Equazioni differenziali

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1 Equazioni differenziali Generalità sulle equazioni differenziali ordinarie del primo ordine Si chiama equazione differenziale ordinaria[ ] del primo ordine un equazione nella quale compare y = y e la sua derivata prima Una tale equazione è del tipo: come incognita una funzione () F (, y, y' ) = si dice soluzione dell equazione differenziale () Il grafico di y = ϕ si dirà curva integrale dell equazione Dove le tre variabili (, y, y' ) vanno pensate indipendenti e la funzione F assegnata in un certo insieme dello spazio ordinario Nella () potrebbero non comparire esplicitamente la o la y, ma non può mancare la y' Ogni funzione y = ϕ ( ) che risulti derivabile in un certo intervallo I dell asse e che soddisfi la relazione F, ϕ( ), ϕ ' ( ) = Risolvere o integrare un equazione differenziale significa determinarne tutte le soluzioni Una equazione differenziale del primo ordine si dice ridotta in forma normale quando può essere scritta nella forma: () y' = f (, y) Una equazione differenziale ordinaria del primo ordine e di forma normale, si dice lineare quando ha la forma: y' ( ) + a ( ) y ( ) = b( ) con a() e b() due funzioni continue in un certo intervallo I Se la funzione a() è identicamente nulla allora per determinare la funzione incognita y() basta integrare entrambi i membri y = y' d = b d + c Si hanno quindi infinite soluzioni che dipendono dalla costante arbitraria c, tutte definite nell intervallo I ESEMPIO Integrare l equazione differenziale: y' = y = d + c = + c In figura sono La soluzione è riportate le curve integrali per alcuni valori di c Vediamo un altro caso interessante di equazione differenziale del primo ordine Figura Le curve integrali dell equazione differenziale dell Esempio per c =, ±, ±, ±3 [ ] Il termine ordinario si riferisce al fatto che la funzione incognita y dipende solo dalla variabile

2 ESEMPIO Risolvere la seguente equazione differenziale del primo ordine e in forma normale: (3) y' = y È immediato verificare che la funzione: (4) y = c e ϕ' ϕ = e moltiplicando ambo i membri per è una soluzione Viceversa, se ϕ ( ) è una soluzione, allora risulta: y e =, si ottiene: e ' ( ) e ( ) d e d ϕ = da cui segue: ϕ ϕ = e quindi opportuna Si conclude quindi che: soluzioni della (3) hanno la forma (4) e ϕ = k con k costante ϕ = k e e che tutte le Figura Le curve integrali dell equazione differenziale dell Esempio per c =, ±, ±, ±3, ±4 Dall esempio si ottiene un procedimento per la risoluzione di una equazione differenziale lineare del primo ordine Procediamo come segue: moltiplichiamo l equazione per il cosiddetto fattore integrante, dove A = a d L equazione può essere quindi scritta nella forma: A( ) e A( ) A( ) A( ) e y' + e a y = e b Il primo membro è la derivata della funzione e A( ) y, infatti: d A( ) A( ) d A( ) A( ) A( ) A( ) e y ( ) e y' ( ) A( ) e y ( ) e y' ( ) a( ) e y ( ) e b d = + + = + = d Integrando ambo i membri otteniamo: e quindi la soluzione: A( ) A( ) e y = e b d + c (5) A( ) A( ) y = e e b d + c y' + y = 4 ESEMPIO 3 Integrare l equazione differenziale: A = d =, quindi: Si ha: y ( ) = e 4 e d + c = e e + c = + ce

