilchesignifica c =0. Dunque l equazione ha un unica soluzione costante, data da ( 3 ) () y (x) = per ogni x R. Volendo esplicitare l integrale generale rispetto a y e tenendo conto della periodicità della tangente, si ottiene y (x) = arctan x + c +kπ per ogni x R, che,alvariaredik Z e c R, fornisceleinfinite soluzioni non costanti dell equazione. 3 Si noti che l equazione può anche essere vista come equazione a variabili separabili: y = sinx (sin x) y, ossia y = g (x) h (y) con g (x) =sinx e h (y) = y; allora le sue soluzioni costanti si ottengono risolvendo h (y) =0,che equivale a y =eforniscequindil unicasoluzionecostante().

4 M.GUIDA, S.ROLANDO Poiché l esponenziale è monotona crescente e si ha che cos x per ogni x R, risultae cos x e per ogni x R e pertanto la generica soluzione (3) soddisfa y (x) = +ce cos x + c e cos x =+ c e cos x + c e per ogni x R. Dunque ogni soluzione dell equazione è limitata su R, cioè l equazione non ammette soluzioni soddisfacenti la condizione (ii). ESERCIZIO 5. Risolvere per x>0 l equazione differenziale y + x y = x y(x) e, se esistono, determinarne le soluzioni tali che: (i) lim x =; (ii) lim xy(x) =. x 0 + Svolgimento. Si tratta di un equazione lineare del primo ordine a coefficienti continui sugli intervalli J =(, 0) ed I =(0, + ), darisolversisulsecondo(x>0). Usiamo la formula risolutiva y (x) =e A(x) e A(x) g (x) dx per ogni x I dove g (x) =x e A (x) è una qualsiasi primitiva di a (x) =/x su I. Siha a (x) dx = dx =log x + c =logx + c x per ogni x>0 e quindi possiamo scegliere A (x) =logx. Allora, siccome e log x = x, siha e A(x) g (x) dx = e log x x dx = x 3 dx = x + c con c R costante arbitraria e quindi si ottiene y (x) =e log x e log x x dx = x e log x + c = x x + c = x3 + c x per ogni x I. L integrale generale è dunque y (x) = x3 + c x Per ogni valore di c risulta y(x) lim x = lim per ogni x>0, con c R costante arbitraria. x 3 x + c x = lim x + c x 3 =+ e pertanto l equazione non ammette soluzioni soddisfacenti la condizione (i). Per ogni valore di c risulta x 3 lim xy(x) = lim x x 0 + x c x = lim x x c = c e pertanto la condizione (ii) è soddisfatta se e solo se c =, fornendo l integrale particolare y (x) = x + per ogni x>0. x ESERCIZIO 6. Risolvere l equazione differenziale y +xy = x e rispondere ai seguenti quesiti, motivando la risposta: (i) esistono soluzioni che tendono a 0 per x +? (ii) quale deve essere il valore iniziale y 0 affinché la soluzione che soddisfa y(0) = y 0 sia costante?

