Istituto Villa Flaminia - IV Scientifico Prova Orale di Matematica (221) 16 Marzo 2015
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- Giuseppa Riccardi
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1 Nome e Cognome: Istituto Villa Flaminia - IV Scientifico Prova Orale di Matematica (221) 16 Marzo La retta r : x = 1 + t y = 2 3t z = t A. sono paralleli B. sono sghembi C. sono perpendicolari D. hanno distanza 2 ed il piano π : 2x 6y + 2z 2 = 0 SOL: Un vettore parallelo ad r è v = (1, 3, 1); un vettore normale a π è w = (2, 6, 2) = 2v. Quindi r π. 2. L equazione della retta s parallela al piano π di equazione x + y z = 0 per il punto P (1, 1, 1) è A. x + y = 0 B. x = 3t + 3 y { x y = 0 C. z + x = 0 x = 1 + t D. y = 1 + t z = 1 + 2t x = 1 + l t SOL: La retta cercata ha equazioni parametriche y = 1 + m t dove l, m, n sono z = 1 + n t i parametri direttori. La retta è parallela al piano se (l, m, n) è perpendicolare alla normale al piano (1, 1, 1), per cui deve essere (1, 1, 1) (l, m, n) = 0 l+m n = 0, quindi l = 1, m = 1, n = 2 è una possibile soluzione.
2 MATEMATICA 16/3/2015 Pag. 2 di La distanza fra il punto P ( 2, 3/2, 0) ed il piano z = 4 è A. 4 B. 2 C. 1/2 D. 0 SOL: Il punto P appartiene al piano xy, infatti ha la coordinata z = 0. La distanza di P da z = 4 è quindi 4. x = t 4. Le rette r : y = t 1 z = 0 A. coincidenti B. sghembe C. incidenti D. parallele x = 3t e s : y = 3t 5 z = 0 SOL: Le rette sono parallele perché hanno i parametri direttori in proporzione. Non sono coincidenti perché, ad esempio, (0, 1, 0) r ma / s. 5. La distanza fra la retta r : A. 0 B. 1 C. 5 D. 5 5 { x = y 2x = z e il piano x y + 1 = 0 è uguale a SOL: Prendiamo un punto su r, e sia l origine per semplificare i calcoli. Sul piano scegliamo il punto (0, 1, 0). Allora resta da calcolare (0, 1, 0) (1, 1, 0) 2 (1, 1, 0) = 2
3 MATEMATICA 16/3/2015 Pag. 3 di La funzione π e 2x 3 e x è una soluzione dell equazione A. y y 2 = 0 B. y + y + 2y = 0 C. y y 2y = 0 D. y + 2y + y 2 = 0 SOL: Le soluzioni dell equazione caratteristica sono 2, 1, quindi è del tipo A(λ 2 λ 2) = 0 quindi un equazione possibile è y y 2y = Risolvere il problema di Cauchy y + 3y = 0 y(0) = 0 y (0) = 1 SOL: L equazione caratteristica è λ 2 +3λ = 0, che ha le soluzioni complesse coniugate λ 1/2 = ± 3. Allora la soluzione generale è y(x) = c 1 cos 3x + c 2 sin 3x Imponendo la condizione y(0) = 0 otteniamo c 1 = 0, quindi la condizione y (0) = 1 implica c 2 3 = 1 c2 = 3/3. In conclusione, la soluzione particolare chiesta è y(x) = 3 3 sin 3x 8. Calcolare modulo e argomento del numero complesso 1/2 + i 3. SOL: Il modulo è 1/4 + 3 = 13/2; l argomento è arctan 2 3
4 MATEMATICA 16/3/2015 Pag. 4 di Calcolare 2+i 3 2i SOL: Moltiplicando numeratore e denominatore per 3 + 2i, si ha 2 + i 3 2i (2 + i)(3 + 2i) = (3 2i)(3 + 2i) = 4 + 7i 13 = i 10. Calcolare la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso (2 + i) 3 SOL: (2 + i) 3 = i + 6i 2 + i 3 = i i = i