3 Per determinare una ed una sola soluzione dell equazione è necessario determinare la costante arbitraria c e per ciò è sufficiente dare la cosiddetta condizione iniziale y ( ) = y con I, ciò e- quivale ad imporre il passaggio della curva integrale per il punto (, y ) Il problema: = y y' + a y = b y è detto problema di Cauchy ed ha un unica soluzione definita nell intervallo I ESEMPIO 4 Risolvere il problema di Cauchy ( ) = y' + y = 4 y L insieme delle soluzioni è quello determinato nell esempio 3, ponendo la condizione y ( ) = Si ha: = y ( ) = + ce = + c da cui segue: c = 3, quindi la soluzione è: y ( ) = 3e Vale il seguente teorema: TEOREMA Sia f (, y ) una funzione in due variabili continua nella striscia S del piano y S = {(, y ) R : a b, < y < +,a < b} e derivabile rispetto alla y, e tale derivata sia limitata in S In tali ipotesi, se (, y ) è un punto = ammette una e una sola soluzione: y = ϕ ( ), qualsiasi di S, l equazione differenziale y' f (, y) definita nell intervallo [ a,b ] e soddisfa la condizione: y ( ) = ϕ Tale teorema, insieme a sue generalizzazioni che non citeremo, consente di dire che per ogni punto della suddetta striscia passa una e una sola curva integrale DEFINIZIONE Si chiama integrale generale dell equazione differenziale () una funzione della y = Φ,c, che gode delle variabile definita in un intervallo [ a,b] e della costante arbitraria c: seguenti proprietà: Per ogni valore della costante arbitraria c la funzione soddisfa all equazione () in tutto a,b [ ] Comunque si prenda un punto P (, y ) di S, si può determinare un valore della costante c (la indicheremo con c ) in modo che la funzione y = Φ (,c ) verifichi la condizione: Φ (,c ) = y Ogni integrale dell equazione differenziale () che si ottiene dall integrale generale attribuendo alla costante arbitraria un valore particolare, si chiama integrale particolare 3

4 Integrazione di alcuni tipi di equazioni differenziali del primo ordine in forma normale L equazione differenziale () scritta nella forma: dy f, y d = È un caso particolare dell espressione: L, y d + M, y dy = (6) che è una forma differenziale lineare dy L(, y) L equazione (6) può essere vista sia come: =, nel caso in cui M (, y) d M (, y) una equazione differenziale della funzione y ( ); oppure, se risulta L(, y) d M (, y) come un equazione differenziale = della funzione ( y ) dy L(, y), e quindi, può essere vista Equazioni differenziali esatte M, y sono continue in un insieme connesso A e se ad esempio Se le funzioni L(, y ) e M (, y) in A, allora l equazione differenziale (6) si dice esatta se la forma differenziale (6) è integrabile, ovvero se esiste una funzione F (, y ), tale che: F F = L(, y), = M (, y ) y L M Ricordiamo che se l insieme A è semplicemente connesso, allora = è condizione necessaria y e sufficiente per l integrabilità della forma differenziale e quindi dell equazione differenziale Si ha F, y = c Nel capitolo delle forme differenziali abbiamo visto come deter- quindi la soluzione minare la F (, y ) ESEMPIO 5 Risolvere l equazione differenziale dy y = d y L equazione può essere scritta nella forma y d + y dy = e si dimostra che è una for- ma differenziale esatta; infatti: ( y ) = e ( y) = Si ha: y 3 F (, y) = L(, y) d + φ ( y) = ( y) d + φ ( y) = y + φ( y ) 3 F 3 = y + φ y = + φ ' y = y y y 3 da cui segue: φ ' ( y) = y ovvero y y c F, y = + y y + c e quindi φ = + Si ha quindi Equazioni differenziali a variabili separate L equazione differenziale (6) si dice a variabili separate se L è funzione solo di e M solo di y, ossia l equazione è del tipo: 4

5 (7) L( ) d + M ( y) dy = La soluzione dell equazione si ottiene integrando i due membri: L d + M y dy = c ESEMPIO 6 Risolvere l equazione a variabili separate: d dy = + y Si ha: d dy = c + y e quindi: arctgy = c e quindi y tg = c 3 Equazioni differenziali a variabili separabili Se L(, y) d + M (, y) dy = si può scrivere nella forma f g y d + f g y dy =, (8) dove f ( ) e g y, ci si riconduce ad una equazione del tipo (7): f g y d + dy = ; f g y l equazione differenziale (8) viene detta a variabili separabili e la primitiva si ottiene per integrazione dei due termini yd + + dy = ESEMPIO 7 Risolvere l equazione differenziale Una soluzione è y = Supponendo quindi y si ha: d + dy = + y da cui segue: d + dy = + y ha: ln + + ln y = ln c Ne deriva: Integrando e ponendo per comodità la costante con ln c, si + y = c e quindi: c y = + 5

