ELETTROTECNICA T A.A. 2014/2015 ESERCITAZIONE 9

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Ricardo Rosso
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1 ELETTROTECNICA T A.A. 2014/2015 ESERCITAZIONE 9 ESERCIZIO 1 Determinare per quale valore di Z L essa assorbe la massima potenza apparente dal circuito di Fig Calcolare quindi tale potenza. Considerare una tensione e una corrente di alimentazione pari a E = 40cos(50t + 90 ) A = 3cos(50t) Fig. 1.1 Circuito da risolvere Fig. 1.2 Trasformazione del circuito in esame dal dominio del tempo al dominio della frequenza Passiamo dal dominio del tempo al dominio della frequenza attraverso la trasformata di Steinmetz, considerando ω = 50 rad/s. Si ha quindi che E = 40cos(50t + 90 ) = 40e j90 = 40(cos90 + jsin90 ) = j90

2 A = 3cos(50t) = 3e j0 = 3 Z 1 = R jωc = 8 j2 Z 2 = R 2 = 5 Z 3 = R 3 + jωl = 10 + j4 Il circuito in esame diventa quello mostrato in Fig Si può dimostrare che un impedenza di carico assorbe la massima potenza quando il suo valore è numericamente uguale al complesso coniugato della Z eq del dipolo di Thevenin/Norton equivalente al circuito a cui essa è connessa. Per il calcolo della Z eq consideriamo il circuito di Fig. 1.3, ottenuto staccando Z L e sostituendo i generatori di tensione indipendenti con dei cortocircuiti e i generatori di corrente indipendenti con dei circuiti aperti. Fig. 1.3 Circuito per il calcolo della Z eq Possiamo notare come Z 1 e Z 3 siano cortocircuitate. Di conseguenza si ha che Z eq = Z 2 = 5 e quindi per il teorema del massimo trasferimento di potenza deve essere Z L = Z eq = 5 Per il calcolo della potenza assorbita da Z L occorre determinare il dipolo equivalente di Norton del circuito in esame. Considerando quindi il circuito di Fig. 1.4 si ha che A + I 2 I N = 0 I N = A + I 2 I 2 = E Z 2 = j8 I N = A + I 2 = 3 + j8 Il dipolo equivalente di Norton che alimenta Z L è mostrato in Fig Ora è possibile calcolare la potenza da essa assorbita come I L = Z eq Z L I Z N = j4 L I L = = 4.27 A

3 N L = 1 2 Z LI L 2 = VA Fig. 1.4 Circuito per il calcolo della I N Fig. 1.5 Dipolo equivalente di Norton del circuito in esame

4 ESERCIZIO 2 Determinare per quale valore di Z L essa assorbe la massima potenza apparente dal circuito di Fig Calcolare quindi tale potenza. Considerare una corrente di alimentazione pari a A 1 = 15sin(100t) Fig. 4.1 Circuito da risolvere Passiamo dal dominio del tempo al dominio della frequenza attraverso la trasformata di Steinmetz, considerando ω = 100 rad/s. Si ha quindi che A 1 = 15sin(100t) = 15e j0 = 15 Z 1 = R jωc = 2 j4 Z 2 = R 2 + jωl = 4 + j3 Il circuito in esame diventa quello mostrato in Fig Fig. 2.2 Trasformazione del circuito in esame dal dominio del tempo al dominio della frequenza

5 Si può dimostrare che un impedenza di carico assorbe la massima potenza quando il suo valore è numericamente uguale al complesso coniugato della Z eq del dipolo di Thevenin/Norton equivalente al circuito a cui essa è connessa. Per il calcolo della Z eq consideriamo il circuito di Fig. 2.3, ottenuto staccando Z L e sostituendo i generatori di corrente indipendenti con dei circuiti aperti e inserendo un generatore indipendente di tensione E 0 al posto di Z L. Si ha quindi che Fig. 2.3 Circuito per il calcolo della Z eq I 0 I A 2 = 0 I 0 = I + A 2 = 3 2 I I = E 0 Z 1 + Z 2 E 0 I 0 = 3 2 I = 3 2 Z 1 + Z 2 E 0 Z eq = E 0 = 2 (Z I 0 3 E 1 + Z 2 ) = (Z 1 + Z 2 ) = 4 j 2 3 e quindi per il teorema del massimo trasferimento di potenza deve essere Z L = Z eq = 4 + j 2 3 Per il calcolo della potenza assorbita da Z L occorre determinare il dipolo equivalente di Thevenin del circuito in esame. Considerando quindi il circuito di Fig. 2.4 si ha che A 1 I 1 A 2 = I 1 = A 1 I 1 = 2 3 A 1 = 10 A 2 = 1 2 I 1 = 5 V Th + V 1 V 2 = 0 V Th = V 2 V 1 = Z 2 A 2 Z 1 I 1 = j55

6 Fig. 2.4 Circuito per il calcolo della V Th Il dipolo equivalente di Norton che alimenta Z L è mostrato in Fig Ora è possibile calcolare la potenza da essa assorbita come I L = V Th Z eq + Z L = j13.75 N L = 1 2 V ThI L = VA Fig. 2.5 Dipolo equivalente di Thevenin del circuito in esame

