1 Equazioni Differenziali

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1 Equazioni Differenziali Un equazione differenziale è un equazione che esprime un legame tra una variabile indipendente x (o t, quando ci riferiamo al tempo) una variabile dipendente y o incognita che sta per una funzione y = y(x) dipendente da x una o piu derivate dalla funzione incognita y (x), y (x),... Esempio y = 2xy Una soluzione di un equazione differenziale è una funzione y = f(x) tale che, sostituita insieme alle sue derivate a y(x), y (x), y (x),... nell equazione differenziale, da un identità per ogni valore di x nel suo dominio di definizione. Esempio Consideriamo y = e x2 da cui (per la regola di derivazione della funzione composta) y = e x2 ( 2x). Facendo la sostituzione in y = 2xy si ottiene che effettivamente y = e x2 è una soluzione dell equazione differenziale dell esempio precedente. D altra parte anche la funzione y = c (costante) è una soluzione. In realtà y = Ce x2 con C R, è tale che y = 2xCe x2 quindi anche tale funzione è una soluzione. Invece y = x 3 ha y = 3x 2 2x ( x 3 ) quindi y = x 3 non è una soluzione. Nemmeno y = e 2x, ( y = 2e 2x ) è soluzione. NOTA In un equazione differenziale la variabile indipendente può avere anche non apparire esplicitamente. Deve invece comparire esplicitamente almeno una delle derivate di y = y(x) Esempio In y sin x = 0 non compare esplicitamente y. In y + y = 0 non compare esplicitamente x e non compare y. Un equazione differenziale di dice di ordine n derivata n-esima ma non derivate di ordine superiore se in essa compare una Esempio y sin x = 0 è di ordine. y + y = 0 è di ordine 2. y y IV = y è di ordine 4 Un esempio molto semplice di equazione differenziale si ottiene considerando equazioni differenziali di ordine in cui non compare y.

2 y = f(x) con f(x) funzione della sola x. Le soluzioni in questo caso si ottengono semplicemente per integrazione. Infatti se F (x)+c è una primitva allora per definizione la funzione y = F (x)+c è una soluzione. NOTA La teoria delle equazioni differenziali è una sorta di generalizzazione della teoria dell integrazione. Ma in generale però non sempre un equazione differenziale è risolubile con una o piu operazioni di semplice integrazione. NOTA Numerosi problemi di interesse applicativo si traducono in equazioni differenziali Esempio (moto lungo una retta a velocità costante) assumiamo come variabile indipendente il tempo t. Sia y = y(t) la posizione del corpo o del punto lungo la retta in cui si muove con velocità costante b. la velocità al tempo t èy (t) e la legge del moto a velocità costante b è l equazione diffeenziale y = b Questa è un equazione differenziale che posso risolvere per integrazione ottenendo tutte le soluzioni: y = bt + A al variare di A Esempio (moto lungo una retta a accelerazione costante, dovuto ad esempio alla forza di gravità ) assumiamo come variabile indipendente il tempo t. Sia y = y(t) la posizione del corpo o del punto lungo la retta in cui si muove con accelarazione costante a (ad esempio l accelerazione di gravità.a = g, se oriento la retta verticale del moto verso l alto) l accelerazione al tempo t è y (t) in questo caso la legge del moto è l equazione differenziale y = g le soluzioni sono tutte e solo le funzioni y = 2 gt2 + At + B al variare di A e B. (infatti da y (t) = g, integrando si ottiene y (t) = y (t)dt = gt + A e integrando di nuovo y = y (t)dt = ( gt + A) dt = 2 gt2 + At + B Esempio (moto lungo una retta in presenza di attrito) Supponiamo che il corpo si muova sempre lungo una retta sotto l azione della forza di gravità e con l azione di una forza di attrito. 2