5 MATEMATICA 16/3/2015 Pag. 5 di Istituto Villa Flaminia - IV Scientifico Prova Orale di Matematica (222) 16 Marzo La retta r : x = 3 + t y = 1 t z = 2t A. sono paralleli B. sono sghembi C. hanno distanza 2 D. sono perpendicolari ed il piano π : x y + 3z 2 = 0 SOL: Un vettore parallelo ad r è v = (1, 1, 2); un vettore normale a π è w = (1, 1, 3), che non è parallelo o perpendicolare al precedente. Dunque l unica risposta possibile è la E. 2. L equazione della retta s perpendicolare al piano π di equazione x + y z = 0 per il punto P (1, 1, 1) è A. x + y = 0 B. x = 3t + 3 y { x y = 0 C. z + x = 0 x = 1 + t D. y = 1 + t z = 1 + 2t SOL: Si trova subito x = 1 + t y = 1 + t z = 1 t 3. La distanza fra il punto P ( 7, 0, 3/2) ed il piano y = 1 è
6 MATEMATICA 16/3/2015 Pag. 6 di A. 7 B. 1 C. 1 D. 0 SOL: Il punto assegnato appartiene al piano y = 0, quindi dista 1 dal piano y = 1. x = 2t x = t 1 4. Le rette r : y = t + 1 e s : y = t z = t + 2 z = 2 A. coincidenti B. sghembe C. incidenti D. parallele sono: SOL: Le direzioni delle due rette sono (2, 1, 1) e (1, 1, 0), quindi esse hanno direzioni diverse, ma non ortogonali, perché il prodotto scalare è uguale a 4 0. Per vedere se sono incidenti, basta trovare un valore di t per cui sia 2v = t 1 v = 0 dalla terza v + 1 = t t = 1 sostituendo v = 0 nella seconda v + 2 = = 0 sostituendo v = 0, t = 1 nella prima quindi c è il punto in comune P (0, 1, 2) dunque le rette sono incidenti. Si poteva pervenire allo stesso risultato osservando che nella prima retta t deve essere 0, da cui l unico punto di possibile incontro è (0, 1, 2), che poi si verifica appartenere anche alla seconda retta. 5. La distanza fra la retta r : A. 1 B. 3 C. 0 { x = 2y y = z e il piano x z + 1 = 0 è uguale a
7 MATEMATICA 16/3/2015 Pag. 7 di D. 2 SOL: La retta r ha parametri direttori (2, 1, 1), la normale al piano (1, 0, 1); essi hanno prodotto scalare 1 0, quindi la retta e il piano sono incidenti e la loro distanza è La funzione 2 e 3x π e 3x è una soluzione dell equazione A. y πy 9 = 0 B. y + y + 2y = 0 C. y 9y = 0 D. y 3y 2 = 0 SOL: Le soluzioni dell equazione associata sono 3 e 3, quindi è la A(λ 2 9λ) = 0, alla quale corrisponde ad esempio l equazione differenziale y 9y = Risolvere il problema di Cauchy y + 16y = 0 y(0) = 0 y (0) = 1 SOL: λ λ = 0 λ 1/2 = ±4i y(x) = c 1 sin 4x + c 2 cos 4x Il passaggio per (0, 0) implica y(0) = c 2 = 0, da cui y (x) = 4c 1 cos 4x y (0) = 4c 1 = 1 c 1 = 1/4 e la soluzione cercata è y(x) = 1/4 sin 4x 8. Calcolare modulo e argomento del numero complesso 1/3 i 2. SOL: = 19 3, arctan( 3 2)
