PARALLELO DI DUE TRASFORMATORI
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- Ignazio Roberti
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1 l trasformatore PARALLELO D DUE TRASFORMATOR l funzionamento in parallelo di due trasformatori, di uguale o differente potenza nominale, si verifica quando sono in parallelo sia i circuiti primari sia quelli secondari, ossia quando i trasformatori sono alimentati da una stessa linea primaria ed erogano energia alla stessa linea secondaria di utilizzazione. V 1 T A T B V 2 carico
2 PARALLELO D DUE TRASFORMATOR l trasformatore RETE EQUVALENTE SEMPLFATA (riferita a secondario) V 1 e 1A + - e 1B e 2A + - e 2B 2A 2B 2 V 2 carico
3 PARALLELO D DUE TRASFORMATOR l trasformatore Lo scopo del parallelo di due trasformatori è di distribuire il carico totale in proporzione diretta alle potenze nominali dei singoli trasformatori. Una corretta connessione in parallelo richiede che: non si abbia circolazione di corrente nei secondari nel funzionamento a vuoto; la corrente erogata dal carico si ripartisca tra i trasformatori in modo proporzionale alle rispettive potenze nominali, con correnti nei trasformatori in fase tra loro. Tali condizioni sono soddisfatte se i trasformatori hanno: a) stesso rapporto di trasformazione; b) concordanza di fase delle tensioni secondarie a vuoto (stessa polarità); c) stessa tensione di corto circuito d) stesso fattore di potenza di corto circuito.
4 PARALLELO D DUE TRASFORMATOR l trasformatore La condizione a) (stesso rapporto di trasformazione) porta ad avere tensioni indotte di valore uguale in ogni secondario (e 2A = e 2B ). Se sussiste anche la condizione b) (concordanza di fase delle tensioni secondarie a vuoto) nella maglia costituita dai due secondari si ha una tensione indotta risultante nulla (e 2A -e 2B = 0). è nulla la corrente di circolazione nella maglia costituita dai due secondari, e quindi è nulla la corrente nell avvolgimento secondario di ciascun trasformatore. Le condizioni c) e d) (stessa tensione di corto circuito e stesso fattore di potenza di corto circuito) permettono la ripartizione del carico totale in proporzione diretta alle potenze nominali dei singoli trasformatori. V
5 PARALLELO D DUE TRASFORMATOR l trasformatore l parallelo di due trasformatori consente di: 1) impiegare più trasformatori di potenza inferiore rispetto a quella corrispondente al carico totale, nel caso in cui non convenga installare un solo trasformatore. 2) potenziare l impianto di trasformazione preesistente, aggiungendo un nuovo trasformatore. 3) realizzare una trasformazione a rendimento elevato, perché è possibile ridurre il numero di trasformatori in funzionamento quando il carico si riduce di potenza e viceversa. Quando il carico si riduce notevolmente, si manterrà in funzione un solo trasformatore (quello con minori perdite). 4) considerare uno dei due trasformatori in parallelo come riserva, per realizzare la continuità di esercizio nel caso di guasto di un trasformatore. V
6 FUNONAMENTO N PARALLELO D DUE TRASFORMATOR Due trasformatori monofase, funzionanti a 50 Hz, sono collegati in parallelo per alimentare un carico induttivo, con fattore di potenza cosϕ carico = 0,8, da una sorgente a V. Si determini la potenza massima che i trasformatori possono fornire senza che la tensione sul carico scenda al di sotto di 2250 V. Si calcoli la potenza fornita dai due trasformatori in questa condizione. Dati: Trasformatore A Trasformatore B e 1n = V e 1n = V e 2n = 2300 V e 2n = 2300 V S na = 100 kva S nb = 500 kva V cca = 275 V namis = 9,2 A P cca = 1000 W V ccb = 345 V nbmis = 45,5 A P ccb = 3370 W Dati provenienti dalla prova di corto circuito 1