6 ESEMPIO 8 Risolvere l equazione differenziale la condizione y ( ) = L equazione ha come soluzione y = Supposto quindi y si ha: dy d y = ed integrando si ha: y dy = y da cui segue: d = + c L integrale generale è quindi y = e la solu- c zione y = si ottiene per c + Imponendo la condizione y = si ha: c =, ottenendo la soluzione y' = y e determinare l integrale che soddisfa y = 4 Equazione differenziali del tipo y' = f ( a + by) Sia data l equazione differenziale (9) y' = f ( a + by) con f funzione continua e a, b, costanti entrambi diverse da zero Introducendo la nuova incognita z = a + by e si ricava: z a z' a y =, y' = b b e perciò l equazione (9) diventa: che è a variabili separabili Per ogni soluzione z ( ), si ha una soluzione z' = a + bf ( z) ESEMPIO 9 Risolvere l equazione: y' = ( + y) z a y = b Posto z = + y e si ha: y = z da cui segue: y' = z' e si ha l equazione per z: z' = + z Separando le variabili si ha: dz + z = d da cui, integrando si ha: arctgz = + c, ovvero z = tg ( + c) y = tg + c L equazione proposta ha pertanto come integrale generale: 5 Equazioni differenziali omogenee n Ricordiamo che una funzione f(,y) è detta omogenea di grado n se f (, y) f (, y) λ λ = λ Una equazione differenziale del primo ordine si dice a coefficienti omogenei quando è del tipo: y () y' = f, cioè il secondo membro è una funzione continua, omogenea di grado zero y Ponendo z = si ricava: y = z da cui: y' = z + z' e perciò si ha: z + z' = f ( z) ossia: 6

7 che è a variabili separabili: z' = dz f z z d = f z z y y ESEMPIO Risolvere l equazione: y' = + y Posto z =, con le indicazioni di cui sopra, si ha: arcsenz ln c dz z = d e integrando otteniamo: = + e quindi z = sen( ln + c) L integrale generale è quindi: y sen ( ln c) a + by + c 6 Equazioni differenziali del tipo y' = f a' + b' y + c' Consideriamo l equazione differenziale del tipo: = + () a + by + c y' = f a' + b' y + c' dove f è una funzione continua e a, b, c, a, b, c sono costanti reali tali che sia ab' a' b e c, c non entrambe nulle Il sistema a + by + c = a' + b' y + c' = nelle condizioni poste per le costanti, ammette una e una sola soluzione (α,β) diversa dall origine Si effettua quindi il cambiamento di variabili Si ha: () diventa: ( + β) ( + α) dy d v dv y' = = = d d u du = u + α y = v + β, a + by + c = au + bv, a' + b' y + c' = a' u + b' v e l equazione v a + b dv au + bv f f u = = du a' u b' v v + a' + b' u v v u che è del tipo () Ad ogni integrale =, corrisponde l integrale y v( ) ESEMPIO Risolvere l equazione + y d 4 dy = Supposto, l equazione può essere scritta nella forma = β + α 7

