ELETTROTECNICA T A.A. 2014/2015 ESERCITAZIONE 3

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Brigida Di Lorenzo
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1 ELETTROTECNICA T A.A. 2014/2015 ESERCITAZIONE 3 ESERCIZIO 1 Un generatore di tensione sinusoidale con alimenta la rete lineare mostrata in Fig Calcolare tutte le tensioni e le correnti di ramo considerando una tensione di alimentazione pari a E = 100sin(50t) Fig. 1.1 Circuito da risolvere Fig. 1.2 Trasformazione del circuito in esame dal dominio del tempo al dominio della frequenza Passiamo dal dominio del tempo al dominio della frequenza attraverso la trasformata di Steinmetz, considerando ω = 50 rad/s. Calcoliamo quindi E = 100sin(50t) = 100e j0 = 100

2 Z 1 = 1 1 = jωc 1 j = j10 Z 2 = R = 3 + jωc 2 j = 3 j2 Z 3 = R 2 + jωl = 8 + j = 8 + j10 e otteniamo il circuito rappresentato in Fig L impedenza equivalente offerta dalla rete può quindi essere calcolata come Z eq = Z 1 + Z 2Z 3 Z 2 + Z 3 = 3.22 j11.07 Per la corrente erogata dal generatore si ha quindi che I = E Z eq = j8.33 Ora è possibile ricavare le altre incognite effettuando i seguenti passaggi: I 1 = I = j8.33 V 1 = Z 1 I 1 = 83.3 j24.2 V 2 = V 3 = E V 1 = j24.2 I 2 = V 2 Z 2 = j8.15 I 3 = I 1 I 2 = 2.29 j0.18 Se adesso, per esempio, si volesse esprimere la corrente erogata dal generatore di tensione nel dominio del tempo occorre operare come segue: I = = 8.67 A θ I = arctan ( 8.33 ) = 1.29 rad 2.42 I = 8.67e j1.29 = 8.67sin(50t )

3 ESERCIZIO 2 Un generatore di corrente sinusoidale alimenta la rete lineare mostrata in Fig Calcolare tutte le tensioni e le correnti di ramo considerando una corrente di alimentazione pari a A = 100sin(50t) Fig. 2.1 Circuito da risolvere Fig Trasformazione del circuito in esame dal dominio del tempo al dominio della frequenza Passiamo dal dominio del tempo al dominio della frequenza attraverso la trasformata di Steinmetz, considerando ω = 50 rad/s. Calcoliamo quindi A = 100sin(50t) = 100e j0 = 100 Z 1 = R 1 = 5 Z 2 = jωl = j Z 3 = R = 10 j400 jωc

4 e otteniamo il circuito rappresentato in Fig L impedenza equivalente offerta dalla rete può quindi essere calcolata come Z eq = ( ) = 0.2 j Z 1 Z 2 Z 3 Ora è possibile ricavare le altre incognite effettuando i seguenti passaggi: V 1 = V 2 = V 3 = V A = Z eq A = 20 j100 I 1 = V A Z 1 = 4 j20 I 2 = V A Z 2 = 100 j20 I 3 = A (I 1 + I 2 ) = j40 Se adesso, per esempio, si volesse esprimere la tensione ai capi del generatore di corrente nel dominio del tempo occorre operare come segue: V A = = 102 V θ VA = arctan ( 100 ) = 1.37 rad 20 V A = 102e j1.37 = 102sin(50t )

5 ESERCIZIO 3 Risolvere il circuito lineare in regime sinusoidale di Fig. 1.3 considerando una tensione di alimentazione pari a E = 8sin (2t + π 6 ) e una corrente di alimentazione pari a A = cos(2t) Fig. 1.3 Circuito da risolvere Fig Trasformazione del circuito in esame dal dominio del tempo al dominio della frequenza Passiamo dal dominio del tempo al dominio della frequenza attraverso la trasformata di Steinmetz, considerando ω = 2 rad/s. Si ha quindi che E = 8sin (2t + π 6 ) = 8ejπ 6 = 8 (cos π 6 + jsin π ) = j4 6 A = cos(2t) = sin (2t + π 2 ) = ejπ 2 = cos π 2 + jsin π 2 = j Z 1 = R = 2 Z 2 = jωl = j2 Z 3 = 1 jωc = j Il circuito in esame è costituito da r = 3 rami e n = 2 nodi. Per la sua risoluzione è quindi necessario scrivere il seguente sistema di r = 3 equazioni composto da r (n - 1) = 2 LKT e n 1 = 1 LKC:

6 E V 1 V 3 = 0 { V 3 + V 2 V A = 0 I 1 + I 2 I 3 = 0 Poiché Z 2 è nello stesso ramo di A si ha che I 2 = A = j e dalla terza equazione del precedente sistema si può ricavare che I 3 = I 1 + I 2 = I 1 + A In aggiunta alle LKC e LKT occorre considerare anche le leggi di Ohm simboliche che legano tensione e corrente alle relative impedenze del circuito. Quindi possiamo scrivere V 1 = Z 1 I 1 V 2 = Z 2 I 2 = Z 2 A V 3 = Z 3 I 3 = Z 3 (I 1 + A) A seguito delle considerazioni appena svolte e inserendo i valori numerici del circuito in esame si ottiene in definitiva { E Z E Z 3 A 1I 1 Z 3 (I 1 + A) = 0 Z 3 (I 1 + A) + Z 2 A V A = 0 { I 1 = = ( 3 Z 1 + Z ) + j (1 2 3) V A = Z 3 (I 1 + A) + Z 2 A = ( 3 2) + j( 3 + 3) I 3 = I 1 + A = ( ) + j (3 2 3) Se adesso, per esempio, si volesse esprimere la corrente che scorre nel ramo del capacitore nel dominio del tempo occorre operare come segue: I 3 = ( ) + ( ) = A 3 θ I3 = arctan ( 2 3 ) = 0.07 rad I 3 = 10.50e j0.07 = 10.50sin(2t 0.07)

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