3 La forza di attrito è schematizzabile come una forza diretta nel verso opposto a quello del moto e proporzionale alla velocità. (La costante di proporzioonalità h dipende dalla forma, dalla massa e dal mezzo in cui si muove il corpo). L equazione differenziale relativa al moto è quindi: y = g hy / con h > 0. Esempio (oscillatore armonico) Supponiamo che il punto si muova lungo una retta in assenza di attrito e forza di gravità ma sotto l effetto di una forza elastica diretta verso l origine del sistema di riferimento e di intensità proporzionale alla distanza dall origine. (L accelerazione è dedotta dalla forza). La legge del moto si traduce quindi nell espressione: y = ky ( kt ) ( kt ) la soluzione generale è y(t) = A sin + B cos verifico che si tratta di una soluzione y (t) = A ( kt ) k cos B ( kt ) ( kt ) k sin y (t) = Ak sin ( kt ) Bk cos = ky(t) (si noti che è un equazione di ordine 2 e nella soluzione compaiono 2 costanti inderminate) Esercizio Quali delle seguenti funzioni sono soluzioni della seguente equazione differenziale y y = e x cos x (a)y = sin x (b)y = cos x (c)y = e x sin x (d)y = e x cos x (e)y = e x (2 + sin x) (a)y = sin x y = cos x cos x sin x non è uguale a e x cos x Non è soluzione (b)y = cos x y = sin x sin x cos x non è uguale a e x cos x Non è soluzione (c)y = e x sin x y = e x sin x + e x cos x e x sin x + e x cos x e x sin x = e x cos x Si è soluzione 3

4 (d)y = e x cos x y = e x cos x e x sin x e x cos x e x sin x e x cos x = e x sin x non è uguale a e x cos x Non è soluzione (e)y = e x (2 + sin x) y = e x (2 + sin x) + e x (cos x) e x (2 + sin x) + e x (cos x) e x (2 + sin x) = e x (cos x) Si è soluzione D altra parte abbiamo visto che y = Ae x è soluzione di y y = 0 quindi y = Ae x + e x sin x è soluzione per ogni A Esercizio Quali delle seguenti funzioni sono soluzioni della seguente equazione differenziale y x + y = 0 (a)y = x 2 + 2x (b)y = x + (c)y = x (d)y = (x + ) e x (a) y = x 2 + 2x y = (2x + 2) = x+ (x + ) = 2 (x 2 +2x) (x2 +2x) y è soluzione (b)y = x + y = = x+ x+ = x+ y è soluzione (c)y = x y = diverso da x+ y = x+ x Non è soluzione (d)y = (x + ) e x y = e x + (x + ) e x = e x (2 + x), diverso da x+ x+ (x+)e = e x Non è soluzione x y = Esempio (aumento della popolazione) Anche in questo caso la variabile indipendente è il tempo t. La funzione y(t) indica la popolazione al tempo t mentre y (t) è la velocità di crescita della popolazione (nella schematizzazione stiamo forzando il problema, la popolazione è una grandezza discreta e in crescita discreta mentre stiamo assumendo una crescita continua). L equazione differenziale che modella il problema è: y (t) = ay(t) con a costante negativa (decrescita) o positiva (crescita) 4

5 come abbiamo visto le soluzioni sono del tipo y(t) = Ae at con A costante arbitraria. Esempio (diffusione di un epidemia) La variabile indipendente è sempre il tempo t,abbiamo un modello in cui la velocità di diffusione è proporzionale sia alla porzione di popolazione malata y(t), sia la porzione ( y(t)) di popolazione non contagiata. (Per semplificare si è preso per l intera popolazione). L equazione che regola questo modello è detta equazione logistica ed è del tipo: y (t) = ay(t) ( y(t)) con a costante che rappresenta il tasso di diffusione dell epidemia. La soluzione generale dell equazione logistica assume la forma y(t) = + Ae at con A costante arbitraria (si noti che anche in questo caso l equazione differenziale ha infinite soluzioni). Per verificare che si tratta di una ( soluzione procediamo ) ( come ) sempre derivando: y (t) = Aae at Ae at = a (+Ae at ) 2 + Ae at + Ae at = ( ) ( ) a + Ae at + Ae at = ay(t) ( y(t)) Esempio (legge allometrica) Due organi diversi di uno stesso individuo (ad esempio fegato e cervello) crescono con velocità diverse ma esiste una relazione tra le velocità di crescita dei due organi. Indichiamo con x(t) e y(t) i volumi dei due organi all istante t.supponiamo siano proporzionali i rapporti tra la crescita dei volumi e i volumi stessi, per un fattore k > 0 : y (t) y(t) = k x (t) x(t) cioè y (t) x (t) = k y(t) x(t) invertendo la funzione x(t) in un intorno di un certo t 0 (se x (t 0 ) diverso da 0 si può) si ha y(x) = y(t(x)) e y (x) = y (t)t (x) = y (t) x da cui, considerando (t) x la variabile indipendente: y (x) = k y x La soluzione è y(x) = Ax k con A costante arbitraria. Infatti y (x) = kax k = k Axk x = k y(x) x. 5