8 + y y' = + y = che risulta del tipo () Il sistema = l equazione diventa: Posto ora v + dv u + v u = = du u v z =, si ha: v = zu, dv = dz u + z e quindi: u du du ha soluzione (, ) Ponendo quindi dz + z u + z = da cui segue: du = u y = v + 4 dz = du u ( z ) Integrando e poi passando alle variabili, y si trova: 4 y = + ln c 3 Generalità sulle equazioni differenziali lineari di ordine n Il capitolo delle equazione differenziali ordinarie d ordine superiore al primo e vastissimo, ci limiteremo a dare alcune generalità sulle equazioni differenziali lineari e alla risoluzione di equazioni differenziali lineari del secondo a coefficienti costanti omogenee e ad alcuni casi semplici di equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee Una equazione differenziale lineare di ordine n si presenta nella forma: () ( n) ( n ) ( n ) n y + a y + a y + + a y' + a y = g n dove ( n) y, ( n ) y, ( n ) y,, y' sono le derivate della funzione incognita a ( ),, a ( ) e il termine noto n y ; i coefficienti a, g sono funzioni date in uno stesso intervallo I in cui si suppone che siano anche continue g è identicamente nulla in I la () viene detta equazione differenziale li- Se la funzione noto neare omogenea; in caso contrario si parla di equazione differenziale lineare non omogenea Supponiamo che i coefficienti e il termine noto della () siano continui nell intervallo [ a,b ] e siano un punto di [ a,b ] e β, β, β,, β numeri reali qualunque; si dimostra che l equazione n () ammette una e una sola soluzione ϕ ( ) che soddisfa alle condizioni iniziali: ϕ ( ) = β, ( n ϕ ' ( ) = β, ϕ '' ( ) = β,, ϕ ) ( ) = β n Consideriamo prima le equazioni omogenee: 8

9 (3) ( n) ( n ) ( n ) = n n y a y a y a y' a y Vale il seguente teorema: TEOREMA Se ϕ ( ), ϕ ( ),, p ( ) ϕ sono p integrali particolari dell equazione (3) (p è un numero naturale qualsiasi), allora dette c, c,, c delle costanti arbitrarie, allora anche: p è un integrale della stessa equazione Siano ora ϕ, ϕ,, ( ) ( ) c ( ) c ( ) c ( ) ψ = ϕ + ϕ + + ϕ n p p ϕ n integrali particolari dell equazione (3) (tanti quanto l ordine dell equazione), si chiama wronskiano di tali integrali il determinante: Vale il seguente teorema: ( ) ( ) ( n ) n ϕ ϕ ϕ ϕ ' ϕ ' ϕ ' W = ϕ '' ϕ '' ϕ '' n n n n ϕ ϕ ϕ TEOREMA DI LIOUVILLE Comunque si fissino gli n integrali particolari ϕ ( ), ( ) n ( ) dell intervallo [ a,b ] vale la seguente relazione: ϕ dell equazione (3) ed un punto W = W e a d n ϕ,, Da tale teorema segue che il wronskiano o è identicamente nullo o non si annulla mai Se il Wron- ϕ costituiscono un sistema skiano non si annulla mai allora le funzioni ϕ, ϕ,, fondamentale di integrali per l equazione (3) e si dimostra che tutti e soli gli integrali dell equazione sono espressi come combinazione lineare di tale sistema; ovvero sono compresi nella formula: y = c ϕ + c ϕ + + c ϕ dove c, c,, dell equazione (3) n n c sono delle costanti arbitrarie È questa la forma dell integrale generale n Possiamo concludere dicendo che per determinare l integrale generale di una equazione differenziale lineare omogenea dobbiamo individuare un sistema fondamentale di soluzioni n 4 Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti Una equazione differenziale lineare a coefficienti costanti è del tipo: ( n) ( n ) ( n ) n y + a y + a y + + a y' + a y = g n 9