5 EQUAZIONI DIFFERENZIALI 5 Svolgimento. Si tratta di un equazione differenziale lineare del primo ordine a coefficienti continui sull intervallo I = R: y + a (x) y = g (x) con a (x) =x ed g (x) =x. Usiamo la formula risolutiva y (x) =e A(x) e A(x) g (x) dx per ogni x R dove A (x) è una qualsiasi primitiva di a (x) =x su R. Siha a (x) dx = xdx= x + c per ogni x R e quindi possiamo scegliere A (x) =x. Allora risulta e A(x) g (x) dx = e x xdx= e x xdx= e t dt = et + c = ex + c (dove si è effettuata la sostituzione t = e x, dt =xe x dx) equindisiottiene e x y (x) =e x e x xdx= e x + c = + ce x per ogni x R. L integrale generale è dunque y (x) = + ce x per ogni x R, con c R costante arbitraria. (i) Per ogni costante c R, risulta lim y (x) =/ e quindi non esistono soluzioni che tendono a 0 per x +. (ii) L unica soluzione costante si ha per c =0ed è y (x) =/ per ogni x R, la quale soddisfa ovviamente y (0) = /. Allora, per unicità della soluzione al problema di Cauchy, la condizione iniziale da imporre per ottenere tale soluzione è y(0) = /, cioèy(0) = y 0 con y 0 =/. ESERCIZIO 7. Scrivere l integrale generale dell equazione differenziale +x (5) y = y e stabilire se essa ammette soluzioni non limitate. Determinarne inoltre, se esistono, le soluzioni non costanti y (x) e y (x) tali che lim y (x) =e lim y (x) =0. Svolgimento. Poiché +x =0per ogni x R, l equazione equivale a y +x y =0, cheèun equazionedifferenziale lineare del primo ordine omogenea (cioè del tipo y + a (x) y =0,con coefficiente a (x) = +x,definito e continuo su tutto R). Il suo integrale generale è dato dalla formula y (x) =ce A(x) per ogni x R, dove A (x) è una qualsiasi primitiva di a (x) e c è una costante reale arbitraria. Risulta a (x) dx = e quindi possiamo prendere A (x) = arctan x, ottenendo (6) dx = arctan x + k (k costante reale arbitraria) +x y (x) =ce arctan x per ogni x R, con c R costante arbitraria. L equazione differenziale non ammette soluzioni non limitate, in quanto per ogni c R la generica soluzione (6) è limitata su R, ad esempio perché continua su R e dotata di limiti finiti all infinito: (7) lim y(x) x =ce π/ e lim y(x) =ceπ/. Tenendo conto dei limiti (7), la soluzione y (x) tale che lim y (x) =esiste e corrisponde al valore di c soddisfacente ce π/ =,ossiac = e π/. Dunque y (x) =e π/+arctan x (non costante). Al contrario, non esiste alcuna soluzione non costante y (x) tale che lim y (x) =0, in quanto l equazione ce π/ =0 equivale a c =0e quindi fornisce la soluzione costante y(x) 0.

6 6 M.GUIDA, S.ROLANDO Osservazione. L equazione (8) può anche essere risolta come equazione a variabili separabili, essendo equivalente a y = +x y. Essa ammette un unica soluzione costante, data y (x) =0per ogni x R. Circa le soluzioni non costanti, dall uguaglianza si ricava y dy = +x dx log y = arctanx + c con c costante reale arbitraria y = e c e arctan x y = ce arctan x con c>0 costante reale arbitraria y = ±ce arctan x y = ce arctan x con c = 0costante reale arbitraria. Recuperando la soluzione costante come corrispondente al valore c =0per la costante arbitraria, si ritrova l integrale generale (6). ESERCIZIO* 8. Determinare la soluzione del problema di Cauchy y = y t + + (8) t y ( ) = precisando anche il suo intervallo di definizione (massimale). Scriverne inoltre lo sviluppo di Taylor-Peano di ordine centrato in t 0 =. Svolgimento. L equazione è lineare del primo ordine completa: y + a (t) y = g (t) con a (t) = t+ e g (t) = t. I coefficienti sono entrambi definiti e continui sugli intervalli I =(, ), I =(, 0) e I 3 =(0, + ), su cui saranno quindi definite le soluzioni. Poiché I, la soluzione del problema di Cauchy (9) (che esiste ed è unica) sarà definita su tutto I. Lo sviluppo di Taylor-Peano di tale soluzione y (t) può essere ricavato prima di determinarne l espressione esplicita, usando solo il fatto che essa verifica (9). Infatti ciò significa y ( ) = e y (t) = y (t) t + + per ogni t I, t da cui segue y (t) = d dt y (t) = d y (t) dt t + + = y (t)(t +) y (t) t (t +) t per ogni t I. Allora, valutando in t 0 =, siha (9) y ( ) =, (0) () e quindi y ( ) = y ( ) = = 3, y ( ) = y ( ) y ( ) = 3 = y (t) = y ( ) + y ( ) (t +)+ y ( ) = + 3 (t +) (t +) + o((t +) ) t. (t +) + o((t +) ) t Poiché sull intervallo I =(, 0) si ha t+dt = log (t +)+c, l integrale generale dell equazione differenziale su I è y (t) =e log(t+) e log(t+) t dt =(t +) t + dt = t +t t (t +) dt.

