Equazioni differenziali del 2 ordine Prof. Ettore Limoli. Sommario. Equazione differenziale omogenea a coefficienti costanti

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1 Equazioni differenziali del 2 ordine Prof. Ettore Limoli Sommario Equazione differenziale omogenea a coefficienti costanti... 1 Equazione omogenea di esempio... 2 Equazione differenziale non omogenea a coefficienti costanti... 2 Equazione non omogenea di esempio... 3 Problema di Cauchy... 4 Calcolo dell integrale... 5 Equazione differenziale omogenea a coefficienti costanti Ci proponiamo di risolvere un equazione differenziale del tipo: Equazione 1 a y + b y + c y = 0 Dove a, b e c sono dei coefficienti costanti. Cerchiamo le soluzioni fra le funzioni del tipo: Equazione 2 y = k e λx Dove k e sono costanti arbitrarie. Imponiamo che la Equazione 2 sia soluzione della Equazione 1: a k λ 2 e λx + b k λ e λx + c k e λx = 0 Semplificando otteniamo: Equazione 3 a λ 2 + b λ + c = 0 Che è un equazione di secondo grado in, detta equazione caratteristica della Equazione 1. Si distinguono tre casi: 1

2 Radici della caratteristica Integrale generale > 0 1 e 2 reali e distinte y = A e λ 1x + B e λ 2x = 0 1 e 2 reali coincidenti y = (A + B x) e λ 1x < 0 1 = + i, 2 = - i ; radici complesse coniugate y = (A cos βx + B sen βx) eα x Dove A, B sono costanti arbitrarie che possono essere determinate conoscendo le condizioni iniziali (Problema di Cauchy). Osserviamo che nel caso ( < 0) in cui le radici complesse dell equazione caratteristica sono immaginarie pure ( = 0 e 0), la soluzione dell equazione differenziale può assumere la forma: y = A sen( βx + φ). Dove A e φ sono costanti arbitrarie. Equazione omogenea di esempio Ci proponiamo di risolvere la seguente equazione differenziale con le condizioni iniziali assegnate: y 4 y = 0 y(0) = 7 y (0) = 12 L equazione caratteristica è : λ 2 4 λ = 0, le cui soluzioni sono: 1 = 0 e 2 = 4. Pertanto l integrale generale è: y = A + B e 4x che ha derivata: y = 4 B e 4x. Imponendo le condizioni iniziali, si ha: y(0) = A + B = 7 y (0) = 4 B = 12 ; A = 4 B = 3. Pertanto l integrale cercato è: y = e 4x. Equazione differenziale non omogenea a coefficienti costanti Ci proponiamo di risolvere un equazione differenziale del tipo: Equazione 4 Dove a, b e c sono dei coefficienti costanti. a y + b y + c y = f(x) Si può dimostrare che la soluzione della Equazione 4 è data da: y = y 0 + y Dove y 0 è l integrale generale dell equazione omogenea associata alla Equazione 4, data dalla Equazione 1 e y è un integrale particolare della completa Equazione 4. 2

3 Per determinare questo integrale particolare si può usare il metodo di Lagrange della variazione delle costanti arbitrarie. Si considera l integrale generale dell omogenea associata dove le costanti vengono considerate delle funzioni di x, ossia: A = A(x) e B = B(x). Ossia: Dove A e B sono soluzioni del sistema: y = A(x) y 1 + B(x) y 2 A y 1 + B y 2 = 0 A y 1 + B y 2 = f(x) Dove A, B, y 1, y 2 sono le derivate, rispettivamente di A, B, y 1, y 2. Equazione non omogenea di esempio Si voglia risolvere l equazione differenziale lineare, non omogenea, del 2 ordine, a coefficienti costanti: Equazione 5 y + y = tan x L omogenea associata è: y + y = 0. Essa ha equazione caratteristica: λ = 0, che ha soluzioni: λ = ± i. L integrale generale dell omogenea associata è quindi: Equazione 6 L integrale generale della Equazione 5 sarà dato da: Equazione 7 Dove y è un integrale particolare della Equazione 5. y 0 = A cos x + B sen x y = y 0 + y L integrale particolare sarà cercato fra le funzioni del tipo Equazione 6 con A = A(x) e B = B(x): Equazione 8 y = A(x) cos x + B(x) sen x Applicando il metodo di Lagrange o della variazioni delle costanti arbitrarie, determiniamo A e B come soluzioni del sistema: A cos x + B sen x = 0 A sen x + B cos x = tan x Dove A e B sono, rispettivamente, le derivate di A e di B. Essendo: D cos x = - sen x; D sen x = cos x. A = B tan x B tan x sen x + B cos x = tan x ; A = B tan x B = sen x ; A = sen x tan x B = sen x Quindi 3

4 A = ( sen x) tan x dx = sen x + ln B = sen x dx = cos x Sostituendo nella Equazione 8 otteniamo l integrale particolare: y = cos x ln Sostituendo nella Equazione 7 si ottiene l integrale generale della Equazione 5: Equazione 9 y = A cos x + B sen x + cos x ln Problema di Cauchy Le costanti A e B della Equazione 9 possono essere determinate se si conoscono le condizioni iniziali. Supponiamo, quindi, siano date le seguenti condizioni iniziali: y(0) = y( /6) = 0. Imponiamo le condizioni iniziali alla Equazione 9: Sa cui: 1 + cos 0 sen 0 y(0) = A cos 0 + B sen 0 + cos 0 ln 1 + cos 0 + sen 0 = A = 0 y ( π 6 ) = A cos π 6 + B sen π 6 + cos π 6 ln 1 + cos π 6 sen π cos π 6 + sen π 6 Pertanto la soluzione del problema di Cauchy è: y = 3 2 A = 0 B = 3 2 ln 3 ln 3 sen x + cos x ln = 3 2 A B + ln = 0 4

5 Calcolo dell integrale Per completezza di trattazione calcoliamo il seguente integrale: Integrando per parti: ( sen x) tan x dx = sen x + ln 1 ( sen x) tan x dx = cos x tan x cos x cos 2 x dx = sen x dx cos x Calcoliamo l ultimo integrale per sostituzione ponendo t = tan(x/2) e usando le formule parametriche del coseno. 1 + t2 1 t 2 2 dt 1 + t 2 = dt 1 t + dt 1 + t Pertanto, ricordando la posizione fatta t = tan x = sen x, si ha: 2 1+cos x = ln 1 t + ln 1 + t = ln 1 + t 1 t ( sen x) tan x dx = sen x + ln Prof. Ettore Limoli 5