10 dove a, a,, a ( n, a sono delle costanti reali[ ] La variabile è sempre una variabile reale ) n Una equazione del secondo ordine è data da (4) y'' a y' a y g ( ) + + = Se g è una funzione continua nell intervallo I, allora, comunque si prendano tre numeri, y, y ' y = y, soluzione della (4), definita in un insieme I, che soddisfa esiste una e una sola funzione alle condizioni iniziali (5) y = y y' = y ' In particolare se la (4) è omogenea, cioè g ( ) =, e quindi continua per ogni R, allora la soluzione della (4) sotto la condizione (5) è definita in tutto R 4 Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee Una equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti, omogenea si presenta nella forma: (6) y'' + a y' + a y = con a e a costanti Cerchiamo quindi un sistema fondamentale di integrali della (6) Poniamo quindi nella (6) si ha: y = e λ è quindi un integrale della (6) se e solo se λ è una radice dell equazione alge- La funzione brica: y = e λ, con λ costante Derivando otteniamo: y' = λ e λ, λ e + a λ e + a e = e λ + a λ + a = λ λ λ λ y'' = λ e λ e sostituendo (7) λ + a λ + a = La (7) viene chiamata equazione caratteristica dell equazione (6), è di secondo grado e quindi, nel campo complesso, ammette sempre due radici[ 3 ] che sono: a ± a 4a λ = Consideriamo i due casi: Caso a 4a ; l equazione (7) ammette due radici distinte λ e λ ; il sistema di integrali fondamentali della (6) è dato dalle funzioni: y = e λ e y = e λ Per dimostrare che ciò è vero basta far vedere che il wronskiano è diverso da zero; infatti [ ] In effetti il fatto che tali costanti siano reali è irrilevante in quanto quello che diremo vale anche per costanti complesse [ 3 ] È questo il teorema fondamentale dell algebra che in sostanza afferma che nel campo complesso un equazione algebrica di grado n ammette sempre n radici

11 λ λ = e e λ λ e λ e = λ λ ( λ ) +λ e W λ essendo appunto λ λ L integrale generale dell equazione è quindi: y c e c e = + λ λ (8) con c e c costanti arbitrarie Si ricorda che le costanti arbitrarie sono determinate assegnando le condizioni iniziali Nel caso in cui a 4a >, λ e λ sono numeri reali, mentre se a 4a <, λ e λ sono nu- λ = α + i β, λ = α iβ ; in quest ultimo caso, utilizzando la formula di meri complessi coniugati Eulero per la rappresentazione dei numeri complessi, l integrale generale può essere scritto in una delle seguenti forme: α α α (9) y ( ) = e ( c cosβ + c senβ ) = Ae cos ( β + ϕ ) = Be sen( β + ψ ) con c, c, A, ϕ, B, ψ costanti arbitrarie; si lascia allo studente la dimostrazione dell equivalenza tra le (8) e le (9) ESEMPIO Risolvere l equazione differenziale y'' + y' 6y = L equazione caratteristica è λ + λ 6 = che ammette le soluzioni reali e distinte: λ = 3 e λ = Si ha quindi la soluzione: 3 = + y c e c e ESEMPIO 3 Risolvere l equazione differenziale y'' y' + y = L equazione caratteristica è λ λ + = che ammette le soluzioni reali e distinte: λ = 3i e λ = + 3i La soluzione può essere scritta quindi in una delle seguenti forme: y = e c cos 3 + c sen3 ( ) y ( ) = Ae cos ( 3 + ϕ ) y ( ) = Be sen( 3 + ψ ) Caso a 4a = ; l equazione (7) ammette due radici coincidenti λ = λ = λ ; il sistema di integrali fondamentali della (6) è dato dalle funzioni: y = e e y = e Per dimostrare che ciò è vero basta far vedere che il wronskiano è diverso da zero; infatti

