Equazioni differenziali Corso di Laurea in Scienze Biologiche Istituzioni di Matematiche A.A Dott.ssa G. Bellomonte

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1 Equazioni differenziali Corso di Laurea in Scienze Biologiche Istituzioni di Matematiche A.A Dott.ssa G. Bellomonte

2 Indice 1 Introduzione 2 2 Equazioni differenziali lineari del primo ordine 4 3 Equazioni differenziali lineari del secondo ordine omogenee a coefficienti costanti 7 4 Esercizi risolti e proposti 10 1

3 Capitolo 1 Introduzione Determinare le primitive di una funzione f(x) significa risolvere y (x) = f(x) (1.1) dove l incognita è la funzione y(x). Quest equazione è un semplice esempio di equazione differenziale. In particolare se: y (x) = x (1.2) le soluzioni che si ottengono integrando rispetto a x sono y(x) = x2 2 + c con c costante arbitraria, ossia le soluzioni di (1.2) sono infinite e ciascuna è individuata da un diverso valore della costante reale c. La costante c può essere determinata imponendo un ulteriore condizione. Ad esempio se vogliamo che y(1) = 2 allora c = 3 2 e y(x) = x Più in generale un equazione differenziale è un equazione in cui compaiono la funzione incognita y(x) assieme ad alcune sue derivate. L ordine massimo di derivazione dell incognita y(x) individua l ordine dell equazione differenziale. L equazione y (x) = x è del primo ordine. Un altro esempio di equazione differenziale del primo ordine è y (x) + y(x) = x in questo caso 2

4 però le soluzioni non possono essere determinate direttamente con una sola integrazione. Un equazione differenziale è detta lineare se il grado massimo a cui compaiono la funzione y(x) e le sue derivate è 1. Un equazione differenziale è detta omogenea se tutti i temini che in essa compaiono dipendono da y(x) e/o le sue derivate. 3

5 Capitolo 2 Equazioni differenziali lineari del primo ordine Un equazione differenziale lineare del primo ordine ha la seguente forma: y (x) = a(x)y(x) + b(x) (2.1) con a(x) e b(x) due funzioni continue in un certo intervallo I R. Come abbiamo già osservato nell introduzione, se la funzione a(x) fosse identicamente nulla allora per determinare la funzione incognita y(x) basterebbe integrare entrambi i membri y(x) = y (x)dx = b(x)dx + c. Avremmo così infinite soluzioni dipendenti dalla costante arbitraria c e tutte definite nell intervallo I. Se a(x) non è identicamente nulla il problema della determinazione delle soluzioni si può risolvere in modo simile, dopo aver preventivamente moltiplicato l equazione per il cosiddetto fattore integrante e A(x) dove A(x) è una primitiva di a(x): e A(x) y (x) e A(x) a(x)y(x) = e A(x) b(x). In questo modo il primo membro di questa equazione può essere interpretato come la derivata della funzione e A(x) y(x): D(e A(x) y(x)) = e A(x) y (x) e A(x) a(x)y(x) = e A(x) b(x). 4

6 A questo punto è possibile, come prima, integrare entrambi i membri: e A(x) y(x) = e A(x) b(x)dx + c e quindi esplicitare la soluzione: ( ) y(x) = e A(x) e A(x) b(x)dx + c, x I detta integrale generale dell equazione differenziale lineare del primo ordine (2.1). Al variare della costante arbitraria c, si ottengono infinite funzioni che risolvono la (2.1). Tuttavia, se si volessero individuare le funzioni y(x) i cui grafici passano per il punto assegnato (x 0, y 0 ) con x 0 I e y 0 R, cioè che soddisfano la condizione supplementare, detta condizione iniziale, y(x 0 ) = y 0 si dovrebbe risolvere il seguente problema, detto problema di Cauchy: { y (x) = a(x)y(x) + b(x) y(x 0 ) = y 0 (2.2) Se le funzioni a(x) e b(x) sono continue su un intervallo chiuso e limitato, il seguente teorema garantisce che il problema di Cauchy (2.2) ha un unica soluzione definita in tutto l intervallo I. Teorema Siano I R intervallo chiuso e limitato, a, b : I R funzioni continue in I, allora il problema di Cauchy (2.2) ammette soluzione e questa è unica. La soluzione è espressa da: ( R x ) x R y(x) = e x a(z)dz x 0 y 0 + x a(z)dz 0 b(t)dt, x I. x 0 e Esempio Determiniamo la soluzione del problema di Cauchy: { y = y + x y( 1) = 2 (2.3) 5

7 In questo caso a(x) = 1 e b(x) = x quindi possiamo considerare I = R. Troviamo la soluzione generale in I. Una primitiva di a(x) = 1 è A(x) = a(x)dx = dx = x e il fattore integrante è e A(x) = e x. Le primitive di e A(x) b(x) sono date da: e A(x) b(x)dx = e x xdx = xe x e x dx = xe x e x + c. Dunque l integrale generale è uguale a: y(x) = e x (xe x e x + c) = x 1 + ce x. Adesso imponiamo la condizione y( 1) = 2: y( 1) = ce 1 = 2 + ce = 2 da cui si ricava che c = 0. Quindi la soluzione del problema di Cauchy (2.3) è y(x) = x 1, x R. 6

