ELETTROTECNICA (10 CFU) CS INGEGNERIA MATEMATICA I

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1 ELETTROTECNICA (10 CFU) CS INGEGNERIA MATEMATICA I prova in itinere 1 Novembre 008 SOLUZIONE - 1 -

2 D1. (punti 8 ) Rispondere alle seguenti domande: punto per ogni risposta corretta, per ogni risposta errata, 0 per ogni risposta non data. Tra le possibili c è una e una sola risposta corretta. Segnare la risposta con una crocetta e fornire una breve giustificazione della risposta. 1 Un circuito ha 1 bipoli e 8 maglie indipendenti. Quanti sono i nodi? a) 19 b) 17 c) 5 d) 4 Il numero di maglie indipendenti è L (numero di bipoli) N (numero di nodi) +1 da cui N = 5 Un resistore R è collegato ad un bipolo il cui equivalente Thevenin è dato da R Th =10Ω e V Th =40V. Quanto vale la massima potenza su R? a) 160W b) 80W c) 40W d) 1W Per aver la massima potenza su R, deve essere R= R Th. Quindi la tensione su R è uguale 40/=0V e la potenza su R vale P=V /R=40W 3 - In un bipolo se i(t) = cos 4t e v(t) = sin 4t (convenzione utilizzatori) l elemento è: a) un resistore b) un condensatore c) un induttore d) non si può determinare i(t) è proporzionale alla derivata di v(t) con coefficiente di proporzionalità positivo quindi si tratta di un condensatore di capacità pari a 1/4F. 4 Regime sinusoidale Un resistore R è in serie a un condensatore C; l ampiezza della tensione v R (t) è 1V mentre l ampiezza della tensione v C (t) è 5V. Quanto vale l ampiezza della tensione v RC (t)? a) 7V b) -7V c) 13V d) 17V R e C sono percorsi dalla stessa corrente I; il fasore V R è in fase con I e il fasore V C è in quadratura con I. Quindi V R e V C sono in quadratura. V RC è l ipotenusa di un triangolo rettangolo con cateti V R e V C. - -

3 E1 (punti 6) Regime stazionario - Calcolare i potenziali e 1 ed e [punti 4] - Calcolare la potenza erogata del generatore [punti ] Soluzione KCL nodo 1 e 1 1 = e e KCL nodo e e e e = e da cui si ricava e 1 =6V e =6V 0 0 Sul resistore da 1 Ohm la tensione e nulla e quindi anche la corrente è nulla. La resistenza che si vede ai morsetti del generatore è data quindi da: (6 in serie con 3) con (4 in serie con ) -> 9 6 = 3,6Ω oppure (6 4) in serie con (3 ) ->,4 + 1, = 3,6Ω Pertanto I G = 18/3,6 = 5A e P G = 18*5 = 90W - 3 -

4 E (punti 8) Circuiti del I ordine v s (t) vale 4V (costante) da molto tempo; al tempo t = 0 il valore di v s (t) passa a 1V (costante). Con R = 0: - Calcolare i L (t) e v L (t) e disegnarne i grafici, mettendo in evidenza i valori per t = 0 -, per t = 0 + e per t che tende all infinito. [punti 5] Con R 0: - Determinare per quali valori di R il circuito è stabile [punti 3]. Soluzione Con R = 0 Fino a t=0 - Vs=4V; i L (0 - ) = 4/1 = 4A = i L (0 + ) e v L (0 - ) = 0 (a regime L è un cc) Per t che tende all Vs=1V e i L ( )= 1A La costante di tempo τ = L/R = 4/(1 4)= 4/0,8=5sec Quindi i L (t)=1-8e -t/5 e v L (t)=l di L /dt = 6,4e -t/5. (v L (0 + )=6,4 e v L ( )= 0) Con R 0 Il circuito è stabile per τ > 0, quindi per resistenza R Th vista dall induttore >0. R Th si calcola spegnendo v s (t), mettendo un generatore di corrente unitario al posto dell induttore e calcolando la tensione V sul generatore. Si ha: V = -Ri + 4i con i = 1/(1+4) [partitore di corrente] V = (4-R)*1/5 e quindi R Th = (4-R)*1/5. Il circuito è pertanto stabile per R (positivo) <

5 E3 (punti 8) Regime sinusoidale. Funzione di rete - Calcolare la funzione di rete H(jω) = V o /V s [punti 4] - Tracciare (qualitativamente) il grafico del modulo e della fase di H(jω) [punti 4] Punti extra: Quale tipo di azione filtrante si attua tramite la funzione di rete H(jω) Soluzione 1 = Z 1 = jω L + 1 ω LC 1 ω = ω H LC + jω 1 ω ω H = ϕ = 0 arctg( ) 4 4ω 7 ω + 1 ω Si tratta di una filtro elimina-banda (intorno a ω=1) - 5 -

6 ELETTROTECNICA II (5 CFU) CS INGEGNERIA MATEMATICA ELETTROTECNICA (10 CFU) CS INGEGNERIA MATEMATICA II prova in itinere 3 Febbraio 009 SOLUZIONE - 6 -