8 MATEMATICA 16/3/2015 Pag. 8 di Calcolare 3+i 1 2i SOL: 3 + i 1 2i = 3 + i 1 2i 1 + 2i 1 + 2i = 1 + 7i 5 = i 10. Calcolare la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso (3 i) 3 SOL: (3 i) 3 = 27 27i + 9i 2 i 3 = i + i = 18 26i
9 MATEMATICA 16/3/2015 Pag. 9 di Istituto Villa Flaminia - IV Scientifico Prova Orale di Matematica (223) 16 Marzo 2015 x = 1 t 1. La retta r : y = 2 + 3t ed il piano π : 2x 6y + 2z 2 = 0 z = t A. sono paralleli B. sono sghembi C. sono perpendicolari D. hanno distanza 2 SOL: ( 1, 3, 1) (2, 6, 2) = 18 0 quindi non c è parallelismo, d altra parte i vettori non sono collinari, quindi non c è perpendicolarità. É giusta la risposta E. 2. L equazione della retta s parallela al piano π di equazione x + 2y 3z = 0 per il punto P (1, 1, 1) è A. x + y = 0 B. x = 3t + 3 y { x y = 0 C. z + x = 0 x = 1 + t D. y = 1 + t z = 1 + t SOL: In realtà c è un intero fascio di rette per il punto P parallele al piano dato. Tuttavia, la A e la B non sono rette, mentre la retta di equazioni C non passa per P. Resta la D, che passa per P ed ha parametri direttori (1, 1, 1). Essendo (1, 1, 1) (1, 2, 3) = 0, tale retta è perpendicolare alla normale al piano, per cui ha i requisiti del problema. Duqnue la risposta è la D. 3. La distanza fra il punto P (0, 3/2, 1) ed il piano x = 2 è A. 2
10 MATEMATICA 16/3/2015 Pag. 10 di B. 3/2 C. 1/2 D. 0 SOL: P appartiene al piano x = 0, quindi la distanza dal piano x = 2 è 2. x = t x = 3t 4. Le rette r : y = t 1 e s : y = 2t 5 z = 0 z = 0 A. coincidenti B. sghembe C. perpendicolari D. parallele sono: SOL: I parametri direttori sono rispettivamente (1, 1, 0) e (3, 2, 0), quindi le rette non sono parallele o coincidenti. Non sono neppure perpendicolari perché (1, 1, 0) (3, 2, 0) = 1 0. Trattandosi di due rette del piano xy, non parallele, esse sono allora incidenti, quindi la risposta giusta è la E. 5. La distanza fra la retta r : A. 0 B. 3 C. 2/6 D. 3/3 { x + y = 0 x = 2z e il piano x + y 4z + 1 = 0 è uguale a SOL: I parametri direttori della retta sono (2, 2, 1), quelli della normale al piano (1, 1, 4). Si ha (2, 2, 1) (1, 1, 4) = 4 0, quindi la retta interseca il piano e la distanza è 0.
11 MATEMATICA 16/3/2015 Pag. 11 di La funzione π e 5x 3 2 e x è una soluzione dell equazione A. y 4y 5y = 0 B. y π y 2 = 0 C. y + y + 2y = 0 D. y + π y + y 2 = 0 SOL: L equazione caratteristica è del tipo A(λ 2 4λ 5) = 0, quindi l equazione è la A. 7. Risolvere il problema di Cauchy y + 4y = 0 y(0) = 0 y (0) = 1 SOL: L equazione caratteristica è λ 2 + 4λ = 0 λ 1/2 = ±2i quindi la soluzione generale è c 1 sin 2x + c 2 cos 2x. Il passaggio per (0, 0) implica c 2 = 0 e, imponendo la seconda condizione, 2c 1 = 1 c 1 = 1/2 e la soluzione cercata è y(x) = 1 sin 2x 2 8. Calcolare modulo e argomento del numero complesso 1/3 + i 2. SOL: = 19 3, arctan Calcolare 2+3i 1 4i SOL: 2 + 3i 1 4i = 2 + 3i 1 4i 1 + 4i 1 + 4i = i 17 = i 10. Calcolare la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso (1 2i) 3