6 Esercizio Stabilire per quali valori di A e B la funzione y(x) = Ae 5 x + B è soluzione dell equazione differenziale y (x) = 5 (y 8). ( ) Deriviamo: y (x) = 5 Ae 5 x da cui 5 Ae 5 x = 5 Ae 5 x + B 8 = 5 Ae 5 x + 5 (B 8) per cui necessariamente A = 0, B = 8 2 Equazioni differenziali: condizioni iniziali Vogliamo ora affrontare il problema di determinare le costanti che appaiono nelle soluzioni delle equazioni differenziali che abbiamo esaminato fino ad ora. Un equazione differenziale è detta in forma normale se la derivata di ordine maggiore si scrive come funzione di x, di y e delle derivate di ordine inferiore. Esempio (a) L equazione y = e ax y è in forma normale (b) L equazione cos (2x + y ) = y NON è in forma normale Vediamo il problema dell unicità delle soluzioni delle equazioni differenziali del primo ordine in forma normale Esempio y = 2xy Assegnati 2 arbitrari valori alle variabili x e y otteniamo il valore corrispondente della derivata di y come funzione di x e y. Ad esempio se (x, y) = (2, 3) abbiamo y = 2. Quindi una eventuale funzione soluzione dell equazione differenziale con grafico passante per (2, 3) deve avere coefficiente angolare pari a 2. NOTA Le soluzioni dell equazione sono quindi tutte e sole le funzioni il cui grafico raccorda le tangenti. Abbiamo perciò informazioni sull andamento della funzione soluzione senza conoscerla. Esempio Data l equazione y = e 2x y 2, certamente una sua soluzione sarà sempre non decrescente perchè la sua derivata non è mai negativa. L esistenza e unicità di una soluzione è garantita dal Teorema(di Cauchy) Sia y = F (x, y) un equazione differenziale del primo ordine in forma normale e sia (x 0, y 0 ) un punto nell insieme di definizione F (x, y). Allora per (x 0, y 0 ) passa una e una sola curva che sia il grafico di una soluzione 6