7 D1. (punti 4 ) Rispondere alle seguenti domande: punto per ogni risposta corretta, per ogni risposta errata, 0 per ogni risposta non data. Tra le possibili c è una e una sola risposta corretta. Segnare la risposta con una crocetta e fornire una breve giustificazione della risposta. 1 Nel circuito del II ordine RLC serie con R = 1Ω, C = 1F, L = 1H la risposta sarà di tipo: a) sovrasmorzato b) sottosmorzato c) con smorzamento critico d) senza smorzamento Soluzione: b) Infatti α= R/L = 1 e ω 0 = 1/LC = 1 e quindi α - ω 0 < 0. Due induttori uguali di valore L e con M>0 sono collegati in parallelo come in figura e sia L a il valore dell induttanza equivalente ai morsetti A B. Sia L 0 il valore dell induttanza equivalente senza accoppiamento (M=0). Quale di queste affermazione è vera a) L a è sempre maggiore di L 0 b) L a è sempre minore di L 0 c) dipende dal valore di L d) dipende dal valore di M Soluzione: a). Infatti sostituendo agli induttori accoppiati il circuito a T, si ha L a = (L-M)/ + M =L/ + M/ > L/ = L 0-7 -

8 D. (punti 4 ) Disegnare uno schema elettrico completo del circuito equivalente del trasformatore reale, mettendo in evidenza il fenomeno di cui ogni elemento tiene conto. Soluzione: [dagli appunti del prof. Ghione] - 8 -

9 E1 (punti 8) Circuiti del II ordine Calcolare v 1 (t) per t da 0 a infinito. Soluzione: v& 1 v& = v v Tr(A)= -7 = α e det(a) = ω 0 =6 s +7s+6 = 0 da cui s 1 = -6 s = -1 due frequenze reali distinte negative. Poiché v 1 ( ) = 5 si ha v 1 (t) = A 1 e -6t + A e -t + 5 Imponendo le condizioni iniziali v 1 (0)=0=A 1 + A + 5 e dv1/dt=10=a 1 (-6) + A (-1) si ha A 1 =-1 e A = -4 e quindi v 1 (t) = -e -6t -4e -t

10 E (punti 8) Doppi Bipoli a) calcolare i parametri R(Z) (serie) del doppio bipolo b) calcolare (indipendentemente da a)) i parametri G(Y) (parallelo) c) verificare che G = R -1. L OP-AMP è ideale. Soluzione: Parametri R: R 11 =1 R 1 = R 1 =0 R =1 Parametri Y: Y 11 =1 Y 1 = - Y 1 =0 Y =1-10 -

11 E3 (punti 8) Circuiti magnetici Dati: A 1 =10 cm N = 1000 A =5 cm μ 0 = 1, H/m l = 0,5 m μ FE = (domanda a) oppure 4000μ 0 (domanda b) t = 1,5 mm Ipotesi: niente flusso disperso. a) con μ FE = : disegnare il circuito equivalente elettrico, mettendo in evidenza la corrispondenza tra grandezze del circuito magnetico e grandezze del circuito elettrico. Calcolare la corrente i necessaria a produrre nel traferro della colonna di destra un flusso φ pari a x10-4 Wb [punti 3] Soluzione a) Vs Ni; I φ; R R t 6 R = = 10 H t μ A 0 V s =R t I Ni= R t φ 1 da cui i = 0,4 A

12 Soluzione b) R R t t 6 1 = = 10 H μ A 0 l 4 1 = = 5 10 e R = R 1 perché l area è la metà μ μ A 1 H 0 r 1 Risolvendo il circuito elettrico partendo dalla corrente φ pari a x10-4 la corrente i nelle N spire vale (circa) 0,5 si ottiene che - 1 -

13 ELETTROTECNICA (10 CFU) CS INGEGNERIA MATEMATICA Prova scritta 19 Febbraio 009 SOLUZIONE

14 E1 (punti 6) Regime stazionario ELT (10 CFU) e1 e a) Calcolare V1 b) Calcolare la potenza erogata dal generatore indipendente e quella erogata dal generatore pilotato. Soluzione a) Con l analisi nodale e1 1 e1 e1 e + + = e e1 e e + 9e1 + + = Risolvendo si ottiene e 1 =1/3 e e = -/3 b) Sia I G la corrente uscente dal generatore da 1V e I D la corrente entrante nel morsetto del generatore pilotato I G = (1-1/3)/ = 1/3 I D = [ -/3 + 9*1/3]/4 = 7/1 da cui P G = 1/3 W da cui P D = 7/4 W

15 E (punti 6) Regime sinusoidale ELT (10 CFU) i s (t) = 40 cos(100t) a) Calcolare l impedenza Z ai morsetti AB b) Calcolare v(t) c) Calcolare la potenza attiva e reattiva erogata dal generatore Soluzione a) Z AB = 10-10j b) V = 400(1-j) v(t) = 400 cos(100t-45 ) c) P = 8000 W Q = VA (capacitivi)