7 ESERCIZIO 3 Il circuito di Fig. 3.1 ha l interruttore T chiuso da un tempo infinito. A t = 0 esso viene aperto istantaneamente. Determinare le correnti che circolano in ogni componente a t = 0 -, t = 0 + e t = +. Calcolare inoltre di L(0 + )/dt e dv C(0 + )/dt. Fig. 3.1 Circuito da risolvere Fig. 3.2 Circuito a t = 0 - Se l interruttore T è chiuso da un tempo infinito, significa che a t = 0 il circuito si trova in stato stazionario. In tale condizione l induttore si comporta come un cortocircuito e il condensatore come un circuito aperto. Quindi per calcolare le correnti a t = 0 - occorre risolvere il circuito mostrato in Fig. 3.2, ottenendo i R1 (0 ) = i R2 (0 ) = i L (0 E ) = = 2 A R 1 + R 2 i C (0 ) = 0 A V C (0 ) = R 2 i R2 (0 ) = 4 V

8 A t = 0 + l interruttore è aperto, ma la corrente che scorre nell induttore e la tensione ai capi del condensatore non possono cambiare drasticamente per rispettare il principio di continuità dell energia. Quindi si deve avere che i L (0 + ) = i L (0 ) = 2 A V C (0 + ) = V C (0 ) = 4 V Fig. 3.3 Circuito a t = 0 + Ciò porta alla conclusione che a t = 0 + l induttore si comporta come un generatore indipendente di corrente che eroga una corrente pari a i L(0 + ) e il condensatore si comporta come un generatore indipendente di tensione con forza elettromotrice pari a V C(0 + ). Quindi per calcolare le correnti a t = 0 + occorre risolvere il circuito di Fig. 3.3, ottenendo i R1 (0 + ) = i C (0 + ) = i L (0 + ) = 2 A i R2 (0 + ) = 0 A Fig. 3.4 Circuito a t = +

9 Calcoliamo ora di L(0 + )/dt e dv C(0 + )/dt come di L (0 + ) dt = V L(0 + ) = E R 1i R1 (0 + ) V C (0 + ) = 0 A/s L L dv C (0 + ) = i C(0 + ) = 20 V/s dt C Per t > 0 il circuito compie il suo transitorio, ma a t = + si raggiunge di nuovo lo stato stazionario. Quindi l induttore si comporta come un cortocircuito e il condensatore come un circuito aperto. Per calcolare le correnti a t = 0 - occorre risolvere il circuito mostrato in Fig. 3.4, ottenendo i R1 (+ ) = i R2 (+ ) = i L (+ ) = i C (+ ) = 0 A

10 ESERCIZIO 4 Il circuito di Fig. 4.1 ha l interruttore T da da un tempo infinito. A t = 0 esso viene chiuso istantaneamente. Determinare le correnti che circolano in ogni componente a t = 0 -, t = 0 + e t = +. Calcolare inoltre di L(0 + )/dt e dv C(0 + )/dt. Fig. 4.1 Circuito da risolvere Fig. 4.2 Circuito a t = 0 - Se l interruttore T è aperto da un tempo infinito, significa che a t = 0 il circuito si trova in stato stazionario. In tale condizione l induttore si comporta come un cortocircuito e il condensatore come un circuito aperto. Quindi per calcolare le correnti a t = 0 - occorre risolvere il circuito mostrato in Fig. 4.2, ottenendo i R1 (0 ) = i R2 (0 ) = i L (0 E ) = = 2 A R 1 + R 2 i C (0 ) = 0 A V C (0 ) = R 2 i R2 (0 ) = 4 V A t = 0 + l interruttore è chiuso, ma la corrente che scorre nell induttore e la tensione ai capi del condensatore non possono cambiare drasticamente per rispettare il principio di continuità dell energia. Quindi si deve avere che i L (0 + ) = i L (0 ) = 2 A V C (0 + ) = V C (0 ) = 4 V

11 Fig. 4.3 Circuito a t = 0 + Ciò porta alla conclusione che a t = 0 + l induttore si comporta come un generatore indipendente di corrente che eroga una corrente pari a i L(0 + ) e il condensatore si comporta come un generatore indipendente di tensione con forza elettromotrice pari a V C(0 + ). Quindi per calcolare le correnti a t = 0 + occorre risolvere il circuito di Fig. 4.3, ottenendo Calcoliamo ora di L(0 + )/dt e dv C(0 + )/dt come i R2 (0 + ) = V C(0 + ) = 2 A di L (0 + ) = V L(0 + ) dt L dv C (0 + ) dt R 2 i R1 (0 + ) = i C (0 + ) = 0 A = E V C(0 + ) L = i C(0 + ) C = 0 V/s = 50 A/s Fig. 4.4 Circuito a t = + Per t > 0 il circuito compie il suo transitorio, ma a t = + si raggiunge di nuovo lo stato stazionario. Quindi l induttore si comporta come un cortocircuito e il condensatore come un circuito aperto. Per calcolare le correnti a t = 0 - occorre risolvere il circuito mostrato in Fig. 4.4, ottenendo i R2 (+ ) = i L (+ ) = E R 2 = 12 A i R1 (+ ) = i C (+ ) = 0 A

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