12 W L integrale generale dell equazione è quindi: e e λ λ λ = = e λ λ ( + λ ) λ e e λ λ λ () y ( ) c e c e e ( c c ) = + = + ESEMPIO 4 Risolvere l equazione differenziale y'' 6y' + 9y = L equazione caratteristica è λ 6λ + 9 = che ammette le soluzioni reali e coincidenti: λ = λ = 3 Si ha quindi la soluzione: = + = ( + ) y c e c e e c c 4 Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee Per risolvere una equazione differenziale del secondo ordine non omogenea (4), è necessario risolvere prima l equazione omogenea associata (6) Vale il seguente teorema: TEOREMA Indicati con y ( ) l integrale generale dell equazione (4), dell equazione omogenea associata (6) e con y* ( ) un integrale particolare della (4), si ha: y ( ) = y ( ) + y* ( ) y l integrale generale Vediamo un metodo generale noto come metodo di Lagrange o della variazione delle costanti arbitrarie L integrale generale della (6) è della forma: y ( ) = c y + c y ; poniamo c sono funzioni di : c ( ) e c ( ) Affinché y* = c y + c y dove però c e y* sia un integrale particolare della (4), la deve soddisfare e, lo diamo senza dimostrazione, ciò è vero se le derivate c ' ( ) e c ' ( ) sono soluzioni del sistema: () c ' y + c ' y = c ' y ' + c ' y ' = g Tale sistema si risolve con la regola di Kramer ed ammette soluzioni in quanto il determinante altro non è che il wronskiano dell equazione differenziale ESEMPIO 5 Risolvere l equazione differenziale y'' + y = sen L equazione caratteristica dell equazione omogenea è: λ + = che ammette le soluzioni complesse e coniugate: ± i Si ha quindi la soluzione dell omogenea:

13 y ( ) = c cos + csen Un integrale particolare dell equazione è quindi y* ( ) = c ( ) cos + c ( ) sen con c ( ) che si ricavano dalla soluzione del sistema: c e Con la regola di Kramer otteniamo: c ' cos + c ' sen = c ' sen + c ' cos = sen sen cos c sen ' = = cos sen sen cos cos sen sen cos c ' = = cos sen sen sen cos Integrando, a meno di costanti additive, otteniamo: c ( ) = Pertanto l integrale particolare dell equazione è: L integrale generale dell equazione è: c = ln sen y* ( ) = cos + sen ln sen y ( ) = c cos + csen cos + sen ln sen Il metodo di Lagrange comporta il calcolo di un integrale e, come ben sappiamo, la cosa non è sempre agevole In molti casi, per la determinazione di un integrale particolare della (4), è possibile u- tilizzare il cosiddetto metodo dei coefficienti indeterminati Vediamo alcuni casi particolari Caso g ( ) Q ( ) =, ovvero un polinomio di grado m m L integrale particolare è: y* ( ) P ( ) - se a, allora n = m; - se a = e a, allora n = m + ; - se a = e =, precisamente: n a =, allora n = m + ; in questo caso l equazione diventa y'' g ( ) = e la soluzione si ottiene con una doppia integrazione ESEMPIO 6 Risolvere l equazione differenziale y'' y' + 4 = 3

14 L equazione caratteristica dell equazione omogenea è: λ + λ = 4 che ammette le soluzioni reali λ = 4 e λ = Si ha quindi la soluzione dell omogenea: 4 y = c e + c Per l integrale particolare osserviamo che se a = e a = 4, allora n = m + e sarà quindi 3 y* ( ) = a + b + c + d con a, b, c, d costanti da determinare Derivando si ha: E quindi = e = 6 + y*' a b c 6a + b + 4 3a + b + c = y*'' a b a + 3a + 4b + b + 4c = Si ha quindi: a = 3a + 4b = da cui segue b + c = L integrale particolare è: a = b = 6 c = 3 3 y* ( ) = non dipendendo da d, possiamo scegliere d = L integrale generale dell equazione è: 4 3 y ( ) = ce + c g Caso = Ae α, con A e α costanti - Se α non coincide con una delle radici dell equazione caratteristica dell equazione omogenea associata, si pone: y* ( ) = Be α con B costante da determinare; - Se α coincide con una delle radici distinte dell equazione caratteristica, si pone: y* = Be α ; 4