12 MATEMATICA 16/3/2015 Pag. 12 di SOL: (1 2i) 3 = 1 6i + 12i 2 8i 3 = i + 8i = i
13 MATEMATICA 16/3/2015 Pag. 13 di Istituto Villa Flaminia - IV Scientifico Prova Orale di Matematica (224) 16 Marzo La retta r : x = 2 t y = 2 + 2t z = 3 t A. sono paralleli B. sono sghembi C. sono perpendicolari D. hanno distanza 2 ed il piano π : x z 2 = 0 SOL: I parametri direttori di r sono ( 1, 2, 1) e quelli della normale a π sono (1, 0, 1). Il prodotto scalare ( 1, 2, 1) (1, 0, 1) = 0 ci dice che la retta e il piano sono paralleli. 2. L equazione della retta s parallela al piano π di equazione x + 3y 2z = 0 per il punto P (1, 1, 1) è x = 1 + t A. y = 1 + t z = 1 + 2t B. x + y = 0 C. x = 3t + 3 y { x y = 0 D. z + x = 0 SOL: La B e la C non rappresentano rette, la D non passa per P. Resta la A, che passa per P ed ha parametri direttori (1, 1, 2), quindi è perpendicolare alla normale al piano, di parametri direttori (1, 3, 2) perché (1, 1, 2) (1, 3, 2) = 0. Quindi A. 3. La distanza fra il punto P ( 2, 3/2, 3) ed il piano z = 1 è A. 2
14 MATEMATICA 16/3/2015 Pag. 14 di B. 1/2 C. 4 D. 0 SOL: La proiezione ortogonale di P sul piano è ( 2, 3/2, 1), quindi la distanza è 4. x = t 4. Le rette r : y = t 1 z = 0 A. complanari B. coincidenti C. sghembe D. parallele x = 3t e s : y = t 5 z = 0 SOL: Le due rette sono complanari, infatti appartengono entrambe al piano z = 0. Non sono coincidenti o parallele perché i parametri direttori (1, 1, 0) e (3, 1, 0) non sono in proporzione. 5. La distanza fra la retta r : A. 0 B. 2 C. 1 D. 2/2 { x = y 3x = z e il piano x y + 1 = 0 è uguale a SOL: I parametri direttori della retta sono (1, 1, 3), della normale al piano (1, 1, 0). Il prodotto scalare è nullo, quindi la retta e il piano sono paralleli. Prendiamo l origine sulla retta, il punto (1, 2, 0) sul piano, allora la distanza sarà data da (1, 2, 0) (1, 1, 0) 2 (1, 1, 0) = 2
15 MATEMATICA 16/3/2015 Pag. 15 di La funzione 3π e x 2 3 e x è una soluzione dell equazione A. y y 2 = 0 B. y + y + 2y = 0 C. y + y 2 = 0 D. y y = 0 SOL: L equazione caratteristica è A(λ 2 1) = 0, per cui l equazione è la y y = 0 7. Risolvere il problema di Cauchy y + 6y = 0 y(0) = 0 y (0) = 1 SOL: L equazione caratteristica è λ = 0 λ 1/2 = ±i 6 da cui y(x) = c 1 sin 6x + c 2 cos 6x. Dal passaggio per (0, 0): c 2 = 0 e l altra condizione implica 6 c 1 = 1 c 1 = 6/6 e la soluzione cercata è y(x) = 6/6 sin 6 x 8. Calcolare modulo e argomento del numero complesso 3/2 + i/2. SOL: = 1, arctan 3 3 = π 6 9. Calcolare 3+i 1 2i SOL: 3 + i 1 2i = 3 + i 1 2i 1 + 2i 1 + 2i = 5 5i 5 = 1 i 10. Calcolare la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso (1 + 5i) 3
16 MATEMATICA 16/3/2015 Pag. 16 di SOL: (1 + 5i) 3 = i + 75i i 3 = i 125i = i
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