7 FUNONAMENTO N PARALLELO D DUE TRASFORMATOR Per utilizzare correttamente i dati a disposizione, per prima cosa dobbiamo capire se la prova di corto circuito è stata effettuata cortocircuitando il primario oppure il secondario dei due trasformatori. Per capirlo, calcoliamo le correnti nominali riferite a entrambi i lati dei trasformatori e confrontiamole con le correnti misurate. A 1nA 2nA S e = na = S e 1n VA V = na = 2n VA 2300 V 9,09 A 43,48 A B 1nB S e = nb = 1n VA V 45,45 A 2nB S e = nb = 2n VA 2300 V 217,39 A 2
8 FUNONAMENTO N PARALLELO D DUE TRASFORMATOR Osserviamo che le correnti nominali uguali (o quasi) a quelle misurate durante la prova di corto circuito sono quelle relative al primario. Questo significa che nella prova sono stati cortocircuitati i secondari e quindi le grandezze misurate sono relative ai primari (cioè ai lati a V). La rete equivalente semplificata corrispondente è riferita ai primari: cca ccb e 1n e 1n e 2n e 2n V carico 3
9 FUNONAMENTO N PARALLELO D DUE TRASFORMATOR alcoliamo le impedenze di corto circuito riferite ai primari: A = V = 275 V Ω cca cca 29,89 namis 9,2 A P 1000 W cca R = cca 11, = namis 9,2 A Ω cca cca cca X = R = 29,89 11,81 27,46 Ω cca = 11,81+ j27,46 Ω 4
10 FUNONAMENTO N PARALLELO D DUE TRASFORMATOR B = V = 345 V Ω ccb ccb 7,58 nbmis 45,5 A P 3370 W ccb R = ccb 1, = nbmis 45,5 A Ω ccb ccb ccb X = R = 7,58 1,63 7,40 Ω ccb = 1,63 + j7,40 Ω 5
11 FUNONAMENTO N PARALLELO D DUE TRASFORMATOR Riportiamo le impedenze di corto circuito ai secondari, con il rapporto di trasformazione: e n [ V] k = = 4,78 e 2300 V 2n A [ Ω ] R 11,81 cca R = = 0,517 Ω 2 2 k 4,78 [ Ω ] X 27,46 cca X = = 1,200 Ω 2 2 k 4,78 = 0,517 + j1,200 Ω 6
![11000 1n [ V] k = = 4,78 e 2300 V 2n A [ Ω ] R 11,81 cca R = = 0,517 Ω](/docs-images/49/20930041/images/page_11.jpg "2 2 k 4,78 [ Ω ] X 27,46 cca X = = 1,200 Ω 2 2 k 4,78 = 0,517 + j1,200")
12 FUNONAMENTO N PARALLELO D DUE TRASFORMATOR B [ Ω ] R 1, 63 ccb R = = 0,071 Ω 2 2 k 4,78 [ Ω ] X 7,40 ccb X = = 0,324 Ω 2 2 k 4,78 = 0,071+ j0,324 Ω alcoliamo ora il modulo e la fase di e : A = R + X = 0, ,200 1,307 Ω = X arctan 66,7 R 7
13 FUNONAMENTO N PARALLELO D DUE TRASFORMATOR 1,307e j66,7 = Ω B = R + X = 0, ,324 0,331 Ω = X arctan 77,6 R 0,331e j77,6 = Ω 8
14 FUNONAMENTO N PARALLELO D DUE TRASFORMATOR A questo punto possiamo far riferimento a una rete equivalente semplificata riferita ai secondari: e 1n e 1n e2n e2n 2A 2B V carico 9
15 FUNONAMENTO N PARALLELO D DUE TRASFORMATOR Possiamo schematizzare la rete equivalente semplificata riferita ai secondari nel seguente modo: 2A 2B e2n e2n carico V ( ) ( ) j36,87 = cos ϕ jsin ϕ = 0,8 j0,6 = e carico carico 10
16 FUNONAMENTO N PARALLELO D DUE TRASFORMATOR alcoliamo l impedenza equivalente al parallelo delle impedenze dei due trasformatori: eq carico V eq = + e 2n ( ) ( ) j36,87 = cosϕ jsin ϕ = 0,8 j0,6 = e carico carico 11
17 FUNONAMENTO N PARALLELO D DUE TRASFORMATOR alcoliamo prima separatamente numeratore e denominatore di: eq = + = 1,307 0,331 = 0,433 Ω ( ) = 66,7 + 77,6 = 144,3 numeratore denominatore ( + ) = + = + = [ Ω] ( + ) = + = + = [ Ω] Re R R 0,517 0,071 0,588 m X X 1, 200 0, 324 1, ,588 1,524 1,634 + = + = Ω 1,524 + = arctan 68,9 0,588 ( ) 12