15 - Se α coincide con una le radici coincidenti dell equazione caratteristica, si pone: y* = B e α ESEMPIO 7 Risolvere l equazione differenziale y'' y' y e + = 3 L equazione caratteristica dell equazione omogenea è: λ + λ = che ammette le soluzioni reali λ = e λ = Si ha quindi la soluzione dell omogenea: y = c e + c e Siamo nel caso in cui α = - è una delle due soluzioni reali dell equazione omogenea Poniamo quindi: Derivando si ha: y* ( ) = Be = = ( ) e y*'' ( ) = Be ( ) Be = 4Be ( ) y*' Be Be Be E quindi 4Be + Be Be = 3e da cui: 4B( ) B ( ) B 3 y* ( ) = e, mentre l integrale generale è: + = ; si ricava quindi B = - La soluzione particolare è quindi: y = c e + c e e = c e + c e Caso 3 g ( ) = C cosβ + D se nβ, con C, D e β costanti - Se iβ non è radice dell equazione caratteristica dell equazione omogenea associata, si pone: y* = Acosβ + Bsenβ con A e B costanti da determinare; - Se iβ è radice dell equazione caratteristica, si pone: y* ( ) = ( Acosβ + Bsenβ ) con A e B costanti da determinare ESEMPIO 8 Risolvere l equazione differenziale y'' y' = cos L equazione caratteristica dell equazione omogenea è: λ λ = che ammette le soluzioni reali λ = e λ = Si ha quindi la soluzione dell omogenea: 5

16 y ( ) = c + ce Non essendo iβ = i radice dell equazione omogenea poniamo: y* ( ) = Acos + Bsen Derivando si ha: y*' ( ) = Asen + B cos e y*'' ( ) = Acos Bsen e sostituendo otteniamo: cioè: Acos Bsen Asen + B cos = cos ( A + B) cos ( A + B) sen = cos Affinché questa uguaglianza sia verificata deve essere: B A = da cui A B = A = B = L integrale particolare è quindi: mentre l integrale generale è: y* ( ) = cos + sen, y ( ) = c + ce cos + sen Caso 4 g = e α C cosβ + D senβ, con α e β costanti, C() e D() polinomi in È facile rendersi conto come ci si possa ricondurre ai tre casi precedenti a seconda del valore delle costanti e dei polinomi In generale: - Se α + iβ non è radice dell equazione caratteristica, allora si cercherà la soluzioni particoalre nella forma pone: y* ( ) = e α A( ) cos β + B ( ) senβ con A() e B() polinomi, da determinarsi, entrambi di grado uguale al maggiore tra i gradi di C() e D(); - Se α + iβ è una delle radici distinte dell equazione caratteristica, si pone: y* ( ) = e α A( ) cos β + B ( ) senβ con A() e B() polinomi, da determinarsi, entrambi di grado uguale al maggiore tra i gradi di C() e D(); prenderà: a - Se l equazione caratteristica ha le radici coincidenti λ = λ = e se risulta β = allora si y* = A e α con A() polinomio, da determinarsi, di grado uguale al maggiore tra i gradi di C() e D() 6

17 y'' 4y' + 3y = + e ESEMPIO 9 Risolvere l equazione differenziale L equazione caratteristica dell equazione omogenea è: λ λ + = 4 3 che ammette le soluzioni reali e distinte λ = e λ = 3 Si ha quindi la soluzione dell omogenea: Si ha inoltre che α =, β =, C ( ) 3 y c e c e = + = + e poiché α + iβ = non è radice dell equazione caratteristica, scriviamo l integrale particolare nella forma: y* ( ) = ( a + b) e con a, b, costanti da determinare Derivando si ha: e sostituendo e semplificando otteniamo: = + ( + ) = ( + + ) y*' ae a b e a a b e = + ( + + ) = 4( + + ) y*'' ae a a b e a a b e a b = + da cui: a = e b = L integrale particolare è: mentre l integrale generale è: ( ) y* e =, = = + ( + ) y y ce ce e ESEMPIO Risolvere l equazione differenziale 3 y'' y' e 4 4 = L equazione caratteristica dell equazione omogenea è: λ λ = 4 che ammette le soluzioni reali e distinte λ = e λ = 4 Si ha quindi la soluzione dell omogenea: Si ha inoltre che α = 4, β =, C ( ) 4 y c c e = + = e poiché α + iβ = 4 coincide con una radice dell equazione caratteristica, scriviamo l integrale particolare nella forma: 7