16 E3 (punti 6) Circuiti del II ordine ELT (10 CFU) OP-AMP ideale. Calcolare v 0 (t) per t da 0 a infinito - Soluzione Equazioni di stato v& 1 v& = v v da cui Tr(a) = - e det(a) = 5 Equazione caratteristica s + s + 5 = 0 da cui s 1, = -1 ± j Caso sottosmorzato. v 1 (t) = v 0 (t) Cond. Iniziale v 1 (0) = 0 Cond. Finale v 1 ( ) = 10 = integrale particolare Pertanto v 1 (t)= e -t (A 1 cost + A sint) + 10 Imponendo le condizioni iniziali v 1 (0)=0 e dv 1 /dt (0) = 0 si ottiene A 1 =-10 e A =

17 E4 (punti 6) ELT (10 CFU) Calcolare una famiglia di parametri del doppio bipolo Soluzione La matrice dei parametri G (conduttanze) è La matrice dei parametri R (resistenze) è

18 ELETTROTECNICA (10 CFU) CS INGEGNERIA MATEMATICA Prova scritta 30 Giugno 009 SOLUZIONE E1 (punti 6) Regime stazionario Calcolare il bipolo equivalente di Thevenin ai morsetti A-B Disegnare la caratteristica del bipolo nel piano V-I Soluzione: V th = - 9V ; I N = ½A; R eq = -18Ω

19 E (punti 6) Regime sinusoidale ELT (10 CFU) i s1 (t) = 5 cos(000t) v s (t) = 40 cos(8000t) d) Calcolare i(t) e) Calcolare la potenza attiva assorbita dal resistore Soluzione Con v s (t)=0 alla pulsazione ω=000 si ha I = 1 + j che nel dominio del tempo dà i (t) = 5cos(000t ) Con i s1 (t) = 0 alla pulsazione ω=8000 si ha I = -0,7 0,1j che nel dominio del tempo dà i (t) = 5/ 50cos(8000t -17 ) i(t) = i (t) + i (t) c)la potenza attiva (media) è la somma delle potenze medie alle due diverse frequenze. Pm1 (a 000 rad/sec) = ½*8*5 = 0W Pm (a 8000 rad/sec) = ½*8*50/100=W La potenza assorbita dal resistore è quindi W

20 E3 (punti 8) Circuiti del II ordine ELT (10 CFU) L interruttore s è chiuso da molto tempo. Per t = 0 si apre e resta aperto. Calcolare v 1 (t) per t da 0 a infinito Soluzione Equazioni di stato Posto R=1KΩ C1=1/6μF e C=1/16 μf v& 1 v& = RC1 1 RC 1 RC 1 RC v v RC 0 1 da cui -Tr(A) = 8*10 3 e det(a) = 96*10 6 Equazione caratteristica s + 8*10 3 s + 96*10 6 = 0 da cui s 1 = -4*10 3 e s = -4*10 3 Caso sovrasmorzato. Poiché v 1 ( ) = 0 si ha v 1 (t) = k 1 e s 1 t + k e s t + 0 imponendo le condizioni iniziali si ottiene k 1 = -1 e k = - 0 -

21 E4 (punti 8) Doppi Bipoli ELT (10 CFU) Calcolare una famiglia di parametri del doppio bipolo. Soluzione G = R = H = H ' = Conviene calcolare i parametri G (parallelo) in quanto c è una grandezza pilotata da V1 che diventa cosi o nota o nulla nel calcolo dei parametri

22 ELETTROTECNICA (10 CFU) CS INGEGNERIA MATEMATICA Prova scritta 9 Settembre 009 SOLUZIONE - -

23 E1 (punti 6) Regime stazionario a) Determinare il valore di V 0 per cui la corrente I 0 =,5A b) Calcolare quanto vale I 0 se V 0 = 0 c) Disegnare la caratteristica del bipolo ai morsetti A-B nel piano V 0 - I 0-3 -

24 E (punti 6) Regime sinusoidale - 4 -

25 E3 (punti 8) Circuiti del II ordine - 5 -

26 - 6 -

27 E4 (punti 8) Doppi Bipoli Calcolare i parametri G (conduttanze) del doppio bipolo

28 ELETTROTECNICA (10 CFU) CS INGEGNERIA MATEMATICA 4 Settembre 009 SOLUZIONE - 8 -

29 E1 (punti 6) Regime stazionario Determinare il bipolo equivalente di Thevenin ai morsetti A B - 9 -

30 - 30 -

31 E (punti 6) Regime sinusoidale i s (t) = 0 cos(100t) Calcolare il valore della capacità C sapendo che v(t) = 100 cos(100t 45 )

32 E3 (punti 8) Circuiti del II ordine v s (t) = 4 u(t) Calcolare v (t) per t da 0 a infinito - 3 -

33 - 33 -

34 E4 (punti 8) Doppi Bipoli R i = 100 kω R 1 = R = 1 MΩ R o = 1 kω A = 10 4 Calcolare i parametri H (ibridi) del doppio bipolo

35 SOLUZIONE