8 Capitolo 3 Equazioni differenziali lineari del secondo ordine omogenee a coefficienti costanti Un equazione differenziale lineare di ordine 2 omogenea a coefficienti costanti ha la seguente forma: y + ay + by = 0. (3.1) Una soluzione, anche detta integrale particolare, dell equazione (3.1) è una funzione y : R R derivabile due volte in R tale che le funzioni y(x), y (x) e y (x) soddisfino la (3.1): y (x) + ay (x) + by(x) = 0. (3.2) Teorema Se y 1 e y 2 sono due integrali particolari di (3.1), anche : y(x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) (3.3) con c 1, c 2 R, è un integrale particolare di (3.1). Inoltre, se si ha che: y 1 (0)y 2(0) y 2 (0)y 1(0) 0, (3.4) 7

9 allora, tutte e sole le soluzioni di (3.1) sono del tipo: y(x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x). La condizione (3.4) equivale a dire che le funzioni y 1 (x) e y 2 (x) sono linearmente indipendenti, cioè le uniche costanti tali che c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) = 0, x R, sono c 1 = c 2 = 0. Per il teorema 3.0.3, per risolvere la (3.1) basta determinare due soluzioni particolari y 1 (x) e y 2 (x) linearmente indipendenti. Per determinare esplicitamente y 1 (x) e y 2 (x) consideriamo l equazione caratteristica: λ 2 + aλ + b = 0 (3.5) che si ricava se, al posto di y e delle sue derivate, si sostituiscono ce λx e le sue derivate. Teorema Sia = a 2 4b. L integrale generale di (3.1) è dato da: 1. y(x) = c 1 e λ 1x + c 2 e λ 2x, se > 0 con λ 1, λ 2 soluzioni di (3.5) 2. y(x) = c 1 e λ 1x + c 2 xe λ 1x, se = 0 con λ 1 soluzione di (3.5) 3. y(x) = c 1 e αx cos βx+c 2 e αx sin βx, se > 0 con α = a 2 e β = 2 Esempio Risolviamo l equazione differenziale omogenea: y 6y + 5y = 0. L equazione caratteristica associata è λ 2 6λ + 5 = 0 che ha > 0 quindi due radici reali distinte: λ 1 = 1 e λ 2 = 5. Quindi l integrale generale è: y(x) = c 1 e x + c 2 e 5x, c 1, c 2 R. 8

10 Esempio Risolviamo l equazione differenziale omogenea: y + 2y + y = 0. L equazione caratteristica associata è λ 2 + 2λ + 1 = 0 che ha = 0 quindi due radici reali coincidenti: λ 1 = 1. Quindi l integrale generale è: y(x) = c 1 e x + c 2 xe x, c 1, c 2 R. Esempio Risolviamo l equazione differenziale omogenea: y 2y + 2y = 0. L equazione caratteristica associata è λ 2 2λ + 2 = 0 che ha < 0 quindi nessuna radice reale. Calcoliamo α = 2 2 = 1 e β = ( 4) 2 = 1. Quindi l integrale generale è: y(x) = c 1 e x cos(x) + c 2 e x sin(x), c 1, c 2 R. 9

11 Capitolo 4 Esercizi risolti e proposti Esercizio Determiniamo la soluzione del problema di Cauchy { y = y x + 4x2 y( 1) = 0 (4.1) Sebbene la funzione b(x) = 4x 2 è continua in R, la funzione a(x) = 1 x è continua solo nell insieme ], 0[ ]0, + [. Dato che x 0 = 1, l intervallo massimale dove cercare la soluzione è I =], 0[. Dobbiamo prima determinare una primitiva di a(x) = 1 x per x < 0 è A(x) = a(x)dx = 1 x dx = log x = log( x) e dunque il fattore integrante è e A(x) = e log( x) = x. Calcoliamo le primitive di e A(x) b(x) = x(4x 2 ) = 4x 3 ossia e A(x) b(x)dx = 4x 3 dx = x 4 + c. L integrale generale è pertanto y(x) = 1 x ( x4 + c) = x 3 c x. Adesso imponiamo la condizione y( 1) = 0: y( 1) = 1 + c = 0 da cui si ricava che c = 1. La soluzione cercata è y(x) = x 3 1 x x ], 0[. Esercizio Determiniamo la soluzione del problema di Cauchy { y = y e x +1 + ex y(0) = 1 (4.2) 10

12 L intervallo massimale dove cercare la soluzione è I = R. Una primitiva di a(x) = 1 e x +1 A(x) = 1 e x +1 dx = 1 e x (1+e x ) dx e x dx = 1 1+e x t dt = log t = log(1 + e x ) e dunque il fattore integrante è e A(x) = 1 + e x. Integrando: e A(x) b(x)dx = (1 + e x )e x dx = (e x + 1)dx = e x + x + c e l integrale generale è uguale a: y(x) = ex + x + c 1 + e x. Imponiamo la condizione iniziale y(0) = 1: y(0) = 1+c 2 = 1 da cui si ricava che c = 3 e la soluzione cercata è y(x) = ex +x 3 1+e x, x R. Esercizio Risolvere le seguenti equazioni lineari del primo ordine: 1. y = 2y + x 2. y = y + sin x 3. y = y cos x + 2 cos x 4. y = x 2 y + x 5. y = xy + x 6. y = y y = y x Esercizio Risolvere il seguente problema di Cauchy: { y = y + e x y(0) = 1 (4.3) Esercizio Risolviamo l equazione differenziale omogenea: y + 2y + 5y = 0. L equazione caratteristica associata è λ 2 + 2λ + 5 = 0 che ha < 0 quindi nessuna radice reale. Calcoliamo α = 1 e β = 2. Quindi l integrale generale è: y(x) = c 1 e x cos(2x) + c 2 e x sin(2x), c 1, c 2 R. 11