18 = ( + ) = ( + ) y* a b e a b e con a, b, costanti da determinare Derivando si ha: 4 4 = ( + ) + 4( + ) = ( ) y*' a b e a b e a b a b e = ( ) + 4( ) = ( ) y*'' a a b e a b a b e a a b a b e e sostituendo e semplificando otteniamo: a + a + 4b = cioè: 8a = 4b + a = da cui a = 4 b = 8 L integrale particolare è: e quindi l integrale generale è: y* e =, y ( ) = c + c e + e = + c e + c ESEMPIO Risolvere l equazione differenziale 6 9 ( ) y'' y' y e 3 + = + L equazione caratteristica dell equazione omogenea è: λ λ + = 6 9 che ammette le soluzioni reali e coincidenti λ = λ = 3 Si ha quindi la soluzione dell omogenea: 3 3 y c e c e = + Poiché α + iβ = 3 è radice doppia dell equazione caratteristica, scriviamo l integrale particolare nella forma: = ( + + ) y* a b c e con a, b, c, costanti da determinare Derivando si ha: 3 = ( ) + 3( + + ) = ( ) y*' a b c e a b c e a b c a b c e

19 ( ) 3( ) = ( a + 6b + c + 4a + 8b + c + 9a + 9b + 9c ) e y*'' a b c a b c e a b c a b c e = = e sostituendo otteniamo che deve essere: a + 6b + c = + cioè: a = 6b = c = da cui a = b = c = L integrale particolare è: mentre l integrale generale è: y* e 4 3 = +, y c c e 4 3 = ESEMPIO Risolvere l equazione differenziale y'' + y' = 3 4 cos + 8 sen L equazione caratteristica dell equazione omogenea è: λ + λ = che ammette le soluzioni reali e distinte λ = e λ = Si ha quindi la soluzione dell omogenea: y = c e + c Si ha inoltre che α =, β =, C ( ) = 3 4 e D ( ) 8 dell equazione caratteristica, scriviamo l integrale particolare nella forma: = ( + ) + ( + ) y* a b cos c d sen con a, b, c, d, costanti da determinare Derivando si ha: = ; poiché α + iβ = i non è una radice y*' ( ) a cos ( a b) sen csen ( c d ) cos = ( a + c + d ) cos + ( c a b) sen = 4( c a b) cos 4( a + c + d ) sen = = y*'' = c cos a + c + d sen + asen + c a b cos = 9

20 e sostituendo e semplificando si ha: ( 3 4) cos ( 8) sen c 4a + 4c 4b + a + d cos 4c + a + 4a + 4d c + b sen = = + cioè: c 4a = 4 4c 4b + a + d = 3 4c + a = 4a + 4d c + b = 8 da cui a = b = c = d = L integrale particolare è: mentre l integrale generale è: y* ( ) = cos + sen, = y c e c cos sen ESEMPIO 3 Risolvere l equazione differenziale y'' + y' + y = e sen L equazione caratteristica dell equazione omogenea è: λ + λ + = che ammette le soluzioni complesse e coniugate ± i Si ha quindi la soluzione dell omogenea: y = e c cos + c sen Si ha inoltre che α = -, β =, C ( ) = e D ( ) = dell equazione caratteristica, scriviamo l integrale particolare nella forma: = ( + ) y* e Acos Bsen con A, B, costanti da determinare Derivando si ha: sostituendo e semplificando otteniamo: { } = ( ) + + ( + ) = [ ] + [ ] y*' e B A A cos B A B sen ; poiché α + iβ = - + i è una radice { } y*'' e B A B cos A A B sen Be cos Ae sen = e sen cioè: A = e B = ; pertanto l integrale particolare è:

21 mentre l integrale generale è: y* = e cos, y = e c cos + c sen