![denominatore ( + ) = + = + = [ Ω] ( + ) = + = + = [ Ω] Re R R 0,517 0,071 0,588 m X X](/docs-images/49/20930041/images/page_17.jpg "1, 200 0, 324 1, 524 2 2 0,588 1,524 1,634 + = + = Ω 1,524 + = arctan 68,9 0,588 ( )")
18 FUNONAMENTO N PARALLELO D DUE TRASFORMATOR 0,433 eq = = 0,265 Ω 1,634 eq = 144,3 68,9 = 75,4 0,265e eq j75,4 = Ω ( eq ) = ( ) = [ Ω] Re 0,265cos 75,4 0,067 ( eq ) = ( ) = [ Ω] m 0,265sin 75,4 0,257 eq = 0,067 + j0,257 Ω 13
![Ω ( eq ) = ( ) = [ Ω] Re 0,265cos 75,4 0,067 ( eq ) = (](/docs-images/49/20930041/images/page_18.jpg ") = [ Ω] m 0,265sin 75,4 0,257 eq = 0,067 + j0,257 Ω 13")
19 FUNONAMENTO N PARALLELO D DUE TRASFORMATOR Riprendiamo il circuito equivalente, fissiamo ad arbitrio la fase della tensione sul carico pari a 0 e calcoliamo la fase ϕ della tensione e 2n = 0,265e eq j75,4 j36,87 = e e2n = j 2300e ϕ carico j0 V = 2250e Scriviamo l equazione alla maglia: e2n eq = V ( ) jϕ j 75,4 36,87 j0 = 2300e 0,265 e 2250e 2300e 0,265 e = 2250e jϕ j38,54 j0 14
20 FUNONAMENTO N PARALLELO D DUE TRASFORMATOR L equazione alla maglia: 2300e 0,265 e = 2250e jϕ j38,54 j0 è un equazione vettoriale, pertanto può essere scomposta in due equazioni scalari ed è risolubile nelle due incognite ϕ e : ( ) 2300 cos ϕ 0,265 cos 38,54 = 2250 ( ) 2300sin ϕ 0,265 sin 38,54 = 0 Nell ipotesi di ϕ molto piccolo, avremo: (soluzione approssimata) cos ϕ = 1 sin ϕ =ϕ ( ) ,265 cos 38,54 = 2250 ( ) 2300ϕ 0,265 sin 38,54 = 0 15
21 FUNONAMENTO N PARALLELO D DUE TRASFORMATOR = ,265cos 38,54 ( ) ( ) 241,04 A 0, ,04 sin 38,54 ϕ = 0,017[ rad] 0, Osserviamo che l ipotesi di ϕ molto piccolo è verificata. La soluzione rigorosa si ottiene nel seguente modo: 2300e = 0,265 e e jϕ j38,54 j0 ( ) ( ) 2300 cos ϕ+ jsin ϕ = 0,265 cos38,54 + jsin 38, ( ) ( ) 2300 cos ϕ+ jsin ϕ = 0, j0,165 16
22 FUNONAMENTO N PARALLELO D DUE TRASFORMATOR Passando ai moduli: 2300 = 0, ,5 + 0, , , = b ± b 4ac 933,5 ± 933, , = = = 2a 2*0, ,5 ± 933, , ,5 ± 967,1 = = = 2*0,07 0,14 = +240,5[A] 13575,6[A] (il valore corretto è quello positivo, perché è un modulo) 17
23 FUNONAMENTO N PARALLELO D DUE TRASFORMATOR Per calcolare ϕ considero la parte immaginaria dell equazione: ( ) ( ) 2300 cos ϕ+ jsin ϕ = 0, j0, sin ϕ = 0,165 0, ,5 sin ϕ= = 0, ϕ = 0,990 n questo caso i risultati ottenuti con la soluzione rigorosa sono quasi identici a quelli ottenuti con la soluzione approssimata, perché in effetti ϕ è molto piccolo. 18
24 FUNONAMENTO N PARALLELO D DUE TRASFORMATOR A questo punto possiamo calcolare la potenza fornita dai due trasformatori: j36,87 j0 j36,87 A = V = 240,5e 2250e 541e [kva] Ora dovremmo verificare quale è la potenza fornita da ciascuno dei due trasformatori. Prima calcoliamo la corrente fornita da ciascun trasformatore: 2A = eq 2B = eq 0,265 75,4 i240,5 36,87 2A = = 48,81 28,18 A 1,307 66,7 0,265 75,4 i240,5 36,87 2B = = 192,41 39,07 A 0,331 77,6 19
25 FUNONAMENTO N PARALLELO D DUE TRASFORMATOR Si osserva che la somma dei moduli delle correnti nei due trasformatori è maggiore del modulo della corrente nel carico. Questo accade perché la corrente nel carico è data dalla somma vettoriale delle correnti nei due trasformatori, le quali hanno fase diversa l una dall altra. l grado di carico dei due trasformatori è: 48,81 2A α A = = 1,12 il trasformatore A è sovraccaricato 2An 43,48 192,41 2B α B = = 2Bn 217,39 0,89 La potenza fornita da ciascun trasformatore è: A = V = i48,81 28,81 A A A 2A 110 kva A = V = i192,41 39,07 B 2B A B 433kVA 20
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