7 NOTA (a) L esistenza ed unicità è stabilita localmente: nel punto (x 0, y 0 )! (b) La coppia di numeri (x 0, y 0 ) è detta la condizione iniziale La ricerca della soluzione particolare dell equazione differenziale è detto problema di Cauchy e si usa scrivere { { y = F (x, y) y o = F (x, y) y(x 0 ) = y 0 (x 0, y 0 ) Intuitivamente le curve che sono soluzione dell equazione differenziale possono essere pensate come traiettorie di un punto che si muove, tali che ogni punto ha un unica traiettoria e 2 traiettorie non si incontrano mai. Regola Data la soluzione generale dell equazione differenziale y = F (x, y), per determinare la soluzione particolare soddisfaciente a certe condizioni iniziali (x 0, y 0 ) basta sostituire i valori x 0, y 0 nella soluzione generale e calcolare il valore della costante. Esempio Trovare la soluzione particolare dell equazione y soddisfa la condizione iniziale y() = 4. = 2xy che Abbiamo già visto che la soluzione generale è la funzione y = Ce x2, sostituendo x = e y = 4 si ha 4 = Ce da cui C = 4e, quindi la soluzione particolare è y = 4ee x2 = 4e x2 Esempio Supponiamo che la crescita della popolazione di un dato territorio sia una funzione che soddisfa l equazione differenziale y = 2y. Supponiamo di voler trovare la soluzione particolare sotto l assunzione y(0) = 0 3. La soluzione generale abbiamo visto essere la funzione y = Ce 2x, sostituendo x = 0 e y = 0 3 si ha 0 3 = Ce 0 da cui C = 0 3 quindi la soluzione particolare è y = 0 3 e 2x NOTASe ora si studiano equazioni differenziali in forma normale ma di ordini superiori al primo, in generale la condizione y(x 0 ) = y 0 non è sufficiente per individuare un unica soluzione particolare. Infatti abbiamo visto esempi di soluzioni di equazioni del secondo ordine che ammettono soluzioni generali che dipendono da 2 parametri. Nel caso di ordine 2 abbiamo bisogno quindi anche di y (x 0 ) = y 0. Teorema (di Cauchy) Sia y = F (x, y, y ) un equazione differenziale di ordine 2 in forma normale e sia (x 0, y 0, y 0) un punto nell insieme di definizione F (x, y, y ). Allora per (x 0, y 0 ) passa una e una sola curva che sia il grafico di una soluzione che abbia in tale punto pendenza y 0. 7

8 Il corrispondente problema di Cauchy si usa scrivere y = F (x, y, y ) y(x 0 ) = y 0 y (x 0 ) = y 0 o { y = F (x, y, y ) (x 0, y 0, y 0) Esempio Trovare la soluzione particolare dell equazione y = g che soddisfa le condizioni iniziali y(0) = 5 e y (0) = 2. Abbiamo già visto che la soluzione generale è la funzione y = 2 gx2 +Ax+B, quindi y = gx + A. Facendo le sostituzioni abbiamo { { 5 = 2g0 + A0 + B 5 = B da cui 2 = g0 + A 2 = A è data dalla funzione y = 2 gx2 2x + 5 quindi la soluzione particolare Esempio Data l equazione differenziale xy = 3y (legge allometrica). (a) Verificare che y = C 3 x è soluzione (l abbiamo già visto): y = 3 Cx 2 3 da cui xy = x 3 Cx 2 3 = 3 Cx 3 = 3 y 3 : (b) Trovare la soluzione particolare che soddisfa la condizione iniziale y(8) = 3 = C 3 8 = C2 da cui C = 3 2 e quindi la soluzione particolare è y = x Esercizio Data l equazione differenziale y = 2y + 3 (a) Verificare che ogni funzione del tipo y = Ce 2x è soluzione: y = 2Ce 2x = 2 ( ) Ce 2x = 2y + 3 (b) Trovare la soluzione particolare il cui grafico passa per il punto ( 2, = Ce4 da cui C = 0 e quindi la soluzione particolare è y = 3 2 Esercizio Data l equazione differenziale y y = 2x (a) Verificare che ogni funzione del tipo y = x + x 2 + Ae x + B è soluzione: y = +2x+Ae x, y = 2+Ae x quindi y y = 2+Ae x ( + 2x + Ae x ) = 2x (b) Trovare la soluzione particolare che soddisfa le condizioni iniziali y() = 2 e y () = 4 ) 8

9 Facendo le sostituzioni abbiamo { 2 = Ae + B 4 = Ae cioè { B = Ae = Ae da cui { B = A = e quindi la soluzione particolare è y = x + x 2 + e x Esercizio (a) Verificare che per qualunque valore di C, la funzione y(x) = 5 2 Ce 2x è soluzione dell equazione differenziale y = 2y + 5. Deriviamo: y (x) = 2Ce 2x = 2 ( Ce 2x ) = 2y + 5 (b) Trovare la soluzione particolare che soddisfa la condizione iniziale y(0) = sostituendo: = 5 2 Ce 2 0 da cui C = = 3 2. Quindi la soluzione che soddisfa le condizioni iniziali è: y(x) = e 2x. 9