7 EQUAZIONI DIFFERENZIALI 7 Scomponendo in fratti semplici si ottiene t (t +) = t t +, da cui, integrando in senso indefinito sull intervallo I =(, 0), risulta t (t +) dt = t dt t + dt = log t log t + + c = log ( t) log (t +)+c = t log + c t + (con c R costante arbitraria). Dunque l integrale generale dell equazione differenziale su I è y (t) = t + t log + c = t + t log + c t + 8 t + con c R costante arbitraria (c =c ). Essendo y ( ) = c/8 per ogni c R, la soluzione con condizione iniziale y ( ) = si ottiene per c =8edèpertantodatada y (t) = t + t () log + t + per ogni t I =(, 0). 8 t + Osservazione. Ovviamente lo sviluppo di Taylor richiesto poteva anche essere determinato a posteriori, calcolando i valori (9)-() tramite l espressione () della soluzione. ESERCIZIO 9. Scrivere l integrale generale dell equazione differenziale (3) y + y y = x e risolvere il problema di Cauchy y + y y = x () y(0) = 0 y (0) =. Svolgimento. Si tratta di un equazione lineare del secondo ordine a coefficienti costanti, la cui equazione caratteristica λ + λ =0 ha le soluzioni λ =, λ =. L integrale generale dell equazione differenziale omogenea associata è quindi y o (x) =c e x + c e x con c,c costanti reali arbitrarie. Cerchiamo una soluzione particolare y p (x) dell equazione completa (0). Poiché il termine noto g (x) = x è un polinomio di primo grado e 0 non è soluzione dell equazione caratteristica, si cercherà y p (x) della forma y p (x) =ax + b (generico polinomio di primo grado). Si ha yp (x) =a e yp (x) =0,quindiy p (x) risolve (0) se e solo se a (ax + b) = x, ossia a = ax + a b = x cheequivalea a b =0. Talesistemahalasoluzioneunicaa =,b=/ edunquedovràessere y p (x) =x +. Più in dettaglio, riportando il termine noto alla forma considerata dal teorema di somiglianza nel caso generale, si ha g (x) = x = e 0x [ x cos (0x)+sin(0x)] con p (x) = x polinomio di grado n =e pertanto si cercherà y p (x) della forma y p (x) =e 0x [q (x)cos(0x)+q (x)sin(0x)] x m = q (x) x m con q (x) =ax + b generico polinomio di grado n = ed m =0,perché0=0+i0 non è soluzione dell equazione caratteristica. Dunque y p (x) =ax + b.

8 8 M.GUIDA, S.ROLANDO L integrale generale y (x) =y o (x)+y p (x) della (0) è allora (5) y (x) =c e x + c e x + x + per ogni x R, con c,c costanti reali arbitrarie. Derivando, si ottiene y (x) = c e x + c e x +e quindi, calcolando y (x) e y (x) in x =0,sitrova y (0) = c + c + e y (0) = c + c + per ogni c,c R. Dunque la generica soluzione (5) soddisfa il problema di Cauchy () se e solo se c + c + =0 c + c +=0, che significa c =/6,c = /3 epertantofornisce come soluzione del problema (). ESERCIZIO 0. Svolgimento. caratteristica y (x) = 6 e x 3 ex + x + Determinare l integrale generale dell equazione differenziale y + y 6y = 8x. Si tratta di un equazione lineare del secondo ordine a coefficienti costanti, la cui equazione λ + λ 6=0 ha le soluzioni λ = 3 e λ =. L integrale generale dell equazione omogenea associata è quindi y o (x) =c e 3x + c e x, con c,c costanti reali arbitrarie. L integrale generale dell equazione completa è allora dato dalla somma di y o (x) con una soluzione particolare qualsiasi dell equazione stessa. Sfruttando il teorema di somiglianza, cerchiamo una soluzione particolare del tipo 5 yp (x) =ax + bx + c (generico polinomio di secondo grado, non moltiplicato per alcuna potenza di x in quanto 0 non è soluzione dell equazione caratteristica). Poiché yp (x) =ax + b e yp (x) =a, la funzione y p (x) risolve l equazione se e solo se ossia a +ax + b 6 ax + bx + c = 8x per ogni x R, 6ax +(a 6b) x +a + b 6c = 8x per ogni x R. Per il principio di identità dei polinomi, ciò equivale a 6a = 8 a 6b =0, ossia a =3, b =e c =. a + b 6c = Dunque deve essere y p (x) =3x + x +e l integrale generale dell equazione completa risulta dato da y (x) =c e 3x + c e x +3x + x + per ogni x R, con c,c costanti reali arbitrarie. 5 i dettagli del ragionamento sono gli stessi dell esercizio precedente

9 ESERCIZIO. EQUAZIONI DIFFERENZIALI 9 Risolvere il seguente problema di Cauchy: y +y = y(0) = y (0) =. Svolgimento. Risolviamo innanzitutto l equazione differenziale y +y =,cheèlinearedelsecondo ordine completa, con termine noto g (x) =definito (e costante) su tutto l asse reale. L equazione caratteristica è λ + = 0, che ha le soluzioni complesse coniugate λ, = ±i. Allora l integrale generale dell equazione omogenea associata è y o (x) =c cos x + c sin x, con c,c costanti reali arbitrarie. Poiché il termine noto g (x) =è costante (polinomio di grado 0) e non c è risonanza (0 non è radice del polinomio caratteristico), cerchiamo una soluzione particolare dell equazione completa della forma 6 y p (x) =a con a costante reale (generico polinomio di grado 0). Poiché yp (x) =0, imponendo il soddisfacimento dell equazione, cioè yp (x)+y p (x) =per ogni x R, si ottiene subito a =,cioèa =. Otteniamo quindi y p (x) = per ogni x R. Dunque l integrale generale y (x) =y o (x)+y p (x) dell equazione è (6) y (x) =c cos x + c sin x + per ogni x R, con c,c costanti reali arbitrarie. Per risolvere il problema di Cauchy, calcoliamo y (0) ed y (0). Sihay (0) = c + e y (x) = c sin x +c cos x per ogni x R, da cui segue y (0) = c. Allora la generica soluzione (6) soddisfa il problema di Cauchy con condizioni iniziali y(0) =,y (0) = seesolose c + =, c = cioè c =0e c = e pertanto il problema di Cauchy è risolto dalla funzione y (x) = sin x + per ogni x R. ESERCIZIO. Risolvere l equazione differenziale x 6x +9x =te 3t. Svolgimento. caratteristica Si tratta di un equazione lineare del secondo ordine a coefficienti costanti, la cui equazione λ 6λ +9=0 equivale a (λ 3) =0ed ha quindi l unica soluzione λ =3con molteplicità. L integrale generale dell equazione omogenea associata è quindi x o (t) =c e 3t + c te 3t, con c,c costanti reali arbitrarie. L integrale generale dell equazione completa si ottiene sommando a x o (t) una soluzione particolare qualsiasi x p (t) dell equazione completa stessa. Il termine noto si presenta come g (t) =e µt p (t) con p (t) =t polinomio di grado n =e µ =3radice caratterisitica doppia, quindi cerchiamo una soluzione particolare della forma x p (t) =e 3t (at + b) t = e 3t at 3 + bt 6 i dettagli del ragionamento sono gli stessi dei due esercizi precedenti

10 0 M.GUIDA, S.ROLANDO (generico polinomio di grado, moltiplicato per t m con m =e per la stessa esponenziale del termine noto) 7.Poiché x p (t) = 3e 3t at 3 + bt + e 3t 3at +bt = e 3t 3at 3 +3(a + b) t +bt, x p (t) = 3e 3t 3at 3 +3(a + b) t +bt + e 3t 9at +6(a + b) t +b = e 3t 9at 3 +9(a + b) t +6(a +b) t +b, sostituendo nell equazione, semplificando e 3t ed ordinando secondo le potenze di t, risulta che la funzione x p (t) risolve l equazione se e solo se 6at +b =t per ogni t R, ossia 6a =e b =0,chesignifica a = 3 e b =0. Dunque deve essere x p (t) = 3 e3t t 3 e l integrale generale dell equazione completa è pertanto dato da x (t) =e 3t c + c t + 3 t3 per ogni x R, con c,c costanti reali arbitrarie. ESERCIZIO 3. Risolvere l equazione differenziale y + y =sinx e, se esistono, determinarne le soluzioni y tali che y(0) = 0. L equazione ammette soluzioni non limitate? Svolgimento. Si tratta di un equazione lineare del secondo ordine a coefficienti costanti, la cui equazione caratteristica λ +=0 ha le soluzioni λ, = ±i. L integrale generale dell equazione omogenea associata è quindi y o (x) =c cos x + c sin x, con c,c costanti reali arbitrarie. L integrale generale dell equazione completa è allora dato dalla somma di y o (x) con una soluzione particolare qualsiasi dell equazione stessa. Vista la forma del termine forzante g (x) = sinx (funzione trigonometrica non risonante), cerchiamo una soluzione particolare del tipo 8 y p (x) =A cos x + B sin x con A, B costanti da determinarsi. Poiché yp (x) = A sin x +B cos x e yp (x) = A cos x B sin x, y p (x) risolve l equazione se e solo se A cos x B sin x + A cos x + B sin x =sinx per ogni x R, ossia 3A cos x +(3B +)sinx =0 per ogni x R. Ciò equivale a 9 3A =0 3B +=0, ossia A =0e B = 3. Dunque deve essere y p (x) = 3 sin x e l integrale generale dell equazione completa risulta dato da (7) y (x) =c cos x + c sin x 3 sin x per ogni x R, con c,c costanti reali arbitrarie. 7 Piùindettaglio,sihag (t) =e µt [p (t)cos0+sin0] con µ =3e p (t) =t di grado n =equindicerchiamox p (t) della forma x p (t) =e 3t [q (t)cos0+q (t)sin0]t m = e 3t q (t) t m con q (t) =at + b generico polinomio di grado n =ed m =,perchéµ + i0 =3è radice del polinomio caratteristico con molteplicità m =. 8 Piùindettaglio,sihag (x) =sinx = e µx [p (x)cosθx + p (x)sinθx] con µ =0, θ =, p (x) 0 e p (x). I polinomi p (x) e p (x) hanno grado n =0e µ + iθ =0+i =i non risulta soluzione dell equazione caratteristica (non c è risonanza), quindi cerchiamo y p (x) della forma y p (x) =e 0x [q (x)cosx + q (x)sinx] x 0 = q (x)cosx + q (x)sinx con q (x) e q (x) polinomi generici di grado n =0, cioè costanti. Dunque y p (x) =A cos x + B sin x con A, B costanti. 9 si calcoli 3A cos x +(3B +)sinx ad esempio per x =0(in modo che sin x =0)ex = π (in modo che cos x =0): si ottiene 3A =0e 3B +=0

11 EQUAZIONI DIFFERENZIALI Poiché y(0) = c cos 0 = c per ogni c,c R, la condizione y(0) = 0 equivale a c =0e quindi la famiglia delle soluzioni dell equazione tali che y(0) = 0 è y (x) =c sin x sin x 3 con c costante reale arbitraria. Poiché la generica soluzione (7) dell equazione è combinazione lineare delle funzioni limitate cos x, sin x e sin x, essa stessa è limitata e quindi l equazione non ha soluzioni non limitate. Più precisamente, la generica soluzione (7) soddisfa y (x) = c cos x + c sin x 3 sin x c cos x + c sin x + 3 sin x = c cos x + c sin x + 3 sin x c + c + 3 per ogni x R (essendo cos x, sin x, sin x ) e pertanto tutte le soluzioni dell equazione sono limitate su R.